CN111881531A - 四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算及无量纲设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构与材料工程领域，尤其涉及四面内凹金字塔点阵结构物理量计算及无量纲设计方法，包括均布压力作用下金字塔顶点的挠度、局部坐标下顶点挠度、坐标系中端点的集中力和弯矩、负泊松比点阵结构在受压方向/受压垂直方向的应变、点阵单元的泊松比等计算方法，本发明提出的负泊松比点阵结构的泊松比设计方法既可以计算负泊松比多胞结构的泊松比，也可以计算单胞结构的泊松比。由于本发明提出的理论方法，是基于远场应力加载的理论假设，因而更适用于多胞结构的泊松比计算，计算效率远高于有限元建模方法和实验方法；能够进行点阵结构的负泊松比设计；深刻认识负泊松比的变化规律。

Description

四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算及无量纲设计方法

技术领域

本发明属于结构与材料工程领域，尤其涉及四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算及无量纲设计方法。

背景技术

泊松比定义为受载方向上的轴向应变与横向应变之比的负值。所有常见材料都具有正的泊松比，即材料在受到轴向压缩的情况下，会产生横向膨胀。而在压缩载荷作用下横向收缩，或者在拉伸时横向膨胀的材料或结构被称为负泊松比材料或者负泊松比结构。

对于各向同性材料，泊松比的容许范围为-1.0至0.5，而各向异性材料则取值更为广泛。自然界中具有极少数的负泊松比材料，例如晶体镉、松质骨和具有微裂缝的岩石。目前，已有学者制造出具有负泊松比的人造材料和结构，如复合层压材料、微孔聚合物、二维蜂窝体和三维泡沫。预期这类材料具有有趣的机械性能，例如高能量吸收，断裂韧性，抗压痕性和增强的剪切模量。因此，近年来负泊松比材料的设计、制造和分析引起了研究界的极大兴趣。Almgren(1985)对负泊松比进行了正式的理论研究。Wojciechowski和Branka(1989)在理论上研究了二维分子系统中的负泊松比。Schajer和Robertson(1974)以及Kolpakov(1985)研究了细胞结构的力学行为和弹性网格的平均模量。Warren和Kraynik(1987)提出了一种分析计算聚合物泡沫有效弹性模量的方法。Wei(1992)提出了一种理论模型，用于评估具有特殊微观结构的聚合物网络的有效泊松比。Evans(1989,1990)使用了一种分子力学程序，该程序结合了标准的价态场来模拟网络微观结构的变形，从而计算泊松比。史密斯等人(2000)开发了一种肋骨模型来研究蜂窝和泡沫的拉胀行为。Torquato(2000)和Sigmund(2000)研究了具有负泊松比的二维材料的拓扑设计。Warren和Byskov(2002)基于线弹性模型研究了二维材料的三重对称性和机械各向同性的关系。Yang(2003)等人使用有限元法研究了结构几何参数对负泊松比的影响。

综上所述，目前关于负泊松比结构的研究对象基本均为二维蜂窝结构，没有针对三维空间负泊松比结构，将二维负泊松比蜂窝结构扩展到三维点阵结构具有重要的科学价值和工程应用价值。专利ZL201810445118.3针对该问题开展了相关的工作，提出了一种多面内凹的金字塔型负泊松比空间点阵结构的构型，但并未给出泊松比的定量设计方法。

发明内容

本发明创造的目的在于，提出一种四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算及无量纲设计方法。

为实现上述目的，本发明创造采用如下技术方案。

四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法：均布压力作用下金字塔顶点的挠度

其中局部坐标下顶点挠度为：

局部坐标系中端点的集中力为：

局部坐标系中端点的弯矩为：

一种四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法：

负泊松比点阵结构在受压方向的应变为：

负泊松比点阵结构在受压垂直方向的应变为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，在受压方向的应变为：

在垂直受压方向的应变为：

一种四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法：点阵单元的泊松比为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比为：

一种基于无量纲参数的四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构泊松比设计方法，包括如下步骤：

(一)据本发明提出的计算方法所给出的四面内凹金字塔点阵结构的泊松比设计图谱，其中点阵单元的泊松比为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比为：

泊松比设计图谱横坐标为单元高度H与单元宽度W的比值，纵坐标为为单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角；

泊松比范围为：-0.79423至-7.43156；高宽比范围为：0.53871至1.506452；单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β的范围为：0.2至0.596；

