CN114757002B - 一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法 - Google Patents

一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法 Download PDF

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CN114757002B CN202210300681.8A CN202210300681A CN114757002B CN 114757002 B CN114757002 B CN 114757002B CN 202210300681 A CN202210300681 A CN 202210300681A CN 114757002 B CN114757002 B CN 114757002B
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Abstract

本发明公开了一种约束阻尼板壳的结构‑材料分层拓扑优化设计方法,包括：采取约束阻尼板壳类结构的模态损耗因子为目标，获得宏观结构最优拓扑构型，基于所述宏观结构最优拓扑构型获取阻尼材料最优剪切模量，计算阻尼材料初始体积分数上限获得阻尼材料微结构等效厚度；基于所述阻尼材料微结构等效厚度进行微观构型初始化，计算微观材料等效剪切模量，进行微观尺度灵敏度分析，更新体积分数约束限，通过优化准则法更新设计变量，获得微观材料结构拓扑优化模型，实现约束阻尼板壳类结构的分层优化设计。

Description

一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法
技术领域
本发明属于结构优化设计领域，尤其涉及一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法。
背景技术
板壳结构具有良好的力学性能和较轻的质量，多用作汽车、航空航天飞行器及船舰减速器箱体等关键承载构件。为达到节能和高速的目的，这些结构的设计逐渐向轻量化方向发展，但随之带来的板壳结构振动声辐射问题日益突出。约束阻尼板壳类结构具有结构简单、易于工程实现、减振降噪效果良好及可靠性高等优势，广泛应用于上述结构的减振降噪设计。
约束阻尼板壳类结构的振动特性不仅与其宏观特性(拓扑构型)有关，还与粘弹性材料微观结构的力学性能、几何形状等特性息息相关。目前，约束阻尼板壳类结构的拓扑优化主要集中在宏观尺度上，对材料的布局进行优化设计。随着增材制造技术的发展，阻尼材料微结构的设计也广泛受到关注。以约束阻尼板壳类结构的宏观性能为目标，对阻尼材料微结构进行拓扑优化设计，可在控制材料用量的约束下提高约束阻尼结构的减振降噪性能。无论从宏观尺度还是微观尺度对约束阻尼板壳类结构进行拓扑优化设计，都不能充分挖掘约束阻尼板壳类结构的减振降噪性能。单一尺度的约束阻尼板壳类结构拓扑优化已无法满足重大装备关键承载构件对振动和噪声控制的更高效能要求。因此，开展约束阻尼板壳类结构的多尺度拓扑优化设计是必要的。
目前关于阻尼复合结构多尺度设计的研究中，阻尼材料微结构的优化设计大都面向二维问题，这已可满足主要依靠拉压变形的自由阻尼板壳类结构的多尺度设计要求。但对于约束阻尼板壳类结构，主要依靠阻尼材料横向剪切变形来耗散振动能量。那么，约束阻尼板壳类结构的多尺度设计就需考虑阻尼材料的横向剪切模量。因此，将约束阻尼板壳类结构的阻尼材料微结构优化设计定义为三维问题则是非常有必要的。另外，微结构材料的拓扑优化过程都预先设定材料体积分数，以获得预期材料性能，但材料用量并非最优，难以保证充分利用材料。
发明内容
本发明的目的在于提出一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，实现最小材料用量下的具有期望性能的阻尼材料微结构最优拓扑设计,以充分挖掘约束阻尼板壳类结构的减振降噪性能。
为实现上述目的，本发明提供了一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，包括：
采取约束阻尼板壳类结构的模态损耗因子为目标，获得宏观结构最优拓扑构型，基于所述宏观结构最优拓扑构型获取阻尼材料最优剪切模量，计算阻尼材料初始体积分数上线获得阻尼材料微结构等效厚度；
基于所述阻尼材料微结构等效厚度进行微观构型初始化，计算微观材料等效剪切模量，进行微观尺度灵敏度分析，更新体积分数约束限，通过优化准则法更新设计变量，获得微观材料结构拓扑优化构型，实现约束阻尼板壳类结构的分层优化设计。
可选的，获得宏观结构最优拓扑构型包括：根据约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程，基于SIMP插值方法，通过损耗因子的加权和最大化为目标、约束阻尼材料的用量为约束，建立约束阻尼板壳类结构的拓扑优化模型；通过OC准则法对宏观优化模型进行求解，获得约束阻尼板壳类结构的宏观最优构型。
可选的，所述有限元动力学方程包括：根据粘弹性阻尼材料的频/温变特性，建立约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程：
Figure BDA0003565348010000031
其中，M、K分别为约束阻尼板壳类结构的总体质量矩阵和刚度矩阵，KR、KI为总体刚度矩阵K的实部和虚部，X为节点的位移向量，
Figure BDA0003565348010000032
为X的二阶导数，
Figure BDA0003565348010000033
ω和T为约束阻尼板壳类结构工作的频率和温度。
可选的，建立约束阻尼板壳类结构的拓扑优化模型的计算过程包括：
find:xi,i＝1,2...N
Max:ξ(xi)＝wrηr,r＝1,2,...,m
s.t.
