CN109472056A - 任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，包括如下步骤：步骤1：在超材料中划分功能基元设计区域；步骤2：将功能基元设计区域离散划分为有限单元网格，输入优化问题的初始条件；步骤3：对功能设计区域进行有限元分析计算，得到有限单元及节点的力学性能参数；步骤4：基于有限单元及节点的力学性能参数，建立超材料拓扑优化设计问题的数学模型；步骤5：求解拓扑优化问题数学模型，获得拓扑优化结果；步骤6：提取拓扑优化结果的构型进行验证分析；步骤7：将功能基元的最优构型进行周期重复排序以形成超材料。本发明不需要指定初始功能基元的几何拓扑构型，可以直接设计出具有指定泊松比值的新构型超材料。

Description

任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法

技术领域

本发明涉及工程材料设计技术领域，具体地涉及一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，尤其是一种任意泊松比超材料的基于拓扑优化技术的设计方法。

背景技术

超材料具有轻质、吸能、吸振这些特性，目前在国防、交通、航空航天这些领域已获得广泛应用。现有的超材料研究大多是通过试验、仿真的手段以分析超材料的力学特性，而这些研究工作大多是基于常规构型的超材料开展的，且对于超材料的构型设计理论和方法却较为缺乏。文献“Findeisen C，Hohe J，Kadic M，et al.Characteristics ofmechanical metamaterials based on buckling elements.Journal of the Mechanics&Physics of Solids，2017，102.”中的研究结论表明，超材料的力学性能主要取决于功能基元的构型设计和周期性排序方式，因而通过设计新型的功能基元可使超材料获得特殊的力学性能。

随着尺寸、形状优化这些手段在超材料设计中的应用，超材料的性能得到一定程度的改善。但这些优化方法只能是在确定性构型的功能基元基础上，通过改变功能基元的壁厚、角度这些尺寸参数以实现优化设计，却无法通过改变功能基元拓扑构型的方式以更大空间提升超材料的力学性能。

此外，由于设计蜂窝材料新构型过程中存在的泊松比值无法确定的问题，且多孔材料内部有大量不规则孔洞存在，内部结构变得复杂，因此研究其宏观结构性能更具有工程应用价值。通过简单载荷力学性能分析，研究材料在单一载荷作用下的宏观力学行为，可为宏观表征材料在复杂应力状态的力学性能奠定必要的基础。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，本发明的目的是提供一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法。

根据本发明提供的一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，包括如下步骤：

步骤1：在超材料中划分功能基元设计区域，将超材料设计范围划分为一个或多个个子结构设计区域，定义该子结构设计区域为功能基元设计区域，简称为功能基元；

步骤2：将功能设计区域离散划分为有限单元网格，输入优化问题的初始条件；

步骤3：对功能设计区域进行有限元分析计算，得到有限单元及节点的力学性能参数；

步骤4：基于有限单元及节点的力学性能参数，建立超材料拓扑优化设计问题的数学模型；

步骤5：求解拓扑优化问题数学模型，获得拓扑优化结果；

步骤6：提取拓扑优化结果的构型进行验证分析；

步骤7：将功能基元的最优构型进行周期重复排序形成超材料。

优选地，所述步骤2具体为：

将功能基元划分为有限单元，根据实际工作状况施加位移约束条件和载荷，对功能基元设计区域内有限单元的密度、材料属性、拓扑优化设计变量上下限这些数组赋予初值；选取任一形状材料区域作为功能基元的初始设计域，将该设计域离散为有限单元网格，将有限单元网格中每个单元的密度作为拓扑优化问题的设计变量，记X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ为功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，其中，x_e表示第e个单元的相对密度，e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵。

优选地，所述步骤3具体为：

建立有限单元刚度矩阵和结构刚度矩阵，求解刚度方程，对功能基元设计区域进行有限元分析以获得有限单元及节点的力学性能参数：对功能基元设计区域的上、下两端的中心位置同时施加作用点位于有限元网格的节点上的垂向拉伸载荷，并分析有限单元及节点的力学性能参数。

