CN107491599A - 一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于结构优化设计相关技术领域，其公开了一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，用于优化多相材料柔性机构的结构，其包括以下步骤：(1)构建多相材料水平集拓扑描述模型，描述结构多相材料分布；(2)构建刚度插值模型和可分离应力插值模型，分别计算多相材料结构弹性刚度和应力；(3)构建基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，同时优化柔性机构的输出位移和柔度，并控制多相材料结构局部应力。上述方法应用于应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化设计，优化后获得的多相材料柔性机构具有高柔性、高刚度的优点，并且其柔性结部分无单点铰链现象，结构强度要求得到满足，应力集中问题被缓解。
Description
技术领域
本发明属于结构优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法。
背景技术
柔性机构是通过柔性构件的变形而传递力、位移和能量的机械机构。柔性机构主要分为两类：集中式柔性机构和分布式柔性机构。集中式柔性机构仅在整个机构的局部具有柔性，通过柔性结替代传统机构中的运动副来传递运动，其余部分仍为刚体构件；分布式柔性机构将变形分布于整个结构中，结构中任一部分均对分布式柔性机构的柔性和输出有所贡献。目前，集中式柔性机构和分布式柔性机构哪一种更优仍无定论，但是对于柔性机构的设计，上述两种柔性机构均有相同的设计难点：柔性机构需要同时拥有足够大的柔性和刚度，以及如何控制结构应力。
现有的同时优化柔性机构柔性和刚度的方法种类繁多，均对同时优化柔性机构柔性和刚度具有一定的效果，但目前仍无法确定哪一种方法更好。另一方面，现在能直接控制柔性机构应力的方法较少。现有的方法中，大多通过控制柔性机构的输出位移或者消除结构单点铰链来间接控制柔性机构的应力，这种处理方式无法使结构的强度要求得到满足。如果直接将应力约束添加到柔性机构的优化模型中，则需要采用基于应力约束下的结构拓扑优化方法。然而现有的两类基于应力约束下的结构拓扑优化方法均具有各自的缺点：局部应力法需优化设计域内每个单元的应力，即设计域内每个单元上均需要添加一个应力约束，虽然可以精确地控制结构局部应力，但是导致了庞大的约束数目和昂贵的计算代价，计算效率低；全局应力法利用一个应力评价函数来定义结构的整体应力(如结构的最大应力)，虽然可以获得较高的计算效率，但是无法控制局部应力，而且会造成优化的不稳定和参数依赖性。
另一方面，现在多相材料结构的设计备受关注，它被用来实现单相材料结构无法达到的特定的结构性能，或者直接用来更进一步地提升结构性能。但是，目前仍没有任何方法，在柔性机构的设计中，同时考虑多相材料和应力约束。
因此，研究一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，使设计得到的柔性机构同时具有足够的柔性和刚度，并且满足强度要求，需要被进一步研究。
发明内容
针对现有技术的缺陷或改进需求，本发明提供了一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，用于求解以应力、体积分数为约束，以输出位移最小化(输出位移方向为负，即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性)和柔度最小化(用于优化刚度)为目标的多相材料柔性机构优化设计问题。
为实现上述目的，本发明提供了一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，用于优化多相材料柔性机构的结构，该优化以应力和体积分数为约束，以输出位移最小化和柔度最小化为目标，其特征在于，具体优化过程包括以下步骤：
(1)拓扑优化初始化：给定柔性机构设计域、载荷、人工弹簧和边界条件，设定权重因子、许用应力、体积约束和初始结构，并对优化算法的参数进行初始化；
(2)利用多相材料水平集拓扑描述模型描述结构多相材料分布，利用刚度插值模型计算多相材料结构的弹性刚度；
(3)在工况一下对结构进行有限元分析，以获得结构位移场，计算结构的输出位移和应力，工况一中，除边界位移约束外，输入刚度为kin和输出刚度为kout的人工弹簧被分别添加在柔性机构的输入端口和输出端口，力tin被施加在输入端口，以用于获得期望的输出端口处的输出位移uout，并且结构应力通过可分离应力插值模型求得；
(4)在工况二下对结构进行有限元分析，以获得结构柔度，工况二中，除边界位移约束外，一个和工况一中输出位移同方向的单元集中力fout被施加在柔性机构的输出端口，输入端口处的边界则被紧固；
(5)获得用于权衡结构输出位移和柔度重要性的加权因子添加项κ；
(6)对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，获取其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度；
(7)基于获得的灵敏度构建优化准则，利用优化准则更新设计变量及水平集方程；
(8)判断优化算法终止条件是否满足，若不满足，转至下一步骤，若满足，结束优化过程并输出最优拓扑结构；
(9)判断应力惩罚因子调整条件是否满足，若满足应力惩罚因子调整条件，转至下一步骤，否则转至步骤(2)；
(10)利用自适应应力惩罚因子调整策略调整应力惩罚因子，并转至步骤(2)。
优选地，多相材料水平集拓扑描述模型为：
其中，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，ρi(Φ)＝1表示第i种材料存在，ρi(Φ)＝0表示第i种材料不存在，Φ是水平集方程，Hk＝H(Φk)，H(Φk)是基于第k个水平集方程的Heaviside函数，Hi+1＝H(Φi+1)，H(Φi+1)是基于第i+1个水平集方程的Heaviside函数，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
