CN117133385A - 一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法及系统 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及超材料分析技术领域，公开了一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法及系统，该弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，利用快速平面波展开法，快速准确地探究弹性波在多种拓扑构型的双组分弹性超材料薄板中的传播特性，引入晶胞的相对密度作为轻量化设计目标，可以快速且准确的实现弹性超材料结构多目标优化。
Description
技术领域
本发明涉及超材料分析技术领域，尤其涉及一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法及系统。
背景技术
功能性周期结构(如声子晶体和弹性超材料)在控制声学和弹性波方面的非凡特性引起了极大的研究关注，并进一步促进结构设计优化方法的发展。声子晶体(PnCs)和弹性超材料(EMs)的基本特征是存在带隙特性，在带隙频率范围内声波/弹性波呈指数级衰减或显著衰减。带隙中心频率及宽度等特性主要取决于超材料单胞的拓扑结构参数及材料分布特性，通过调整结构参数、材料参数、单胞对称性等方法可实现对带隙特性的主动调控。从实际应用的角度来看，结构优化问题通常是多目标优化问题，其中多数目标相互冲突，不能同时优化，即提高一个目标会牺牲另一个目标的特性。目前，拓扑优化算法为最优结构设计提供了一种切实可行的方法，为存在矛盾性的多目标优化提供多维度多功能的新颖拓扑结构设计，多目标优化问题的可行方法是寻找一组处于非支配地位的帕累托前沿解集。基于梯度信息可将拓扑优化方法主要划分为两类优化方法，梯度优化方法具有明确的拓扑概念及其简单性找到最优构型，但是存在局部最优解问题及复杂的灵敏度分析过程。因此，亟需提供一种高效准确的弹性超材料结构多目标优化方法。
发明内容
本发明提供了一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法及系统，以解决现有技术中的弹性超材料结构多目标优化的效率和精度较低的问题。
为了实现上述目的，本发明通过如下的技术方案来实现：
第一方面，本发明提供一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，包括：
将弹性超材料晶胞划分为若干个单元格，设定设计域，并基于初始样本种群库得出的晶胞拓扑构型利用薄板理论构建弹性薄板弯曲振动弹性波动方程；
针对所述晶胞拓扑构型，基于薄板理论构建弹性薄板弯曲振动弹性波动方程；
在晶胞拓扑构型的对应边界处施加傅里叶周期性边界条件，以获取弹性波在无限周期阵列中的传播情况，若在相邻色散曲线之间存在某一频率范围未发现色散关系则为带隙特性，表示在该频率内的弹性波无法在弹性超材料中有效传播；
利用快速平面波展开法，应用劳伦逆定理消除跳跃间断点，针对弹性超材料弯曲振动的特征值问题进一步进行表示；
以前十阶色散曲线构成的能带结构中带隙的总相对宽度为多目标优化的第一目标，晶胞拓扑构型的相对密度第二目标，并结合弯曲振动的特征值和所述弹性薄板弯曲振动弹性波动方程构建目标函数；
基于所述目标函数进行优化。
可选地，所述弹性薄板弯曲振动弹性波动方程满足如下关系式：
式中，w为薄板结构中平面z方向的位移，D(r)为薄板结构的弯曲刚度，α(r)＝ρ(r)h为与位置相关的密度及薄板厚度的复合函数，β(r)＝D(r)ν(r)，γ(r)＝D(r)(1-ν(r))为与位置相关的弯曲刚度及泊松比的复合函数，为导数算子，t为时间变量，x为薄板平面的横向，y为薄板平面的纵向。