优选地，所述步骤4具体为：

以功能基元设计区域的质量最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，find()表示寻找设计变量，X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ表示功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，x_e表示第e个单元的相对密度e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵；min()表示目标函数最小化，M(X)表示整体材料的质量，下标e表示单元的序号，ρ表示材料密度，V₀表示在拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，s.t.()表示约束条件，K表示整体刚度矩阵，U表示位移矩阵，上标p表示插值模型中的惩罚因子，k₀表示有限单元的初始刚度矩阵，u_e表示有限单元的位移矩阵，F表示载荷矩阵，|ν-ν₀|≤ε为泊松比约束条件，ν表示泊松比值，ν₀表示负泊松比值的设计要求，ε表示误差值，f′_vol、f_vol分别表示材料用量百分比的下限值、上限值，V(X)表示在设计变量状态下的结构有效体积，V₀表示拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，x_min、x_max分别表示功能基元相对密度变量的下限、上限；

以功能基元设计区域柔顺度最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，C(X)表示结构的柔顺度，U^T表示整体的位移矩阵，u_e ^T表示第e个单元的位移矩阵。

优选地，所述的泊松比值计算方法如下：

在功能基元设计区域的上端、右侧分别取点P₁、P₂，作为泊松比值计算的评价点，当X向受拉时结构发生变形，点P₁、P₂分别沿纵轴Z向、横轴X向移动，功能基元设计区域结构的应变为：

其中，ε_X、ε_Z分别表示横轴X向、纵轴Z向的应变，Δx₂表示点P₂在X向的位移变化量，x₂表示点P₂的X向位置坐标，Δz₁表示点P₁在Z向的位移变化量，z₁表示点P₁的Z向位置坐标；

功能基元的泊松比值ν为：

优选地，所述优化模型中的材料插值模型选用SIMP方法，具体为：

其中，E(x_e)表示插值计算后的弹性模量，E_min表示孔洞单元的弹性模量，E₀表示单元初始弹性模量，ΔE＝E₀-E_min，E_min＝E₀/1000。

优选地，所述步骤5具体为：

求解任意泊松比超材料的拓扑优化问题，更新设计变量，反复迭代拓扑优化数学模型，当连续迭代两次的优化目标之间的变化量小于一个设定值时，即视为满足迭代的收敛条件，并停止迭代计算，从而获得功能基元的优化拓扑构型。

优选地，所述步骤6具体为：

将功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型，对提取模型进行有限元分析，验证是否满足设计要求；若满足设计要求，则获得了具有最优构型的功能基元有限元模型；否则，则对功能基元优化的拓扑构型进行再次提取有限元模型，并分析、验证是否满足设计要求，直至提取出的有限元模型满足设计要求为止。

优选地，所述的功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型时，采用一种均匀间隔的网格为底纹以表示功能基元构型的形状和尺寸。

优选地，所述的验证设计要求包括体积比、泊松比值、体积约束范围是否满足优化问题的约束条件，其中，泊松比值的验证采用式(4)计算。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

1、本发明能够设计出具有任意正、负宏观泊松比效应的超材料构型，经设计后的超材料具有轻质、多孔的特性。

2、本发明不需要指定初始功能基元的几何拓扑构型，就能够直接设计出具有任意指定泊松比值的新构型超材料。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为本发明的步骤流程图。

图2为本发明的基本概念图。

图3为本发明矩形功能基元的设计区域。

图4为本发明矩形功能基元的有限元网格。

图5为本发明矩形功能基元的拓扑优化设计结果。

图6为本发明矩形功能基元拓扑优化结果被提取后的构型示意图。

图7为本发明功能基元进行周期性重复排序以形成的超材料的示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出一个或多个变化和改进。这些都属于本发明的保护范围。

本发明的目的是提供一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，该方法能够设计出具有任意正、负宏观泊松比效应的超材料构型，经设计后的超材料具有轻质、多孔的特性。以任意指定的某一泊松比值作为设计要求，选取一定的设计区域作为功能基元设计域，对该区域进行优化计算以获得最优的构型；最后，优化后的功能基元经周期性重复排序以形成超材料。

根据本发明提供的一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，包括如下步骤：

步骤1：在超材料中划分功能基元设计区域，将超材料设计范围划分为一个或多个个子结构设计区域，定义该子结构设计区域为功能基元设计区域，简称为功能基元；本发明的拓扑优化设计即在功能基元设计区域内计算出具有最佳材料分布路径的功能基元构型；