优选地，刚度插值模型表示为：
其中，D(Φ)是结构局部弹性刚度，Di是第i种材料的弹性刚度，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Φ是水平集方程，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
优选地，可分离应力插值模型表示为：
其中，为本构矩阵，εe为应变场，σi(e,Φ)为第e个单元中心处对应第i种材料的结构应力，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Φ是水平集方程，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
优选地，基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型表示为：
其中，是参数化水平集方法中对应第k个水平集方程的第j个点上的扩展系数，也是设计变量，和分别是设计变量的上下限，M为网格节点个数，Ω是设计域，J(u,Φ)是目标函数，Jd(ud,Φ)是输出位移，用于评价结构柔性性能，输出位移方向为负，u是结构位移，Φ是水平集方程，Jd(ud,Φ)最小化即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性，Jc(uc,Φ)为柔度，用于评价结构刚度性能，柔度最小化即刚度最大化，ω是权重因子，κ为权重因子添加项，其值在每次优化迭代后需重新计算，P(σi(ud))为应力惩罚函数，ad(ud,vd,Φ)＝ld(vd,Φ)是弹性平衡条件的弱形式和ac(uc,vc,Φ)＝lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的弹性平衡条件的弱形式，ad(ud,vd,Φ)和ac(uc,vc,Φ)分别是工况一和工况二下的能量双线性形式，ld(vd,Φ)和lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的载荷线性形式，ud,0和uc,0分别是工况一和工况二下的Dirichlet边界上的位移，Gk(Φk)为对应第k个水平集方程的体积约束，AΩ为设计域的面积，为第k个水平集方程对应的体积分数上限，被定义为设计域内H(Φk)＞0所占的比例，H(·)是Heaviside函数，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数，Jd(ud,Φ)，Jc(uc,Φ)，P(σi(ud))，ad(ud,vd,Φ)，ac(uc,vc,Φ)，ld(vd,Φ)，lc(vc,Φ)分别表示为：
ad(ud,vd,Φ)＝∫ΩεT(ud)Dε(vd)dΩ (8)
ac(uc,vc,Φ)＝∫ΩεT(uc)Dε(vc)dΩ (9)
其中，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，L为一个向量，仅在对应输出端口处自由度的位置的值取1，其它位置的值取0，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，ε为应变场，α是应力惩罚因子，在优化过程中由自适应应力惩罚因子调整策略调整，σi和分别是对应第i种材料的结构冯米斯应力和许用应力，Hobj(·)是Heaviside函数，vd和vc分别是工况一和工况二下的求解得到的虚位移场，Ud和Uc是与之对应的运动学允许的位移空间，tin是被施加在柔性机构输入端口上的力，fout是被施加在柔性机构输出端口上的单元集中力，Γ是结构边界，是柔性机构输入端口处的结构边界，是柔性机构输出端口处的结构边界。
优选地，权重因子添加项κ的计算方法为：
其中，κx+1为第x+1次优化迭代过程中的权重因子添加项，和分别为第x次优化迭代后得到的输出位移和柔度，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，Φ是水平集方程。
优选地，自适应应力惩罚因子调整策略表示为：
α＝α+h,当满足和和时(13)
其中，α是应力惩罚因子，h是应力惩罚因子调整值，和分别是在第x，x-1和x-2次迭代后结构中第i种材料对应的最大应力，ξ是一个极小的正数，是第i种材料对应的许用应力。
优选地，对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度分别表示为：
其中，是参数化水平集方法中对应第m个水平集方程的第j个点上的扩展系数，也是设计变量,J(u,Φ)是目标函数，ω是权重因子，κ为权重因子添加项，是第m个水平集方程Φm对应的局部径向基函数的形状方程，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Ω是设计域，L为一个向量，仅在对应输出端口处自由度的位置的值取1，其它位置的值取0，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，α是应力惩罚因子，在优化过程中由自适应应力惩罚因子调整策略调整，是对应第i种材料的许用应力，Hobj(·)是Heaviside函数，vd和vc分别是工况一和工况二下的求解得到的虚位移场，Ud和Uc是与之对应的运动学允许的位移空间，δ(·)是Dirac函数，kei＝BTDiΒ，B是应变-位移矩阵，Di是第i种材料的弹性刚度，V是冯米斯应力求解辅助矩阵，在求解结构平面应力时被定义为：
虚位移vd和vc可以分别通过以下两个方程求解获得：
其中，和分别对应于ud和uc的形状导数。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法具有以下有益效果：
