CN110795873A - 一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，针对多孔材料进行跨尺度拓扑优化设计，将设计域分为宏观和细观两个尺度，宏观设计域为多孔材料宏观结构，细观设计域为多孔材料单胞，使用均匀化理论求解单胞结构等效弹性常数作为两个尺度的联结。基于移动渐近线优化算法(MMA)建立拓扑优化模型，以结构总体积分数最小为目标，以结构位移和单胞体积分数作为约束，以宏观结构单元相对密度作为宏观设计变量，单胞单元相对密度作为设计变量，通过优化算法反复迭代更新设计变量获得连续体结构在给定外在和边界条件下满足约束条件，且结构总体积分数最小的最优构型。在跨尺度优化基础上，采用映射方法对细观设计变量进行变换，使其接近0‑1分布，并基于映射方法对单胞最小尺寸进行约束，获得了满足单胞结构最小尺寸约束的跨尺度优化构型。

Description

一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及连续体结构拓扑优化设计技术领域，特别涉及一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，该方法考虑多孔材料宏观结构和单胞微结构两个尺度，同时考虑对单胞施加最小尺寸约束，在保证单胞结构尺寸控制的同时获得多孔材料宏观结构和单胞结构双层面的最优结构。

背景技术

多孔材料作为一种包含大量孔隙的材料，相对于传统连续体结构，具有密度小、质量轻的特点，其胞元的结构可以进行设计，在减轻结构重量同时可以满足一定的性能需求。在航空航天领域中，需要在满足设计性能的同时尽量减少结构重量，可以说每一克重量的减轻都具有很大的意义，多孔材料结构能够很好地满足这种要求。多孔材料的性能除与原材料本身相关外还与胞元的结构密切相关，不同的胞元微结构下整个结构的宏观性能也会有很大不同，因此多孔材料结构的宏观结构与胞元微结构的合理设计对于结构的性能有很大帮助。

以往，受传统制造技术的精度限制，多孔材料的单胞微结构设计不能太过复杂，性能也随之受到一定限制，增材制造技术的发展为具有复杂单胞微结构的多孔材料提供了可行的制造途径，将增材制造技术与拓扑优化技术结合可实现细观结构复杂的多孔材料结构的设计与制造。

根据研究对象的不同，拓扑优化技术可分为离散结构拓扑优化和连续体拓扑优化两个分支，近年来连续体拓扑优化正逐渐成为结构优化领域最活跃的研究方向之一。1988年，

和Kikuchi首次提出了连续体结构拓扑优化的概念和基于均匀化理论的连续体结构拓扑优化设计方法，此后国内外诸多学者对连续体拓扑优化方法开展研究，目前已取得大量成果。目前，在连续体结构拓扑优化的研究中，主要使用的方法有以下几种：均匀化方法(Homogenization Method)、密度法(Density-based Method)、水平集方法(Level SetMethod)、渐进结构优化方法(ESO:Evolutionary Structural Optimization)和独立连续映射方法(ICM:Independent Continuous Mapping)等。近年来跨尺度拓扑优化领域也取得了诸多进展，但优化结果的微结构层面往往存在不利于工程制造的细小结构，针对多孔材料所进行的跨尺度拓扑优化所获得的单胞优化结构往往存在当前制造工艺难以加工的细小杆结构和孔洞。因此，为使得优化结果更加适用于工程应用，需要对多孔材料跨尺度优化的单胞微结构施加适当的尺寸约束，以达到消除过于细小的微结构的目的，针对不同的工程需求对优化结构进行相应的尺寸控制也具有相当的实用价值。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，考虑当前多孔材料跨尺度拓扑优化设计结果存在不利于工程制造的细小结构的现象，在多孔材料跨尺度拓扑优化的基础上，利用密度映射函数对单胞微结构施加最小尺寸约束，所得到的设计结果能够根据不同的尺寸约束值获得不同的优化结果，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其实现步骤如下：

步骤一：给定连续体结构的设计域，将结构设计域离散为尺寸一样的有限单元，作为宏观设计变量，宏观设计变量所组成的设计域为宏观设计域。宏观设计域的单元可视为一个单胞，将宏观设计域的单胞离散为更小的有限单元，作为细观设计变量，细观设计变量所组成的设计域为细观设计域。