(二)2、根据设计要求，按照以下三种方法进行设计，具体设计步骤如下：

①已知设计泊松比，对结构尺寸进行设计：

在泊松比设计图谱中查找与设计泊松比相等的泊松比值，再查找该泊松比对应的横坐标和总坐标，得到单元高度H与单元宽度W的比值，以及单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β；

②根据设计要求，已知单元高宽比和设计泊松比确定β

首先从泊松比设计图谱横坐标中选择设计要求规定的单元高宽比(如没有准确值可通过插值确定)，在该高宽比所在列查找设计要求的泊松比，进而确定单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β；

③根据设计要求，已知设计泊松比和β确定单元高宽比

首先从泊松比设计图谱纵坐标中选择设计要求规定的β(如没有准确值可通过插值确定)，在该β所在行查找设计要求的泊松比，进而确定单元高宽比。

本发明提出的负泊松比点阵结构的泊松比设计方法既可以计算负泊松比多胞结构的泊松比，也可以计算单胞结构的泊松比。由于本发明提出的理论方法，是基于远场应力加载的理论假设，因而更适用于多胞结构的泊松比计算。

本发明与现有方法比较所具有的优势：

(1)计算效率远高于有限元建模方法和实验方法。本发明给出了多面内凹负泊松比点阵结构的泊松比与结构参数的具体函数形式，利用本发明给出的负泊松比的计算公式，可以快速有效的计算出四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比值。

(2)能够进行点阵结构的负泊松比设计。工程人员不仅可以利用该公式计算已知结构的负泊松比，也可以通过该公式对点阵结构的负泊松比进行设计。利用本发明给出设计图表，可以得到负泊松比与结构参数之间的关系。从而可以设计出工程上所需要的负泊松比点阵材料。而数值方法和实验方法在进行负泊松比结构设计时，则往往显得十分困难和低效。

(3)深刻认识负泊松比的变化规律。从本发明给出的负泊松比计算公式的推导过程中，能够很直观的体现出负泊松比点阵结构的变形机理和失效机理，既能进行定量计算也能进行定性分析。

附图说明

图1是四面内凹金字塔负泊松比点阵结构负泊松比点阵夹层结构示意图；

图2单元坐标系定义；

图3单元结构的尺寸示意图一；

图4单元结构的尺寸示意图二；

图5负泊松比点阵结构在xoy平面的投影图；

图6负泊松比单元结构的受力示意图；

图7坐标变换示意图；

图8为结构受力分解示意图；

图9为AB1杆在端部集中力作用下的变形示意图；

图10为AB1杆在端部弯矩作用下的变形示意图；

图11为数值仿真模型一；

图12为数值仿真模型二；

图13为数值仿真模型一负泊松比点阵结构的总体变形；

图14为数值仿真模型二负泊松比点阵结构的总体变形；

图15为理论解与仿真结果的比较图表；

图16为泊松比与β和高宽比的关系；

图17为泊松比与β和η的关系。

具体实施方式

以下结合具体实施例对本发明创造作详细说明。

研究对象为受到均布压力载荷的负泊松比点阵夹层结构，如图1所示。夹层结构的芯层为负泊松比点阵结构，上下为钢结构面板。结构所受主要载荷为深水压力或者爆炸冲击的作用力。为便于分析，定义单元坐标系如图2所示。坐标系定义为垂直方向为z轴，宽度方向为x轴，厚度方向为y轴。

为标注清楚起见，将实体单元结构用线条绘制，如图3、图4所示，其中

B：为单元横梁在x轴上的长度(m)；

H：为单元在z轴上的高度(m)；

L：为单元斜杆在xoz平面上的投影长度(m)；

W：为单元两旁短杆端点的水平距离(m)；

β：为单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角(rad)；

η：为单元斜杆在xoy平面上的投影与x轴的夹角(rad)。

设点阵结构在远处边界受到σz的压力作用，将点阵结构中的单元从整体结构中取出，如图5所示。设在xoy平面，负泊松比点阵有n*n个单元结构，则作用在点阵结构上的总压力为：

负泊松比点阵单元结构一共有28根杆结构，逐一进行受力分析将使得求解十分困难。因此根据结构的对称性，对单元结构进行分解，将负泊松比单元结构分解为斜杠和水平横杆，根据结构的变形特点，可以不计水平横杆的拉伸变形，斜杠在与横杆的交点处可以视为固支。