(1)在所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，多相材料水平集拓扑描述模型被构建，用于描述结构多相材料分布，其中N个水平集方程被用来描述N+1相(N种材料和一个空集)，可以保证结构的每一处均只由一种材料组成，保证结构多相材料描述的准确性；
(2)在所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，刚度插值模型和可分离应力插值模型被构建，用于准确计算多相材料结构的弹性刚度和应力，避免了传统插值模型无法准确计算多相材料结构弹性刚度和应力的缺点；
(3)在所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型被构建，用于求解优化问题，利用线性加权的方法同时优化结构柔性和刚度，采用应力惩罚控制结构局部应力，在能有效优化结构局部应力的同时保证较好的算法求解效率，与此同时避免了像传统应力约束处理方法一样为了使应力约束满足而改变整个结构，导致结构的其他性能(如刚度)大幅下降的缺点。参数化水平集方法被用于描述和更新拓扑结构，可以保证获得的结构和多相材料间具有清晰光滑的边界，保证应力计算和多相材料结构描述的准确性；
(4)所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法适用于连续体结构，适用范围广，简单易行；
(5)采用所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，优化后获得的多相材料柔性机构具有高柔性、高刚度的优点，并且其柔性结部分无单点铰链现象，结构强度要求得到满足，应力集中问题被缓解。
附图说明
图1是按照本发明所构思的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法的基本流程图；
图2a和图2b是按照本发明所构思的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中分别用于求解柔性机构输出位移和柔度的两种工况示意图，其中图2a为工况一，图2b为工况二；
图3a和图3b是用于示范性显示位移反相器的载荷与边界条件示意图，其中图3a为整体结构；图3b为下半部分结构；
图4a和图4b是分别是用于示范性显示位移反相器初始结构的材料分布图和其对应的应力分布图；
图5a、图5b是用于示范性显示位移反相器在优化过程中迭代步数为9时对应的材料分布图和应力分布图；
图5c、图5d是用于示范性显示位移反相器在优化过程中迭代步数为18时对应的材料分布图和应力分布图；
图5e、图5f是用于示范性显示位移反相器在优化过程中迭代步数为27时对应的材料分布图和应力分布图；
图5g、图5h是用于示范性显示位移反相器在优化过程中迭代步数为141时对应的材料分布图和应力分布图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明较佳实施方式提供的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法为优化多相材料柔性机构的结构，求解以应力、体积分数为约束，以输出位移最小化(输出位移方向为负，即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性)和柔度最小化(用于优化刚度)为目标的多相材料柔性机构优化问题，公式(1)描述的多相材料水平集拓扑描述模型被构建，用于描述结构多相材料分布，公式(2)描述的刚度插值模型和公式(3)描述的可分离应力插值模型被构建，分别用来计算多相材料结构弹性刚度和应力，构建基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型求解优化问题，优化后获得的多相材料柔性机构具有高柔性、高刚度的优点，并且其柔性结部分无单点铰链现象，结构强度要求得到满足，应力集中问题被缓解。
其中，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，ρi(Φ)＝1表示第i种材料存在，ρi(Φ)＝0表示第i种材料不存在，Φ是水平集方程，Hk＝H(Φk)，H(Φk)是基于第k个水平集方程的Heaviside函数，Hi+1＝H(Φi+1)，H(Φi+1)是基于第i+1个水平集方程的Heaviside函数，D(Φ)是结构局部弹性刚度，Di是第i种材料的弹性刚度，为本构矩阵，εe为应变场，σi(e,Φ)为第e个单元中心处对应第i种材料的结构应力，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
请参阅图1，本发明较佳实施方式提供的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法主要包括以下步骤：
(1)拓扑优化问题初始化，给定结构设计域、载荷、人工弹簧和边界条件，设定权重因子、许用应力、体积约束和初始结构，并对优化算法的参数进行初始化。
(2)利用多相材料水平集拓扑描述模型描述结构多相材料分布，利用刚度插值模型计算多相材料结构的弹性刚度。
(3)在图2a所示的工况一下对结构进行有限元分析，以获得结构位移场，计算结构的输出位移和应力，工况一中，除边界位移约束外，输入刚度为kin和输出刚度为kout的人工弹簧被分别添加在多相材料柔性机构的输入和输出端口，力tin被施加在输入端口，以获得期望的输出端口处的输出位移uout，并且结构应力通过可分离应力插值模型求得。
(4)在图2b所示的工况二下对结构进行有限元分析，以计算结构柔度，工况二中，除边界位移约束外，一个和工况一中输出位移同方向的单元集中力fout被施加在多相材料柔性机构的输出端口，输入端口处的边界被紧固.
(5)计算权衡结构输出位移和柔度重要性的加权因子添加项κ。权重因子添加项κ的计算方法为：
其中，κx+1为第x+1次优化迭代过程中的权重因子添加项，和分别为第x次优化迭代后得到的输出位移和柔度。
