CN109670200A - 一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化技术领域，并公开了一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法。包括：(a)给定设计域作为待优化对象，构建与设计域对应的NURBS曲面；(b)计算NURBS曲面的等几何材料密度分布场，建立设计域的结构优化设计模型，使设计域在体积减小的同时仍满足结构刚度性能达到需求，定义设计模型获得设计域中各控制顶点对应的密度；(c)建立优化准则更新上述密度并使其收敛，由此获得所需的所述设计域中每个点对应的密度，从而实现等几何材料密度场结构拓扑优化。通过本发明，有效地实现结构优化设计，消除拓扑优化设计中常见的棋盘格问题、网格依赖和孤岛现象等数值不稳定问题，使拓扑优化的结构更加光滑，提高优化求解效率。

Description

一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化技术领域，更具体地，涉及一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法。

背景技术

变密度法(SIMP)是拓扑优化方法中常用的方法之一，其特点是，利用各向同性的材料插值模型将离散的设计变量转换为连续变量。该方法很大程度上依赖于人工参数来消除数值不稳定性，并且在确定最佳参数之前没有合理的指导方针。

双向渐近结构优化(BESO)法，在优化过程中允许在每个迭代步同时删除和添加材料。空单元的敏感数通过有限元分析所得位移场的线性估计得到，然后，删除敏感数低的实体单元，同时将敏感数高的空单元变为实体单元。该方法在求解过程中，“棋盘格”现象、网格依赖性、优化迭代过程“振荡”等问题的出现会导致优化结果制造性较差、优化过程无法继续等问题。

水平集方法的基本思想是将结构的运动边界隐式的嵌入到高一维的标量函数中，采用应力相关的函数作为驱动水平集的速度场，通过水平集函数的演化逐步实现结构形状和拓扑的满应力设计。在数值实现过程中需要诸如显式差分格式、重新初始化和速度扩展等操作，导致该类型的方法往往需要求解复杂的偏微分方程，而难以在实际工程中有效应用。

基于有限元方法的结构优化是目前工业产品设计过程中常用的方法之一。然而，随着设计问题的多样化、复杂化等实际问题的出现，对优化速度以及精度等方面都提出了更高的要求。而通过细分网格提高分析精度的方法会产生大量的单元，使得设计成本过高，同时在此过程中修改网格也会带来过程的繁琐与耗时。因此，有限元分析法在拓扑优化设计的过程中存在的网格依赖是目前存在的较突出的问题。因而，在最终的优化结果中，往往会出现比如：棋盘格问题、非平滑的“zig-zag”边界以及局部极小值问题等。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，本发明中通过基于NURBS构建的材料密度场对待优化区域进行结构优化，能够更有效地实现结构优化设计，消除拓扑优化设计中常见的棋盘格问题、网格依赖和孤岛现象等数值不稳定问题，使拓扑优化的结构更加光滑，提高优化求解效率。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)给定一个设计域并将该设计域作为结构待优化的对象，设定所述设计域上承受的载荷和边界条件，根据所述设计域选择相应NURBS基函数和控制顶点，以此构建与所述设计域对应的NURBS曲面；

(b)计算所述NURBS曲面的等几何材料密度分布场，利用该密度场分布建立所述设计域的结构优化设计模型，使得所述设计域在体积减小的同时刚度最大，计算所述设计模型以此获得所述设计域中的点对应的密度；

(c)建立优化准则更新步骤(b)中计算获得的所述密度，判断优化后的所述密度是否满足预设收敛条件，若不满足，返回步骤(b)，直至满足所述收敛条件，由此获得所需的所述设计域中每个点对应的密度，从而实现等几何材料密度场结构拓扑优化。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述结构优化设计模型优选采用下列模型：

其中，ρ_i，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是所述设计域上点的坐标，n，m分别是在构建所述NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是所述设计域，u中所述设计域上的位移场，是密度分布场，是在位移场和密度分布场分别为u和时对应的所述设计域的总柔度，ε(u)是应变场，是弹性张量，是优化后的设计域体积与设计域初始体积V₀之差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷。

