CN107025340A - 一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化设计相关技术领域，其公开了一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其包括以下步骤：(1)利用SIMP材料密度‑刚度插值模型，获取[0，1]之间不同层次实体材料的密度分布，同时得到宏观材料布局形式及宏观位移场；(2)构建基于参数化水平集方法的优化模型，在宏观材料布局优化的基础上，针对不同的中间密度单元进行微结构构型拓扑优化，并输出最优细观微结构构型。上述方法将支撑结构与所设计结构自身相结合，融合了宏观材料布局优化及细观微结构拓扑优化，避免了在增材制造成型中支撑结构的添加，节约了耗材，降低了成本，灵活性较高，且保护了结构表面质量。

Description

一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明属于结构优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法。

背景技术

增材制造系统中，支撑生成技术是其中的关键技术，它能约束零件的变形，并使零件得以顺利制造，研究的意义非常重大。但是工艺支撑的结构设计一直是增材制造技术发展的瓶颈，国内外已经在这方面做了一些研究，但解决方案并不理想，如设计过程繁琐，对设备操作者的要求较高。如一般市面上的3D打印机打印时以丝状供料，材料在喷头内被加热融化，喷头沿零件界面轮廓和填充轨迹运动，同时将融化的材料挤出，材料迅速冷却凝固，并与下方的模型(或者打印底板)融合构成整体模型的形状。打印机在打印底板上，从三维物体模型的底部开始，一层一层连续地打印至顶部，由于3D打印机打印原理类似于简单的“堆积木”，在打印物体模型中的悬空部位时，被挤出的塑料丝悬在空中而无法融合。用户需要在切片前对物体模型悬空部位下方添加支撑结构，这些支撑结构作为物体模型的一部分被打印机打印，这样在打印悬空部位时塑料丝能够与下方的支撑结构凝结。支撑结构在打印结束后需要被人为剥除，这样会对模型表面造成损伤，耗材较多，费时较长，且耗费较多的人力，成本较高，不利于推广应用。

当然，增材制造成型过程中，当零件悬空部分的特征尺寸很小时，也可以不添加支撑，利用材料本身的粘性特性成型，这为采用网状结构来实现增材制造过程中结构的自支撑提供了可行性。目前，对网状结构的研究主要有两种方法：一种是将网状结构看作桁架，利用离散体结构拓扑优化中的基结构法设计网状结构，此方法灵活性较差，不适用于连续体结构的拓扑优化；另一种是基于生产经验，通过设置周期性的隐函数或者样条函数，启发式地给出网状结构的设计，这种方法局限性较大，灵活性较低，对经验要求较高，质量不稳定。相应地，本领域存在着发展一种能够用于连续体结构且灵活性较高的自支撑网状结构拓扑优化设计方法的技术需求。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其采用了材料/结构一体化多尺度拓扑优化模型，其包含了宏观材料布局优化与细观微结构拓扑优化，避免了支撑结构的添加，节约了耗材，降低了成本，提高了结构表面质量；此外，所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法可适用于连续体结构，提高了灵活性，适用范围较广；此外，无需依靠经验，简单易于实行。

为实现上述目的，本发明提供了一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其包括以下步骤：

步骤一，利用SIMP材料密度-刚度差值模型，获取[0，1]之间不同层次实体材料的密度分布，同时得到宏观材料布局形式及宏观位移场，步骤一包括以下子步骤：

(11)基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对宏观材料布局的相对单元密度、材料体分比、优化算法参数进行初始化；

(12)对宏观材料布局进行有限元分析，以获得宏观结构整体位移场U；

(13)计算宏观结构整体刚度，并将所述宏观结构整体刚度作为目标函数值，优化目标为使宏观结构整体刚度最大化(即宏观结构柔度最小化)，约束条件为材料使用量；

(14)计算目标函数及体积约束对设计变量的敏度；

(15)采用计算获得的敏度构建优化准则，并求解宏观结构整体刚度的优化模型，以更新宏观结构有限单元密度设计变量；

(16)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最后的宏观材料布局形式以及当前的宏观位移场U，否则转至步骤(12)；