(6)对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，获取其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度。基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型表示为：
其中，是参数化水平集方法中对应第k个水平集方程的第j个点上的扩展系数，也是设计变量，和分别是设计变量的上下限，M为网格节点个数，J(u,Φ)是目标函数，Jd(ud,Φ)是输出位移，用于评价结构柔性性能，输出位移方向为负，Jd(ud,Φ)最小化即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性，Jc(uc,Φ)为柔度，用于评价结构刚度性能，柔度最小化即刚度最大化，ω是权重因子，κ为权重因子添加项，其值在每次优化迭代后需重新计算，P(σi(ud))为应力惩罚函数，ad(ud,vd,Φ)＝ld(vd,Φ)是弹性平衡条件的弱形式和ac(uc,vc,Φ)＝lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的弹性平衡条件的弱形式，ad(ud,vd,Φ)和ac(uc,vc,Φ)分别是工况一和工况二下的能量双线性形式，ld(vd,Φ)和lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的载荷线性形式，ud,0和uc,0分别是工况一和工况二下的Dirichlet边界上的位移，Gk(Φk)为对应第k个水平集方程的体积约束，AΩ为设计域的面积，为第k个水平集方程对应的体积分数上限，被定义为设计域内H(Φk)＞0所占的比例，H(·)是Heaviside函数，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数，Jd(ud,Φ)，Jc(uc,Φ)，P(σi(ud))，ad(ud,vd,Φ)，ac(uc,vc,Φ)，ld(vd,Φ)，lc(vc,Φ)分别表示为：
ad(ud,vd,Φ)＝∫ΩεT(ud)Dε(vd)dΩ (9)
ac(uc,vc,Φ)＝∫ΩεT(uc)Dε(vc)dΩ (10)
其中，L为一个向量，仅在对应输出端口处自由度的位置的值取1，其它位置的值取0，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，ε为应变场，α是应力惩罚因子，在优化过程中由自适应应力惩罚因子调整策略调整，σi和分别是对应第i种材料的结构冯米斯应力和许用应力，Hobj(·)是Heaviside函数，vd和vc分别是工况一和工况二下的求解得到的虚位移场，Ud和Uc是与之对应的运动学允许的位移空间，tin是被施加在柔性机构输入端口上的力，fout是被施加在柔性机构输出端口上的单元集中力，Γ是结构边界，是柔性机构输入端口处的结构边界，是柔性机构输出端口处的结构边界。
对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度可以分别表示为：
其中，是第m个水平集方程Φm对应的局部径向基函数的形状方程，δ(·)是Dirac函数，kei＝BTDiΒ，B是应变-位移矩阵，Di是第i种材料的弹性刚度，V是冯米斯应力求解辅助矩阵，在求解结构平面应力时被定义为：
虚位移vd和vc可以分别通过以下两个方程求解获得：
其中，和分别对应于ud和uc的形状导数。
(7)基于获得的灵敏度构建优化准则，利用优化准则更新设计变量及水平集方程；
(8)判断算法终止条件是否满足，若不满足算法终止条件，转至下一步骤，若满足算法终止条件，结束优化并输出最优拓扑结构。算法终止条件为：
其中，Jx是第x迭代后的目标函数值，是一个极小的正数，和分别是在第x，x-1和x-2次迭代后结构中第i种材料对应的最大应力，是第i种材料对应的许用应力。
(9)判断应力惩罚因子调整条件是否满足，若满足应力惩罚因子调整条件，转至下一步骤，否则转至步骤(2)。应力惩罚因子调整条件为：
其中，和分别是在第x，x-1和x-2次迭代后结构中第i种材料对应的最大应力，ξ是一个极小的正数，是第i种材料对应的许用应力。
(10)利用自适应应力惩罚因子调整策略调整应力惩罚因子，并转至步骤(2)。通过公式(20)调整应力惩罚因子：
α＝α+h (20)
其中，h是应力惩罚因子调整值。
请参阅图3～图5，以下以位移反相器的设计来进一步说明本发明。图3a展示了位移反相器的设计域。在优化过程中，面积为80×80μm2的结构设计域被划分成80×80的正方形网格，两种材料(强材料、弱材料)被用于位移反相器的设计，材料弹性模量分别为200Gpa和70Gpa，泊松比均为0.3，位移反相器的左上角和左下角被固定，位移反相器的输入和输出端口分别位于结构左端中间和右端中间，输入刚度为kin＝0.05N/mm和输出刚度为kout＝1N/mm的人工弹簧被分别添加在位移反相器的输入和输出端口，力tin＝100μN被施加在输入端口，以获得和力tin方向相反的输出端口处的输出位移uout，体积约束值和强材料和弱材料的许用应力分别为85MPa和100MPa，权重因子ω＝0.8，初始的应力惩罚因子α0＝5；优化目标为输出位移最小化(输出位移方向为负，即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性)和柔度最小化(用于优化刚度)，结构应力、体积分数被约束。由于位移反相器结构的对称性，仅仅图3b显示的位移反相器的下半部分被优化，其由80×40的正方形网格组成。
图4展示了位移反相器下半部分初始结构的材料分布图和其对应的应力分布图。