可选地，在晶胞拓扑构型的对应边界处施加傅里叶周期性边界条件时，z方向的弯曲位移场w(r)满足如下关系式：
式中，R为正格矢，表征晶格的位置，R由三个方向上的基矢向量ai(i＝1,2,3)和整数ni(i＝1,2,3)组成，R＝n1a1+n2a2+n3a3，w(r,t)表示t时刻薄板某位置的弯曲位移，w(r+R,t)表示t时刻周期性薄板结构中与w(r,t)相对应位置的弯曲位移，ei(kr-ωt)表示周期算子，wk(r)表示给定波矢下薄板某位置的弯曲位移幅值，e-iωt表示与时间有关的周期变换量，ei(k +G)r表示倒格矢空间内的周期算子，wk+G(G)表示倒格矢空间内的弯曲位移，k为Bloch波矢量，ω为角特征频率；
通过将倒格矢向量G中平面波的波数截断为Nw×Nw＝(2M+1)2，进一步将Bloch波矢遍历不可约布里渊区边界，进而求得对应的(Nw×Nw+1)个特征频率值，构建能带结构来表征弹性波的传播情况。
可选地，平面波展开法是将晶胞的各个方形元素的以倒格矢向量的形式的物理量在倒格矢空间内求和，则整个晶胞的周期参数为：
其中，δ(r)表示散射体/基体材料在晶胞中的拓扑构型，g0(G)表示中心像素点的材料参数，e(G)表示倒格矢空间内晶胞各单元格与中心单元格之间的周期性算子，其中：
表示晶胞内某单元格的周期性算子，Nk取值为1，2，...c，Nk为单元格的数量；/>表征各单元格材料属性的集合，Pr表示某单元格，PL表示散射体材料；
针对弹性超材料弯曲振动的特征值问题进一步进行表示如下：
其中，α0(G'-G0)，D0(G'-G0)，β0(G'-G0)及γ0(G'-G0)表示某单元格在倒格矢空间内相对于中心单元格的周期函数，G'表示某单元格的倒格矢，G0表示中心单元格的倒格矢，表示在中心单元格在倒格矢空间内的弯曲位移。
可选地，构建目标函数具体包括：
将晶胞拓扑构型离散为有限个方形单元格(Nk＝N×N)，每个单元格编码为0或1来表征单元格的材料属性与晶胞的拓扑构型存在映射关系；
单元格的设计变量xe表示为:其中PS和PL分别表示基体和散射体材料；
根据半解析方法计算得出的色散关系，构建非梯度多目标拓扑优化方法的目标函数，目标函数是在给定的最大频率下，使得相邻色散曲线之间的弯曲带隙的总相对宽度最大，化弹性超材料的相对密度最小，目标函数满足如下关系式：
Subject to k＝k1e1+k2e2,k1,k2∈[-π/a,π/a]
xe＝0or 1(e＝1,2,…Nk)
min F1(X)≥0.01。
可选地，构建目标函数时，设定约束条件，其中，设定约束条件后的目标函数满足如下关系式：
其中，Ac(X)表示约束条件，r*表示阈值，其中，约束条件Ac(X)表示为散射体材料第c个连通域的单元格数量，NQ为设计域中的独立连通域数量，ρs表示基体材料的密度，ρL表示散射体材料的密度。
可选地，利用ωa/2πcs将能带结构的特征频率归一化，其中基体材料中横波波速为Gs及ρs为基体材料的剪切模量及密度，ω表示特征角频率，a为表征晶胞尺寸的晶胞常数。
第二方面，本申请还提供一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述方法的步骤。
有益效果：
本发明提供的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，利用快速平面波展开法，快速准确地探究弹性波在多种拓扑构型的双组分弹性超材料薄板中的传播特性，引入晶胞的相对密度作为轻量化设计目标，可以快速且准确的实现弹性超材料结构多目标优化。
在进一步限定的技术方案中，在考虑结构轻量化的同时优化了弯曲带隙特性。
在进一步限定的技术方案中，利用非支配排序遗传算法为多维度弹性超材料的多目标拓扑优化设计提供多种微结构。
在进一步限定的技术方案中，还探究了优化参数对于优化进程的影响。
附图说明