进一步优选地，所述位移场u优选按照下列关系式进行：

u＝F/K_e

其中，F是所述设计域上承受的载荷，K_e是刚度矩阵，B(ξ_i，η_j)是高斯点(ξ_i，η_j)通过与NURBS基函数的偏导数所求的应变-位移矩阵，是在高斯点(ξ_i，η_j)处的密度，γ是惩罚因子，D₀是实体密度的弹性张量矩阵，J₁(ξ_i，η_j)是映射矩阵在高斯点(ξ_i，η_j)上的值，J₂(ξ_i，η_j)是映射矩阵在高斯积分点上的值，w_i和ω_j分别是积分点(ξ_i，η_j)在两个参数化方向上的权重。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述等几何材料密度分布场优选采用按照下列表达式计算：

其中， 是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρ_i，j表示控制顶点(i，j)处的密度，w(ρ_i，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数，(ξ，η)为参数坐标，是所述NURBS基函数。

进一步优选地，所述NURBS基函数优选按照下列关系式进行：

其中，N_i，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，是第i个p次基函数，n是N_i，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ₁，ξ₂，…，ξ_n+p+1}构成；M_j，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，是第j个q次基函数，m是M_j，q(η)中基函数的个数，q是基函数的次数，由节点向量构成，ω_ij是张量积N_i，p(ξ)M_j，q(η)对应的权重。

进一步优选地，在步骤(c)中，所述优化准则优选按照下列关系式进行：

其中，是第k+1步的密度值，是第k步的密度值，是点(i，j)的设计变量在第k步循环对应的更新因子，m，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0，1)，ρ_min是密度最小值，ρ_max是密度最大值。

进一步优选地，在步骤(c)中，所述收敛条件优选按照下列关系式进行：

其中，是k+1步密度的最大变化值，是第k步密度的最大变化值，ε是预设的收敛误差。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

1、本发明提供的方法是基于NURBS构建的材料密度场，具有更高的连续性、光滑性，同时由于NURBS在优化中具有过滤密度的特性，因此能够实现消除拓扑优化中常见的棋盘格问题、网格依赖和孤岛现象等数值不稳定问题；

2、本发明提供的方法采用等几何分析，实现NURBS曲面的CAD模型与CAE模型一致，消除了传统采用有限元方法的误差，因此结构响应分析和灵敏度计算的精度更高，利于提高计算精度和稳定性，且其优化求解的效率相比传统方法也将大大提升；

3、本发明提供的方法由于采用等几何分析，CAD与CAE模型一致，可以实现结构的几何模型与CAE分析无缝连接，不需要为了获得高质量网格，而重复的去划分网格，有效避免依赖网格的形状优化过程中所产生的重新划分网格和繁琐的参数化过程，对于壳体、曲面等复杂结构参数化的过程同样具有适应性。

附图说明

图1是按照本发明的优选实施例所构建的等几何材料密度场结构拓扑优化方法流程图；

图2是按照本发明的优选实施例所构建的待优化的悬臂梁结构的设计域边界条件示意图；

图3按照本发明的优选实施例所构建的将图2中的悬臂梁结构优化后得到的结构示意图；

图4按照本发明的优选实施例所构建的图2中的悬臂梁结构优化过程的收敛结果示意图；

图5按照本发明的优选实施例所构建的待优化的四分之一圆环结构的设计域边界条件示意图；

图6按照本发明的优选实施例所构建的图5中的四分之一圆环结构优化后得到的结构示意图；

图7按照本发明的优选实施例所构建的图5中的四分之一圆环结构优化过程的收敛结果示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

图1是按照本发明的优选实施例所构建的等几何材料密度场结构拓扑优化方法流程图，如图1所示，具体流程如下：

(1)任意设定设计域、载荷、边界条件；

(2)定义参数：定义NURBS基函数的多项式指数、NURBS基函数的数量、等几何分析单元数、两个参数方向上的节点向量、两个参数方向上的控制点数量等参数，根据上述参数确定NURBS基函数和控制顶点，并以此建立与设计域对应的NURBS曲面；接着设定设计域的目标体积和惩罚因子；两个参数方向上的节点向量分别为Ξ＝{ξ₁，ξ₂，…，ξ_n+p+1}，两个节点向量的方向即为参数方向ξ，η。

(3)用Shepard函数光滑控制顶点密度，光滑后的控制顶点密度可表示为：

式中，是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρ_i，j表示控制顶点(i，j)处的密度，w(ρ_i，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数。

