CN110110413B - 一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法 - Google Patents
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Abstract
一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，解决传统密度法拓扑优化，由于设计变量过多、需要相对密度或灵敏度过滤措施等产生的计算效率低下问题。通过定义一种考虑相关性的有界材料场，采用谱分解方法变换为一系列待定系数的线性组合，并以这些待定系数作为设计变量，基于单元密度插值模型构建优化模型，采用梯度类或非梯度类优化算法对拓扑优化问题进行求解，进而高效率获得带有清晰边界的拓扑构型。该方法能够大幅度减少密度法拓扑优化中的设计变量个数，同时具有完全避免网格依赖性和棋盘格式问题的天然优势。该方法还继承了密度法形式简单，便于工程化推广等优点，优化求解速度快，将保证复杂装备结构创新拓扑设计的研发效率。
Description
技术领域
本发明属于机械、航空航天工程装备结构轻量化设计领域，涉及一种基于 材料场级数展开的结构拓扑优化方法。
背景技术
目前连续体结构拓扑优化的主流方法包括：变密度法，水平集法及(双向) 渐进优化方法。其中变密度法因模型简单、实施简便在机械、航空航天工程结 构的创新拓扑优化设计中被广泛采用，并集成于许多优化设计商业软件中。变 密度法通过引入介于0和1之间的中间材料相对密度并对其进行惩罚，将0-1 离散变量拓扑优化问题转化为设计变量取值连续的优化问题，并通过基于梯度 的优化算法对其进行高效求解。然而，在变密度法中，设计变量的数目依赖于 有限单元的数目。其次，变密度法本身并不能够解决拓扑优化问题固有的网格 依赖性问题及棋盘格式数值不稳定现象，需要通过密度过滤、灵敏度过滤或其他过滤方法施加最小长度尺度来控制上述问题，从而带来了额外的计算量。因 此，当处理网格离散较密的大规模拓扑优化问题时，对大量灵敏度或相对密度 的过滤及对相对密度的更新成为了除有限元分析外最为耗时的优化问题求解环 节。此外，传统密度法方法由于设计变量过多，只能采用基于梯度的算法求解， 无法适用于难以直接得到灵敏度的复杂问题。为有效减少迭代求解大规模设计 变量所带来的计算量，一种可行的选择是在变密度法框架下，基于材料场缩减 级数展开提出新的拓扑优化方法，大幅度减少设计变量数目，提高优化求解效 率，适用于非梯度类算法求解，同时有效消除网格依赖性和棋盘格式现象。
发明内容
针对传统密度法在处理大规模复杂结构拓扑优化问题中设计变量过多的缺 点，本发明提供一种用于大幅度减少设计变量规模的拓扑优化设计方法，该方 法能够大幅度减少密度法拓扑优化中的设计变量个数，提高优化求解效率，同 时具有完全避免网格依赖性和棋盘格式问题的天然优势。本发明适合于航空航 天、机械工程复杂装备的创新拓扑优化设计，适用于非梯度类优化方法求解， 有利于提高优化效率，尤其适用于大规模三维结构拓扑设计问题。
为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，主要包括材料场缩减级 数展开和结构拓扑优化建模两部分，具体步骤如下：
第一步，对设计域材料场进行离散化和缩减级数展开
1.1)根据结构的实际情况和尺寸要求确定二维或三维设计域，定义具有空 间相关性的有界材料场函数，在设计域中均匀选取若干观察点对材料场进行离 散化；所述的观察点个数控制在10,000个以内；所述的材料场函数界限为[-1,1]， 材料场任意两点之间的相关性采用依赖于两点空间距离的相关函数进行定义， 即C(x1,x2)＝exp(-||x1-x2||2/lc 2)；其中，x1和x2为两点空间位置，lc为相关长度， || ||为2-norm范数。
1.2)确定相关长度，计算所有观察点之间的相关性，构造对角线为1的对 称正定相关矩阵；所述的相关长度不大于设计域长边尺寸的25％。
1.3)对步骤1.2)中的对称正定相关矩阵进行特征值分解，将特征值从大到 小排序，依照截断准则选取前几阶特征值；所述的截断准则为：选取的特征值 之和占所有特征值总和的99.9999％。
1.4)对材料场进行缩减级数展开，即
其中，η为待定 的级数展开系数，Λ为1.3)中选取的特征值组成的对角矩阵，ψ为相应的特征 向量，C(x)为步骤1.1)中相关函数得到的相关向量。
第二步，对结构进行拓扑优化