图1为本发明优选实施例的一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法的示意图之一；
图2为本发明优选实施例的一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法的示意图之二；
图3为本发明优选实施例的弹性超材料板晶胞多目标优化基本概念图，包括离散化过程，初始种群构型样本库，多目标拓扑优化过程，后处理方法以及有限周期结构示意图；
图4为本发明优选实施例的弹性超材料薄板帕累托前沿解集及带隙特性示意图；
图5为本发明优选实施例的弹性超材料薄板结构对称性降低产生的优化拓扑构型，包括四轴对称性、双轴对称性及旋转对称性晶胞及其多目标优化结果示意图；
图6为本发明优选实施例的最优晶胞组成的有限周期结构的减振特性实验验证示意图，包括实验平台的构建及沿平行于薄板xoy平面传播的弯曲弹性波的透射率示意图；
具体实施方式
下面对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
除非另作定义，本发明中使用的技术术语或者科学术语应当为本发明所属领域内具有一般技能的人士所理解的通常意义。本发明中使用的“第一”、“第二”以及类似的词语并不表示任何顺序、数量或者重要性，而只是用来区分不同的组成部分。同样，“一个”或者“一”等类似词语也不表示数量限制，而是表示存在至少一个。“连接”或者“相连”等类似的词语并非限定于物理的或者机械的连接，而是可以包括电性的连接，不管是直接的还是间接的。“上”、“下”、“左”、“右”等仅用于表示相对位置关系，当被描述对象的绝对位置改变后，则该相对位置关系也相应地改变。
请参见图1，本申请提供一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，包括：
将弹性超材料晶胞划分为若干个单元格，设定设计域，并基于初始样本种群库得出的晶胞拓扑构型利用薄板理论构建弹性薄板弯曲振动弹性波动方程；
针对所述晶胞拓扑构型，基于薄板理论构建弹性薄板弯曲振动弹性波动方程；
在晶胞拓扑构型的对应边界处施加傅里叶周期性边界条件，以获取弹性波在无限周期阵列中的传播情况，若在相邻色散曲线之间存在某一频率范围未发现色散关系则为带隙特性，表示在该频率内的弹性波无法在弹性超材料中有效传播；
利用快速平面波展开法，应用劳伦逆定理消除跳跃间断点，针对弹性超材料弯曲振动的特征值问题进一步进行表示；
以前十阶色散曲线构成的能带结构中带隙的总相对宽度为多目标优化的第一目标，晶胞拓扑构型的相对密度第二目标，并结合弯曲振动的特征值和所述弹性薄板弯曲振动弹性波动方程构建目标函数；
基于所述目标函数进行优化。
上述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，利用快速平面波展开法，快速准确地探究弹性波在多种拓扑构型的双组分弹性超材料薄板中的传播特性，引入晶胞的相对密度作为轻量化设计目标，可以快速且准确的实现弹性超材料结构多目标优化。
进一步地，根据设计与推导步骤对上述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法进行详细描述如下：
本申请以实现固体介质(薄板结构)中广泛存在的面外弯曲振动衰减及结构轻量化为目标，薄板结构的面外弯曲振动以振动方向垂直于x-y平面，传播方向沿着x-y平面，主要表现为板结构的弯曲变形。对于薄板而言，其挠度相对较小，可忽略转动惯量及剪切变形的影响，基于Kirchhoff-Love薄板理论获得弹性超材料薄板弯曲振动的弹性控制方程：
控制方程中，w为薄板结构中平面z方向的位移，薄板结构的弯曲刚度为D(r)＝E(r)h3(r)/12(1-ν2(r))，结构中材料的密度、弹性模量及泊松比等参数表示为与位置矢量有关的表达式：