步骤二，构建基于参数化水平集方法的优化模型，在宏观材料布局优化的基础上，针对不同的中间密度单元进行微结构构型拓扑优化，并输出最优细观微结构构型。

进一步地，步骤二包括以下子步骤：

(21)基于获得的宏观材料布局形式及宏观位移场U，对各子优化问题模型、水平集函数及各微观结构单胞的有限元模型进行初始化；

(22)根据细观微结构单胞拓扑优化模型并行地进行各细观子问题微结构拓扑优化；

(23)利用单胞对应的水平集函数来计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵；

(24)计算目标函数及约束条件对设计变量的敏度；

(25)采用获得的敏度构建优化准则，并求解细观微结构单胞拓扑优化模型，根据求解结果以更新细观微结构的设计变量，同时更新水平集函数值及优化目标函数值；

(26)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优细观微结构构型，否则调用步骤(12)中的宏观结构有限元分析以更新宏进一步地，所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

E(x_i)＝E_min+ΔEx_i ^p,ΔE＝E-E_min,i＝1,2,...,m (1)

其中，x_i为宏观布局的相对单元密度，E(x_i)为经过插值后的弹性模量，K为插值后的整体刚度矩阵，K_i表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，E和E_min分别表示实体材料和孔洞材料的弹性模量，p为插值模型的惩罚因子，m为所划分有限单元的总数。

进一步地，宏观结构整体刚度最大化的优化模型为：

其中，x_i为设计变量(即单元密度)，C(x)为目标函数(即宏观结构柔度)，F为外载荷向量，U为结构整体位移场，p为插值模型的惩罚因子，K为插值后的整体刚度矩阵，K₀表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，V₀为每个有限单元的面积(或体积)，V_max为限定材料使用量，U_i为单元位移向量，x_min为人为假定的最小材料相对密度，一般取为0.001，目的是避免刚度矩阵奇异。

进一步地，宏观材料布局优化时，目标函数及体积约束对设计变量的敏度是通过公式(4)及公式(5)进行计算的，公式(4)及公式(5)如下：

进一步地，所述细观微结构单胞拓扑优化模型的表达式为：

其中，α_i,g为设计变量(即径向基函数插值中的扩展系数)，下标g表示单胞i在细观设计域中的单元编号，单胞i中划分的单元总数为n；V_i,max是单胞i的材料使用量上限，由宏观材料布局优化结果中的单元相对密度所确定；J和G分别代表目标函数和约束条件，K_i为单胞i的刚度矩阵，χ_i为施加的测试位移场，φ_i为单胞i的水平集函数值，Y_i为单胞i的面积(或体积)，H为Heaviside函数，弹性平衡条件的弱形式为a(u,v,Φ)＝l(v,Φ)，a(u,v,Φ)为能量双线性形式，l(v,Φ)为载荷线性形式，α_min、α_max分别为自变量(扩展系数)的上下限。

进一步地，将单胞对应的水平集函数代入公式(7)及公式(8)来进行计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵，公式(7)及公式(8)如下：

其中，E_pqrs为实体材料的固有弹性张量，|Y|代表微结构单胞的区域面积(或体积)，为每个单元在水平、竖直方向上的初始应变，为在水平、竖直方向上的位移场作用下的应变，B_i为单胞i的应变位移矩阵，K_i为单胞i的刚度矩阵。

进一步地，细观微结构拓扑优化时，目标函数及体积约束对设计变量的敏度是通过公式(9)及公式(10)进行计算的，公式(9)及公式(10)如下：

其中，为径向基函数，δ(Φ_i)为Dirac函数，用于计算Heaviside函数的偏导数。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法主要具有以下有益效果：

(1)所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法采用了材料/结构一体化多尺度拓扑优化模型，其包含了宏观材料布局优化与细观微结构拓扑优化，避免了支撑结构的添加，节约了耗材，降低了成本，提高了结构表面质量；

(2)所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法可适用于连续体结构，提高了灵活性，适用范围较广；此外，无需依靠经验，简单易于实行；

(3)采用所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法设计的结构在增材制造过程中，不需要人为添加额外支撑及去除额外支撑，通过自身的网状结构来实现自支撑，降低了人力耗费，缩短了制造周期，进而降低了成本。

附图说明

图1是本发明较佳实施方式提供的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法的流程图。

图2是采用图1中的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法来设计的悬臂梁的载荷与边界条件示意图。