(4)通过NURBS函数构造密度分布场：

其中，(ξ，η)为参数坐标，是根据步骤(3)中所得到的光滑后的控制顶点密度形式，是定义的双变量NURBS基函数，形式如下：

N_i，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，表示第i个p次基函数，n代表N_i，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ₁，ξ₂，…，ξ_n+p+1}构成；M_j，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j个q次基函数，m代表M_j，q(η)中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量构成。ω_ij是张量积N_i，p(ξ)M_j，q(η)对应的权重。

(5)基于步骤(4)中NURBS函数构造的等几何材料密度场，求解单元刚度矩阵：

其中，B(ξ_i，η_j)是高斯点(ξ_i，η_j)通过与参数坐标有关的NURBS基函数的偏导数所求的应变-位移矩阵，代表在高斯点(ξ_i，η_j)处的密度，γ是惩罚因子。D₀是实体密度的弹性张量矩阵。J₁(ξ_i，η_j)代表从参数空间到物理空间的映射矩阵在高斯积分点上的值，J₂(ξ_i，η_j)代表从双线性单元到参数空间单元的映射矩阵在高斯积分点上的值，ω_i和ω_j是对应的积分点处权重。

(6)基于密度分布场构建结构优化设计模型：

ρ_i，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是所述设计域上点的坐标，n，m分别是在构建所述NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是所述设计域，u中所述设计域上的位移场，是密度分布场，是在位移场和密度分布场分别为u和时对应的所述设计域的总柔度，ε(u)是应变场，是弹性张量，是优化后的设计域体积与设计域初始体积V₀差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷。

具体地，平衡方程是通过虚功原理建立的，定义为：

a是双线性能量函数，l是线性载荷函数。u是在结构设计域Ω的位移场，δu是在Sobolev空间H¹(Ω)的虚位移场。D表示弹性张量矩阵，f是体积力，h是在Neumann边界Γ_N上的边界引力。

(7)对目标函数和约束条件进行敏度分析求解，即目标函数和约束条件分别对设计变量进行求导，求导公式如下：

J表示结构的总柔度，ρ_i，j为点(i，j)处的密度，u是在结构设计域Ω的位移场，γ是惩罚因子，是密度分布场，D₀是实体密度的弹性张量矩阵，代表双变量NURBS基函数，ψ(ρ_i，j)表示在当前控制点(i，j)处的Shepard函数，G是体积约束。

(8)通过优化准则更新设计变量，得到更新后的密度值。优化准则表达形式为：

表示第k+1步的密度值，表示第k步的密度值。是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，m，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0，1)。ρ_min表示单元的最小密度，一般取0.001，ρ_max表示单元的最大密度。

(9)判断收敛条件是否满足：若满足，则输出当前设计结果作为最优结构，否则，返回步骤(5)继续进行优化，直到满足条件。

收敛条件定义为：

其中，表示k+1步设计变量的最大变化值，表示第k步步设计变量的最大变化值，ε是允许的收敛误差。即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于等于1％时，优化完成。

下面结合图2～7所示的两个具体实施例来对本发明的上述步骤进行详细说明：

实例一、请参阅图2～4

(1)如图2所示，设计域为一个L＝10，H＝5的悬臂梁结构，左边界固定，右边界中点处有一集中载荷F＝1。

(2)定义参数如下：目标体积30％、惩罚因子为3、NURBS基函数的多项式指数为3、等几何分析网格包含100×50个单元、两个参数方向ξ，η上的节点向量分别为：Ξ＝{0，0，0，0，0.01，…，0.99，1，1，1，1}和在参数方向ξ，η上控制顶点的个数分别为n＝103，m＝53。

(3)用Shepard函数光滑控制顶点密度，光滑后的控制顶点密度可表示为：

式中，是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρ_i，j表示控制顶点(i，j)处的密度，w(ρ_i，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数。

(4)通过NURBS函数构造密度分布场：

其中，(ξ，η)为参数坐标，是根据步骤(3)中所得到的光滑后的控制顶点密度形式，是定义的双变量NURBS基函数，形式如下：

N_i，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，表示第i个p次基函数，n代表N_i，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ₁，ξ₂，…，ξ_n+p+1}构成；M_j，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j个数q次基函数，m代表M_j，q(η)中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量构成。ω_ij是张量积N_i，p(ξ)M_j，q(η)对应的权重。