α(r)＝D(r)h(r),β(r)＝D(r)ν(r),γ(r)＝D(r)(1-ν(r)),ρ(r),E(r)及ν(r)。
值得注意的是当薄板的厚度h相对于弯曲波的波长λp足够小时(h<λp/6)，弯曲振动的弹性控制方程是准确有效的。其中，λp为弯曲波的波长，kp为波数。
弹性超材料在空间上呈现出周期性分布，相邻两个晶胞之间的距离表示为晶格常数a。在笛卡尔直角坐标系，R＝n1a1+n2a2+n3a3由三个方向上的基矢向量ai(i＝1,2,3)和整数ni(i＝1,2,3)组成的，可表征晶格的位置。
薄板弯曲振动弹性波动方程中的物理量α(r),β(r),γ(r)和D(r)是与空间位置向量r＝(x,y,z)T相关的周期函数，可进一步展开为在倒格矢空间内的傅里叶级数，统一表示为：
倒格矢空间由G＝m1b1+m2b2+m3b3表示，bi(i＝1,2,3)为倒格矢基向量，mi(i＝1,2,3)为整数。基矢向量ai和倒数基向量bj之间的关系为：
将本申请所优化弹性超材料的晶胞结构划分为特定数量的基本元素Nk(N*N)，进一步根据晶格结构的对称性获取用于表征材料分布的染色体。利用快速平面波展开法将中心元素P0映射为特定位置的元素Pr的材料属性。中心元素P0的材料参数统一表示为：
则特定位置的元素Pr的对应材料参数进一步表示为gr(G)＝g0(G)eiGr。
傅里叶级数展开式中，晶胞的面积为S，散射体和基体对应的周期性材料参数分别为gA,gB，其中散射体在晶胞中所占的填充比为f。快速平面波展开法中结构函数P(G)与散射体形状密切相关，本申请中将基本元素的形状设定为方形，当其被散射体材料填充时，结构函数满足：
否则为0，其中方形基本元素在晶胞中的填充率为fL＝1/N2，倒格矢G分量为(Gx,Gy)。
由于晶胞在空间内呈现周期性分布，通过在晶胞的边界施加Floquet-Bloch边界条件，在笛卡尔直角坐标系及倒格矢空间内，晶胞z方向的弯曲位移场w(r)可进一步表示为：
其中，k＝k1e1+k2e2为Bloch波矢量，角特征频率表示为ω。平面波展开法的核心思想是将晶胞的各个方形元素的以倒格矢向量的形式的物理量在倒格矢空间内求和，则整个晶胞的周期参数为：
其中，δ(r)可用于表征散射体/基体材料在晶胞中的拓扑构型，
利用快速平面波展开法，通过劳伦逆定理将组元材料参数差异较大的单元格的傅里叶级数展开形式进一步改进，表征具有任意拓扑构型的弹性超材料薄板，其弯曲振动的特征值问题表示为：
通过将倒格矢向量G中平面波的波数截断为NW×NW＝(2M+1)2，进一步将Bloch波矢遍历不可约布里渊区边界，进而求得对应的(NW×NW+1)个特征频率值，构建能带结构来表征弹性波的传播情况，若在相邻色散曲线之间存在特定的频率范围未发现色散关系ω(k)即为带隙特性，表示在该频率内的弹性波无法在弹性超材料中有效传播。
弹性超材料的刚度、带隙特性、相对密度等物理性能主要与结构尺寸参数、材料参数及其在晶胞中的分布有关。从实际应用的角度来看，大多数结构优化问题是多目标优化问题(MOOP)，这些目标相互冲突，不能同时优化。因此解决多目标优化问题的可行方法是一组寻找处于非支配地位的帕累托前沿解，根据实际需求提供多种新颖的拓扑构型。本申请将晶胞离散为有限个方形单元格(Nk＝N×N)，每个单元格编码为0或1来表征单元格的材料属性，与晶胞的拓扑构型存在映射关系。
单元格的设计变量xe表示为：
其中PS和PL分别表示基体和散射体材料。
为了实现轻质弹性超材料的低频宽带带隙优化设计，根据半解析方法计算得出的色散关系，构建非梯度多目标拓扑优化方法，目标函数是在给定的最大频率下，使得相邻色散曲线之间的弯曲带隙的总相对宽度最大，最小化弹性超材料的相对密度，其优化数学模型为：