步骤二：采用均匀化方法计算单胞的等效弹性模量：

其中，下标i，j，k，l的取值范围为1、2、3，为等效弹性张量，n为单胞划分的单元数量，

为单位应变所对应的应力场，

为特征位移所对应的应力场，V_e为单胞离散单元体积，V_total为单胞体积；最后，基于求解所得的单胞等效弹性张量得到单胞等效弹性矩阵D_h：

步骤三：针对细观设计域和宏观设计域分别建立材料插值模型，并计算结构的刚度矩阵；

步骤四：对细观设计变量进行密度过滤和映射，设ρ_i为细观设计域第i个单元的相对密度，首先进行密度过滤：

其中ρ_i为过滤后的密度，

是密度过滤半径内包含的单元集，v_j为单元体积，w(x_j)为权重函数，与第j个单元与中心单元的距离和过滤半径有关。将过滤后的密度ρ_i进行映射变换，得到映射密度

其中η和β为映射参数。当η＞0.5时，所得到的映射密度分布称为膨胀设计；

步骤五：以连续体结构总体积分数最小作为优化目标，以连续体结构位移、单胞体积分数和最小结构尺寸作为约束，建立考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化的数学模型：

其中，V是优化区域的总体积，P_i和V_i分别为宏观设计域第i个单元的相对密度和体积，

为膨胀设计密度映射后所得的密度，

为膨胀设计的结构总体积分数，m为单胞划分单元数，n为宏观设计域划分单元数，K为宏观结构总体刚度矩阵，u宏观结构位移列向量，F为宏观结构载荷列向量，

为侵蚀设计加载点结构位移，

为膨胀设计的单胞体积分数，δ为宏观和细观单元相对密度的下限，ρ_j为细观设计域第j个单元的相对密度；

步骤六：求解单胞体积分数对宏观设计变量和细观设计变量的灵敏度，使用伴随向量法和映射方法求解位移对宏观设计变量和细观设计变量的灵敏度；

步骤七：采用移动渐近线(Method of Moving Asymptotes，MMA)优化算法，以最小化相对体积为目标，以结构位移和单胞体积分数为约束，利用结构总体积分数、单胞体积分数和结构位移的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足位移约束和单胞体积分数约束，或者尽管满足约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回步骤二，否则，迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

所述步骤一中，宏观设计域的单胞都采用同样的构型。

所述步骤二中，如果宏观结构材料在特性上表现为连续介质，并具有周期性微结构单胞，以及微结构单胞尺寸相对于整体结构的尺寸为小量，得基于周期性边界条件采用均匀化方法计算单胞的等效弹性模量。

所述步骤三中，针对细观设计域采用带惩罚因子的各向同性材料插值模型：

其中D_mi,j为单胞有限元离散后的第j个单元的弹性矩阵，D^B为材料弹性矩阵，α为惩罚系数。针对宏观设计域采用带惩罚因子的各向异性材料插值模型：

其中D_ma,i为宏观单元的第i个单元的弹性矩阵，D_h为单胞等效弹性矩阵，α为惩罚系数；结构的刚度矩阵K为：

其中Ω_i为宏观单元的第i个单元的定义域，B为单元应变矩阵，n为宏观设计域划分单元数。

所述步骤四中，参数β控制函数的映射程度，β越大，映射后的密度接近0-1分布；参数η提供映射阈值，使得低于阈值的密度映射后趋近于0，高于阈值的密度映射后趋近于1，通过选取不同的阈值η即得到不同尺寸的映射结果，最终实现尺寸控制。

所述步骤五中，所建立的优化模型同时考虑连续体结构位移约束，单胞体积约束、以及宏观结构最小尺寸约束。

所述步骤六中，采用映射方法计算等效弹性矩阵对微观设计变量的灵敏度：

其中，Y_j为第j个微观单元的定义域，Y为所有微观单元的定义域，I为单位矩阵，b为单胞离散单元的应变矩阵，

为第j个单胞离散单元的位移矩阵，是通过在周期性边界条件下对单胞施加单位应变所对应载荷计算得到的位移向量。

所述步骤七中，采用的优化算法为移动渐近线法(Method of MovingAsymptotes，MMA)，并通过对比前后迭代步目标函数的变化量来判断优化是否收敛。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化设计的思路，将单胞尺寸控制施加于跨尺度拓扑优化设计中。所获得的优化结果中，由于尺寸约束的存在，单胞微结构中尺寸过小的细杆和小孔都被有效地抑制，通过改变尺寸约束值，可以得到满足优化条件的相应优化结构。本方法所提供的思路能够设计出适用于工程制造的有效结构，提高设计效率，降低设计周期和经济成本。

