CN110008512A - 一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，该方法首先利用改进的SIMP插值函数定义材料弹性模量与密度的关系，然后基于能量均匀化方法求解微结构的等效弹性矩阵，并针对结构负泊松比表达式的高度非线性使用等效法对其进行表征。最后，构建了以结构负泊松比与刚度为目标的优化模型，利用改进的OC算法对拓扑优化模型进行求解，并输出不同权重的最优单胞构型。上述方法是以刚度与负泊松比分别表征结构的承载与吸能特性，所提供的实例表明，该拓扑优化方法综合考虑结构承载与吸能特性，优化后的点阵结构能够有效地吸收碰撞所产生的能量，且在压缩过程中结构不发生溃散，具有一定的承载能力。

Description

一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法
技术领域
本发明属于结构优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法。
背景技术
拓扑优化作为一种结构设计方法，在过去的几十年中得到了迅速的发展，人们在结构拓扑优化上开发了各种方法与技术。其中具有代表性的方法有SIMP法(Solidisotropic material with penalization)、水平集法(Level set method)、ESO法(Evolutionary structural optimization)以及基于ESO法发展的BESO法(Bidirectionalevolutionary structure optimization method)。结构拓扑优化不同于尺寸和形状优化，是在结构初始拓扑关系未知的情况下，在设计空间中力传递路径最优或刚度分布最优的情况下，材料寻求结构的拓扑形式。目前拓扑优化设计主要集中在静态刚度优化、动力学特征值优化等单目标优化问题上，然而，在实际工程领域中存在着大量的多目标拓扑优化问题。
在拓扑优化技术的应用中，防撞结构的性能作为安全问题的一个方面显得尤为重要。理想的防撞结构应该是在碰撞发生时能同时保护碰撞双方的安全，即碰撞过程中防撞结构不仅要吸收足够多的碰撞能，也要有一定的承载能力，降低碰撞冲击力到可容许范围内，从而减轻碰撞带来的损害。高强度和高刚度连续介质结构(如钢板)用于碰撞防护并不能有效吸收碰撞能量，在碰撞时峰值应力巨大，没有起到有效的保护作用。而点阵结构内部具有大量孔洞，碰撞时孔洞坍塌吸收能量，是一种优良的耐撞结构，传统的点阵结构单胞的泊松比为正值，这种结构在碰撞时容易发生溃散，不能承受载荷。与正泊松比结构相比，负泊松比结构具有受压内缩的特性，在吸收碰撞能量的同时结构向内收缩压实，出现抗压增强效应，起到一定的承载作用。
现有的负泊松比结构拓扑优化设计一般只关注结构的泊松比值优化，忽略了结构在吸收碰撞能量时的承载性能要求。不同的应用场合对结构的承载和吸能特性有不同的要求。根据现有文献分析得知，结构负泊松比能表征结构吸能特性，而结构刚度可以表征结构的承载性能。因此，结合多目标拓扑优化，可以考虑将结构负泊松比与刚度作为优化目标，使负泊松比点阵结构在碰撞过程中发挥优良的吸能特性的同时具备一定的承载能力，能够更好地保护碰撞双方的安全。
发明内容
针对现有技术的改进需求，本发明提供了一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其采用以结构负泊松比和刚度作为优化对象的多目标拓扑优化模型，对点阵结构的单胞进行结构拓扑优化，最终输出的最优单胞构型能够同时具备优良的吸能特性与承载能力；此外，通过调整目标函数中负泊松比与刚度的权重因子，可以得到性能不同的单胞结构，以满足不同应用场合的需求，为防撞结构的设计提供一个很好的方案。
为了实现上述目的，本发明提供了一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其包括以下步骤：
步骤一：基于改进的SIMP材料弹性模量-密度的插值模型，对材料的相对密度、体分比、优化算法参数及相关其他参数进行初始化；
步骤二：对微结构进行有限元分析，以获得设计域内每个节点的位移；
步骤三：基于能量均匀化方法求解微结构的等效弹性矩阵，其中包括相关弹性参数的等效表达；
步骤四：构建考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型，以结构负泊松比与刚度为目标函数，以体积为约束；
步骤五：基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度；
步骤六：使用改进的优化准则法求解点阵结构单胞拓扑优化模型，更新设计变量；