图3是图2中的悬臂梁的宏观材料布局分布示意图。

图4是图2中的悬臂梁的不同宏观中间密度单元所对应的细观微结构构型、水平集函数图像及等效弹性张量的示意图。

图5是图2中的悬臂梁的优化设计结果示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明较佳实施方式提供的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法主要包括宏观材料布局优化与细观微结构拓扑优化两个步骤。所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法得到的结构在增材制造成型过程中，不需要人为添加额外支撑，而通过自身的网状结构来实现自支撑，适用于各类金属、非金属增材制造工艺，此类结构具有性能优良、重量轻盈的特点，并且在增材制造成型过程中避免了支撑结构的添加，达到节约耗材、保护结构表面质量的目的。

请参阅图1，本发明较佳实施方式提供的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法主要包括以下步骤:

步骤一，利用SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)材料密度-刚度插值模型，获取相对密度范围[0，1]之间不同层次实体材料的密度分布，同时得到宏观材料布局形式及宏观位移场，具体包括以下步骤：

(11)基于SIMP材料-刚度插值模型，对宏观材料布局的相对单元密度x_i、材料体分比、优化算法参数进行初始化。所述SIMP材料-刚度插值模型的数学表达式为：

E(x_i)＝E_min+ΔEx_i ^p,ΔE＝E-E_min,i＝1,2,...,m (1)

其中，x_i为宏观布局的相对单元密度，E(x_i)为经过插值后的弹性模量，K为插值后的整体刚度矩阵，K_i表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，E和E_min分别表示实体材料和孔洞材料的弹性模量，p为插值模型的惩罚因子，m为所划分有限单元的总数。

(12)对宏观材料布局进行有限元分析，以获得宏观结构整体位移场U。本实施方式中，F＝KU，其中，F为外载荷向量，K为全局刚度矩阵。

(13)计算宏观结构整体刚度，并将所述宏观结构整体刚度作为目标函数值，优化目标为使宏观结构整体刚度最大化(即宏观结构柔度最小化)，约束条件为材料使用量。宏观结构整体刚度最大化的优化模型为：

其中，x_i为设计变量(即单元密度)，C(x)为目标函数(即宏观结构柔度)，F为外载荷向量，U为结构整体位移场，p为插值模型的惩罚因子，K为插值后的整体刚度矩阵，K₀表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，V₀为每个有限单元的面积(或体积)，V_max为限定材料使用量，U_i为单元位移向量，x_min为人为假定的最小材料相对密度，一般取为0.001，目的是避免刚度矩阵奇异。

(14)计算宏观材料布局优化的目标函数及体积约束对设计变量的敏度。具体地，采用公式(4)与公式(5)来计算单元密度及体积约束对设计变量的敏度。

(15)采用计算获得的敏度构建优化准则，并求解宏观结构整体刚度的优化模型，以更新宏观结构有限单元密度设计变量。本实施方式中，为了降低计算成本，将统一数值范围内的单元密度设定为其算数平均值。

(16)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最后的宏观材料布局形式以及当前的宏观位移场U，否则转至步骤(12)。

通过宏观材料布局优化设计，得到了任意单元的密度变量结果有三种情况：0、1或者中间值，若密度非常接近0或1，则单元为完全孔洞，无需再进行材料体胞的网状结构设计；若密度为中间密度值，则为网状结构，需要进一步进行微结构体胞的构型设计。

步骤二，构建基于参数化水平集方法的优化模型，在宏观材料布局优化的基础上，针对不同的中间密度单元进行微结构构型拓扑优化，具体包括以下步骤：

(21)基于获得的宏观材料布局形式及宏观位移场U，对各子优化问题模型、水平集函数及各微观结构单胞的有限元模型进行初始化。

(22)根据细观微结构单胞拓扑优化模型并行地进行各细观子问题微结构拓扑优化。所述细观微结构单胞拓扑优化模型的表达式为：

其中，α_i,g为设计变量(即径向基函数插值中的扩展系数)，下标g表示单胞i在细观设计域中的单元编号，单胞i中划分的单元总数为n；V_i,max是单胞i的材料使用量上限，由宏观材料布局优化结果中的单元相对密度所确定；J和G分别代表目标函数和约束条件，K_i为单胞i的刚度矩阵，χ_i为施加的测试位移场，φ_i为单胞i的水平集函数值，Y_i为单胞i的面积(或体积)，H为Heaviside函数，弹性平衡条件的弱形式为a(u,v,Φ)＝l(v,Φ)，a(u,v,Φ)为能量双线性形式，l(v,Φ)为载荷线性形式，α_min、α_max分别为自变量(扩展系数)的上下限。

