CN114756934B - 一种三维多尺度超材料结构优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，根据设计要求构造出参数化超材料点阵结构，提取控制参数为设计变量，对其进行宏观预测，完成参数化插值模型的建立，建立实体模型，对结构设计域进行划分，施加边界条件和外力载荷，完成有限元模型的建立，基于有限元分析获取宏观结构和微观单元的位移场，并通过构建三维多尺度超材料结构协同优化模型，对宏观尺度及微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，并迭代更新宏观尺度及微观尺度中的设计变量，从而确定三维多尺度超材料结构的最优布局，实现在三维多尺度超材料结构嵌入宏观结构过程中，得到三维多尺度超材料结构的最佳布局，从而实现整体轻量化设计、获取更高的性能目标。

Description

一种三维多尺度超材料结构优化设计方法

技术领域

本发明一体化设计技术领域，具体涉及一种三维多尺度超材料结构优化设计方法。

背景技术

传统的设计方法根据结构设计选择材料，然后设计出给定材料的最佳结构。目前增材制造技术赋予了更多设计自由度，结构往往设计成多孔结构或点阵结构，周期性多孔材料在减轻重量提高效率的同时，可以达到给定的强度和刚度目标，使整体结构在提升性能的前提下达到减重目标。装备服役需求多样化对结构的性能提出了更高的要求，结构设计不再局限于单一尺度的拓扑优化设计，材料与结构多尺度拓扑优化设计展现出巨大潜力。多尺度一体化设计是假设宏观结构是由周期性的微结构点阵排列组成，多尺度拓扑优化设计需要在宏观尺度和微观尺度上同时进行设计，综合考虑宏观外载荷和边界条件的影响，一方面要设计出符合条件的微结构构型，另一方面要对微结构在宏观尺度上的分布进行优化设计，而目前对于多尺度优化的研究主要在二维平面内展开或者基于均匀分布的微结构构型，极大地限制了设计自由度，不能实现宏观材料密度分布与微观胞元拓扑构型的协同优化，也不能实现结构高效设计。

发明内容

为解决现有的多尺度优化集中在二维平面，基于均匀分布的微结构构型导致的设计自由度局限的问题，本申请提供了一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，具体技术方案如下：一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，包括以下步骤：

S1、构造参数化超材料点阵结构，提取控制参数为设计变量，采用能量均匀化方法对其进行宏观预测，完成参数化材料插值模型的建立。

S2、建立实体模型，定义初始设计域，对初始设计域进行网格划分，施加边界条件和外力载荷，建立有限元模型。

S3、定义宏观结构设计域上的设计变量和微观结构设计域上的设计变量，并对其赋值，计算宏观单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，对三维多尺度点阵结构进行有限元分析，获得结构响应信息。

S4、构建多尺度超材料结构协同优化模型，对宏观尺度和微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，并迭代更新宏观尺度和微观尺度中的设计变量，确定点阵微结构的最优布局。

S5、判断设计变量的收敛情况，当连续两个迭代步中目标函数的变动小于1×10^-3，或者达到设定的最大迭代步数200时，默认为优化收敛，迭代过程终止；否则更新设计变量，继续进行下一步的迭代。

优选的，所述S1中，参数化超材料点阵结构的控制参数有两个，第一个参数是相对密度η，用于描述微结构单胞存在材料分布的区域占整个单胞域的比例；第二个参数是比例因子ξ_exter，用于描述微结构单胞中所占比例的大小，两个控制参数的计算公式如下：

其中，V_strut表示微结构单胞中所有杆件的总体积，V_exter表示外框杆件所占的体积，V_lattice表示整个微结构单胞所包络的总体积。

优选的，所述S1中，采用能量均匀化方法进行宏观性能预测，用五次多项式曲面描述两个控制参数与等效弹性常数D_ij之间的显示关系，其参数化材料插值模型的数学表达式如下：

其中a_k(k＝0～20)为拟合多项式曲面方程对应项的系数。

优选的，所述S3还包括以下步骤：

S301、定义宏观结构设计域上的相对密度设计变量和微观结构设计域上的比例因子设计变量，并对其赋值，在微观尺度中采用参数化插值法计算微观单元的等效弹性矩阵D^H，根据等效弹性矩阵D^H求解宏观尺度单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，利用有限元分析来求解位移场U；