附图说明

图1是本发明实现的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法流程图；

图2是本发明所用到的不同尺寸控制参数对映射效果影响的曲线图；

图3是本发明用于说明尺寸控制原理的一维情况示意图；

图4是本发明所用到的尺寸控制参数η与b/2R的关系图，用于确定尺寸控制参数η；

图5是本发明所进行跨尺度拓扑优化优化的设计域示意图；

图6是本发明实现的尺寸控制优化结果和非尺寸控制优化结果对比图，其中图6(a)为非尺寸控制结果，图(b)为尺寸控制结果；

图7是本发明实现的不同尺寸约束值下的优化结果示意图，其中图7(a)的尺寸约束值为b＝0.08mm，图7(b)的尺寸约束值为b＝0.06mm，图7(c)的尺寸约束值为b＝0.055mm，图7(d)的尺寸约束值为b＝0.04mm。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，包括以下步骤：

(1)给定连续体结构的设计域，将结构设计域离散为尺寸一样的有限单元，作为宏观设计变量，宏观设计变量所组成的设计域为宏观设计域。宏观设计域的单元可视为一个单胞，将宏观设计域的单胞离散为更小的有限单元，作为细观设计变量，细观设计变量所组成的设计域为细观设计域。

(2)假设宏观结构材料在特性上表现为连续介质，并具有周期性微结构，以及微结构尺寸相对于整体结构的尺寸为小量，采用均匀化方法计算单胞的等效弹性模量：

其中，下标i，j，k，l的取值范围为1、2、3，

为等效弹性张量，n为单胞划分的单元数量，

为单位应变所对应的应力场，

为特征位移所对应的应力场，V_e为单胞离散单元体积，V_total为单胞体积；最后，基于求解所得的单胞等效弹性张量得到单胞等效弹性矩阵D_h：

(3)针对细观设计域采用带惩罚因子的各向同性材料插值模型：

其中D_mi,j为单胞有限元离散后的第j个单元的弹性矩阵，D^B为材料弹性矩阵，α为惩罚系数。针对宏观设计域采用带惩罚因子的各向异性材料插值模型：

其中D_ma,i为宏观单元的第i个单元的弹性矩阵，D_h为单胞等效弹性矩阵，α为惩罚系数；最后，计算得到结构的刚度矩阵K为：

其中Ω_i为宏观单元的第i个单元的定义域，B为单元应变矩阵，n为宏观设计域划分单元数。

(4)对细观设计变量进行密度过滤和映射实现尺寸控制。设ρ_i为细观设计域第i个单元的相对密度，首先进行密度过滤：

其中ρ_i为过滤后的密度，

是密度过滤半径内包含的单元集，v_j为单元体积，w(x_j)为权重函数，与第j个单元与中心单元的距离和过滤半径有关。将过滤后的密度ρ_i进行映射变换，得到映射密度

其中，参数β控制函数的映射程度，β越大，映射后的密度约接近0-1分布；η的作用是提供一个映射阈值，映射后的密度将于η左侧趋近于0，右侧趋近于1，选取不同的η值即可得到过滤后不同的密度分布，β和η不同取值下的映射关系如图2所示。

下面以一个一维例子简要说明产生尺寸控制的原理。在图3中，对一块宽为h的一维实相区域和空相区域分别进行密度过滤得到过滤后的密度分布，为直观体现材料特性，用一个二维图形直观显示材料的有无，左侧的图案以实相材料为研究对象，右侧的图案以空相材料为研究对象。现以宽为h的实相材料区域为例，说明η的取值在尺寸控制方面发挥的作用，首先选取适当的过滤半径对密度场进行过滤，得到相应的过滤密度ρ的分布，此处得到的密度分布与过滤半径R的选取直接相关，当

时，得到的过滤密度ρ的最大值均为1，与过滤半径R的大小无关；当

时，得到的过滤密度ρ的最大值均小于1，且与过滤半径R的取值有关。首先考虑较为柔和的η取值：η＝0.5，此时的映射会将过滤后小于0.5的密度映射至0，等于0.5的保持不变，小于0.5的映射至1，在密度惩罚模型中，这种映射对于映射前的密度分布改变并不大，可以作为中间设计，此时过滤前长度为h的实体区域经过过滤映射后的长度为b；若选取过滤后的密度最大值ρ_max作为η，那么对于过滤前长度为h的区域，经过映射后将只剩下中心密度为η的单元，对于长度小于h的区域，经过映射后将被完全消除，长度大于h的区域将视过滤半径R的情况被部分保留，这种η取值最终所得到的设计实体材料区域被削弱，将其称为侵蚀设计。类似的，观察图3右侧的空相材料区域，经过密度过滤后所获得的密度场与实相材料得过滤密度场对应点的和恰好为一，选取空相材料过滤密度场的最小密度值作为η，长度小于h的空相区域将被消除，长度大于h的空相区域将被部分保留，最终得到的设计实体部分被加强，而空隙部分被削弱，将其称为膨胀设计。