对于以应力、体积分数为约束，以输出位移最小化(输出位移方向为负，即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性)和柔度最小化(用于优化刚度)为目标的多相材料柔性机构优化问题，多相材料水平集拓扑描述模型被构建，用于描述结构多相材料分布，刚度插值模型和可分离应力插值模型被构建，分别用来计算多相材料结构弹性刚度和应力，构建基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型求解优化问题；图5a和图5b、图5c和图5d、图5e和图5f分别展示了在结构优化过程中第9、18、27次迭代后得到的位移反相器下半部分的材料分布图和应力分布图。当优化结束时，位移反相器下半部分的最优构型的材料分布图和应力分布图如图5d所示；图5g和图5h显示的最优结构的输出位移为-55.31μm，柔度为0.1519，结构的柔性和刚度被优化，对应强材料和弱材料的结构最大应力分别为84.98MPa和99.66MPa，应力约束被满足，并且其柔性结部分无单点铰链现象，结构强度要求得到满足，应力集中问题被缓解。
本发明提供的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，多相材料水平集拓扑描述模型被构建，用于描述结构多相材料分布，其中N个水平集方程被用来描述N+1相(N种材料和一个空集)，可以保证结构的每一处均只由一种材料组成，保证结构多相材料描述的准确性；在所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，刚度插值模型和可分离应力插值模型被构建，用于准确计算多相材料的弹性刚度和应力，避免了传统插值模型无法准确计算多相材料结构弹性刚度和应力的缺点；在所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法中，基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型被构建，用于求解优化问题，利用线性加权的方法同时优化结构柔性和刚度，采用应力惩罚控制结构局部应力，在能有效优化结构局部应力的同时保证较好的算法求解效率，与此同时避免了像传统应力约束处理方法一样为了使应力约束满足而改变整个结构，导致结构的其他性能(如刚度)大幅下降。参数化水平集方法被用于描述和更新拓扑结构，可以保证获得的结构和多相材料间具有清晰光滑的边界，保证应力计算和多相材料结构描述的准确性；所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法适用于连续体结构，适用范围广，简单易行；采用所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，优化后获得的多相材料柔性机构具有高柔性、高刚度的优点，并且其柔性结部分无单点铰链现象，结构强度要求得到满足，应力集中问题被缓解。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (8)
1.一种应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，用于优化多相材料柔性机构的结构，该优化以应力和体积分数为约束，以输出位移最小化和柔度最小化为目标，其特征在于，具体优化过程包括以下步骤：
(1)拓扑优化初始化：给定柔性机构设计域、载荷、人工弹簧和边界条件，设定权重因子、许用应力、体积约束和初始结构，并对优化算法的参数进行初始化；
(2)利用多相材料水平集拓扑描述模型描述结构多相材料分布，利用刚度插值模型计算多相材料结构的弹性刚度；
(3)在工况一下对结构进行有限元分析，以获得结构位移场，计算结构的输出位移和应力，工况一中，除边界位移约束外，输入刚度为kin和输出刚度为kout的人工弹簧被分别添加在柔性机构的输入端口和输出端口，力tin被施加在输入端口，以用于获得期望的输出端口处的输出位移uout，并且结构应力通过可分离应力插值模型求得；
(4)在工况二下对结构进行有限元分析，以获得结构柔度，工况二中，除边界位移约束外，一个和工况一中输出位移同方向的单元集中力fout被施加在柔性机构的输出端口，输入端口处的边界则被紧固；
(5)获得用于权衡结构输出位移和柔度重要性的加权因子添加项κ；
(6)对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，获取其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度；
(7)基于获得的灵敏度构建优化准则，利用优化准则更新设计变量及水平集方程；
(8)判断优化算法终止条件是否满足，若不满足，转至下一步骤，若满足，结束优化过程并输出最优拓扑结构；
(9)判断应力惩罚因子调整条件是否满足，若满足应力惩罚因子调整条件，转至下一步骤，否则转至步骤(2)；
(10)利用自适应应力惩罚因子调整策略调整应力惩罚因子，并转至步骤(2)。
2.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：多相材料水平集拓扑描述模型为：
<mrow>
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<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，ρi(Φ)＝1表示第i种材料存在，ρi(Φ)＝0表示第i种材料不存在，Φ是水平集方程，Hk＝H(Φk)，H(Φk)是基于第k个水平集方程的Heaviside函数，Hi+1＝H(Φi+1)，H(Φi+1)是基于第i+1个水平集方程的Heaviside函数，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
3.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：刚度插值模型表示为：
<mrow>
<mi>D</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&Phi;</mi>
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</mrow>
<mo>=</mo>