S302、根据S301中的位移场U，计算三维多尺度超材料结构协同优化模型中的目标函数C。

优选的，所述等效弹性矩阵D^H的表达式如下：

其中，和/>分别为等效均质体的等效应力和等效应变。

优选的，所述S301中，宏观尺度单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K的计算公式如下：

其中，B为单元的应变矩阵，Ω_i为第i个单元的积分域，单元i对应的材料弹性矩阵为

位移场U的计算公式如下：

U＝K^-1F

其中，F为结构整体所受外力；

所述S302中目标函数C的计算公式如下：

C＝U^TKU

优选的，所述S4中的多尺度超材料结构协同优化模型如下：

find：X＝{η₁,η₂,…,η_n；ξ₁,ξ₂,…,ξ_n}^T

s.t.：KU＝F

0<η_min≤η_i≤η_max≤1,i＝1,2,…,n

0<ξ_min≤ξ_i≤ξ_max≤1,i＝1,2,…,n

其中，X为设计变量矢量，包含有n个相对密度变量η和n个比例因子变量ξ；C为目标函数，为多尺度结构的整体柔顺函数；s.t.为约束条件，K和k_i分别为结构整体刚度矩阵和单元i的刚度矩阵，U和u_i分别为结构整体的位移场和单元i的位移场，F为结构整体所受外力；在线弹性小变形的假设条件下，该优化问题需要满足静力平衡方程：

KU＝F

η_i和v_i分别为设计域中第i个单元的密度和体积；V_f是体分比，为在优化过程中所用材料的体积V与设计域总体积V₀的比值，为给定体分比的上限值；η_min和η_max分别为相对密度变量的下限值和上限值。

优选的，所述S4中的对宏观尺度及微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，为目标函数和约束函数相对于设计变量的灵敏度分析求解，推导结构整体柔顺度C和材料用量V关于相对密度设计变量η_i和比例因子ξ_i设计变量的导数；

结构整体柔顺度关于相对密度设计变量的灵敏度分析，对静力平衡方程等号两端关于相对密度设计变量η_i进行求导，表达式如下：

上式根据设计变量独立性原则，表达式简化如下：

根据有限元分析相关理论，结构整体柔顺度C关于相对密度设计变量η_i的灵敏度表达式如下：

仿照上述推导过程，结构整体柔顺度C关于比例因子ξ_i设计变量的灵敏度分析表达式如下：

所用材料体积关于相对密度设计变量和比例因子设计变量的灵敏度表达式如下：

本发明将三维多尺度超材料结构通过函数映射到设计域的划分的网格中，通过建立参数化材料插值模型，得到映射到宏观结构中各个单元等效弹性参数，然后基于有限元分析获取宏观结构和微观单元的位移场，并通过构建三维多尺度超材料结构协同优化模型，再对宏观尺度及微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，并迭代更新宏观尺度及微观尺度中的设计变量，从而确定三维多尺度超材料结构的最优布局，本发明同时考虑了组件的材料属性，宏观载荷和边界条件对宏观结构布局的影响等多个关键因素，提升了计算效率，进而将微结构单胞与宏观结构集成一体化，实现在三维多尺度超材料结构嵌入宏观结构过程中，得到三维多尺度超材料结构的最佳布局，从而实现整体轻量化设计、获取更高的性能目标。