其中F1表示由前n条色散曲线中弯曲带隙的总相对宽度，F2是晶胞的相对密度。在优化过程中不可避免地存在带隙特性较差的个体，因此将目标函数F1的最小值设为0.01，以保持种群的多样性，有利于在满足控制方程理论假设的基础上增加设计自由度和结构多样性，尽可能获得低频宽带带隙特性。X为晶胞内材料的分布特性及其拓扑构型，ωj为第j阶色散曲线的特征频率。求解该优化问题采用了基于快速非支配排序的遗传算法(NSGA-II)，这是多目标优化问题中最流行、最高效的算法之一。
离散化设计域：将整个晶胞离散为(Nk＝N×N)个方形单元格，根据其材料属性编码为0(基体材料)或1(散射体材料)。考虑到优化效率和晶胞结构的对称性，通过对设计区域的对称/旋转操作来获得整个晶格拓扑构型。
多目标优化参数初始化：迭代次数M，种群大小Nc，个体染色体基因链长度Np。
多类拓扑结构的初始种群的产生：
其中表示第t代种群中的第j个个体，/>为该个体中第n个基因型，与设计域内特定单元格的材料属性相关。
基于改进的快速平面波展开法计算带隙特性以及晶胞相对密度，以及评估目标函数(适应度)。
循环迭代：重复整个多目标优化进程，直到达到设定的迭代次数。
非支配排序：基于多目标函数获取种群内优化可行解之间的非支配关系。
基因操作：包括选择、交叉和突变，通过选择、交叉和突变产生后代群体Qn。多点交叉避免了捕获局部最大值，提升群体多样性。一个(或多个)基因型的突变产生具有新颖个体的种群。
评估后代群体Qn的目标函数(适应度)，然后采用非支配排序和拥挤距离排序操作，得到基于Pn及Qn的具有优异特性的新种群Pn+1。同时，对优化后的晶胞进行后处理，提升其可制造性。
更新迭代次数：经过上述优化步骤，生成具有优秀个体和变异个体的新种群。
在弹性超材料薄板的实际应用中，可制造性是极为重要的约束条件，本申请基于4邻域的连通构件标记算法，对基体材料及散射体材料进行连通域的识别及分析，通过施加相应的约束条件，有效去除孤岛效应。其数学优化模型进一步表达为：
Subject to k＝k1e1+k2e2,k1,k2∈[-π/a,π/a]
xe＝0or 1(e＝1,2,…Nk)
min F1(X)≥0.01
Ac(X)≥r*(c＝1,2,…NQ)
约束条件Ac(X)表示为散射体材料第c个连通域的单元格数量，NQ为设计域中的独立连通域数量。值得注意的是，Ac(X)的值过小将导致晶胞的可制造性降低，ρs表示基体材料(硅橡胶)的密度，ρL表示散射体材料(铅)的密度。r*为阈值，可根据可制造性和实验的要求确定，本发明中设置为4。
为获取普适性结论，利用ωa/2πcs将能带结构的特征频率归一化，其中基体材料中横波波速为Gs及ρs为基体材料的剪切模量及密度。图1为本发明的主要步骤流程图。图2是本方法的实现流程图，迭代次数M为1000，根据初始种群的结构对称性，将种族规模Nc设定为40或60。综合考虑到优化效率和晶胞结构的对称性，选择第一不可约布里渊区作为设计区域，整个晶格拓扑构型可利用设计区域的对称/旋转操作来表征，拓扑构型的数量与设计域的单元格数量及晶胞对称性有关。
图4为本发明优选实施例的弹性超材料薄板多目标拓扑优化帕累托前沿解集及其带隙特性，具体的，(a)是基于四种典型初始构型种群迭代优化100代后的帕累托前沿解，(b)是所选拓扑构型TA-1的能带结构图，(c)是所选拓扑构型TB-1的能带结构图。针对弹性超材料薄板结构的多目标拓扑优化，基于Kirchhoff-Love薄板理论，忽略转动惯量和剪切变形，弹性薄板弯曲振动弹性波动方程可推导为：
在晶胞的对应边界处施加Floquet-Bloch周期性边界条件，z方向的弯曲位移场w(r)可进一步表达为：
并进一步获取弹性波在无限周期阵列中的传播特性。
在本申请所使用的半解析方法-快速平面波展开法中，弯曲振动弹性波动方程中的物理量α(r),β(r),γ(r)和D(r)呈现出与空间位置向量r＝(x,y,z)T相关的周期函数，可将其展开为倒格式空间中的傅立叶级数形式：
利用快速平面波展开法，应用劳伦逆定理有效消除跳跃间断点，适用于组元材料参数差异较大时的色散关系计算，通过对处于特定位置单元格的给定相应的材料参数，表征具有任意拓扑构型的弹性超材料，针对其弯曲振动的特征值问题进一步表示为：