(5)基于步骤(4)中NURBS函数构造的等几何材料密度场，求解单元刚度矩阵：

其中，B(ξ_i，η_j)是高斯点(ξ_i，η_j)通过与参数坐标有关的NURBS基函数的偏导数所求的应变-位移矩阵，代表在高斯点(ξ_i，η_j)处的密度，γ是惩罚因子。D₀是实体密度的弹性张量矩阵。J₁(ξ_i，η_j)代表从参数空间到物理空间的映射矩阵在高斯积分点上的值，J₂(ξ_i，η_j)代表从双线性单元到参数空间单元的映射矩阵在高斯积分点上的值，ω_i和ω_j是对应的积分点处权重，此处的单元刚度矩阵用于求解单元位移向量u。

(6)基于密度分布场构建结构优化设计模型：

式中，ρ_i，j为点(i，j)处的密度，(i，j)表示两个参数方向的坐标，n，m分别为在参数方向ξ，η上控制顶点的个数。建立约束条件，优化后的体积小于初始体积，J表示结构的总柔度，u是在结构设计域Ω的位移场，是密度分布场，D表示弹性张量矩阵，G是体积约束，代表点(ξ_i，η_j)处的密度，V₀表示设计域的初始体积。g在Dirichlet边界Γ_D的位移向量。δu是在Sobolev空间H¹(Ω)的虚位移场。a是双线性能量函数，l是线性载荷函数。具体地，平衡方程是通过虚功原理建立的，定义为：

a是双线性能量函数，l是线性载荷函数。u是在结构设计域Ω的位移场，δu是在Sobolev空间H¹(Ω)的虚位移场。D表示弹性张量矩阵，f是体积力，h是在Neumann边界Γ_N上的边界引力。

(7)对目标函数和约束条件进行敏度分析求解，即目标函数和约束条件分别对设计变量进行求导，求导公式如下：

J表示结构的总柔度，ρ_i，j为点(i，j)处的密度，u是在结构设计域Ω的位移场，γ是惩罚因子，是密度分布场，D₀是实体密度的弹性张量矩阵，代表双变量NURBS基函数，ψ(ρ_i，j)表示在当前控制点(i，j)处的Shepard函数，G是体积约束。

(8)通过优化准则更新设计变量，得到更新后的密度值。优化准则表达形式为：

表示第k+1步的密度值，表示第k步的密度值。是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，m，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0，1)。ρ_min表示单元的最小密度，一般取0.001，ρ_max表示单元的最大密度。

(9)判断收敛条件是否满足：若满足，则输出当前设计结果作为最优结构，否则，返回步骤(5)继续进行优化，直到满足条件。

收敛条件定义为：

其中，表示第k+1步设计变量的最大变化值，表示第k步设计变量的最大变化值，ε是允许的收敛误差。即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于等于1％时，优化完成。

优化后的悬臂梁结构如图3所示。其优化过程可简述为，通过构造Shepard方程，光滑控制点密度，用以构造材料密度场，进而对单元刚度矩阵进行求解，以构造密度分布场构建的结构优化设计模型。通过优化设计模型，对目标函数和约束条件进行灵敏度分析，得到设计变量，再通过优化准则对设计变量进行更新，得到优化的结构，进而判断是否满足收敛条件，即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于0.01，若满足则输出优化结构，若不满足，则返回步骤求解单元刚度矩阵，继续进行优化，直到满足收敛条件，输出最优结果。

图4为目标函数的迭代曲线，从曲线可以看出，初始时由于体积分数未达到约束时，目标函数波动较大。当体积分数达到约束值，目标函数开始稳定变化，逐渐收敛，在迭代85次后完成优化。表明了该设计方法能够快速的收敛并达到稳定值，且最终的结构边界光滑，效果显著。

实例二、请参阅图5～7

图5以一个外径R＝10，内径为r＝5的1/4圆环结构为例，在左上角顶点处固定，并施加一个向下的力F＝1，右下边缘为可滑动固定。NURBS基函数的次数为3。两个参数方向的节点向量分别为：Ξ＝{0，0，0，0，0.01，…，0.99，1，1，1，1}和对应的等几何网格包含了100×50个单元。两个参数方向上的控制点数量为103×53，设计变量的数量为5459，最大目标体积分数V₀为40％。最终优化得到的总柔度值为110.39。

实例二的优化流程与实例一相同，图6为优化结果，不难看出，对于曲线边界的优化同样具有良好的效果，图7为目标函数的迭代曲线，从曲线可以看出，初始时由于体积分数未达到约束时，目标函数波动较大。当体积分数达到约束值，目标函数开始稳定变化，逐渐收敛，在迭代97次后完成优化。同样表明了该设计方法能够快速的收敛并达到稳定值，且最终的结构边界光滑，效果显著。