Figure BDA0003565348010000034
Figure BDA0003565348010000035
Figure BDA0003565348010000036
0＜xmin≤xi≤1
式中，xi是设计变量即第i个宏观约束阻尼复合单元的密度，N为宏观约束阻尼复合单元的个数，ξ(xi)为宏观优化的目标函数即r阶模态损耗因子的加权和，ηr为第r阶模态损耗因子，m为模态数，wr为第r阶模态的加权系数，VMA表示约束阻尼材料的体积，vi表示第i个宏观约束阻尼复合单元的体积，V0 MA表示约束阻尼材料的体积，fMA表示约束阻尼材料规定的体积分数约束，
Figure BDA0003565348010000041
表示第r阶复特征值，Φr表示第r阶实模态振型向量，δkl为单位矩阵，xmin是为防止数值计算的奇异性而设置的设计变量的下限值，本文取xmin＝10-3。
可选的，通过OC准则法对宏观优化模型进行求解更新设计变量，包括：
Figure BDA0003565348010000042
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证宏观优化更新迭代过程的稳定性，宏观优化一般取η＝0.3，λ1为拉格朗日乘子，
Figure BDA0003565348010000043
λ1为拉格朗日乘子。
可选的，获得微观材料结构拓扑优化模型包括：基于SIMP插值方法，以阻尼材料三维微结构两个横向方向的剪切模量平均值最大化为目标、阻尼材料的移动体积分数限为约束进行材料微结构优化设计，提出变体积约束的阻尼材料微结构拓扑优化模型，计算如下，
find:xe,e＝1,2...n
max:
Figure BDA0003565348010000044
subject to:
Figure BDA0003565348010000045
0＜xmin≤xe≤1
其中，xe是设计变量即第e个微观单元的密度，n为微观单元的个数，G(xe)为微观优化的目标函数即阻尼材料微结构在xz和yz方向上剪切模量的平均值，Gxz和Gyz分别为阻尼材料微结构在xz和yz方向的等效剪切模量，VMI阻尼材料微结构的体积，ve表示第e个微观单元的体积，V0 MI表示阻尼材料单胞的体积，
Figure BDA0003565348010000051
表示第k迭代步阻尼材料的体积分数约束限。
可选的，获得等效模量的过程包括：通过改变阻尼材料的体积分数约束限，使优化后阻尼材料微结构的等效剪切模量达到期望的剪切模量；材料体积分数约束限
Figure BDA0003565348010000052
的迭代格式为：
Figure BDA0003565348010000053
其中，Gk和Gexp为阻尼材料单胞在第k迭代步时的等效剪切模量和阻尼材料的期望剪切模量，α和β为体积约束限的变化参数，取值范围为1.0～1.002和0.997～1.0，ε(k)表示第k迭代步时阻尼材料的等效剪切模量和期望剪切模量差的阈值，可以表示为：
Figure BDA0003565348010000054
其中，γ1和γ2是阈值ε(k)的松弛系数，取值范围为0.99～1.0和0.7～0.8。
可选的，通过OC准则法对微观优化模型进行求解，获得最小材料用量下具有期望剪切模量的阻尼材料微结构，设计变量的更新迭代格式为：
Figure BDA0003565348010000061
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证微观优化更新迭代过程的稳定性，微观优化一般取η＝0.5，λ1为拉格朗日乘子，
Figure BDA0003565348010000062