附图说明

图1为本发明实施例涉及的一种考虑多控制参数的三维多尺度超材料结构协同优化设计方法的流程图；

图2为本发明实施例1中的初始设计域受外载荷的示意图；

图3为本发明实施例1中的初始设计域所填充超材料单胞结构的示意图；

图4为本发明实施例1中不同案例下的三点弯曲梁优化设计结果示意图；

图5为本发明实施例1中不同案例下的三维弯曲梁优化构型柔顺度对比示意图；

图6为采用本发明实施例1中的方法对多尺度一体化三点弯曲梁优化所得结构模型及微结构分布示意图；

图7为本发明实施例1中对多尺度一体化三点弯曲梁优化设计中，三点弯曲梁结构柔顺度及结构体积分数迭代曲线示意图；

图8为本发明实施例2中的初始设计域受外载荷的示意图；

图9为本发明实施例2中不同案例下的轴向防撞结构优化设计结果示意图；

图10为本发明实施例2中不同案例下的轴向防撞结构优化构型柔顺度对比示意图；

图11为采用本发明实施例2中的方法对多尺度一体化轴向防撞结构优化所得结构模型及微结构分布示意图；

图12为本发明实施例2中对多尺度一体化轴向防撞结构优化设计中，结构柔顺度及结构体积分数迭代曲线示意图。

具体实施方式

需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合，下面将参考附图并结合实施例来详细说明本发明。

本发明公开了一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，由图1所示，包括以下步骤：

S1、根据设计要求构造出参数化超材料点阵结构，提取出合理的控制参数作为设计变量，采用能量均匀设计方法对其进行宏观预测，完成参数化材料插值模型的建立。

S2、建立实体模型，定义初始设计域，对初始设计域进行网格划分，施加边界条件和外力载荷，建立有限元模型。

S3、定义宏观结构设计域上的相对密度设计变量和微观结构设计域上的比例因子设计变量，并对其赋值，计算宏观单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，对三维多尺度点阵结构进行有限元分析，获得结构响应信息。

S4、构建多尺度超材料结构协同优化模型，对宏观尺度和微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，并迭代更新宏观尺度和微观尺度中的设计变量，确定点阵微结构的最优布局。

S5、判断设计变量的收敛情况，当连续两个迭代步中目标函数的变动小于1×10^-3，或者达到设定的最大迭代步数200时，默认为优化收敛，迭代过程终止；否则更新设计变量，继续进行下一步的迭代。

S1中，参数化超材料点阵结构为图1中所示的单胞结构，其控制参数有两个，第一个参数是相对密度η，用于描述微结构单胞存在材料分布的区域占整个单胞域的比例；第二个参数是比例因子ξ_exter，用于描述结构单胞中所占的比例大小，两个控制参数的表达式如下：

其中，V_strut表示微结构单胞中所有杆件的总体积，V_exter表示外框杆件所占的体积，V_lattice表示整个微结构单胞所包络的总体积。

为了定量描述参数化点阵材料的宏观力学性能，采用能量均匀化方法计算其对应为微结构单胞的等效弹性矩阵D^H，采用五次多项式曲面描述两个控制参数与等效弹性常数D_ij之间的显示关系，其数学表达式即参数化材料插值模型如下：

其中a_k(k＝0～20)为拟合多项式曲面方程对应项的系数。

S2中，建立的实体模型为图1中所示的长方体，初始设计域为长方体的长(L)、宽(W)和高(H)，通过对初始设计域进行网格划分，并对其施加边界条件和外力载荷，建立有限元模型。

S3中，具体步骤为：S301、定义宏观结构设计域上的相对密度设计变量和微观结构设计域上的比例因子设计变量，并对其赋值，在微观尺度中采用参数化插值方法计算微结构单胞的等效弹性矩阵D^H，根据等效弹性矩阵D^H求解宏观单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，进行有限元分析来求解宏观位移场U；其中为了定量地描述参数化点阵材料的宏观力学性能与微结构单胞控制参数的显式关系，提出了S1中所述的参数化点阵材料插值模型，采用五次多项式曲面描述两个控制参数与等效弹性常数D_ij之间的显式关系，其数学表达式如下：

其中a_k(k＝0～20)为拟合多项式曲面方程对应项的系数。

根据广义胡克定律，描述微结构点阵中存在的材料本构关系如下：

其中，式中，和/>分别为等效均质体的等效应力和等效应变，D^H为微结构单胞的等效弹性矩阵，上式可写为矩阵形式如下：

由于结构的几何对称性，上述所应用的微结构单细胞的等效弹性矩阵中仅存在三个独立的弹性常数项，分别可以记为：D₁₁(D₁₁＝D₂₂＝D₃₃)、D₁₂(D₁₂＝D₁₃＝D₂₃)以及D₄₄(D₄₄＝D₅₅＝D₆₆)，考虑到拟合效率和拟合精度，选取121组具有不同相对密度、不同比例因子的微结构单胞作为样本数据，可得到表达式如下：

