CN111709085A - 一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，包括，以模态损耗因子的倒数最小化为优化设计目标，约束阻尼层单元的相对密度作为设计变量，约束阻尼层的使用量为约束条件，通过变密度法建立动力学拓扑优化模型，通过层合板理论建立有限元动力学模型，通过模态分析得到复合结构的固有频率和模态振型，基于模态应变能法计算约束阻尼结构的模态损耗因子，根据灵敏度公式计算目标函数对每个设计变量的灵敏度，通过网格滤波技术对灵敏度进行过滤，采用移动渐近线法对设计变量进行迭代，当满足终止条件时，输出最优拓扑构型。本发明在一定的附加约束阻尼材料使用量的前提下实现约束阻尼层在基板表面的最优拓扑分布，有效降低振动响应、节约材料。

Description

一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明属于结构优化设计领域，涉及一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法。

背景技术

随着我国航天事业的不断发展，航天器所承担的探测任务越来越复杂，携带的空间有效载荷种类和数量越来越多。薄壁构件能够以较小的重量代价，承担较大的载荷，广泛应用于空间有效载荷和航天器平台上。然而，由于薄壁构件刚度较低、阻尼小、辐射面积大等特点，往往是结构振动噪声最重要来源。基于粘弹性阻尼材料的表面阻尼处理技术能有效地抑制结构宽频振动噪声，并且对原结构改变较少，易于实施，在航天设备的减振降噪方面获得了广泛应用。由于航天设备对于重量的限制非常严格，不合理的阻尼材料分布不仅不能起到减振降噪的目的，反而会增加结构自身的附加质量。由于粘弹性材料的动态力学性能不同于弹性材料，其与弹性基板复合而成的层合板结构相比较传统的单一结构具有更加复杂的力学特性，因此如何实现阻尼材料在薄壁构件表面的分布优化是一个难点问题。

目前针对航天设备中的薄壁构件主要是在基板模态位移幅值较大或者模态应变能分布较高的位置铺设阻尼材料，然后通过仿真和实验的方法进行验证。虽然该方法有一定振动抑制效果，但是费时费力，设计结果的优劣取决于设计师的经验。附加粘弹性阻尼材料有两种典型的阻尼处理形式：自由阻尼层和约束阻尼层。对于自由阻尼结构，在模态应变能较大的位置铺设阻尼材料，该区域阻尼层的弯曲应变能较高，可以耗散较多的振动能量，能获得较好的振动抑制效果；而对于约束阻尼结构而言却并非如此，约束阻尼层往往铺设于基板模态应变能较低的区域，该区域粘弹性层的剪切应变较大，因而可以耗散更多的振动能量，起到较好的振动抑制效果。针对约束阻尼结构的拓扑优化依然处于理论研究阶段，尚未应用于工程实际，主要由于灵敏度分析精度不高且费时，导致无法高效率迭代至最优化结果。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，实现对某一个或者几个频率带宽内的所有模态进行全局优化处理，给出科学合理的约束阻尼层的铺设位置，从而能够有效改善航天设备薄壁结构在特定的频率带宽内对振动的抑制效果。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：

步骤1：以模态损耗因子倒数最小化为优化设计目标，约束阻尼层单元相对密度为设计变量，约束阻尼层的使用量为约束条件建立约束阻尼薄板结构动力学拓扑优化模型：

步骤2：基于变密度法得到粘弹性层和约束层单元的弹性模量和密度的插值模型，基于层合板建立约束阻尼薄板有限元动力学模型；

步骤3：定义材料属性及边界条件，进行模态分析，提取优化阶次的模态振型，通过模态应变能法计算约束阻尼结构优化阶次的模态损耗因子，截取前N 阶模态振型；基于灵敏度计算公式计算目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度，采用独立网格滤波方法对每个约束阻尼单元的灵敏度进行过滤；

步骤4：采用移动渐近线优化方法对设计变量进行更新；

步骤5：检查更新设计变量后结果的收敛性，如果不满足收敛条件，则继续进行循环迭代，重新组装刚度矩阵和质量矩阵，重复步骤3-5，如果收敛则结束，输出目标函数和最优拓扑构型；所述最优拓扑构型为根据目标函数对设计变量的灵敏度计算而获取的基板上一系列约束阻尼单元的填充材料的相对密度值。