对于单个点阵单元来说，其所受到的力可以等效为在八个顶点上受到集中力P作用，如图6所示，则：

对单元结构上半部分左侧的两个斜杆AB₁和AO进行几何分析，如图7所示。图中A点为单元结构侧面金字塔结构的顶点，B₁和O为单元顶点，B点为杆B₁O的中点。斜杆AB₁为以AB₁为轴线的圆柱体，斜杆AO为以AO为轴线的圆柱体。

为了便于分析杆AB₁的受力，需对作用在杆端部的集中力和弯矩进行分解，进而得到以杆AB₁轴线为x轴的局部坐标系下的杆件内力。将总坐标系原点移动到B₁点，各轴方向不变。单元坐标系的原点在B₁点，xyz轴与点阵总坐标系平行。

则有：AB₁杆在总坐标系下的向量为：

AB₁杆在杆的局部坐标系下的向量为：

首先将单元坐标系沿y轴进行旋转，旋转角度为π/2-β，则旋转矩阵为：

然后将局部坐标系沿z轴旋转，旋转角度为-ζ：

令L_A为斜杆AB₁的长度。则总坐标到局部坐标的变换矩阵为：

对斜杆中的AB₁提取出来进行单独的受力分析，可将其视为在B₁端固支，A端受到集中力Fx，Fy，Fz和集中弯矩Mx，My，Mz的作用，如图8所示。

总坐标系下AB₁杆在杆A端的集中力为：

总坐标系下AB₁杆在杆A端的弯矩为：

在局部坐标系中，AB₁杆A端点的集中力为：

在局部坐标系中，AB₁杆A端点的弯矩为：

对于局部坐标系下的变形，悬臂梁端部作用集中力时端部的挠度。如图9所示，悬臂梁AB1端部A点受到集中力P_zlocal作用。

另建立曲线坐标系，以A点为原点，以曲线坐标S定义弯曲构件的位置。AB1杆的曲率为dθ/dS，故悬臂梁AB1的挠度曲线的微分方程为：

式中：

Es为点阵结构材料的杨氏模量，Pa；

I为杆等效弯曲惯性矩，m⁴；

θ是杆AB1上某点在变形曲线上的切线与Z方向的夹角，rad；

S是AB1上某点沿曲线坐标离原点A的距离,m；

边界条件为:

(1)在自由端A点：

(2)在固定端B1点：

α和β分别为A点和B1点的变形曲线切线与z轴的夹角，单位为rad。忽略轴向压缩引起的AB1长度的变化，将(12)式对S求导，利用关系dX/dS＝sinθ，我们得到：

求解(13)，两边同时乘以(dθ/ds)dS积分，得到：

其中：

k²＝P_zlocal/(E_SI) (15)

注意此处k为已知参数。对(14)进行积分，利用A点处的边界条件，得到：

求解dS有：

注意此处α_X为待定参数。对dS从B1点到A点进行积分，可得AB1杆的总长度为：

引入符号p_x：p_X＝sin(α/2) (19)

引入符号Ф：sin(θ/2)＝p_Xsinφ＝sin(α/2)sinφ (20)

注意p_x是α的函数，而Ф是θ和α的函数。做坐标变换，将以θ为坐标的上下限θ＝α和θ＝β，转变成以Ф为坐标的上下限，因此有：

(1)在自由端O点，即θ＝α时：

φ＝π/2 (21)

(2)在固定端B点，即θ＝β时：

注意β为B端点变形曲线的切线与z轴的夹角，因为B端为固支，故β保持不变。令：

对(20)式进行微分有：

将(20)式和(24)式代入(18)式，得到：

其中：

注意F(α)中的δ_X和px均为α的函数。F(α)为第一类完全椭圆积分，其值取决于α和β。P_zlocal可以表示为椭圆积分：

由(27)可以求得O端的转角,已知AB1杆上微段ds垂直投影dL_Z为dScosθ。对dL_Z沿杆长积分，可以得到变形后杆上任意一点在Z方向距离B点的投影长度：

利用(20)式和(24)式，可以将上式写为Ф的形式：

其中：

方程(29)右侧第一部分为第二类不完全椭圆积分，可设为E(ζx)，(29)可写为：

其中：

令积分的上限为π/2，即θ＝α时，AB1杆沿z轴的总投影长度为：

因此可以得到，杆AB1在Z方向的挠度为：

w_Zlocal＝L_Z(α) (33)

AB1杆上某点在水平x轴方向的距离Lx(θ)的计算方法与上述类似：

上式以Ф形式表示为：

沿x方向，AB1杆变形后长度为：

因此可以得到，杆AB1在X方向的挠度为：

w_xlocal＝L_X(α)-L_A (37)