在本发明中平面波的数量选取NW×NW＝(2M+1)2＝441对无穷级数倒格矢向量G进行截断。进一步将Bloch波矢遍历不可约布里渊区边界，获取色散关系ω(k)，前十阶色散曲线构成的能带结构中带隙的总相对宽度为多目标优化的第一目标，第二目标为晶胞结构的相对密度其目标函数为：
Subject to k＝k1e1+k2e2,k1,k2∈[-π/a,π/a]
xe＝0or 1(e＝1,2,…Nk)
min F1(X)≥0.01
与随机生成的初始结构相比，将具有带隙特性的结构作为初始种群设计，加快迭代及收敛效率，便于寻找最优晶胞设计。如图3，本申请选取四类典型的散射体形状(方形、十字、环形和菱形散射体)作为初始结构种群，据结构几何特征，按照从高到低的体积分数，每类散射体形状有规律地形成初始种族Pop(n＝0)，以丰富种群的多样性。从图5给出四种初始设计种群进化而来的第100代帕累托前沿解(四轴对称)，且未施加后处理。显然，多目标优化进程会受到初始种群散射体形状的影响，但可以找到大致相同的极值(弯曲带隙的最大相对宽度或最小相对密度)。此外，每个帕累托前沿解都提供了带隙特性和相对密度的非支配组合。本发明可根据设计要求选择可行的拓扑构型，若主要考虑带隙特性，帕累托前沿解集右侧的非支配解是一个很好的选择。相反，帕累托前沿解集左侧将表征相对密度较小的晶胞拓扑构型。
为了避免结构难以或不可能实际制造的问题，需要在后处理中引入合适的可制造性约束，基于结构的离散性，明确的拓扑约束可以通过4连通域标记算法实现。具体来说，如果两个相邻单元格沿水平或垂直方向线连接，则它们是同一独立组件的一部分，如图3所示。通过控制独立组件中铅所占的数量，设定相应的阈值，从而有效地提高了晶胞的连通性及可制造性。
作为可变换的实施方式，本申请还详细探讨晶胞的对称性对多目标优化问题的影响。图5分别显示了由四轴、双轴和旋转对称的晶胞组成的有限周期阵列及晶胞结构。其对应的不可约布里渊区(设计域)用虚线表示。随着单元格对称性的降低，设计自由度将显著增加，帕累托前沿解得到提升。值得注意的是，晶格对称性的降低将导致更高的优化成本，在相同的帕累托前沿解集中上发现相似的几何性质。
图6(a1)及(a2)为利用增材制造方法制备最优晶胞C6(旋转对称)组成的有限周期阵列结构，通过如图6(b)实验手段分析振动传递率(TR)来探究弯曲波在的传播情况。其被定义为：TR＝20log10|dout/din|，其中dout和din为位于输出端和激励点的位移。图6(c)中弯曲弹性波的衰减区域与带隙范围相一致，进而验证其能带结构所给出的结论，验证本发明所使用的方法的正确性。材料的阻尼系数作为柔性材料中需要考虑的一个重要参数，对中高频振动衰减有积极的影响。随着阻尼系数的增大，透射率峰值变平，透射率曲线变平滑。特别是在相对高频范围内，材料阻尼系数的影响更为显著。
综上，本申请针对实际结构减振设计中难以解决的多目标优化问题，基于减振特性及轻量化特性提出了一种高效的弹性超材料薄板多目标拓扑优化方法(IFPWEM-NSGA-II)，以在满足设计条件的前提下获取多种可行的新颖拓扑构型。利用半解析方法快速平面波展开法，分析弯曲波在弹性超材料薄板中的传播问题，兼具理想的效率及准确性。
非支配遗传算法(NSGA-II)被广泛应用于不依赖梯度信息的结构多目标拓扑优化，其有效性已得到验证，其特点是对设计变量进行二进制编码来模拟染色体基因。将一组潜在可行解视为初始解，通过交叉和变异有效降低陷入局部优化的风险。该算法显著降低了多目标优化的复杂度，运算速度快，收敛性理想，可作为其他多目标优化算法的基准。在本申请中，设计目标是在考虑结构轻量化的情况下优化带隙特性(减振特性)，并提供可行且收敛性高的帕累托前沿解集。