步骤七：判断两次迭代之间设计变量的变化量的绝对值是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优单胞构型，否则返回步骤二进行新一轮的迭代优化。
步骤一中所述改进的SIMP材料弹性模量-密度插值模型的数学表达式为：
Ee(ρe)＝Emin+ρe p(E0-Emin) (1)
式中：ρe表示单元的密度，其取值范围0～1；Ee(ρe)表示经过插值后的弹性模量；E0表示实体结构的弹性模量；Emin表示近似孔洞的假想材料；p是为了消除灰度单元的惩罚因子，其通常取p＝3～5。
所述步骤三中，用能量均匀化方法表征微结构的弹性参数：
式中：为指数表示法中的均质弹性张量；Y为基本单元领域；Eijpq为弹性张量；为定义规定的宏观应变场；为周期性波动应变场，能量均匀化方法将载荷直接作用在基本单元的边界。
所述步骤四中在结构负泊松比与刚度的加权优化前进行归一化处理：
式中，Qll(ρ)new与μnew为经过归一化处理之后的结构刚度和负泊松比；max(μ)为以负泊松比μ最大作为目标函数时的优化结果；Qll(ρ)为应变能矩阵Qij主方向的应变能；max(Qll(ρ))为以主方向刚度最大作为目标函数时的优化结果。
进一步地，所述步骤四中考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型为：
式中，α1∈(0,1)和α2∈(0,1)为加权系数；K为整体刚度矩阵；UA(KL)为整体位移矢量；F(KL)为外部力矢量；d为空间维度；N为元素的数目；ve和ρe分别表示单元的体积和密度；f为体积因子，为了防止矩阵奇异，取ρmin＝0.001。
进一步地，所述步骤五中基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度，计算公式(6)及公式(7)如下，负泊松比μ对设计变量的敏度可以由公式(7)与公式(8)进行推导：
μ＝Q12-βl(Q11+Q12) (8)
式中，和的系数均为常数。
进一步地，使用改进的OC算法求解点阵结构单胞拓扑优化模型，更新设计变量：
其中，m为一个正的移动界限，η为数值阻尼系数；为经过优化准则算子迭代优化后的更新解，为极化算子优化后的更新解；a为控制极化率的参数，用于控制属于中间部分元素的惩罚速度。
总而言之，通过以上技术方案与现有技术相比主要有以下优点：
1、本发明所述的负泊松比点阵结构拓扑优化设计方法采用了以结构负泊松比与刚度作为优化目标的多目标拓扑优化模型，其用刚度表征结构承载特性，用负泊松比表征结构吸能特性，最终可以得到具有一定的承载能力的负泊松比点阵结构；
2、本发明所述的负泊松比点阵结构拓扑优化设计方法对结构负泊松比和刚度这两个变量归一化处理后进行加权，即可获得不同性能的考虑承载特性的点阵结构，用来满足不同应用场合对结构性能的要求；
3、通过本发明所述的负泊松比点阵结构拓扑优化设计方法获得的点阵结构在受到载荷作用时，结构发生相应的内缩，在吸收碰撞能的同时，具备一定的承载能力和稳定的平台应力，能够有效地保护碰撞双方的安全，为防撞结构的设计提供了一种方案。
附图说明
图1是本发明考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化流程图。
图2是本发明在三种不同权重因子下拓扑优化后输出的最优单胞构型及相对应的3×3点阵结构、等效弹性矩阵和目标函数值。
图3是本发明实例拓扑优化得到的最优单胞构型所组成的4×4点阵结构有限元分析的约束与载荷示意图。
图4是本发明实例拓扑优化得到的点阵结构的动力学仿真变形过程图。
图5是本发明实例拓扑优化得到的点阵结构经过3D打印得到的4×4模型图。
图6是本发明实例拓扑优化得到的点阵结构压缩实验的变形过程图。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的技术方案、目的及优点，以下结合附图及实例，对本发明进行进一步说明。此外，这里所描述的具体实例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
如图1所示，本发明提出了一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，主要包括以下步骤：
步骤一：基于改进的SIMP材料弹性模量-密度的插值模型，对材料的相对密度、体分比、优化算法参数及相关其他参数进行初始化；所述的改进的SIMP材料弹性模量-密度插值模型的数学表达式为：
Ee(ρe)＝Emin+ρe p(E0-Emin) (1)
式中：ρe表示单元的密度，其取值范围0～1；Ee(ρe)表示经过插值后的弹性模量；E0表示实体结构的弹性模量；Emin表示近似孔洞的假想材料，通常取Emin＝0.001；p是为了消除灰度单元的惩罚因子，通常取p＝3～5。
