CN110704894A - 斜拉桥桥塔地震响应的计算方法 - Google Patents

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CN110704894A CN201910778641.2A CN201910778641A CN110704894A CN 110704894 A CN110704894 A CN 110704894A CN 201910778641 A CN201910778641 A CN 201910778641A CN 110704894 A CN110704894 A CN 110704894A
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Abstract

本发明涉及地震响应计算领域，本发明公开了一种斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，包括以下步骤：建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型；根据当kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值,得到总刚度矩阵K0；根据力学模型中，得到与总刚度矩阵K0对应的结构质量矩阵M0；根据公式|K0‑ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，再根据公式
Figure DDA0002175864510000011
得到振型向量
Figure DDA0002175864510000012
根据振动角频率和振型向量，简化塔底剪力的表达式得到塔梁质量比和塔梁线刚度比与塔底剪力的关系。本发明能有效地解决采用有限元仿真试算方法计算斜拉桥桥塔地震响应巨大的工作量，计算处理耗时长的问题。

Description

斜拉桥桥塔地震响应的计算方法
技术领域
本发明涉及地震响应计算领域，具体涉及斜拉桥桥塔地震响应的计算方法。
背景技术
在高烈度区设计塔-梁固结体系的斜拉桥时，因结构刚度较大导致其结构地震响应较大，抗震安全性问题是桥型方案能否成立的决定性因素，故抗震设计是桥梁结构设计的首要环节。其中，桥塔是斜拉桥最重要的受力构件，因其自身属于高耸结构，是全桥抗震的重中之重，若能快速桥塔的结构地震响应，对工程设计的实用价值是不言而喻的。
现在通常采用有限元仿真试算方法来解决这一问题，由于计算效率低的问题较为突出，故该法不具备工程实用价值。计算者首先需要对“塔梁质量比”和“塔梁线刚度比”给定不同的参数，然后建立有限元模型进行数据计算，最后通过数据拟合分析得到近似规律。整个过程需要设计人员不断地与有限元软件进行数据交互，计算异常繁琐且容易出现错误。这种依靠经验的试算方法有着巨大的工作量，计算处理耗时长，导致工程师无法承受复杂的问题。
发明内容
针对现有技术中存在的缺陷，本发明的目的在于提供一种斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，能有效地解决采用有限元仿真试算方法计算斜拉桥桥塔地震响应巨大的工作量，计算处理耗时长的问题。
为达到以上目的，本发明采取的技术方案是：
一种斜拉桥桥塔地震响应参数的计算方法，包括以下步骤：
建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型；
根据设计参数主梁顶部到塔柱底部的距离H，斜拉桥的主跨长度L，主梁的弯曲线刚度ib，塔柱的弯曲线刚度ic，得到与7个自由度的力学模型对应的7阶总刚度矩阵K0，其中矩阵K0中的元素Kij表示当kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值；
根据力学模型中的中跨主梁总质量的一半mb、边跨主梁与对应塔柱的质量之和mc，得到与总刚度矩阵K0对应的结构质量矩阵M0；
根据公式|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，再根据公式
Figure BDA0002175864490000021
得到振型向量
Figure BDA0002175864490000022
根据ω以及
Figure BDA0002175864490000023
得到斜拉桥塔底剪力F的表达式，定义塔梁质量比为
Figure BDA0002175864490000024
塔梁线刚度比为
Figure BDA0002175864490000025
简化F的表达式得到ξ、η与F的数学关系。
在上述技术方案的基础上，建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型，具体包括以下步骤：
利用边跨主梁、中跨主梁、上塔柱和下塔柱的重量，建立斜拉桥的门式框架模型；
将门式框架模型等效为正对称模型和反对称模型，利用产生地震力的反对称模型建立力学模型；
所述力学模型包括位于塔柱和主梁交接处的第一节点、位于主梁1/4处的第二节点和位于主梁1/2处的第三节点，将mc等效至第一节点上，mb等效至第二节点上，第一节点包括水平和转角自由度，第二节点包括水平、竖向和转动动力自由度，第三节点包括水平和转动自由度。