本发明技术效果：本发明公开了一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，宏观尺度上，以约束阻尼板壳类结构的模态损耗因子为目标获得约束阻尼材料的宏观优化构型；在约束阻尼板壳类结构宏观优化构型的基础上，采用智能优化方法寻找最优的阻尼材料剪切模量，作为微观尺度上材料拓扑设计的期望等效模量；微观尺度上，以阻尼材料微结构的剪切模量为目标建立拓扑优化模型，构建对应于期望等效模量的阻尼材料体积分数限的计算式，提出阻尼材料体积约束限的移动准则，实现最小材料用量下的具有期望性能的阻尼材料微结构最优拓扑设计。通过宏观和微观尺度上约束阻尼板壳类结构的分层优化设计，以充分挖掘约束阻尼板壳类结构的减振降噪性能。
附图说明
构成本申请的一部分的附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。在附图中：
图1为约束阻尼板壳类结构多尺度示意图；
图2为第r阶模态约束阻尼板壳类结构宏观最优拓扑构型；
图3为约束阻尼板壳类结构第r阶模态的模态损耗因子与阻尼材料剪切模量关系曲线；
图4为最小材料用量下具有期望等效性能的阻尼材料微结构优化构型；
图5为约束阻尼板壳类结构结构-材料分层拓扑优化设计流程图；
图6为阻尼材料微结构初始构型厚度等效示意图。
具体实施方式
需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本申请。
需要说明的是，在附图的流程图示出的步骤可以在诸如一组计算机可执行指令的计算机系统中执行，并且，虽然在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于此处的顺序执行所示出或描述的步骤。
如图1所示，本实施例中提供一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，包括：
采取约束阻尼板壳类结构的模态损耗因子为目标，获得宏观结构最优拓扑构型，基于所述宏观结构最优拓扑构型获取阻尼材料最优剪切模量，计算阻尼材料初始体积分数上线获得阻尼材料微结构等效厚度；
基于所述阻尼材料微结构等效厚度进行微观构型初始化，计算微观材料等效剪切模量，进行微观尺度灵敏度分析，更新体积分数约束限，通过优化准则法更新设计变量，获得微观材料结构拓扑优化构型，实现约束阻尼板壳类结构的分层优化设计。
本发明的整体实施方案：
(1)本发明中涉及的约束阻尼板壳类结构如图1(a)所示。考虑粘弹性阻尼材料的频/温变特性，建立约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程：
Figure BDA0003565348010000081
其中，M、K分别为约束阻尼板壳类结构的总体质量矩阵和刚度矩阵，KR、KI为总体刚度矩阵K的实部和虚部，X为节点的位移向量，
Figure BDA0003565348010000082
为X的二阶导数，
Figure BDA0003565348010000083
ω和T为约束阻尼板壳类结构工作的频率和温度。
(2)假设材料单胞尺寸远小于材料宏观结构尺寸，如图1(b)所示。基于能量的均匀化方法，建立阻尼材料微结构的有限元模型，得到阻尼材料三维微结构的等效复弹性模量
Figure BDA0003565348010000084
Figure BDA0003565348010000085
其中，Eijkl(ω,T)表示阻尼材料的复弹性模量，|Y|表示阻尼材料单胞的体积，
Figure BDA0003565348010000086
表示初始独立的单元测试应变场，
Figure BDA0003565348010000087
表示施加初始独立的单元测试应变场后在材料的微结构内所产生的应变场。
(3)约束阻尼板壳的宏观结构拓扑优化，优化流程如图5宏观优化部分所示：
(3.1)优化模型：根据约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程，基于SIMP插值方法，以前r阶模态损耗因子的加权和最大化为目标、约束阻尼材料的用量为约束，建立约束阻尼板壳类结构的拓扑优化模型：
find:xi,i＝1,2...N
Max:ξ(xi)＝wrηr,r＝1,2,...,m
s.t.