2.1)首先，对设计域划分有限元单元网格，建立有限元单元弹性模量与材 料场的幂函数插值关系；其次，在设计域中施加荷载和约束边界，进行有限元 分析；最后建立结构拓扑优化模型，优化目标为使结构的整体刚度最大化或者 整体柔顺性最小化，约束条件和设计变量如下：
a)约束条件一：要求每个观察点的材料场函数值不超过1；
b)约束条件二：确定结构材料用量，作为材料体积约束上限；所述的材料 用量为设计域体积的5％-50％；
c)设计变量：材料场的缩减级数展开系数η，η取值为-100和100之间。
2.2)根据步骤2.1)建立的结构拓扑优化模型，对优化目标和约束条件进行 灵敏度分析；利用梯度类优化算法或者非梯度类优化算法进行迭代求解，在迭 代过程中采用紧约束处理策略，仅将当前观察点材料场函数值大于-0.3的约束条 件计入算法中，得到结构最优材料分布。
进一步的，步骤1.1)所述的相关函数包括指数模型函数和高斯模型函数。
进一步的，步骤2.1)所述的单元弹性模量幂函数插值关系表达式为
其中，
为
的Heaviside映射函数，光滑参数从0 到9阶梯性增加，即满足收敛条件后每次增加1.5；收敛条件为相临迭代步目标 值相对差小于0.005；P为惩罚因子，一般取3；E0为所述材料的弹性模量。
进一步的，步骤2.1)所述的梯度类优化算法为准则法或MMA算法，非梯 度类优化算法为代理模型方法或遗传算法。
本发明的有益效果为：在传统密度法拓扑优化在大规模复杂结构拓扑设计 中，设计变量多，且需要耗时的灵敏度或密度过滤方法，从而严重影响优化效 率。采用本发明方法进行大规模复杂结构的拓扑优化设计，能大幅度减少设计 变量规模，高效率得到具有清晰边界的拓扑构型。该方法还继承了密度法形式 简单，便于工程化推广，易于理解和编程等优点，优化求解速度快，适用于非 梯度类求解算法，将保证复杂装备结构创新拓扑设计的研发效率。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种二维MBB梁结构设计域。图中：F表示 施加在结构上的荷载。
图2为二维MBB梁结构最优拓扑构型。
图3为本发明实施例提供的一种三维悬臂梁结构设计域。
图4(a)为材料体积比为7.5％时的三维悬臂梁结构最优拓扑设计图。
图4(b)为材料体积比为30％时的三维悬臂梁结构最优拓扑设计图。
具体实施方式
以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施例。
一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，该拓扑优化方法通过 定义一种考虑相关性的有界材料场，采用谱分解方法变换为一系列待定系数的 线性组合，并以这些待定系数作为设计变量，采用单元密度插值模型和梯度类 优化算法对拓扑优化问题进行求解，进而高效率获得带有清晰边界的拓扑构型。
第一步，对设计域材料场进行离散化和缩减级数展开
1.1)根据结构的实际情况和尺寸要求确定二维或三维设计域，在设计域中 均匀选取若干观察点，定义具有空间相关性的有界材料场函数。图1为二维MBB 梁结构的设计域，设计域长为180mm，宽为30mm，选取均匀分布观察点数N ＝2700个；图3为三维悬臂梁结构的设计域，选取均匀分布观察点数N＝6570 个；所述的材料场函数界限为[-1,1]，材料场任意两点之间的相关性采用依赖于 两点空间距离的相关函数进行定义，表达式为C(x1,x2)＝exp(-||x1-x2||2/lc 2)。
1.2)确定相关长度，计算所有观察点之间的相关性，构造对角线为1的对 称正定相关矩阵；图1的材料场相关长度lc＝2mm和8mm，图3的材料场相 关长度lc＝6mm。
1.3)对特征矩阵进行特征值分解，将特征值从大到小排序，依照截断准则 选取前几阶特征值；所述的截断准则为：选取的特征值之和占所有特征值总和 的99.9999％。
1.4)对材料场进行缩减级数展开，即
其中，η为待定 的级数展开系数，Λ为1.3)中选取的特征值组成的对角矩阵，ψ为相应的特征 向量，C(x)为1.1)中相关函数得到的相关性向量。
第二步，对结构进行拓扑优化
2.1)首先，对设计域划分有限元单元网格，图1设计域划分有限元网格数 NE＝43200个，图3设计域划分有限元网格数NE＝93312个。建立有限元单元 弹性模量与材料场的幂函数插值关系为
其中，
为 
的Heaviside映射函数，光滑参数从0到9阶梯性增加，即满足收敛条件后 每次增加1.5；收敛条件为相临迭代步目标值相对差小于0.005。其次，在设计 域中施加荷载和约束边界，进行有限元分析。最后，建立结构拓扑优化模型， 使结构的整体柔顺性最小化。
a)约束一：要求每个观察点的材料场函数值不超过1；