在上述技术方案的基础上，根据力学基本原理，kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值，得到
Figure BDA0002175864490000031
其中jb为主梁的轴向刚度。
在上述技术方案的基础上，根据|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，具体包括：
忽略主梁轴向变形的影响，将K0简化成：
Figure BDA0002175864490000032
将主梁质量集中在墩顶，将K进一步简化为
Figure BDA0002175864490000033
对应的结构总质量矩阵退化为
M1＝diag(mc+mb 00)；
根据结构动力学中求解自振频率的通用公式|K1-ω2M1|＝0，得到频率
Figure BDA0002175864490000041
在上述技术方案的基础上，再根据公式
Figure BDA0002175864490000042
得到振型向量
Figure BDA0002175864490000043
具体包括：
定义与K1和M1对应的振型向量
Figure BDA0002175864490000044
代入方程
Figure BDA0002175864490000045
得到
Figure BDA0002175864490000046
将与K对应的结构总质量矩阵退化为
M＝diag(mc+mb 0 mb 0 0)；
定义与K和M对应的振型向量
Figure BDA0002175864490000047
代入方程
Figure BDA0002175864490000048
得到
Figure BDA0002175864490000049
式中，振型向量
Figure BDA00021758644900000410
中的元素φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标。
在上述技术方案的基础上，斜拉桥塔底剪力F，具体包括：
其中，-k为地震水平加速度系数，根据桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定；
-γ为振型参与系数，按照下式确定：
Figure BDA0002175864490000052
式中，mi为结构质量，为第一阶振型第i自由度的质量(i＝1,3)；φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标(i＝1,3)；g为重力加速度，g＝9.806m/s2-β(T)为动力放大系数，式中，βmax为动力放大系数最大值，Tg为场地特征周期(s)，βmax和Tg由桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定，ω为桥梁结构的自振频率。
在上述技术方案的基础上，简化斜拉桥塔底剪力F得到ξ、η与F的数学关系，具体包括：
在上述技术方案的基础上，所述计算方法还包括确定塔底弯矩，根据斜拉桥塔底剪力F，得到塔底弯矩M＝F×H。
与现有技术相比，本发明的优点在于：建立了一种能够计算斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，该计算方法能建立结构地震响应与塔梁质量比和塔梁线刚度比的数学关系。该方法只用知道部分设计参数，就可计算的到地震响应斜拉桥塔底剪力F与塔梁质量比和塔梁线刚度比的数学关系，不必通过三维建模的方式去计算，可简化设计过程，有效提高生产效率。
附图说明
图1为本发明实施例中斜拉桥桥塔地震响应的计算方法的流程图；
图2为本发明实施例中斜拉桥的原始力学模型图；
图3为本发明实施例中斜拉桥简化后的门式框架模型图；
图4为本发明实施例中正对称模型和反对称模型图；
图5为本发明实施例中悬臂梁和固结梁计算模型图；
图6为本发明实施例中力学模型自由度编号图；
图7为本发明实施例中力学模型简化图。
具体实施方式
以下结合附图及实施例对本发明作进一步详细说明。
图1为本发明实施例中斜拉桥桥塔地震响应的计算方法的流程图，参见图1所示，本发明实施例提供一种斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，
S1：建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型。
图2为本发明实施例中斜拉桥的原始力学模型图；图3为本发明实施例中斜拉桥简化后的门式框架模型图。如图2和图3所示：
S1步骤具体包括以下步骤：
S11：将斜拉桥的边跨、上塔柱和斜拉索的结构几何部分忽略，只考虑边跨主梁、中跨主梁、上塔柱和下塔柱的重量，建立斜拉桥的门式框架模型。
图4为本发明实施例中正对称模型和反对称模型图，如图4所示：
S12：将门式框架模型等效为主梁中点固定的正对称模型和主梁中点简支支撑的反对称模型，根据荷载的反对称性，正对称模型产生的地震力为零，反对称模型为产生地震力的力学模型。
其中，力学模型包括位于塔柱和主梁交接处的第一节点、位于主梁1/4处的第二节点和位于主梁1/2处的第三节点，简化mc至第一节点上，mb简化至第二节点上，假设主塔的轴向刚度为无穷大，则第一节点包括水平和转角自由度，第二节点包括水平、竖向和转动动力自由度，第三节点包括水平和转动自由度。