结合上述特性，可以得出控制胞元微结构的一种方法，即在保持侵蚀设计(η＞0.5)、中间设计(η＝0.5)和膨胀设计(η＜0.5)具有相同拓扑的情况下，通过控制η和过滤半径R的取值，使膨胀设计达到控制空相材料最小尺寸的作用，侵蚀设计达到控制实相材料最小尺寸的作用，即将两者分别控制空隙尺寸和实体材料部分的尺寸，而作为具有相同拓扑的中间设计，其实体材料部分的尺寸大于侵蚀设计，那么实体材料部分的尺寸便由侵蚀设计得到了控制；其空隙部分的尺寸大于膨胀设计，那么其空隙部分的尺寸便由膨胀设计得到了控制。由上述说明可知，尺寸控制参数η与尺寸约束值b和密度过滤半径R有关，可以根据尺寸约束值b适当选取过滤半径R，进而获得相应的尺寸控制参数η，三者关系曲线由图4所示。

(5)以连续体结构总体积分数最小作为优化目标，以连续体结构位移、单胞体积分数和最小结构尺寸作为约束，建立考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化的数学模型：

其中，V是优化区域的总体积，P_i和V_i分别为宏观设计域第i个单元的相对密度和体积，

为膨胀设计密度映射后所得的密度，为膨胀设计的结构总体积分数，m为单胞划分单元数，n为宏观设计域划分单元数，K为宏观结构总体刚度矩阵，u宏观结构位移列向量，F为宏观结构载荷列向量，

为侵蚀设计加载点结构位移，

为膨胀设计的单胞体积分数，δ为宏观和细观单元相对密度的下限，ρ_j为细观设计域第j个单元的相对密度；

(6)本发明采用基于函数梯度的优化算法求解优化问题，因此需要进行目标函数(结构总体积分数)和约束函数(加载点位移和单胞体积分数)对设计变量(材料相对密度)的灵敏度分析。连续体结构拓扑优化问题一般考虑刚度、频率等全局性约束条件，因而设计变量数目远多于约束条件数目。针对这一特点，本发明采用伴随向量法，实现约束函数值对设计变量(材料相对密度)的灵敏度分析。

首先求解位移对设计变量的灵敏度，构造位移的增广拉格朗日函数：

其中u_k为结构位移，N为结构总体自由度，λ_k为与结构位移u_k对应的拉格朗日乘子向量，F_N×1为施加的载荷列向量，K_N×N为总体刚度矩阵，u_N×1为结构位移列向量。因结构满足有限元平衡方程Ku＝F，故

式(1)对任意设计变量x_i求全导数可得：

对于

有：

因为式(2)于任意的拉格朗日乘子向量λ_k都成立，所以可以通过适当选取λ_k，使得的系数为零，即：

对上式可以利用对称性做变换：

上式的形式类似有限元平衡方程，因此可以通过求解有限元问题的方法来求解λ_k，即将

视为虚拟载荷，通过有限元程序求解位移，所得到的位移即为λ_k。将求解的到的虚拟位移代入式(2)，可得位移u_k对设计变量x_i的灵敏度：

考虑到载荷F与本文设计变量无关，可将上述公式进一步简化：

下面将宏观设计变量P_i代入公式求解灵敏度，首先将总体刚度矩阵K分解：

其中Ω为单元设计域，B为单元应变矩阵，K_e0,i为P_i＝1时第i个单元的刚度矩阵。单元等效弹性矩阵D_h通过均匀化方法求解。将总体刚度矩阵K的表达式代入式(7)得到位移对宏观变量的灵敏度：