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<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，D(Φ)是结构局部弹性刚度，Di是第i种材料的弹性刚度，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Φ是水平集方程，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
4.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：可分离应力插值模型表示为：
<mrow>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，为本构矩阵，εe为应变场，σi(e,Φ)为第e个单元中心处对应第i种材料的结构应力，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Φ是水平集方程，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数。
5.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型表示为：
其中，是参数化水平集方法中对应第k个水平集方程的第j个点上的扩展系数，也是设计变量，和分别是设计变量的上下限，M为网格节点个数，Ω是设计域，J(u,Φ)是目标函数，Jd(ud,Φ)是输出位移，用于评价结构柔性性能，输出位移方向为负，u是结构位移，Φ是水平集方程，Jd(ud,Φ)最小化即输出位移绝对值最大化，用于优化柔性，Jc(uc,Φ)为柔度，用于评价结构刚度性能，柔度最小化即刚度最大化，ω是权重因子，κ为权重因子添加项，其值在每次优化迭代后需重新计算，P(σi(ud))为应力惩罚函数，ad(ud,vd,Φ)＝ld(vd,Φ)是弹性平衡条件的弱形式和ac(uc,vc,Φ)＝lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的弹性平衡条件的弱形式，ad(ud,vd,Φ)和ac(uc,vc,Φ)分别是工况一和工况二下的能量双线性形式，ld(vd,Φ)和lc(vc,Φ)分别是工况一和工况二下的载荷线性形式，ud,0和uc,0分别是工况一和工况二下的Dirichlet边界上的位移，Gk(Φk)为对应第k个水平集方程的体积约束，AΩ为设计域的面积，为第k个水平集方程对应的体积分数上限，被定义为设计域内H(Φk)＞0所占的比例，H(·)是Heaviside函数，N是结构中包含的材料个数和水平集方程个数，Jd(ud,Φ)，Jc(uc,Φ)，P(σi(ud))，ad(ud,vd,Φ)，ac(uc,vc,Φ)，ld(vd,Φ)，lc(vc,Φ)分别表示为：
<mrow>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
ad(ud,vd,Φ)＝∫ΩεT(ud)Dε(vd)dΩ (8)
ac(uc,vc,Φ)＝∫ΩεT(uc)Dε(vc)dΩ (9)
<mrow>
<msub>
<mi>l</mi>
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</mrow>
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<mi>&Gamma;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
其中，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，L为一个向量，仅在对应输出端口处自由度的位置的值取1，其它位置的值取0，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，ε为应变场，α是应力惩罚因子，在优化过程中由自适应应力惩罚因子调整策略调整，σi和分别是对应第i种材料的结构冯米斯应力和许用应力，Hobj(·)是Heaviside函数，vd和vc分别是工况一和工况二下的求解得到的虚位移场，Ud和Uc是与之对应的运动学允许的位移空间，tin是被施加在柔性机构输入端口上的力，fout是被施加在柔性机构输出端口上的单元集中力，Γ是结构边界，是柔性机构输入端口处的结构边界，是柔性机构输出端口处的结构边界。
6.如权利要求5所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：权重因子添加项κ的计算方法为：
<mrow>
<msup>
<mi>&kappa;</mi>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
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<mfenced open = "{" close = "">
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<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
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<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
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<mrow>
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<mi>c</mi>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，κx+1为第x+1次优化迭代过程中的权重因子添加项，和分别为第x次优化迭代后得到的输出位移和柔度，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，Φ是水平集方程。