Figure BDA0003565348010000091
Figure BDA0003565348010000092
Figure BDA0003565348010000093
0＜xmin≤xi≤1
式中，xi是设计变量即第i个宏观约束阻尼复合单元的密度，N为宏观约束阻尼复合单元的个数，ξ(xi)为宏观优化的目标函数即r阶模态损耗因子的加权和，ηr为第r阶模态损耗因子，m为模态数，wr为第r阶模态的加权系数，VMA表示约束阻尼材料的体积，vi表示第i个宏观约束阻尼复合单元的体积，V0 MA表示约束阻尼材料的体积，fMA表示约束阻尼材料规定的体积分数约束，
Figure BDA0003565348010000094
表示第r阶复特征值，Φr表示第r阶实模态振型向量，δkl为单位矩阵，xmin是为防止数值计算的奇异性而设置的设计变量的下限值，本文取xmin＝10-3。
(3.2)通过OC准则法对宏观优化模型进行求解，获得第r阶模态下约束阻尼板壳类结构的宏观最优构型，如图2所示，图中蓝色为约束阻尼材料的布置区域。设计变量的更新迭代格式为：
Figure BDA0003565348010000101
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证宏观优化更新迭代过程的稳定性，宏观优化一般取η＝0.3。λ1为拉格朗日乘子，
Figure BDA0003565348010000102
λ1为拉格朗日乘子。
(3.3)当约束阻尼板壳类结构的宏观构型确定时，存在一个最优的剪切模量使得第r阶模态的模态损耗因子最大，如图3所示。以第r阶模态下约束阻尼板壳类结构宏观最优构型为基础，通过智能优化算法(比如直接搜索法、遗传算法、粒子群算法等)寻找对应于第r阶模态最优宏观构型的最优剪切模量Gr。
(4)约束阻尼板壳的微观材料的拓扑优化，优化流程如图5微观优化部分所示：
(4.1)微观优化模型：基于SIMP插值方法，以阻尼材料三维微结构两个横向方向(xz和yz方向)的剪切模量平均值最大化为目标、阻尼材料的移动体积分数限为约束进行材料微结构优化设计，提出变体积约束的阻尼材料微结构拓扑优化模型，如下：
find:xe,e＝1,2...n
max:
Figure BDA0003565348010000103
subject to:
Figure BDA0003565348010000104
0＜xmin≤xe≤1
其中，xe是设计变量即第e个微观单元的密度，n为微观单元的个数，G(xe)为目标函数即阻尼材料微结构在xz和yz方向上剪切模量的平均值，Gxz和Gyz分别为阻尼材料微结构在xz和yz方向的等效剪切模量，VMI阻尼材料微结构的体积，ve表示第e个微观单元的体积，V0 MI表示阻尼材料单胞的体积，
Figure BDA0003565348010000111
表示第k迭代步阻尼材料的体积分数约束限。
(4.2)提出一种材料体积分数限移动准则,在迭代过程中通过改变阻尼材料的体积分数约束限，使优化后阻尼材料微结构的等效剪切模量达到期望的剪切模量。材料体积分数约束限f(k)的迭代格式可表示为：
Figure BDA0003565348010000112
其中，Gk和Gexp为阻尼材料单胞在第k迭代步时的等效剪切模量和阻尼材料的期望剪切模量，α和β为体积约束限的变化参数，取值范围为1.0～1.002和0.997～1.0，ε(k)表示第k迭代步时阻尼材料的等效剪切模量和期望剪切模量差的阈值，可以表示为：
Figure BDA0003565348010000113
其中，γ1和γ2是阈值ε(k)的松弛系数，取值范围为0.99～1.0和0.7～0.8。
(4.3)为兼顾约束阻尼板壳类结构的多阶模态，令对应于前r阶模态最优宏观构型的阻尼材料最优剪切模量Gr的加权和为期望剪切模量Gexp：
Figure BDA0003565348010000121
其中，Gr为对应于第r阶模态最优宏观构型的阻尼材料最优剪切模量，wr为对应于最有剪切模量的加权系数。
(4.4)阻尼材料的初始体积约束限为
Figure BDA0003565348010000122
阻尼材料微结构可认为是由两相材料组成的复合材料，第一相为空材料，第二相为阻尼材料。构建期望等效剪切模量对应的阻尼材料体积分数限计算表达式，这个体积即为理想情况下获得期望等效材料性能的最小体积。设空材料和阻尼材料的体积分数之和为1，即f1＝1－f2，令等效剪切模量上限Gu＝Gexp，则可得到阻尼材料期望等效性能对应的阻尼材料体积分数限：