为了避免优化过程中，离散优化方法得到的优化结构难以制造的问题，本申请在后处理中引入基于4连通域标记算法作为合适的可制造性约束，可实现晶胞拓扑结构的连续离散化，进一步提高优化结构的可制造性。
通过先进的拓扑优化方法，对弹性超材料微结构中的材料分布进行优化调整，即可实现多功能优化(刚度特性、减振特性、轻量化特性等)。与尺寸和形状优化相比，拓扑优化在结构创新设计领域具有很大的潜力，拓扑优化方法可分为基于梯度的优化方法和无梯度优化方法。需要注意的是，优化解和计算成本取决于所使用的优化算法和可以获得结构性质的各种求解器。但基于有限元分析(FEA)的优化仍然需要数百次甚至数千次迭代，计算成本很高。此外，从实际应用的角度来看在设计具有理想功能的弹性超材料薄板时，不可避免地存在多个目标之间的冲突，不能同时优化，即提高一个目标会使另一个目标降低。可行的方法是获取一组可行的处于非支配位置的帕累托前沿解集，根据实际需求选取最合适的拓扑构型。
基于梯度信息的拓扑优化方法具有收敛速度快及方向明确的优点，适用于需要灵敏度分析和求解大方程组的连续光滑目标函数。然而，复杂优化问题中涉及的局部最优解及灵敏度求解困难等问题在一定程度上阻碍了该方法的使用及发展。相反，基于元启发式的无梯度优化算法利用目标函数值进行全局优化，适用于离散不连续或其他非连续问题，降低陷入局部最优解的风险，但存在结构不连续的问题。
因此，在优化算法及求解算法及其结合方面存在多种替代方案，但本方法兼具准确性效率性，且引入可靠的后处理方法对结构制造性进行提升，为土木、交通、机械制造及航空航天等领域结构多功能优化提供指导性作用。
本申请还提供一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述方法的步骤。
该弹性超材料非梯度多目标拓扑优化系统可以实现上述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法的各个实施例，且能达到相同的有益效果，此处，不做赘述。
以上详细描述了本发明的较佳具体实施例。应当理解，本领域的普通技术人员无需创造性劳动就可以根据本发明的构思作出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。
Claims (8)
1.一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，包括：
将弹性超材料晶胞划分为若干个单元格，设定设计域，并基于初始样本种群库得出的晶胞拓扑构型利用薄板理论构建弹性薄板弯曲振动弹性波动方程；
在晶胞拓扑构型的对应边界处施加傅里叶周期性边界条件，以获取弹性波在无限周期阵列中的传播情况，若在相邻色散曲线之间存在某一频率范围未发现色散关系则为带隙特性，表示在该频率内的弹性波无法在弹性超材料中有效传播；
利用快速平面波展开法，应用劳伦逆定理消除跳跃间断点，针对弹性超材料弯曲振动的特征值问题进一步进行表示；
以前十阶色散曲线构成的能带结构中带隙的总相对宽度为多目标优化的第一目标，晶胞拓扑构型的相对密度第二目标，并结合弯曲振动的特征值和所述弹性薄板弯曲振动弹性波动方程构建目标函数；
基于所述目标函数进行优化。
2.根据权利要求1所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，所述弹性薄板弯曲振动弹性波动方程满足如下关系式：
式中，w为薄板结构中平面z方向的位移，D(r)为薄板结构的弯曲刚度，α(r)＝ρ(r)h为与位置相关的密度及薄板厚度的复合函数，β(r)＝D(r)ν(r)，γ(r)＝D(r)(1-ν(r))为与位置相关的弯曲刚度及泊松比的复合函数，为导数算子，t为时间变量，x为薄板平面的横向，y为薄板平面的纵向。
3.根据权利要求1所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，在晶胞拓扑构型的对应边界处施加傅里叶周期性边界条件时，z方向的弯曲位移场w(r)满足如下关系式：