其中λ_k,i和u_e,i分别为λ_k和u在第i个单元的分量。

将细观设计变量ρ_j代入灵敏度公式得：

其中

可通过一种映射方法求出，其表达式为：

其中，Y_j为第j个微观单元的定义域，Y为所有微观单元的定义域，I为单位矩阵，b为单胞离散单元的应变矩阵，

为第j个单胞离散单元的位移矩阵，

的求解是通过在周期性边界条件下的单胞施加单位应变所对应载荷来求解的，以二维问题为例，先对单胞分别施加三个单位应变ε_x＝1，ε_y＝1，ε_xy＝1，提取三个单位应变所对应的节点支反力，再对单胞施加周期性条件，将节点支反力施加于对应节点，求解所获得的三个位移列向量所组成的矩阵即为为第j个单元的分量。根据SIMP材料模型，

将其代入得：

将上式代入式(11)得：

上式即为位移对细观设计变量ρ_j的灵敏度。

本问题的目标函数为宏观结构体积分数：

其对宏观设计变量P_i的灵敏度为：

对细观设计变量ρ_j的灵敏度为：

细观设计变量进行了密度过滤和密度映射后，灵敏度形式发生了变化，对于任意与细观密度设计变量相关的函数f，其对细观设计变量的灵敏度表达式为：

可知只需在目标函数和约束函数对细观设计变量的导数后乘

即可，

可由密度过滤公式求导得到：

可由密度映射函数求导得到：

故目标函数对设计变量的灵敏度最终形式为：

约束函数对设计变量的灵敏度最终形式为：

(7)采用MMA优化算法，以最小化相对体积为目标，以结构位移和单胞体积分数为约束，利用结构总体积分数、单胞体积分数和结构位移的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足位移约束和单胞体积分数约束，或者尽管满足约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回步骤二，否则，迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图5所示的矩形平板进行拓扑优化设计。宏观设计域为0.8m×0.4m的矩形，上边固支，材料属性为弹性模量为70e3 Mpa，泊松比0.3。宏观设计域采用plane182号单元划分网格，单元尺寸为1mm×1mm，网格总数3200；单胞设计域为1mm×1mm的矩形区域，同样采用plane182号单元划分网格，单元尺寸为0.02mm×0.02mm，网格总数为2500。加载条件为在宏观设计域的左下角节点处施加水平方向的载荷，大小为100N，对应的位移约束条件为加载点位移不超过1mm，胞元体积分数约束为0.4。

图6为尺寸控制下的优化结果与未进行尺寸控制的结果对比。尺寸控制结果所施加的最小尺寸约束值为55μm，观察单胞优化结构可发现，未施加尺寸控制的优化结果中，单胞构型存在不利于工程制造的细杆和小孔，而在施加了尺寸约束后单胞构型中没有出现小于约束值的细杆或者孔洞，所获得的单胞结构是适用于工程制造的，这说明尺寸控制的施加是成功的，施加单胞最小尺寸控制的优化所得到的结构体积分数为0.1715，而未施加尺寸控制的优化得到的结构体积分数为0.1243，未进行尺寸控制的结构相较而言具有更轻的质量，说明施加尺寸控制牺牲了一定的减重效果，但获得了更利于工程制造的结构。图7为取不同尺寸约束值下的优化结果对比，保持其他条件不变的情况下，仅改变尺寸约束值b，所获得的优化结果中，单胞的最小尺寸均满足给定约束值，即未出现杆径小于尺寸约束值b的细杆和孔径小于尺寸约束值b的孔洞，故可说明本方法达到了尺寸控制的目的。

综上所述，本发明提出了一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法。首先，建立以减重为目标，加载点位移为约束的跨尺度拓扑优化数学模型，然后对单胞尺度设计变量即单胞单元相对密度进行过滤和映射变换，并利用映射原理对单胞施加尺寸控制效果；再对跨尺度拓扑优化模型进行改写，得到考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化模型；接下来利用均匀化理论求解单胞微结构等效弹性常数，基于等效弹性常数建立两个优化尺度之间的关联；其次，使用伴随向量法，并结合复合函数的求导法则，求出目标函数及约束函数的灵敏度；最后使用MMA优化算法，以加载点位移和单胞体积分数为约束，以结构总体相对体积为目标，进行优化迭代计算，从而完成了施加尺寸控制下的跨尺度拓扑优化设计。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含缺陷结构的优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (8)

1.一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于，实现步骤如下：

步骤一：给定连续体结构的设计域，将结构设计域离散为尺寸一样的有限单元，作为宏观设计变量，宏观设计变量所组成的设计域为宏观设计域，宏观设计域的单元视为一个单胞，将宏观设计域的单胞离散为更小的有限单元，作为细观设计变量，细观设计变量所组成的设计域为细观设计域；