在本实施例中，由于塔柱的轴向刚度很大，故可忽略第一节点的竖向自由度；第三节点的竖向位移被活动支座完全约束，故第三节点竖向自由度为零。
S2：根据设计参数主梁顶部到塔柱底部的距离H，斜拉桥的主跨长度L，主梁的弯曲线刚度ib，塔柱的弯曲线刚度ic，得到与7个自由度的力学模型对应的7阶总刚度矩阵K0，其中矩阵K0中的元素Kij仅当kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值。
具体地，根据kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值，确定阶总刚度矩阵的元素Kij，得到
Figure BDA0002175864490000071
其中jb为主梁的轴向刚度。
在本实施例中，总刚度矩阵K0中第i行第j列元素kij表示含义为“仅当kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值”。根据结构力学中的反力互等定理，K0应具有对称性，即kij＝kji。
其中，总刚度矩阵K0的第1(行)列和第2(行)列分别对应第一节点的水平和转角自由度；第3(行)列、第4(行)列和第5(行)列分别对应第二节点的水平、竖向和转角自由度；第6(行)列和第(行)7列分别对应第三节点的水平和转角自由度。
以第1列7个元素为例对其详细解释说明如下，其余列元素含义可按此原理类推：
k11表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为
Figure BDA0002175864490000081
k21表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第一节点处的杆端转动弯矩分量为
Figure BDA0002175864490000082
k31表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第二节点处的杆端水平力分量为-4jb；
k41表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第二节点处的杆端竖向力分量为0；
k51表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第二节点处的杆端转动弯矩分量为0；
k61表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第三节点处的杆端水平力分量为0；
k71表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第三节点处的杆端转动弯矩分量为0；
以第1行7个元素为例对其详细解释说明如下，其余行元素含义可按此原理类推：
k11表示仅当第一节点处的水平位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为
k12表示仅当第一节点处的转动位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为
Figure BDA0002175864490000092
k13表示仅当第二节点处的水平位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为-4jb；
k14表示仅当第二节点处的竖向位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为0；
k15表示仅当第二节点处的转动位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为0；
k16表示仅当第三节点处的水平位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为0；
k17表示仅当第三节点处的转动位移分量等于1时，第一节点处的杆端水平力分量为0。在本实施例中，主梁的弯曲线刚度ib＝EbIb/L，塔柱的弯曲线刚度ic＝EcIc/H。
塔柱的弹性模量Ec和主梁的弹性模量Eb的取值均由材料特性确定，可通过《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》查表获得。
对等截面的塔柱和主梁而言，塔柱截面的抗弯惯性矩Ic和主梁截面的抗弯惯性矩Ib均为常数，可通过截面特性分析软件计算得到。
对变截面塔柱和变截面主梁而言，塔柱截面的抗弯惯性矩Ic和主梁截面的抗弯惯性矩Ib均不是常数，可通过等效刚度的原则来确定，此法也适用于等截面主塔和等截面主梁的情形。具体过程如下：
将主塔简化为一端固定、一端自由的悬臂梁(变截面)；将主梁简化为两端固定的固结梁(变截面)，图5为本发明实施例中悬臂梁和固结梁计算模型图，见图5所示。
在悬臂梁的自由端施加荷载P1，在固结梁的跨中施加荷载P2；
利用有限元软件建立数学模型，分别获得P1、P2作用下的自由端位移Δ1和跨中位移Δ2；
按照下式确定塔柱的弯曲线刚度ic和主梁的弯曲线刚度ib。
Figure BDA0002175864490000101
Figure BDA0002175864490000102