其中，在端部弯矩作用下，悬臂梁端部的挠度变形。

以A点为原点，以曲线坐标S定义弯曲构件的位置。AB1杆的曲率为dθ/dS，故悬臂梁AB1的挠度曲线的微分方程为：

边界条件为：

(1)在自由端O点：

(2)在固定端B点：

α和β分别为A点和B1点的变形曲线切线与z轴的夹角，单位为rad。

求解dS有：

注意此处α_X为待定参数。对dS从B点到O点进行积分，可得AB1杆的总长度为:

由(18)可以求得O端的转角α：

已知AB1杆上微段ds的垂直投影dL_Z为dScosθ。对dL_Z沿杆长积分，可以得到变形后杆上任意一点在Z方向距离B点的投影长度：

令积分的下限β为π/2，并令θ＝α时，AB1杆沿z轴的总投影长度为：

因此可以得到，杆AB1在Z方向的挠度为：

w_Zlocal＝L_Z(α) (44)

AB1杆上某点在水平x轴方向的距离Lx(θ)的计算方法与上述类似：

沿x方向，AB1杆变形后长度为：

因此可以得到，杆AB1在X方向的挠度为：

w_xlocal＝L_Z(α)-L_OB (47)

对于在局部坐标下的总变形，坐标系下A点的位移，已知在局部坐标系中，AB1杆A端点的集中力和弯矩为：

可知如不计杆的轴向拉压变形，则F_xlocal使杆在各方向产生的挠度为：

w_xlocal≈0，w_ylocal＝w_zlocal＝0 (49)

F_ylocal在各方向产生的挠度为：

F_zlocal在各方向产生的挠度为：

以上推导可得集中力作用下局部坐标系的合挠度：

亦可知，M_xlocal＝0，故在各方向产生的挠度为零。M_ylocal在各方向产生的挠度为：

M_zlocal在各方向产生的挠度为：

由以上推导可得局部坐标系下的合挠度，由集中力和弯矩在A点产生的产生挠度为：

对于总坐标系下的变形，将在局部坐标系下的位移转换到总坐标系下，有：

令总坐标系下y方向的挠度为零，可求得Py，将Py代入到上式，可得A点挠度。

因此，负泊松比点阵单元在z方向的应变为：

负泊松比点阵单元在x方向的应变为：

点阵单元的泊松比为：

当tg(α)远小于1时，可以进行适当简化。局部坐标系下，由F_local产生的线位移为：

局部坐标系下，由M_local产生的线位移为：

忽略轴向力引起的位移，将在局部坐标系下的位移转换到总坐标系下，有：

计算得：

忽略轴向扭矩引起的位移，将在局部坐标系下的位移再转换到总坐标系下，有：

计算得：

因此，在总坐标下，A点的位移向量为两者之和：

简化上式：

已知在总坐标系下，A点的y方向位移为零：

因此有：

将(14)代入到(13)即可得A点的位移。

因此，负泊松比点阵单元在z方向的应变为：

负泊松比点阵单元在x方向的应变为：

点阵单元的泊松比为：

以下以实例对前述计算方法结果进行验证

实施例一四面内凹金字塔型负泊松比多胞结构的泊松比计算与模拟仿真比较

本实例利用提出的计算方法对四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比进行计算，并与有限元仿真计算结果进行比较，以验证本发明计算方法的有效性。

如图11、12所示，对2种点阵结构进行数值仿真技术。模型为在xyz三个方向均为3个单元的多胞结构，点阵结构的母材料参数如图表1所示。点阵结构的几何尺寸如表2所示。

表1结构材料参数

弹性模量(MPa)	剪切模量(MPa)	屈服应力(MPa)	泊松比
				2.0e9	7.19e8	60	0.39

表2单元几何尺寸

对有限元模型底部左前方的节点进行6个自由度方向的约束，其他底部节点仅在z方向进行约束，两个模型相应的负泊松比点阵结构的总体变形如图12、13所示。

取有限元模型的中间单元进行应变输出，结合本发明计算方法的数据绘制图表如图15所示，由计算结果可知：模型1泊松比的仿真计算值为-1.2701；模型2泊松比的仿真计算值为-08427，图15显示了本发明提出的解析解和有限元仿真结果比较，验证了理论方法的有效性。