在外部载荷的作用下，存储在微结构单胞和等效均质体中的弹性应变能E表达式如下：

式中，σ_ij表示应力张量，ε_ij表示应变张量，Ω表示固体介质的体积，应变能E可以通过有限元分析直接获得，通过将九个线性独立的测试应变场条件应用于点阵微结构，可以计算出每种工况对应的单位面积弹性应变能E_unit，从而得到点阵结构的等效弹性矩阵，单位体积的试验应变场及其对应的弹性应变能E_unit表达式如下：

通过同时求解上式中的9个方程，可以计算出三维点阵结构的等效弹性矩阵D^H表达式如下：

定义宏观结构设计域上的相对密度η和微观材料胞元设计域上的比例因子ξ，并对其赋值，计算宏观尺度单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K的公式如下：

其中，B为单元的应变矩阵，Ω_i为第i个单元的积分域，单元i对应的材料弹性矩阵为并对三维多尺度点阵结构进行有限元分析即根据组装结构的整体刚度矩阵K来求解宏观位移场U，公式如下：

U＝K^-1F

其中，F为结构整体所受外力。

S302、根据S302中的位移场U，计算三维多尺度超材料结构协同优化模型中的目标函数C，目标函数C的计算公式如下：

C＝U^TKU

S4中，基于S3中求解的位移场U，构建多尺度超材料结构协同优化模型如下：

find：X＝{η₁,η₂,…,η_n；ξ₁,ξ₂,…,ξ_n}^T

s.t.：KU＝F

0<η_min≤η_i≤η_max≤1,i＝1,2,…,n

0<ξ_min≤ξ_i≤ξ_max≤1,i＝1,2,…,n

其中，X为设计变量矢量，包含有n个相对密度变量和n个比例因子变量，C为多尺度结构的整体柔顺度函数，作为衡量结构刚度性能的指标，柔顺度越小，结构刚度越大；K和k_i分别为结构整体刚度矩阵和单元i的刚度矩阵，U和u_i分别为结构整体的位移场和单元i的位移场，F为结构整体所受外力；

在线弹性小变形的假设条件下，该优化问题需要满足静力平衡方程KU＝F，其中V_i为设计域中第i个单元的体积；V_f是体分比，定义为在优化过程中所用材料的体积与设计域总体积V的比值；为给定体分比的上限值。η_min和η_max分别为相对密度变量的下限值和上限值，ξ_min和ξ_max和分别为比例因子变量的下限值和上限值，它们的取值通常由结构设计要求和制造工艺约束共同决定。

对宏观尺度和微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，首先考虑结构整体柔顺度关于相对密度设计变量灵敏度分析，对静力平衡方程KU＝F，等号两端关于相对密度设计变量η_i进行求导，表达式如下：

根据设计变量独立性原则，上式简化后的表达式如下：

结构整体柔顺度关于相对密度设计变量η_i的灵敏度表达式如下:

仿照相对密度设计变量的推导过程，结构整体柔顺度C关于比例因子设计变量的灵敏度分析结果表达式如下：

所用材料体积关于相对密度设计变量和比例因子设计变量的灵敏度的表达式如下：

S5中，判断收敛情况，当连续两个迭代步中目标函数的变动小于1×10^-3，或者达到设定的最大迭代步数时，默认为优化收敛，迭代过程终止；否则，更新设计变量，继续进行S4中迭代更新宏观尺度及微观尺度中的设计变量的操作。

下面结合实施例来陈述本发明所提供的三维多尺度超材料结构优化设计方法。

实施例1

在本实例中，三维多尺度超材料的属性定义弹性模量E＝100MPa与泊松比μ＝0.3。初始设计域如图2所示，三点弯曲梁结构的长度为150mm，横截面为30mm×30mm的正方形；结构上端面中心区域施加竖直向下的均布力F，总载荷大小为100N；下端面距离左右侧面10mm的区域为支撑面，约束其竖直方向上的自由度。整个设计域采用八节点六面体单元，单元尺寸为5mm×5mm×5mm；考虑到设计要求与增材制造工艺约束，本例中参数化点阵材料相对密度的上下限分别设为η_max＝0.60和η_min＝0.10，比例因子的上下限分别设为ξ_max＝1.0和ξ_min＝0。