(23)利用单胞对应的水平集函数来计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵。具体地，将单胞对应的水平集函数代入公式(7)及公式(8)来进行计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵，公式(7)及公式(8)如下所示：

其中，E_pqrs为实体材料的固有弹性张量，|Y|代表微结构单胞的区域面积(或体积)，为每个单元在水平、竖直方向上的初始应变，为在水平、竖直方向上的位移场作用下的应变，B_i为单胞i的应变位移矩阵，K_i为单胞i的刚度矩阵。

(24)计算细观微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对设计变量的敏度。具体地，通过公式(9)及公式(10)来进行计算目标函数及约束条件对设计变量的敏度。

其中，为径向基函数，δ(Φ_i)为Dirac函数，用于计算Heaviside函数的偏导数。

(25)采用获得的敏度构建优化准则，并求解细观微结构单胞拓扑优化模型，根据求解结果以更新细观微结构的设计变量，同时更新水平集函数值及优化目标函数值。

(26)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优细观微结构构型，否则调用步骤(12)中的宏观结构有限元分析以更新宏观位移场U，之后转到步骤(22)。

请参阅图2至图5，以下以悬臂梁结构的设计来进一步说明本发明。如图2所示，悬臂梁结构的设计域的长宽比为1：1，材料自身弹性模量E＝910，泊松比υ＝0.3，悬臂梁左端面固支，右端面中点处有F＝500N竖直向下的集中载荷；优化目标为最大化整体结构的刚度(即最小化整体结构的柔度)，限定材料使用量为65％。

如图3所示，将悬臂梁结构的宏观结构离散为30×30的正四边形单元，通过宏观材料布局优化后得到宏观有限单元密度。在优化求解过程中，为降低计算成本，将同一数值范围内(每0.2为一个区间)的单元密度设定为其算数平均值。根据相对密度数值的大小区分，结构特征可分为三类：孔洞(密度为0.03的区域)、实体(密度为1的区域)、网状结构(密度为0.29、0.51、0.66的区域)。

在细观微结构拓扑优化中，假设相同宏观密度有限单元对应的微结构单胞构型相同，则经过细观微结构拓扑优化后，悬臂梁结构各宏观密度单元所对应的细观微结构构型、水平集函数图像以及等效弹性张量如图4所示。由上述细观微结构按照宏观结构材料布局优化结果进行排布得到的单载荷悬臂梁最优结构设计结果如图5所示。

本发明提供的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其采用了材料/结构一体化多尺度拓扑优化模型且包含了宏观材料布局优化与细观微结构拓扑优化，避免了支撑结构的添加，节约了耗材，降低了成本，提高了结构表面质量；所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法可适用于连续体结构，提高了灵活性，适用范围较广；此外，无需依靠经验，简单易于实行；采用所述自支撑网状结构拓扑优化设计方法设计的结构在增材制造过程中，不需要人为添加额外支撑及去除额外支撑，通过自身的网状结构实现自支撑，降低了人力耗费，缩短了制造周期，进而降低了成本。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其包括以下步骤：

步骤一，利用SIMP材料密度-刚度插值模型，获取[0，1]之间不同层次实体材料的密度分布，同时得到宏观材料布局形式及宏观位移场，步骤一包括以下子步骤：

(11)基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对宏观材料布局的相对单元密度、材料体分比、优化算法参数进行初始化；

(12)对宏观材料布局进行有限元分析，以获得宏观结构整体位移场U；

(13)计算宏观结构整体刚度，并将所述宏观结构整体刚度作为目标函数值，优化目标为使宏观结构整体刚度最大化(即宏观结构柔度最小化)，约束条件为材料使用量；

(14)计算目标函数及体积约束对设计变量的敏度；

(15)采用计算获得的敏度构建优化准则，并求解宏观结构整体刚度的优化模型，以更新宏观结构有限单元密度设计变量；

(16)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最后的宏观材料布局形式以及当前的宏观位移场U，否则转至步骤(12)；