Figure BDA0003565348010000123
其中G1、K1分别为空材料的剪切模量和体积模量，G2、K2分别为阻尼材料的剪切模量和体积模量，f1、f2分别为空材料和阻尼材料的体积分数。显然K1<K2和G1<G2。
将式(9)得到的阻尼材料初始体积分数f2记为所提出优化问题中的阻尼材料初始体积分数约束限
Figure BDA0003565348010000124
通过提出的变体积约束限移动准则，保证优化后的阻尼材料微结构的等效剪切模量尽可能达到期望的剪切模量。
(4.5)为保证阻尼材料微结构优化前后约束阻尼板壳类结构的总体质量保持不变，将阻尼材料微结构初始构型的厚度进行等效处理。等效后的阻尼材料微结构单胞初始构型的尺寸由原来的lx×ly×hv变为
Figure BDA0003565348010000131
如图6所示，阻尼材料微结构初始构型的等效厚度h*v为：
Figure BDA0003565348010000132
(4.6)通过OC准则法对微观优化模型进行求解，获得最小材料用量下具有期望剪切模量的阻尼材料微结构，如图4所示，图中红色为阻尼材料，蓝色为空材料。设计变量的更新迭代格式为：
Figure BDA0003565348010000133
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证微观优化更新迭代过程的稳定性，微观优化一般取η＝0.5。λ1为拉格朗日乘子，
Figure BDA0003565348010000134
λ1为拉格朗日乘子。
(5)获得约束阻尼板壳类结构宏观最优构型和阻尼材料微结构微观最优构型。
以上所述，仅为本申请较佳的具体实施方式，但本申请的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本申请揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本申请的保护范围之内。因此，本申请的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (8)

1.一种约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，包括：
采取约束阻尼板壳类结构的模态损耗因子为目标，获得宏观结构最优拓扑构型，基于所述宏观结构最优拓扑构型获取阻尼材料最优剪切模量，计算阻尼材料初始体积分数上线获得阻尼材料微结构等效厚度；
基于所述阻尼材料微结构等效厚度进行微观构型初始化，计算微观材料等效剪切模量，进行微观尺度灵敏度分析，更新体积分数约束限，通过优化准则法更新设计变量，获得微观材料结构拓扑优化构型，实现约束阻尼板壳类结构的分层优化设计。
2.根据权利要求1所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，获得宏观结构最优拓扑构型包括：根据约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程，基于SIMP插值方法，通过损耗因子的加权和最大化为目标、约束阻尼材料的用量为约束，建立约束阻尼板壳类结构的拓扑优化模型；通过OC准则法对宏观优化模型进行求解，获得约束阻尼板壳类结构的宏观最优构型。
3.根据权利要求2所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，所述有限元动力学方程包括：根据粘弹性阻尼材料的频/温变特性，建立约束阻尼板壳类结构的有限元动力学方程：
Figure FDA0003849199460000011
其中，M、K分别为约束阻尼板壳类结构的总体质量矩阵和刚度矩阵，KR、KI为总体刚度矩阵K的实部和虚部，X为节点的位移向量，
Figure FDA0003849199460000012
为X的二阶导数，
Figure FDA0003849199460000013
ω和T为约束阻尼板壳类结构工作的频率和温度。
4.根据权利要求3所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，建立约束阻尼板壳类结构的拓扑优化模型的计算过程包括：