为了进一步研究两类设计变量对优化结果的影响，参照上述三维三点弯曲梁算例，在本实施例中设计了四组对照案例，图3为初始设计域所填充超材料单胞结构的示意图；在优化过程中，四个案例均以最小化结构柔顺度为优化目标，材料许用上限设为20％。图4给出了四个案例下的三点弯曲梁结构的优化设计结果，从图4中可以看出，案例A和B为均匀点阵材料设计方案，案例C和D为非均一点阵材料设计方案，并且不同案例获得的优化构型以及对应的结构柔顺度有显著的差异；为了更加直观地比较各个优化构型之间的结构刚度差异，图5给出了不同案例下的三点弯曲梁优化构型的结构柔顺度对比情况，从图5中可以明显地看出，案例D中优化构型的结构柔顺度明显低于其余三组，分别低于案例A～C中设计结果的22.1％,17.4％,和12.1％。因此，在四组对照案例中，案例D中优化构型的结构刚度最强，但仍然弱于图6中展示的优化构型，图6为优化之后所示结构每个位置上的点阵结构；如图7所示，是一体化目标函数的迭代曲线，从曲线中可以看出目标函数迅速收敛，在迭代20步以后收敛速度逐渐减慢，该方法能够迅速收敛并达到稳定值。由此可以得出：基于非均匀点阵材料的设计优于基于均匀点阵材料的设计，尤其是当点阵材料的两类设计变量可以协同优化时，进一步拓宽了优化问题的可行空间，对应优化构型的刚度性能也有所提升，证明所提出协同优化方法的有效性。

实施例2

在本实例中，三维多尺度超材料的属性定义弹性模量E＝100MPa与泊松比μ＝0.3。初始设计域如图8所示，轴向防撞结构的长度为50mm，横截面为30mm×30mm的正方形。结构右端面施加垂直均布力F，总载荷大小为100N；结构左端面为约束区域；整个设计域采用八节点六面体单元，单元尺寸为5mm×5mm×5mm。考虑到设计要求与增材制造工艺约束，本例中参数化点阵材料相对密度的上下限分别设为η_max＝0.60和η_min＝0.10，比例因子的上下限分别设为ξ_max＝1.0和ξ_min＝0。

为了进一步研究两类设计变量对优化结果的影响，参照上述三维轴向防撞结构算例，在本实施例中设计了四组对照案例。在优化过程中，四个案例均以最小化结构柔顺度为优化目标，材料许用上限设为20％。图9给出了四个案例下的三点弯曲梁结构的优化设计结果。从图9中可以看出，案例A和B为均匀点阵材料设计方案，案例C和D为非均一点阵材料设计方案。为了更加直观地比较各个优化构型之间的结构刚度差异，图10给出了不同案例下的三点弯曲梁优化构型的结构柔顺度对比情况。在四组对照案例中，案例D中优化构型的结构刚度最强，但仍然弱于图11中展示的优化构型。如图12所示，是一体化目标函数的迭代曲线，该方法能够迅速收敛并达到稳定值。由此可以得出：基于非均匀点阵材料的设计优于基于均匀点阵材料的设计，对应优化构型的刚度性能也有所提升，再次证明所提出协同优化方法的有效性。

本发明提供的考虑多控制参数的三维多尺度超材料结构协同优化设计方法，是一类系统的设计方法，需同时考虑组件的材料属性以及宏观载荷和边界条件等多个关键因素对宏观结构布局的影响，基于仿真、试验和经验的设计方法无法实现，且无法找到最优设计方案。

Claims (8)

1.一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1、构造参数化超材料点阵结构，提取控制参数为设计变量，采用能量均匀化方法对其进行宏观预测，完成参数化材料插值模型的建立；

S2、建立实体模型，定义初始设计域，对初始设计域进行网格划分，施加边界条件和外力载荷，建立有限元模型；

S3、定义宏观结构设计域上的设计变量和微观结构设计域上的设计变量，并对其赋值，计算宏观单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，对三维多尺度点阵结构进行有限元分析，获得结构响应信息；

S4、构建多尺度超材料结构协同优化模型，对宏观尺度和微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，并迭代更新宏观尺度和微观尺度中的设计变量，确定点阵微结构的最优布局；