b)约束二：确定结构材料用量，作为材料体积约束上限；图1的材料体积 比为50％，图3的材料体积比为7.5％和30％；
c)设计变量：材料场的缩减级数展开系数η，η取值为-100和100之间。
2.2)根据步骤2.1)建立的拓扑优化模型，对目标函数和约束条件进行灵敏 度分析；利用梯度类优化算法或者非梯度类优化算法进行迭代求解，在迭代过 程中采用紧约束处理策略，仅将当前观察点材料场函数值大于-0.3的约束条件 计入优化算法中，得到结构最优拓扑构型，分别见图2和图4。
本发明的实质是引入具有空间相关性的材料场，采用谱分解方法将连续的 材料场进行变换，达到减少设计变量的目的，并能内在地避免棋盘格式和网格 依赖性。其对前述各实施例所记载的优化模型、方法、方案进行修改，或者对 其中部分或者全部方法特征进行等同替换(例如采用其他幂函数插值关系、改 变目标函数或约束具体形式等)，并不使相应方法与方案的本质脱离本发明各 实施例方法与方案的范围。
Claims (5)
1.一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，其特征在于，该结构拓扑优化方法主要包括材料场缩减级数展开和结构拓扑优化建模两部分，步骤如下：
第一步，对设计域材料场进行离散化和缩减级数展开
1.1)根据结构的实际情况和尺寸要求确定二维或三维设计域，定义具有空间相关性的有界材料场函数，在设计域中均匀选取若干观察点对材料场进行离散化；所述的观察点个数控制在10,000个以内；所述的材料场函数界限为[-1,1]，材料场任意两点之间的相关性采用依赖于两点空间距离的相关函数进行定义，即C(x1,x2)＝exp(-||x1-x2||2/lc 2)；其中，x1和x2为两点空间位置，lc为相关长度，|| ||为2-norm范数；
1.2)确定相关长度，计算所有观察点之间的相关性，构造对角线为1的对称正定相关矩阵；所述的相关长度不大于设计域长边尺寸的25％；
1.3)对步骤1.2)中的对称正定相关矩阵进行特征值分解，将特征值从大到小排序，依照截断准则选取前几阶特征值；所述的截断准则为：选取的特征值之和占所有特征值总和的99.9999％；
1.4)对材料场进行缩减级数展开，即
其中，η为待定的级数展开系数，Λ为1.3)中选取的特征值组成的对角矩阵，ψ为相应的特征向量，C(x)为步骤1.1)中相关函数得到的相关向量；
第二步，对结构进行拓扑优化
2.1)首先，对设计域划分有限元单元网格，建立有限元单元弹性模量与材料场的幂函数插值关系；其次，在设计域中施加荷载和约束边界，进行有限元分析；最后建立结构拓扑优化模型，优化目标为使结构的整体刚度最大化或者整体柔顺性最小化，约束条件和设计变量如下：
a)约束条件一：要求每个观察点的材料场函数值不超过1；
b)约束条件二：确定结构材料用量，作为材料体积约束上限；所述的材料用量为设计域体积的5％-50％；
c)设计变量：材料场的缩减级数展开系数η，η取值为-100和100之间；
2.2)根据步骤2.1)建立的结构拓扑优化模型，对优化目标和约束条件进行灵敏度分析；利用梯度类优化算法或者非梯度类优化算法进行迭代求解，在迭代过程中采用紧约束处理策略，仅将当前观察点材料场函数值大于-0.3的约束条件计入算法中，得到结构最优材料分布。
2.根据权利要求1所述的一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤1.1)所述的相关函数包括指数模型函数和高斯模型函数。
3.根据权利要求1或2所述的一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤2.1)所述的有限元单元弹性模量与材料场的幂函数插值关系表达式为
其中，
为
的Heaviside映射函数，光滑参数从0到9阶梯性增加，即满足收敛条件后每次增加1.5；收敛条件为相临迭代步目标值相对差小于0.005；P为惩罚因子；E0为所述材料的弹性模量。
4.根据权利要求1或2所述的一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤2.2)所述的梯度类优化算法为准则法或MMA算法，非梯度类优化算法为代理模型方法或遗传算法。
5.根据权利要求3所述的一种基于材料场缩减级数展开的结构拓扑优化方法，其特征在于，步骤2.2)所述的梯度类优化算法为准则法或MMA算法，非梯度类优化算法为代理模型方法或遗传算法。
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