步骤二：采用均匀化方法计算宏观结构单胞的等效弹性模量：

其中，下标i，j，k，l的取值范围为1、2、3，

为等效弹性张量，n为单胞划分的单元数量，

为单位应变所对应的应力场，

为特征位移所对应的应力场，V_e为单胞离散单元体积，V_total为单胞体积；最后，基于求解所得的单胞等效弹性张量得到单胞等效弹性矩阵D_h：

步骤三：针对细观设计域和宏观设计域分别建立材料插值模型，并计算结构的刚度矩阵；

步骤四：对细观设计变量进行密度过滤和映射，设ρ_i为细观设计域第i个单元的相对密度，首先进行密度过滤：

其中ρ_i为过滤后的密度，

是密度过滤半径内包含的单元集，v_j为单元体积，w(x_j)为权重函数，与第j个单元与中心单元的距离和过滤半径有关。将过滤后的密度ρ_i进行映射变换，得到映射密度

其中η和β为映射参数，当η＞0.5时，所得到的映射密度分布称为膨胀设计；

步骤五：以连续体结构总体积分数最小作为优化目标，以连续体结构位移、单胞体积分数和最小结构尺寸作为约束，建立考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化的数学模型：

其中，V是优化区域的总体积，P_i和V_i分别为宏观设计域第i个单元的相对密度和体积，

为膨胀设计密度映射后所得的密度，

为膨胀设计的结构总体积分数，m为单胞划分单元数，n为宏观设计域划分单元数，K为宏观结构总体刚度矩阵，u宏观结构位移列向量，F为宏观结构载荷列向量，

为侵蚀设计加载点结构位移，为膨胀设计的单胞体积分数，δ为宏观和细观单元相对密度的下限，ρ_j为细观设计域第j个单元的相对密度；

步骤六：求解单胞体积分数对宏观设计变量和细观设计变量的灵敏度，使用伴随向量法求解位移对宏观设计变量和细观设计变量的灵敏度；

步骤七：采用优化算法，以最小化相对体积为目标，以结构位移和单胞体积分数为约束，利用结构总体积分数、单胞体积分数和结构位移的灵敏度进行迭代求解，在迭代过程中，如果当前设计不满足位移约束和单胞体积分数约束，或者尽管满足约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回步骤二，否则，迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

2.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤一中，宏观设计域的单胞都采用同样的构型。

3.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤二中，如果宏观结构材料在特性上表现为连续介质，并具有周期性微结构单胞，以及微结构单胞尺寸相对于整体结构的尺寸为小量，得基于周期性边界条件采用均匀化方法计算单胞的等效弹性模量。

4.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤三中，针对细观设计域采用带惩罚因子的各向同性材料插值模型：

其中D_mi,j为单胞有限元离散后的第j个单元的弹性矩阵，D^B为材料弹性矩阵，α为惩罚系数。针对宏观设计域采用带惩罚因子的各向异性材料插值模型：

D_ma,i＝P_i ^α·D_h

其中D_ma,i为宏观单元的第i个单元的弹性矩阵，D_h为单胞等效弹性矩阵，α为惩罚系数；结构的刚度矩阵K为：

其中Ω_i为宏观单元的第i个单元的定义域，B为单元应变矩阵，n为宏观设计域划分单元数。

5.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四中，参数β控制函数的映射程度，β越大，映射后的密度接近0-1分布；参数η提供映射阈值，使得低于阈值的密度映射后趋近于0，高于阈值的密度映射后趋近于1，通过选取不同的阈值η即得到不同尺寸的映射结果，最终实现尺寸控制。

6.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五中，所建立的优化模型同时考虑连续体结构位移约束，单胞体积约束、以及宏观结构最小尺寸约束。

7.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤六中，采用映射方法计算等效弹性矩阵对微观设计变量的灵敏度：

其中，Y_j为第j个微观单元的定义域，Y为所有微观单元的定义域，I为单位矩阵，b为单胞离散单元的应变矩阵，

为第j个单胞离散单元的位移矩阵，

是通过在周期性边界条件下对单胞施加单位应变所对应载荷计算得到的位移向量。

8.根据权利要求1所述的一种考虑尺寸控制的跨尺度拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤七中，采用的优化算法为移动渐近线法(Method of Moving Asymptotes，MMA)，并通过对比前后迭代步目标函数的变化量来判断优化是否收敛。

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