S5、判断设计变量的收敛情况，当连续两个迭代步中目标函数的变动小于1×10^-3，或者达到设定的最大迭代步数200时，默认为优化收敛，迭代过程终止；否则更新设计变量，继续进行下一步的迭代。

2.根据权利要求1所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S1中，参数化超材料点阵结构的控制参数有两个，第一个参数是相对密度η，用于描述微结构单胞存在材料分布的区域占整个单胞域的比例；第二个参数是比例因子ξ_exter，用于描述微结构单胞中所占比例的大小，两个控制参数的计算公式如下：

其中，V_strut表示微结构单胞中所有杆件的总体积，V_exter表示外框杆件所占的体积，V_lattice表示整个微结构单胞所包络的总体积。

3.根据权利要求1所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S1中，采用能量均匀化方法进行宏观性能预测，用五次多项式曲面描述两个控制参数与等效弹性常数D_ij之间的显示关系，其参数化材料插值模型的数学表达式如下：

其中a_k(k＝0～20)为拟合多项式曲面方程对应项的系数。

4.根据权利要求1所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S3还包括以下步骤：

S301、定义宏观结构设计域上的相对密度设计变量和微观结构设计域上的比例因子设计变量，并对其赋值，在微观尺度中采用参数化插值法计算微观单元的等效弹性矩阵D^H，根据等效弹性矩阵D^H求解宏观尺度单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K，利用有限元分析来求解位移场U；

S302、根据S301中的位移场U，计算三维多尺度超材料结构协同优化模型中的目标函数C。

5.根据权利要求4所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述等效弹性矩阵D^H的表达式如下：

其中，和/>分别为等效均质体的等效应力和等效应变。

6.根据权利要求4所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S301中，宏观尺度单元刚度矩阵k_i以及组装结构的整体刚度矩阵K的计算公式如下：

其中，B为单元的应变矩阵，Ω_i为第i个单元的积分域，单元i对应的材料弹性矩阵为

位移场U的计算公式如下：

U＝K^-1F

其中，F为结构整体所受外力；

所述S302中目标函数C的计算公式如下：

C＝U^TKU。

7.根据权利要求1所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S4中的多尺度超材料结构协同优化模型如下：

find：X＝{η₁,η₂,…,η_n；ξ₁,ξ₂,…,ξ_n}^T

min：

s.t.：KU＝F

0<η_min≤η_i≤η_max≤1,i＝1,2,…,n

0<ξ_min≤ξ_i≤ξ_max≤1,i＝1,2,…,n

其中，X为设计变量矢量，包含有n个相对密度变量η和n个比例因子变量ξ；C为目标函数，为多尺度结构的整体柔顺函数；s.t.为约束条件，K和k_i分别为结构整体刚度矩阵和单元i的刚度矩阵，U和u_i分别为结构整体的位移场和单元i的位移场，F为结构整体所受外力；在线弹性小变形的假设条件下，该优化问题需要满足静力平衡方程如下：

KU＝F

η_i和v_i分别为设计域中第i个单元的密度和体积；V_f是体分比，为在优化过程中所用材料的体积V与设计域总体积V₀的比值，为给定体分比的上限值；η_min和η_max分别为相对密度变量的下限值和上限值。

8.根据权利要求1所述的一种三维多尺度超材料结构优化设计方法，其特征在于，所述S4中的对宏观尺度及微观尺度中的设计变量进行灵敏度分析，为目标函数和约束函数相对于设计变量的灵敏度分析求解，推导结构整体柔顺度C和材料用量V关于相对密度设计变量η_i和比例因子ξ_i设计变量的导数；

结构整体柔顺度关于相对密度设计变量的灵敏度分析，对静力平衡方程等号两端关于相对密度设计变量η_i进行求导，表达式如下：

上式根据设计变量独立性原则简化如下：

根据有限元分析相关理论，结构整体柔顺度C关于相对密度设计变量η_i的灵敏度表达式如下：

仿照上述推导过程，结构整体柔顺度C关于比例因子ξ_i设计变量的灵敏度分析表达式如下：

所用材料体积关于相对密度设计变量和比例因子设计变量的灵敏度表达式如下：

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