步骤2：将功能设计区域离散划分为有限单元网格，输入优化问题的初始条件；

步骤3：对功能设计区域进行有限元分析计算，得到有限单元及节点的力学性能参数；

步骤4：基于有限单元及节点的力学性能参数，建立超材料拓扑优化设计问题的数学模型；

步骤5：求解拓扑优化问题数学模型，获得拓扑优化结果；

步骤6：提取拓扑优化结果的构型进行验证分析；

步骤7：将功能基元的最优构型进行周期重复排序形成超材料。

优选地，所述步骤2具体为：

将功能基元划分为有限单元，根据实际工作状况施加位移约束条件和载荷，对功能基元设计区域内有限单元的密度、材料属性、拓扑优化设计变量上下限这些数组赋予初值；选取任一形状材料区域作为功能基元的初始设计域，将该设计域离散为有限单元网格，将网格中每个单元的密度作为拓扑优化问题的设计变量，记X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ为功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，其中，x_e表示第e个单元的相对密度，e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵。

优选地，所述步骤3具体为：

建立有限单元刚度矩阵和结构刚度矩阵，求解刚度方程，对功能基元设计区域进行有限元分析以获得有限单元及节点的力学性能参数：对功能基元设计区域的上、下两端的中心位置同时施加作用点位于有限元网格的节点上的垂向拉伸载荷，并分析有限单元及节点的力学性能参数。

优选地，所述步骤4具体为：

以功能基元设计区域的质量最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，find()表示寻找设计变量，X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ表示功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，x_e表示第e个单元的相对密度e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵；min()表示目标函数最小化，M(X)表示整体材料的质量，下标e表示单元的序号，ρ表示材料密度，V₀表示在拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，s.t.()表示约束条件，K表示整体刚度矩阵，U表示位移矩阵，上标p表示插值模型中的惩罚因子，k₀表示有限单元的初始刚度矩阵，u_e表示有限单元的位移矩阵，F表示载荷矩阵，|ν-ν₀|≤ε为泊松比约束条件，ν表示泊松比值，ν₀表示负泊松比值的设计要求，ε表示误差值，f′_vol、f_vol分别表示材料用量百分比的下限值、上限值，V(X)表示在设计变量状态下的结构有效体积，V₀表示拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，x_min、x_max分别表示功能基元相对密度变量的下限、上限；

以功能基元设计区域柔顺度最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，C(X)表示结构的柔顺度，U^T表示整体的位移矩阵，u_e ^T表示第e个单元的位移矩阵。

所述的泊松比值计算方法如下：

在功能基元设计区域的上端、右侧分别取点P₁、P₂，作为泊松比值计算的评价点，当X向受拉时结构发生变形，点P₁、P₂分别沿纵轴Z向、横轴X向移动，功能基元设计区域结构的应变为：

其中，ε_X、ε_Z分别表示横轴X向、纵轴Z向的应变，Δx₂表示点P₂在X向的位移变化量，x₂表示点P₂的X向位置坐标，Δz₁表示点P₁在Z向的位移变化量，z₁表示点P₁的Z向位置坐标；

功能基元的泊松比值ν为：

所述优化模型中的材料插值模型选用SIMP方法，即Solid Isotropic Materialswith Penalization方法，具体为：

其中，E(x_e)表示插值计算后的弹性模量，E_min表示孔洞单元的弹性模量，E₀表示单元初始弹性模量，ΔE＝E₀-E_min，E_min＝E₀/1000。

优选地，所述步骤5具体为：

采用优化算法求解任意泊松比超材料的拓扑优化问题，更新设计变量，反复迭代拓扑优化数学模型，当连续迭代两次的优化目标之间的变化量小于一个设定值时，即视为满足迭代的收敛条件，并停止迭代计算，从而获得功能基元的优化拓扑构型。

优选地，所述步骤6具体为：

将功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型，对提取模型进行有限元分析，验证是否满足设计要求；若满足设计要求，则获得了具有最优构型的功能基元有限元模型；否则，则对功能基元优化的拓扑构型进行再次提取有限元模型，并分析、验证是否满足设计要求，直至提取出的有限元模型满足设计要求为止。

所述的功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型时，由于优化设计后，拓扑构型形状不规则，不宜采用尺寸标注的方法以表示结构尺寸，采用一种均匀间隔的网格为底纹以表示功能基元构型的形状和尺寸。所述的验证设计要求包括体积比、泊松比值、体积约束范围是否满足优化问题的约束条件，其中，泊松比值的验证采用式(4)计算。