还包括采用图形可视化展示最优拓扑构型。

所述约束阻尼薄板结构动力学拓扑优化模型为：

Find:x＝{x₁ x₂ … x_e … x_n}^T

式中，设计变量x_e为第e个约束阻尼单元的相对密度值，取值范围为[0,1]， V_e为约束阻尼单元相对密度值为1时的体积，V₀为全覆盖时约束阻尼材料使用量，α为体积分数，η_r为第r阶模态损耗因子，

为权系数，且满足

所述弹性模量和密度的插值模型建立如下：

其中，κ为相对比值，这里值为0.001，p和q分别为弹性模量和密度为插值指数，E_min为无材料填充时的弹性模量，ρ_min为无材料填充时的密度值，E₀为实体单元填充时的弹性模量，ρ₀实体单元填充时的密度。

所述约束阻尼薄板有限元动力学模型建立如下：

其中，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的弯曲刚度矩阵，

为粘弹性层单元的剪切刚度矩阵，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的质量矩阵，M为总体质量矩阵，K_R为总体刚度矩阵的实部，K_b为基层刚度矩阵，K_v为粘弹性层的刚度矩阵，K_c为约束层的刚度矩阵。

所述的约束阻尼结构优化阶次的模态损耗因子计算如下：

其中，η_v为粘弹性材料的损耗因子，φ_r为第r阶的模态振型向量，K_I为整体刚度矩阵的虚部，K_R为整体刚度矩阵的实部，U_vr为粘弹性层的模态应变能， U_sr为整体结构的模态应变能。

所述目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度计算如下：

1)第r阶特征值对设计变量的灵敏度计算如下：

2)根据改进的模态叠加法，第r阶模态振型向量对设计变量的灵敏度计算如下：

式中，系数A_rek计算如下：

3)则，可以得到目标函数对设计变量的灵敏度公式为：

所述实际工程中，根据基板上约束阻尼单元的密度值对基板表面采用约束阻尼材料进行覆盖。

本发明具有以下有益效果及优点：

本发明解决了在一定频率带宽下，使模态损耗因子最大化的约束阻尼结构的拓扑优化问题。基于变密度拓扑优化方法，建立以模态损耗因子倒数最小化为优化目标，以约束阻尼材料的使用量为约束条件的约束阻尼结构拓扑优化模型，推导了目标函数对设计变量的灵敏度计算公式。考虑到目标函数对设计变量灵敏度的计算精度受模态振型对设计变量的灵敏度影响较大，故而在灵敏度计算时忽略后者会导致无法得到准确合理的拓扑优化结果。同时为了提高灵敏度的计算效率，采用了一种改进的模态叠加法对模态振型关于设计变量的灵敏度进行计算，在保证计算精度的情况下，通过提取一定的模态特征值和模态振型参与计算，大大减少了计算量。通过对拓扑优化后的结果进行几何重建，获取最优约束阻尼材料的布局，使得阻尼材料用量最少，减振效果最优，可以应用于工程实际。

附图说明

图1为本发明的方法流程图；

图2为约束阻尼悬臂板结构；

图3为第一阶模态损耗因子最大化拓扑优化结果；

图4为第二阶模态损耗因子最大化拓扑优化结果。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明。但本发明能够以很多不同于在此描述的其他方式来实施，本领域技术人员可以在不违背发明内涵的情况下做类似改进，因此本发明不受下面公开的具体实施的限制。

除非另有定义，本文所使用的所有的技术和科学术语与属于本发明的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。本文中在发明的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是旨在于限制本发明。

如图1所示，本发明的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，包括步骤如下：

(1)以模态损耗因子倒数最小化为优化设计目标，约束阻尼层单元相对密度为设计变量，约束阻尼层的使用量为约束条件建立约束阻尼薄板结构动力学拓扑优化模型：

Find:x＝{x₁ x₂ … x_e … x_n}^T

式中,约束阻尼层单元包括粘弹性层单元和其所对应的约束层单元，设计变量x_e为第e个约束阻尼单元的相对密度值，取值范围为[0,1]，V_e为约束阻尼单元相对密度值为1时的体积，V₀为全覆盖时约束阻尼材料使用量，α为体积分数，η_r为第r阶模态损耗因子，