实例二基于无量纲参数的泊松比设计图表进行设计过程

表3为根据本发明提出的计算方法所给出的四面内凹金字塔点阵结构的泊松比设计图表。表3中横坐标为单元高度H与单元宽度W的比值，纵坐标为为单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β。

表3中给出了各物理参数的设计范围，其中：

(1)泊松比范围为：-0.79423至-7.43156；

(2)高宽比范围为：0.53871至1.506452；

(3)单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β的范围为：0.2至0.596。

根据设计要求，设计者可以按照以下三种方法进行设计，具体设计步骤如下：

(1)已知设计泊松比，对结构尺寸进行设计：

在表3中查找与设计泊松比相等的泊松比值，再查找该泊松比对应的横坐标和总坐标，得到单元高度H与单元宽度W的比值，以及单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β。此时，需要注意的是同一个泊松比可能对应不同的结构几何参数。

(2)根据设计要求，已知单元高宽比和设计泊松比确定β

首先从表3横坐标中选择设计要求规定的单元高宽比(如没有准确值可通过插值确定)，在该高宽比所在列查找设计要求的泊松比，进而确定单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β。

(3)根据设计要求，已知设计泊松比和β确定单元高宽比

首先从表3纵坐标中选择设计要求规定的β(如没有准确值可通过插值确定)，在该β所在行查找设计要求的泊松比，进而确定单元高宽比。

表3泊松比设计图表

实例三泊松比与结构几何参数的变化规律

本实例给出负泊松比点阵结构的泊松比与β和高宽比H/W的变化关系，由于采用了无量纲表示，故可以为负泊松比点阵结构的泊松比设计提供参考。

具体变化规律如下：

(1)由图16可知，当高宽比一定时，随着β的增大，负泊松比的绝对值逐渐减小；当β一定时，随着高宽比的增大，负泊松比的绝对值逐渐增大。

(2)由图17可知，当η一定时，随着β的增大，负泊松比的绝对值逐渐减小；当β一定时，随着η的增大，负泊松比的绝对值逐渐增大。

最后应当说明的是，以上实施例仅用以说明本发明创造的技术方案，而非对本发明创造保护范围的限制，尽管参照较佳实施例对本发明创造作了详细地说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明创造的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明创造技术方案的实质和范围。

Claims (4)

1.一种四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法，其特征在于，均布压力作用下金字塔顶点的挠度为：

其中局部坐标下顶点挠度为：

局部坐标系中端点的集中力为：

局部坐标系中端点的弯矩为：

其中B为单元横梁在x轴上的长度(m)；

H为单元在z轴上的高度(m)；

L为单元斜杆在xoz平面上的投影长度(m)；

W为单元两旁短杆端点的水平距离(m)；

β为单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角(rad)；

η为单元斜杆在xoy平面上的投影与x轴的夹角(rad)。

2.根据权利要求1所述四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法，其特征在于，负泊松比点阵结构在受压方向的应变为：

负泊松比点阵结构在受压垂直方向的应变为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，在受压方向的应变为：

在垂直受压方向的应变为：

3.根据权利要求1所述四面内凹金字塔点阵结构弹性参数计算方法，其特征在于，点阵单元的泊松比为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比为：

4.基于无量纲参数的四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构泊松比设计方法，其特征在于，包括如下步骤

(一)据本发明提出的计算方法所给出的四面内凹金字塔点阵结构的泊松比设计图谱，其中点阵单元的泊松比为：

当斜杆端部变形角斜率tg(α)远小于1时，四面内凹金字塔型负泊松比点阵结构的泊松比为：

泊松比设计图谱横坐标为单元高度H与单元宽度W的比值，纵坐标为为单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角；

泊松比范围为：-0.79423至-7.43156；高宽比范围为：0.53871至1.506452；单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β的范围为：0.2至0.596；

(二)根据设计要求，按照以下三种方法进行设计：

①已知设计泊松比，对结构尺寸进行设计：

在泊松比设计图谱中查找与设计泊松比相等的泊松比值，再查找该泊松比对应的横坐标和总坐标，得到单元高度H与单元宽度W的比值，以及单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β；

②已知单元高宽比和设计泊松比确定β

首先从泊松比设计图谱横坐标中选择设计要求规定的单元高宽比，在该高宽比所在列查找设计要求的泊松比，进而确定单元斜杆在xoz平面上的投影与z轴的夹角β；

③已知设计泊松比和β确定单元高宽比

首先从泊松比设计图谱纵坐标中选择设计要求规定的β，在该β所在行查找设计要求的泊松比，进而确定单元高宽比。

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