实施例1：

步骤1：超材料中，功能基元设计区域的划分

如图2所示，超材料设计范围尺寸是210mm×150mm，划分为5×5个功能基元设计区域，该设计区域选取的形状可以是矩形、三角形或圆形这些其他形状。

步骤2：设计区域的有限单元离散及优化问题的初始化

选取如图3所示的矩形作为功能基元的设计区域，尺寸为42mm×30mm，进一步，如图4所示，将该矩形设计区域离散为84×60个有限单元网格，根据实际工作状况施加位移约束条件和载荷(上下两端的中心位置处施加集中力F₁＝F₂＝1N)，初始化功能基元设计区域的密度、单元的材料属性(设计区域的材料是PLA，选用该材料的目的是便于采用3D打印的方式，以实现复杂构型试件的加工；PLA的密度ρ＝1180kg/m³，弹性模量E_s＝2636MPa，泊松比ν_s＝0.38)。拓扑优化设计变量的上下限这些数组进行初始化，为后续步骤的计算赋予初值。

步骤3：有限元分析计算

建立单元刚度矩阵和结构刚度矩阵，求解刚度方程。对设计区域进行有限元分析以获得单元及节点的分析结果，为优化模型的建立提供了单元及节点的力学性能参数。

步骤4：建立超材料拓扑优化问题的数学模型

以结构质量最小为优化目标，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ为设计区域相对密度的设计变量向量；上标T表示转置矩阵，x_e表示第e个单元的相对密度，e＝1,2,…,N，N表示设计变量的数目；M(X)表示整体材料的质量；ρ表示材料密度；K为整体刚度矩阵；U为位移矩阵；上标p表示插值模型中的惩罚因子；k₀表示有限单元的初始刚度矩阵；u_e表示有限单元的位移矩阵；F表示载荷矩阵；|ν-ν₀|≤ε表示泊松比约束条件，ν表示泊松比值，ν₀表示负泊松比值的设计要求(ε＝0.01)，ε表示误差值；f′_vol、f_vol分别表示材料用量百分比的下限值、上限值，V(X)表示在设计变量状态下的结构有效体积，V₀表示拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，x_min、x_max分别表示功能基元相对密度变量的下限、上限。

本实施例以设计“泊松比值分别为(a)ν₀＝-0.3，(b)ν₀＝-0.6，(c)ν₀＝-1.0，(d)+0.3，(e)ν₀＝+0.6和(f)ν₀＝+1.0的六种新型构型轻量化超材料”为目的。材料用量百分比上下限为0.1≤V(X)/V₀≤0.2。

步骤5：优化问题数学模型的求解

采用优化算法求解上述优化问题的数学模型，更新设计变量。当连续迭代的两次优化目标之间的相对变化量小于一个指定值时，即视为满足迭代的收敛条件，并停止迭代计算，从而获得最终的拓扑优化结果。该功能基元的拓扑优化设计结果，如图5所示。

步骤6：优化结果的构型提取

将步骤5中的最优拓扑优化设计结果提取为这些壁厚的构型，如图6所示。对提取后的构型进行有限元分析，以验证是否满足设计要求。若满足设计要求，则获得了具有最优构型的功能基元有限元模型，否则，则对功能基元优化的拓扑构型进行再次提取有限元模型，并分析、验证是否满足设计要求，直至提取出的有限元模型满足设计要求为止。

步骤7：最优构型的功能基元的周期性重复排序以形成如图7所示的超材料。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变化或修改，这并不影响本发明的实质内容。在不冲突的情况下，本申请的实施例和实施例中的特征可以任意相互组合。

Claims (10)

1.一种任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：在超材料中划分功能基元设计区域，将超材料设计范围划分为一个或多个个子结构设计区域，定义该子结构设计区域为功能基元设计区域，简称为功能基元；

步骤2：将功能设计区域离散划分为有限单元网格，输入优化问题的初始条件；

步骤3：对功能设计区域进行有限元分析计算，得到有限单元及节点的力学性能参数；

步骤4：基于有限单元及节点的力学性能参数，建立超材料拓扑优化设计问题的数学模型；

步骤5：求解拓扑优化问题数学模型，获得拓扑优化结果；

步骤6：提取拓扑优化结果的构型进行验证分析；

步骤7：将功能基元的最优构型进行周期重复排序形成超材料。

2.根据权利要求1所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述步骤2具体为：

将功能基元划分为有限单元，根据实际工作状况施加位移约束条件和载荷，对功能基元设计区域内有限单元的密度、材料属性、拓扑优化设计变量上下限这些数组赋予初值；选取任一形状材料区域作为功能基元的初始设计域，将该设计域离散为有限单元网格，将有限单元网格中每个单元的密度作为拓扑优化问题的设计变量，记X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ为功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，其中，x_e表示第e个单元的相对密度，e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵。