为权系数，且满足

(2)基于变密度法分别得到粘弹性层和约束层单元的弹性模量和密度的插值模型，基于层合板理论建立约束阻尼薄板有限元动力学模型，定义边界条件，设置材料属性。

弹性模量和密度的插值模型建立如下：

其中，κ为相对比值，这里值为0.001，p和q为分别为弹性模量和密度的插值指数，一般取值为3，E_min为无材料填充时的弹性模量，ρ_min为无材料填充时的密度值，E₀为实体单元填充时弹性模量，ρ₀实体单元填充是的密度

约束阻尼薄板有限元动力学模型建立如下：

其中，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的弯曲刚度矩阵，

为粘弹性层单元的剪切刚度矩阵，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的质量矩阵，M为总体质量矩阵，K_R为总体刚度矩阵的实部，K_b为基层刚度矩阵，K_v为粘弹性层的刚度矩阵，K_c为约束层的刚度矩阵。

(3)根据约束阻尼薄板有限元动力学模型的边界条件进行模态分析，提取优化阶次的模态振型，通过模态应变能法计算约束阻尼结构优化阶次的模态损耗因子；

模态损耗因子计算如下：

其中，η_v为粘弹性材料的损耗因子，φ_r为第r阶的模态振型向量，K_I为整体刚度矩阵的虚部，K_R为整体刚度矩阵的实部，U_vr为粘弹性层的模态应变能， U_sr为整体结构的模态应变能。

截取前N阶模态振型，基于灵敏度计算公式计算目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度，采用独立网格滤波技术对每个约束阻尼单元的灵敏度进行过滤；

目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度计算如下：

第r阶特征值λ_r对设计变量的灵敏度计算为：

根据改进的模态叠加法，第r阶模态振型向量对设计变量的灵敏度计算为：

式中，系数A_rek计算如下：

则可以得到目标函数对设计变量的灵敏度公式为：

其中，独立网格滤波技术对灵敏度的过滤公式为：

H_ei＝max(0,r_min-D(e,i))

其中，

为过滤后的目标函数对设计变量的灵敏度，H_ei为权重因子，r_min为过滤器半径，D(e,i)为单元e到单元i之间的中心距离，γ为大于0小于1的正数。

(4)采用移动渐近线优化方法对设计变量进行更新；

(5)检查更新设计变量后结果(结果为约束阻尼层单元相对密度x_e)的收敛性，如果不满足收敛条件，则继续进行循环迭代，重新组装刚度矩阵和质量矩阵，重复步骤3-5，如果收敛则结束，输出目标函数和最优拓扑构型；收敛性可以根据实际计算的目标函数或者设计变量的变化率进行判断；

最优拓扑构型即为根据目标函数对设计变量的灵敏度计算，获取的一系列约束阻尼单元的填充材料的相对密度值x＝{x₁ x₂ … x_e … x_n}^T；

采用MATLAB软件进行最优拓扑构型的图形可视化作图；

从而实际工程中，根据基板上约束阻尼单元的密度值对基板表面采用约束阻尼材料进行填充。

下面根据本发明提出的方法计算一个实例：

如图2所示，约束阻尼薄板结构的基板长0.26m，宽0.2m，基层厚度为2mm，密度为2740kg/m³，弹性模量为68.9×10⁹Pa，泊松比为0.3，约束层厚度为1mm，其材料属性和基板相同，粘弹性层厚度为1mm，粘弹性材料的密度为999kg/m³，剪切模量为4Mpa，泊松比为0.49，约束阻尼板的约束方式为基板左端自由度全约束。分别以约束阻尼材料使用量为全覆盖时的25％，50％和75％为约束条件，对约束阻尼板进行拓扑优化。