7.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：自适应应力惩罚因子调整策略表示为：
α＝α+h,当满足和和时 (13)
其中，α是应力惩罚因子，h是应力惩罚因子调整值， 和分别是在第x，x-1和x-2次迭代后结构中第i种材料对应的最大应力，ξ是一个极小的正数，是第i种材料对应的许用应力。
8.如权利要求1所述的应力约束下多相材料柔性机构拓扑优化方法，其特征在于：对应基于加权法和应力惩罚的多相材料柔性机构参数化水平集拓扑优化模型，其目标函数及体积约束对设计变量的灵敏度分别表示为：
其中，是参数化水平集方法中对应第m个水平集方程的第j个点上的扩展系数，也是设计变量,J(u,Φ)是目标函数，ω是权重因子，κ为权重因子添加项，是第m个水平集方程Φm对应的局部径向基函数的形状方程，ρi(Φ)是第i种材料的特征方程，Ω是设计域，L为一个向量，仅在对应输出端口处自由度的位置的值取1，其它位置的值取0，ud和uc分别为工况一和工况二下的求解得到的实位移场，α是应力惩罚因子，在优化过程中由自适应应力惩罚因子调整策略调整，是对应第i种材料的许用应力，Hobj(·)是Heaviside函数，vd和vc分别是工况一和工况二下的求解得到的虚位移场，Ud和Uc是与之对应的运动学允许的位移空间，δ(·)是Dirac函数，kei＝BTDiΒ，B是应变-位移矩阵，Di是第i种材料的弹性刚度，V是冯米斯应力求解辅助矩阵，在求解结构平面应力时被定义为：
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
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<mn>1</mn>
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<mn>0</mn>
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<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
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<mn>0</mn>
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<mn>3</mn>
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<mn>16</mn>
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</mrow>
虚位移vd和vc可以分别通过以下两个方程求解获得：
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<mi>&Omega;</mi>
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<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
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<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mi>&omega;</mi>
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<mi>&kappa;</mi>
<munderover>
<mo>&Sigma;</mo>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mi>N</mi>
</munderover>
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<mo>&Integral;</mo>
<mi>&Omega;</mi>
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<mi>u</mi>
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<mi>k</mi>
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<mo>&OverBar;</mo>
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<mi>e</mi>
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<mn>1</mn>
<mo>/</mo>
<mn>2</mn>
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<mover>
<mi>u</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
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<mi>T</mi>
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<mi>C</mi>
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</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>u</mi>
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