3.根据权利要求1所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述步骤3具体为：

建立有限单元刚度矩阵和结构刚度矩阵，求解刚度方程，对功能基元设计区域进行有限元分析以获得有限单元及节点的力学性能参数：对功能基元设计区域的上、下两端的中心位置同时施加作用点位于有限元网格的节点上的垂向拉伸载荷，并分析有限单元及节点的力学性能参数。

4.根据权利要求1所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述步骤4具体为：

以功能基元设计区域的质量最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，find()表示寻找设计变量，X＝{x₁,x₂,…,x_N}^Τ表示功能基元设计区域相对密度的设计变量向量，x_e表示第e个单元的相对密度e＝1,2,…,N，N为设计变量的数目，上标T表示转置矩阵；min()表示目标函数最小化，M(X)表示整体材料的质量，下标e表示单元的序号，ρ表示材料密度，V₀表示在拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，s.t.()表示约束条件，K表示整体刚度矩阵，U表示位移矩阵，上标p表示插值模型中的惩罚因子，k₀表示有限单元的初始刚度矩阵，u_e表示有限单元的位移矩阵，F表示载荷矩阵，|ν-ν₀|≤ε为泊松比约束条件，ν表示泊松比值，ν₀表示负泊松比值的设计要求，ε表示误差值，f′_vol、f_vol分别表示材料用量百分比的下限值、上限值，V(X)表示在设计变量状态下的结构有效体积，V₀表示拓扑设计变量取相对密度为1状态下的结构有效体积，x_min、x_max分别表示功能基元相对密度变量的下限、上限；

以功能基元设计区域柔顺度最小化为优化目标函数，以泊松比值、体积比为约束，建立的拓扑优化数学模型如下：

其中，C(X)表示结构的柔顺度，U^T表示整体的位移矩阵，u_e ^T表示第e个单元的位移矩阵。

5.根据权利要求4所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述的泊松比值计算方法如下：

在功能基元设计区域的上端、右侧分别取点P₁、P₂，作为泊松比值计算的评价点，当X向受拉时结构发生变形，点P₁、P₂分别沿纵轴Z向、横轴X向移动，功能基元设计区域结构的应变为：

其中，ε_X、ε_Z分别表示横轴X向、纵轴Z向的应变，Δx₂表示点P₂在X向的位移变化量，x₂表示点P₂的X向位置坐标，Δz₁表示点P₁在Z向的位移变化量，z₁表示点P₁的Z向位置坐标；

功能基元的泊松比值ν为：

。

6.根据权利要求4所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述优化模型中的材料插值模型选用SIMP方法，具体为：

其中，E(x_e)表示插值计算后的弹性模量，E_min表示孔洞单元的弹性模量，E₀表示单元初始弹性模量，ΔE＝E₀-E_min，E_min＝E₀/1000。

7.根据权利要求1所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述步骤5具体为：

求解任意泊松比超材料的拓扑优化问题，更新设计变量，反复迭代拓扑优化数学模型，当连续迭代两次的优化目标之间的变化量小于一个设定值时，即视为满足迭代的收敛条件，并停止迭代计算，从而获得功能基元的优化拓扑构型。

8.根据权利要求1所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述步骤6具体为：

将功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型，对提取模型进行有限元分析，验证是否满足设计要求；若满足设计要求，则获得了具有最优构型的功能基元有限元模型；否则，则对功能基元优化的拓扑构型进行再次提取有限元模型，并分析、验证是否满足设计要求，直至提取出的有限元模型满足设计要求为止。

9.根据权利要求8述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述的功能基元优化拓扑构型提取为有限元模型时，采用一种均匀间隔的网格为底纹以表示功能基元构型的形状和尺寸。

10.根据权利要求8所述的任意泊松比超材料的拓扑优化形成方法，其特征在于，所述的验证设计要求包括体积比、泊松比值、体积约束范围是否满足优化问题的约束条件，其中，泊松比值的验证采用式(4)计算。