如图3中(a)，(b)，(c)分别为约束阻尼材料使用体积分数为25％，50％和75％时，第一阶模态损耗因子最大化得到的约束阻尼材料最优化分布。

如图4中(a)，(b)，(c)分别为约束阻尼材料使用体积分数为25％，50％和75％时，第二阶模态损耗因子最大化得到的约束阻尼材料最优化分布。

可以看出优化后约束阻尼材料的分布清晰合理，优化后的模态损耗因子如下表1所示，可以看出当约束阻尼材料体积分数为全覆盖的50％时，第一阶模态损耗因子已经达到全覆盖时的86％，第二阶模态损耗因子为全覆盖的64％，当约束阻尼材料体积分数为全覆盖的75％时，第一阶模态损耗因子已经达到全覆盖时的98％，第二阶模态损耗因子为全覆盖的84％，进而说明本发明的实用性较强。

表1

以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何限制，凡是根据本发明技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、变更以及等效结构变化，均仍属于本发明技术方案的保护范围内。

Claims (8)

1.一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：以模态损耗因子倒数最小化为优化设计目标，约束阻尼层单元相对密度为设计变量，约束阻尼层的使用量为约束条件建立约束阻尼薄板结构动力学拓扑优化模型：

步骤2：基于变密度法得到粘弹性层和约束层单元的弹性模量和密度的插值模型，基于层合板建立约束阻尼薄板有限元动力学模型；

步骤3：定义材料属性及边界条件，进行模态分析，提取优化阶次的模态振型，通过模态应变能法计算约束阻尼结构优化阶次的模态损耗因子，截取前N阶模态振型；基于灵敏度计算公式计算目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度，采用独立网格滤波方法对每个约束阻尼单元的灵敏度进行过滤；

步骤4：采用移动渐近线优化方法对设计变量进行更新；

步骤5：检查更新设计变量后结果的收敛性，如果不满足收敛条件，则继续进行循环迭代，重新组装刚度矩阵和质量矩阵，重复步骤3-5，如果收敛则结束，输出目标函数和最优拓扑构型；

所述最优拓扑构型为根据目标函数对设计变量的灵敏度计算而获取的基板上一系列约束阻尼单元的填充材料的相对密度值。

2.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：还包括采用图形可视化展示最优拓扑构型。

3.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述约束阻尼薄板结构动力学拓扑优化模型为：

Find:x＝{x₁ x₂…x_e…x_n}^T

式中，设计变量x_e为第e个约束阻尼单元的相对密度值，取值范围为[0,1]，V_e为约束阻尼单元相对密度值为1时的体积，V₀为全覆盖时约束阻尼材料使用量，α为体积分数，η_r为第r阶模态损耗因子，θ_r为权系数，且满足

4.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述弹性模量和密度的插值模型建立如下：

其中，κ为相对比值，这里值为0.001，p和q分别为弹性模量和密度为插值指数，E_min为无材料填充时的弹性模量，ρ_min为无材料填充时的密度值，E₀为实体单元填充时的弹性模量，ρ₀实体单元填充时的密度。

5.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述约束阻尼薄板有限元动力学模型建立如下：

其中，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的弯曲刚度矩阵，

为粘弹性层单元的剪切刚度矩阵，

分别为基层，粘弹性层和约束层单元的质量矩阵，M为总体质量矩阵，K_R为总体刚度矩阵的实部，K_b为基层刚度矩阵，K_v为粘弹性层的刚度矩阵，K_c为约束层的刚度矩阵。

6.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述的约束阻尼结构优化阶次的模态损耗因子计算如下：

其中，η_v为粘弹性材料的损耗因子，φ_r为第r阶的模态振型向量，K_I为整体刚度矩阵的虚部，K_R为整体刚度矩阵的实部，U_vr为粘弹性层的模态应变能，U_sr为整体结构的模态应变能。

7.根据权利要求1所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述目标函数对每个约束阻尼单元的灵敏度计算如下：

1)第r阶特征值对设计变量的灵敏度计算如下：

2)根据改进的模态叠加法，第r阶模态振型向量对设计变量的灵敏度计算如下：

式中，系数A_rek计算如下：

3)则，可以得到目标函数对设计变量的灵敏度公式为：

8.根据权利要求1-7任意一项所述的一种约束阻尼薄板结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述实际工程中，根据基板上约束阻尼单元的密度值对基板表面采用约束阻尼材料进行覆盖。

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