式中，R为正格矢，表征晶格的位置，R由三个方向上的基矢向量ai(i＝1,2,3)和整数ni(i＝1,2,3)组成，R＝n1a1+n2a2+n3a3，w(r,t)表示t时刻薄板某位置的弯曲位移，w(r+R,t)表示t时刻周期性薄板结构中与w(r,t)相对应位置的弯曲位移，ei(kr-ωt)表示周期算子，wk(r)表示给定波矢下薄板某位置的弯曲位移幅值，e-iωt表示与时间有关的周期变换量，ei(k+G)r表示倒格矢空间内的周期算子，wk+G(G)表示倒格矢空间内的弯曲位移，k为Bloch波矢量，ω为角特征频率；
通过将倒格矢向量G中平面波的波数截断为Nw×Nw＝(2M+1)2，进一步将Bloch波矢遍历不可约布里渊区边界，进而求得对应的(Nw×Nw+1)个特征频率值，构建能带结构来表征弹性波的传播情况。
4.根据权利要求1所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，平面波展开法是将晶胞的各个方形元素的以倒格矢向量的形式的物理量在倒格矢空间内求和，则整个晶胞的周期参数为：
其中，δ(r)表示散射体/基体材料在晶胞中的拓扑构型，g0(G)表示中心像素点的材料参数，e(G)表示倒格矢空间内晶胞各单元格与中心单元格之间的周期性算子，其中：
表示晶胞内某单元格的周期性算子，Nk取值为1，2，...c，Nk为单元格的数量；表征各单元格材料属性的集合，Pr表示某单元格，PL表示散射体材料；
针对弹性超材料弯曲振动的特征值问题进一步进行表示如下：
其中，α0(G'-G0)，D0(G'-G0)，β0(G'-G0)及γ0(G'-G0)表示某单元格在倒格矢空间内相对于中心单元格的周期函数，G'表示某单元格的倒格矢，G0表示中心单元格的倒格矢，表示在中心单元格在倒格矢空间内的弯曲位移。
5.根据权利要求1所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，构建目标函数具体包括：
将晶胞拓扑构型离散为有限个方形单元格(Nk＝N×N)，每个单元格编码为0或1来表征单元格的材料属性与晶胞的拓扑构型存在映射关系；
单元格的设计变量xe表示为：其中PS和PL分别表示基体和散射体材料；
根据半解析方法计算得出的色散关系，构建非梯度多目标拓扑优化方法的目标函数，目标函数是在给定的最大频率下，使得相邻色散曲线之间的弯曲带隙的总相对宽度最大，化弹性超材料的相对密度最小，目标函数满足如下关系式：
Subject to k＝k1e1+k2e2,k1,k2∈[-π/a,π/a]
xe＝0 or 1(e＝1,2,…Nk)
min F1(X)≥0.01。
6.根据权利要求5所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，构建目标函数时，设定约束条件，其中，设定约束条件后的目标函数满足如下关系式：
其中，Ac(X)表示约束条件，r*表示阈值，其中，约束条件Ac(X)表示为散射体材料第c个连通域的单元格数量，NQ为设计域中的独立连通域数量，ρs表示基体材料的密度，ρL表示散射体材料的密度。
7.根据权利要求1所述的弹性超材料非梯度多目标拓扑优化方法，其特征在于，利用ωa/2πcs将能带结构的特征频率归一化，其中基体材料中横波波速为Gs及ρs为基体材料的剪切模量及密度，ω表示特征角频率，a为表征晶胞尺寸的晶胞常数。
8.一种弹性超材料非梯度多目标拓扑优化系统，包括存储器、处理器以及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述权利要求1至7任一所述方法的步骤。
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