S3：根据力学模型中的中跨主梁总质量的一半mb、边跨主梁与对应塔柱的质量之和mc，得到与总刚度矩阵K0对应的结构质量矩阵M0，M0＝diag(mc 0 mb mb 0 0 0)，表示的是对角线元素为mc,0,mc,mc,0,0,0的对角矩阵。
S4：根据公式|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，再根据公式
Figure BDA0002175864490000103
得到振型向量
Figure BDA0002175864490000104
S41：根据|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，具体包括：
忽略主梁轴向变形的影响，将K0简化成：
Figure BDA0002175864490000105
将主梁质量集中在墩顶，将K进一步简化为
对应的结构总质量矩阵退化为
M1＝diag(mc+mb 0 0)；
根据结构动力学中求解自振频率的通用公式|K1-ω2M1|＝0，得到频率
Figure BDA0002175864490000112
忽略主梁轴向变形的影响，将K0简化成K的证明过程如下：
对力学模型的自由度编号，图6为本发明实施例中力学模型自由度编号图，如图6所示：
X1——第一节点的水平自由度；
X2——第一节点的转角自由度；
X3——第二节点的水平自由度；
X4——第二节点的竖向自由度；
X5——第二节点的转角自由度；
X6——第三节点的水平自由度；
X7——第三节点的转角自由度；
因为塔柱的轴向刚度无穷大，也就是塔柱的是不可伸长和缩短的，而塔柱底部固定在地面，不可活动，所以第一节点的竖向也是不可活动的，所以第一节点没有竖向自由度；第三节点是用支座把竖向固定在地面，所以第三节点也没有竖向自由度。
得到的刚度矩阵：
Figure BDA0002175864490000121
关于主梁轴向刚度jb＝EbAb/L数学上无穷大，矩阵K0的消元问题：
根据结构力学的知识，对于自由度向量X＝(X1 X2,...,X7)以及任意一组施加在对应自由度上的外力F＝(F1 F2,...,F7)都有：
Figure BDA0002175864490000122
有唯一的解。如果jb无穷大，则展开上面方程组第一行，可以得到：
Figure BDA0002175864490000123
即
Figure BDA0002175864490000124
对于任意的F1都有解，那么得到X1＝X3(如果X1不等于X3，那么上式的左边等于无穷)。
展开第6行则有：X3＝X6，即X1＝X3＝X6，把这个关系式代入方程组消元，就得到：
对应的自由度为X＝(X1X2X4X5X7)，此处的X对应原文中简化的φ，也就是X1＝φ1,X2＝φ2,X4＝φ3,X5＝φ4,X7＝φ5。
将主梁质量集中在墩顶，将K简化成K1的证明过程如下：
图7为本发明实施例中力学模型简化图，如图7所示，将主梁质量集中在墩顶，此时第二节点的竖向位移没有质量，即自由度X4和X5处没有质量，为了简化刚度矩阵K，采用下面的模型重新组装刚度矩阵，所得到的矩阵就是简化的矩阵K1：
Figure BDA0002175864490000132
对应的自由度是X＝[X1X2X7]。
S42：再根据公式得到振型向量
Figure BDA0002175864490000134
具体包括：
定义与K1和M1对应的振型向量
Figure BDA0002175864490000135
代入方程
Figure BDA0002175864490000136
得到
Figure BDA0002175864490000137
将与K对应的结构总质量矩阵退化为
M＝diag(mc+mb 0 mb 0 0)；
定义与K和M对应的振型向量
代入方程
Figure BDA0002175864490000142
得到
Figure BDA0002175864490000143
式中，振型向量
Figure BDA0002175864490000144
中的元素φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标。
S5：根据ω以及
Figure BDA0002175864490000145
得到斜拉桥塔底剪力F的表达式，定义塔梁质量比为
Figure BDA0002175864490000146
塔梁线刚度比为
Figure BDA0002175864490000147
简化F的表达式得到ξ、η与F的数学关系。
具体地，斜拉桥塔底剪力F的表达式为：
Figure BDA0002175864490000148
其中，-k为地震水平加速度系数，根据桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定，k的平均取值见表1所示。
表1地震水平加速度系数
Figure BDA0002175864490000149
-γ为振型参与系数，按照下式确定：
Figure BDA0002175864490000151
式中，mi为结构质量，为第一阶振型第i自由度的质量(i＝1,3)；φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标(i＝1,3)；g为重力加速度，g＝9.806m/s2。
-β(T)为动力放大系数，
Figure BDA0002175864490000152