find:xi,i＝1,2...N
Max:ξ(xi)＝wrηr,r＝1,2,...,m
Figure FDA0003849199460000021
Figure FDA0003849199460000022
Figure FDA0003849199460000023
0＜xmin≤xi≤1
式中，xi是设计变量即第i个宏观约束阻尼复合单元的密度，N为宏观约束阻尼复合单元的个数，ξ(xi)为宏观优化的目标函数即r阶模态损耗因子的加权和，ηr为第r阶模态损耗因子，m为模态数，wr为第r阶模态的加权系数，VMA表示约束阻尼材料的体积，vi表示第i个宏观约束阻尼复合单元的体积，V0 MA表示约束阻尼材料的体积，fMA表示约束阻尼材料规定的体积分数约束，
Figure FDA0003849199460000024
表示第r阶复特征值，Φr表示第r阶实模态振型向量，δkl为单位矩阵，xmin是为防止数值计算的奇异性而设置的设计变量的下限值，取xmin＝10-3。
5.根据权利要求4所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，通过OC准则法对宏观优化模型进行求解更新设计变量，包括：
Figure FDA0003849199460000025
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证宏观优化更新迭代过程的稳定性，宏观优化取η＝0.3，λ1为拉格朗日乘子，
Figure FDA0003849199460000026
6.根据权利要求5所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，获得微观材料结构拓扑优化模型包括：基于SIMP插值方法，以阻尼材料三维微结构两个横向方向的剪切模量平均值最大化为目标、阻尼材料的移动体积分数限为约束进行材料微结构优化设计，提出变体积约束的阻尼材料微结构拓扑优化模型，计算如下，
find:xe,e＝1,2...n
Figure FDA0003849199460000031
Figure FDA0003849199460000032
0＜xmin≤xe≤1
其中，xe是设计变量即第e个微观单元的密度，n为微观单元的个数，G(xe)为微观优化的目标函数即阻尼材料微结构在xz和yz方向上剪切模量的平均值，Gxz和Gyz分别为阻尼材料微结构在xz和yz方向的等效剪切模量，VMI阻尼材料微结构的体积，ve表示第e个微观单元的体积，V0 MI表示阻尼材料单胞的体积，
Figure FDA0003849199460000033
表示第k迭代步阻尼材料的体积分数约束限。
7.根据权利要求6所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，获得等效模量的过程包括：通过改变阻尼材料的体积分数约束限，使优化后阻尼材料微结构的等效剪切模量达到期望的剪切模量；材料体积分数约束限
Figure FDA0003849199460000034
的迭代格式为：
Figure FDA0003849199460000035
其中，Gk和Gexp为阻尼材料单胞在第k迭代步时的等效剪切模量和阻尼材料的期望剪切模量，α和β为体积约束限的变化参数，取值范围为1.0～1.002和0.997～1.0，ε(k)表示第k迭代步时阻尼材料的等效剪切模量和期望剪切模量差的阈值，可以表示为：
Figure FDA0003849199460000041
其中，γ1和γ2是阈值ε(k)的松弛系数，取值范围为0.99～1.0和0.7～0.8。
8.根据权利要求7所述的约束阻尼板壳的结构-材料分层拓扑优化设计方法，其特征在于，通过OC准则法对微观优化模型进行求解，获得最小材料用量下具有期望剪切模量的阻尼材料微结构，设计变量的更新迭代格式为：
Figure FDA0003849199460000042
其中，η(0<η<1)为阻尼因子，m为移动极限，用来保证微观优化更新迭代过程的稳定性，微观优化取η＝0.5，λ1为拉格朗日乘子，
Figure FDA0003849199460000043
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