步骤二：对微结构进行有限元分析，以获得设计域内每个节点的位移ue；本实施方式中，KU＝F；式中K为全局刚度矩阵，F为外载荷向量，得到的全局位移矩阵U中包含每个节点的位移ue。
步骤三：基于能量均匀化方法求解微结构的等效弹性矩阵，式中包括相关弹性参数的等效表达；
式中，为指数表示法中的均质弹性张量；Y为基本单元领域；Eijpq为弹性张量；为定义规定的宏观应变场；为周期性波动应变场，能量均匀化方法将载荷直接作用在基本单元的边界。
为了提高计算效率和便于算法实现，一般采用平均应变能来等效表示结构的弹性模量表达式，运用有限元方法得出多孔结构的平均应变能表达式为：
式中，对应于 是有限元的位移解；N是元胞划分的单元数；ke表示单元刚度矩阵；用Qij表示元胞的应变能；表示单元的应变能。针对二维问题，式(3)可以改写成：
此时，对应的等效关系为：
式中，E11和E22分别表示1方向和2方向的等效弹性模量，Q11和Q22分别表示1方向和2方向的主应变能，E12和Q12分别表示切变模量和剪切应变能。
步骤四：构建考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型，以结构负泊松比与刚度为目标函数，以体积为约束；
首先，通常二维问题的负泊松比表示为：因其具有高度非线性，直接代入目标函数往往会导致求解困难。因此，本实施例中使用了一种负泊松比的等效表达式：
μ＝Q12-βl(Q11+Q12) (6)
式中，β是一个定义的常数；l是迭代的次数；β初始值是0.8；在算法的每一次迭代后β都减少一定步长(本实施例中取0.04)，直到β小于或等于0.001时，迭代终止。
由于结构负泊松比和刚度是两个不同量纲的变量，需要在加权优化前进行归一化处理，本发明采用的归一化方法如式(7)和(8)所示：
式中，Qll(ρ)new与μnew为经过归一化处理之后的刚度和负泊松比；max(μ)为以负泊松比μ最大作为目标函数时的优化结果；Qll(ρ)为应变能矩阵Qij主方向的应变能；max(Qll(ρ))为以主方向刚度最大作为目标函数时的优化结果。
下面构建考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型：
式中，α1∈(0，1)和α2∈(0，1)为加权系数；K为整体刚度矩阵；UA(KL)为整体位移矢量，F(KL)为外部力矢量；d为空间维度；N为元素的数目；ve和ρe分别表示单元的体积和密度；f为体积因子；为了防止矩阵奇异，取ρmin＝0.001。
步骤五：基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度；计算公式(10)及公式(11)如下，负泊松比μ对设计变量的敏度可以由公式(11)与公式(6)进行推导。
式中，和的系数均为常数。
步骤六：使用改进的优化准则法(Modified Optimization Criteria methods)求解点阵结构单胞拓扑优化模型，更新设计变量；
式中，m(移动量)为一个正的移动界限，η为数值阻尼系数；为经过优化准则算子迭代优化后的更新解；为极化算子优化后的更新解；a为控制极化率的参数，用于控制属于中间部分元素的惩罚速度。
步骤七：判断两次迭代之间设计变量的变化量的绝对值是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优单胞构型，否则返回步骤二进行新一轮的迭代优化。
为了更充分地了解该发明的作用及其在实际工程中的适用性，以下列举了三种负泊松比权重因子分别为0.2、0.4、0.6时拓扑优化得到的最优单胞构型及相对应的3×3点阵结构、等效弹性矩阵和目标函数值如图2所示。式中，假设实体材料为各向同性，且相对杨氏模量E0＝1，泊松比μ＝0.3。以材料用量约束为0.4为例，定义单胞的网格精度为100×100，惩罚因子为5，过滤半径为3。
如图3所示，为验证优化求解结果的有效性，选取负泊松比权重因子为0.6的最优单胞构型，对由其构成的4×4的点阵结构进行有限元模拟压缩实验，选用材料为316L不锈钢，对应的材料属性参数为：密度ρ＝7.98g/cm3，杨氏模量E＝195GPa，泊松比μ＝0.3，屈服强度σ＝180MPa，切线模量G＝7.58GPa。选用四边形网格，对有限元模型施加单面自动接触算法，在有限元模型上边界和下边界分别施加载荷和约束，式中载荷采用恒定冲压速度(v＝60mm/s)，压缩时间为20s，并对所有节点施加位移Uz＝0的约束以防止模型变形时发生翘曲，图4即为该结构的仿真冲击变形过程图。为验证有限元仿真的准确性，通过3D打印技术制造由选取的单胞所构成的4×4模型，采用SLM方法制造该点阵结构，打印材料选用的是316L不锈钢粉末，结构的整体尺寸为60mm×60mm×10mm，并对其进行准动态压缩实验，图5为该试样的4×4模型图，图6为该模型压缩实验的变形过程图。