实例二是为了通过圆环结构证明本专利提出的方法对于曲线结构同样具有良好的优化效果。

本发明提供的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其目的在于消除拓扑优化设计中常见的数值问题，如棋盘格问题、网格依赖性和孤岛现象，使得优化结构不仅能够具有更加光滑的边界，同时结构优化过程更加稳定、效率更高，同时对于壳体、曲面等复杂结构的设计同样具有适应性。

等几何分析的提出核心目的在于使实现结构的几何模型与数值分析模型一致，其核心思想是构造几何建模的基函数和结构数值分析的形函数一致。本发明致力于建立一个新的高效的结构拓扑优化设计方法，命名为“等几何材料密度场法”。该方法符合拓扑优化基本思想，寻找结构优化设计域内的最优材料分布，而非空间内有限单元的密度分布，该方法能够消除拓扑优化设计中常见的数值问题，如棋盘格问题、网格依赖性和孤岛现象，使得优化结构不仅能够具有更加光滑的边界，同时结构优化过程更加稳定、效率更高，同时对于壳体、曲面等复杂结构的设计同样具有适应性。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)给定一个设计域并将该设计域作为结构待优化的对象，设定所述设计域上承受的载荷和边界条件，根据所述设计域选择相应的NURBS基函数和控制顶点，以此构建与所述设计域对应的NURBS曲面；

(b)计算所述NURBS曲面的等几何材料密度分布场，利用该密度场分布建立所述设计域的结构优化设计模型，使得所述设计域在体积减小的同时刚度最大，计算所述设计模型以此获得所述设计域中各点对应的密度；

(c)建立优化准则更新步骤(b)中计算获得的所述密度，判断更新后的所述密度是否满足预设收敛条件，若不满足，返回步骤(b)，直至满足所述收敛条件，由此获得所需的所述设计域中每个点对应的密度，从而实现等几何材料密度场结构拓扑优化。

2.如权利要求1所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述结构优化设计模型优选采用下列模型：

其中，ρ_i，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是所述设计域上控制顶点的坐标，n，m分别是在构建所述NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是所述设计域，u中所述设计域上的位移场，是密度分布场，是在位移和密度分布场分别为u和时对应的所述设计域的总柔度，ε(u)是应变场，是弹性张量，是优化后的设计域体积与设计域初始体积V₀之差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷。

3.如权利要求2所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，所述位移场u优选按照下列关系式进行：

u＝F/K_e

其中，F是所述设计域上承受的载荷，K_e是刚度矩阵，B(ξ_i，η_j)是高斯点(ξ_i，η_j)通过与NURBS基函数的偏导数所求的应变-位移矩阵，是在高斯点(ξ_i，η_j)处的密度，γ是惩罚因子，D₀是实体密度的弹性张量矩阵，J₁(ξ_i，η_j)是映射矩阵在高斯点(ξ_i，η_j)上的值，J₂(ξ_i，η_j)是映射矩阵在高斯积分点上的值，w_i和w_j分别是积分点(ξ_i，η_j)在两个参数化方向上的权重。

4.如权利要求1-3任一项所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述等几何材料密度分布场优选采用按照下列表达式计算：

其中， 是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρ_i，j表示控制顶点(i，j)处的密度，w(ρ_i，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数，(ξ，η)为参数坐标，是所述NURBS基函数。

5.如权利要求4所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，所述NURBS基函数优选按照下列关系式进行：

其中，N_i，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，是第i个p次基函数，n是N_i，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ₁，ξ₂，…，ξ_n+p+1}构成；M_j，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，是第j个q次基函数，m是M_j，q(η)中基函数的个数，q是基函数的次数，由节点向量构成，ω_ij是张量积N_i，p(ξ)M_j，q(η)对应的权重。

6.如权利要求1-5任一项所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述优化准则优选按照下列关系式进行：

其中，是第k+1步的密度值，是第k步的密度值，是点(i，j)的设计变量在第k步循环对应的更新因子，m，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0，1)，ρ_min是密度最小值，ρ_max是密度最大值。

7.如权利要求1-6任一项所述的一种等几何材料密度场结构拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述收敛条件优选按照下列关系式进行：

其中，是k+1步密度的最大变化值，是第k步密度的最大变化值，ε是预设的收敛误差。