步骤二，构建基于参数化水平集方法的优化模型，在宏观材料布局优化的基础上，针对不同的中间密度单元进行微结构构型拓扑优化，并输出最优细观微结构构型。

2.如权利要求1所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤二包括以下子步骤：

(21)基于获得的宏观材料布局形式及宏观位移场U，对各子优化问题模型、水平集函数及各微观结构单胞的有限元模型进行初始化；

(22)根据细观微结构单胞拓扑优化模型并行地进行各细观子问题微结构拓扑优化；

(23)利用单胞对应的水平集函数来计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵；

(24)计算目标函数及约束条件对设计变量的敏度；

(25)采用获得的敏度构建优化准则，并求解细观微结构单胞拓扑优化模型，根据求解结果以更新细观微结构的设计变量，同时更新水平集函数值及优化目标函数值；

(26)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优细观微结构构型，否则调用步骤(12)中的宏观结构有限元分析以更新宏观位移场U，之后转到步骤(22)。

3.如权利要求1-2任一项所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

E(x_i)＝E_min+ΔEx_i ^p,ΔE＝E-E_min,i＝1,2,...,m (1)

其中，x_i为宏观布局的相对单元密度，E(x_i)为经过插值后的弹性模量，K为插值后的整体刚度矩阵，K_i表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，E和E_min分别表示实体材料和孔洞材料的弹性模量，p为插值模型的惩罚因子，m为所划分有限单元的总数。

4.如权利要求3所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：宏观结构整体刚度最大化的优化模型为：

其中，x_i为设计变量(即单元密度)，C(x)为目标函数(即宏观结构柔度)，F为外载荷向量，U为结构整体位移场，p为插值模型的惩罚因子，K为插值后的整体刚度矩阵，K₀表示相对单元密度为1的实体单元所对应的刚度矩阵，V₀为每个有限单元的面积(或体积)，V_max为限定材料使用量，U_i为单元位移向量，x_min为人为假定的最小材料相对密度，一般取为0.001，目的是避免刚度矩阵奇异。

5.如权利要求4所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：宏观材料布局优化时，目标函数及体积约束对设计变量的敏度是通过公式(4)及公式(5)进行计算的，公式(4)及公式(5)如下。

6.如权利要求5所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：所述细观微结构单胞拓扑优化模型的表达式为：

其中，α_i,g为设计变量(即径向基函数插值中的扩展系数)，下标g表示单胞i在细观设计域中的单元编号，单胞i中划分的单元总数为n；V_i,max是单胞i的材料使用量上限，由宏观材料布局优化结果中的单元相对密度所确定；J和G分别代表目标函数和约束条件，K_i为单胞i的刚度矩阵，χ_i为施加的测试位移场，φ_i为单胞i的水平集函数值，Y_i为单胞i的面积(或体积)，H为Heaviside函数，弹性平衡条件的弱形式为a(u,v,Φ)＝l(v,Φ)，a(u,v,Φ)为能量双线性形式，l(v,Φ)为载荷线性形式，α_min及α_max分别为自变量(扩展系数)的上下限。

7.如权利要求6所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：将单胞对应的水平集函数代入公式(7)及公式(8)来进行计算微结构等效弹性张量及微结构所对应的单元刚度矩阵，公式(7)及公式(8)如下：

其中，E_pqrs为实体材料的固有弹性张量，|Y|代表微结构单胞的区域面积(或体积)，为每个单元在水平、竖直方向上的初始应变，分别为在水平、竖直方向上的位移场作用下的应变，B_i为单胞i的应变位移矩阵，K_i为单胞i的刚度矩阵。

8.如权利要求7所述的适用于增材制造的自支撑网状结构拓扑优化设计方法，其特征在于：细观微结构拓扑优化时，目标函数及体积约束对设计变量的敏度是通过公式(9)及公式(10)进行计算的，公式(9)及公式(10)如下：

其中，为径向基函数，δ(Φ_i)为Dirac函数，用于计算Heaviside函数的偏导数。