通过优化后的目标函数值、有限元分析及压缩实验的结果可以证明本实例中考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法综合考虑了结构的承载与吸能特性，得到优化后的点阵结构受到载荷作用时，结构发生相应的内缩，在吸收碰撞能的同时，具备一定的承载能力和稳定的平台应力，能够有效地保护碰撞双方的安全，为防撞结构的设计提供了一种方案。并且通过改变目标函数中的权重因子，可获得不同性能的考虑承载特性的点阵结构，用来满足不同应用场合对结构性能的要求。
以上是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；凡在本发明的思路和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其包括以下步骤：
步骤一：基于改进的SIMP材料弹性模量-密度的插值模型，对材料的相对密度、体分比、优化算法参数及相关其他参数进行初始化；
步骤二：对微结构进行有限元分析，以获得设计域内每个节点的位移；
步骤三：基于能量均匀化方法求解微结构的等效弹性矩阵，其中包括相关弹性参数的等效表达；
步骤四：构建考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型，以结构负泊松比与刚度为目标函数，以体积为约束；
步骤五：基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度；
步骤六：使用改进的优化准则法求解点阵结构单胞拓扑优化模型，更新设计变量；
步骤七：判断两次迭代之间设计变量的变化量的绝对值是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出最优单胞构型，否则返回步骤二进行新一轮的迭代优化。
2.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤一中改进的SIMP材料弹性模量-密度插值模型的数学表达式为：
Ee(ρe)＝Emin+ρe p(E0-Emin) (1)
式中：ρe表示单元的密度，其取值范围0～1；Ee(ρe)表示经过插值后的弹性模量；E0表示实体结构的弹性模量；Emin表示近似孔洞的假想材料；p是为了消除灰度单元的惩罚因子，其通常取p＝3～5。
3.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤三中，用能量均匀化方法表征微结构的弹性参数：
式中：为指数表示法中的均质弹性张量；Y为基本单元领域；Eijpq为弹性张量；为定义规定的宏观应变场；为周期性波动应变场，能量均匀化方法将载荷直接作用在基本单元的边界。
4.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四中在结构负泊松比与刚度的加权优化前进行归一化处理：
式中，Qll(ρ)new与μnew为经过归一化处理之后的结构刚度和负泊松比；max(μ)为以负泊松比μ最大作为目标函数时的优化结果；Qll(ρ)为应变能矩阵Qij主方向的应变能；max(Qll(ρ))为以主方向刚度最大作为目标函数时的优化结果。
5.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤四中考虑承载特性的负泊松比点阵结构单胞的多目标拓扑优化数学模型为：
式中，α1∈(0，1)和α2∈(0，1)为加权系数；K为整体刚度矩阵；UA(KL)为整体位移矢量；F(KL)为外部力矢量；d为空间维度；N为元素的数目；ve和ρe分别表示单元的体积和密度；f为体积因子，为了防止矩阵奇异，取ρmin＝0.001。
6.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤五中基于伴随向量法求解目标函数对设计变量的敏度，计算公式(6)及公式(7)如下，负泊松比μ对设计变量的敏度可以由公式(7)与公式(8)进行推导：
μ＝Q12-βl(Q11+Q12) (8)
式中，和的系数均为常数。
7.根据权利要求1所述的一种考虑承载特性的负泊松比点阵结构拓扑优化方法，其特征在于：所述步骤六中使用改进的OC算法求解点阵结构单胞拓扑优化模型，更新设计变量：
式中，m为一个正的移动界限；η为数值阻尼系数；为经过优化准则算子迭代优化后的更新解；为极化算子优化后的更新解；a为控制极化率的参数，用于控制属于中间部分元素的惩罚速度。
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