式中，βmax为动力放大系数最大值，Tg为场地特征周期(s)，βmax和Tg由桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定，ω为桥梁结构的自振频率。
引入“塔梁质量比”和“塔梁线刚度比”，具体定义如下：
塔梁质量比
Figure BDA0002175864490000153
塔梁线刚度比
Figure BDA0002175864490000154
简化斜拉桥塔底剪力F得到ξ、η与F的数学关系，具体包括：
Figure BDA0002175864490000155
优选地，所述计算方法还包括确定塔底弯矩，根据斜拉桥塔底剪力F，得到塔底弯矩M＝F×H。
综上所述，本发明建立了一种能够计算斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，该计算方法能建立结构地震响应与塔梁质量比和塔梁线刚度比的数学关系。该方法只用知道部分设计参数，就可计算的到地震响应斜拉桥塔底剪力F与塔梁质量比和塔梁线刚度比的数学关系，不必通过三维建模的方式去计算，可简化设计过程，有效提高生产效率。
本发明不局限于上述实施方式，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围之内。本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (8)

1.一种斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型；
根据设计参数主梁顶部到塔柱底部的距离H，斜拉桥的主跨长度L，主梁的弯曲线刚度ib，塔柱的弯曲线刚度ic，得到与7个自由度的力学模型对应的7阶总刚度矩阵K0，其中矩阵K0中的元素Kij表示当kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值；
根据力学模型中的中跨主梁总质量的一半mb、边跨主梁与对应塔柱的质量之和mc，得到与总刚度矩阵K0对应的结构质量矩阵M0；
根据公式|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，再根据公式
Figure FDA0002175864480000011
得到振型向量
Figure FDA0002175864480000012
根据ω以及
Figure FDA0002175864480000013
得到斜拉桥塔底剪力F的表达式，定义塔梁质量比为
Figure FDA0002175864480000014
塔梁线刚度比为
Figure FDA0002175864480000015
简化F的表达式得到ξ、η与F的数学关系。
2.如权利要求1所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，建立斜拉桥的包括7个自由度的力学模型，具体包括以下步骤：
利用边跨主梁、中跨主梁、上塔柱和下塔柱的重量，建立斜拉桥的门式框架模型；
将门式框架模型等效为正对称模型和反对称模型，利用产生地震力的反对称模型建立力学模型；
所述力学模型包括位于塔柱和主梁交接处的第一节点、位于主梁1/4处的第二节点和位于主梁1/2处的第三节点，将mc等效至第一节点上，mb等效至第二节点上，第一节点包括水平和转角自由度，第二节点包括水平、竖向和转动动力自由度，第三节点包括水平和转动自由度。
3.如权利要求1所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于：
根据力学基本原理，kij所在第j列对应的节点位移分量等于1，其余节点位移分量均为零时，其所在第i行对应的节点外力分量值，得到
Figure FDA0002175864480000021
其中jb为主梁的轴向刚度。
4.如权利要求3所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于：根据|K0-ω2M0|＝0，得到振动角频率ω，具体包括：
忽略主梁轴向变形的影响，将K0简化成：
Figure FDA0002175864480000022
将主梁质量集中在墩顶，将K进一步简化为
Figure FDA0002175864480000031
对应的结构总质量矩阵退化为
M1＝diag(mc+mb 0 0)；
根据结构动力学中求解自振频率的通用公式|K1-ω2M1|＝0，得到频率
Figure FDA0002175864480000032
5.如权利要求4所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，再根据公式
Figure FDA0002175864480000033
得到振型向量
Figure FDA0002175864480000034
具体包括：
定义与K1和M1对应的振型向量
Figure FDA0002175864480000035
代入方程
Figure FDA0002175864480000036
得到
Figure FDA0002175864480000037
将与K对应的结构总质量矩阵退化为
M＝diag(mc+mb 0 mb 0 0)；
定义与K和M对应的振型向量
Figure FDA0002175864480000038
代入方程
Figure FDA0002175864480000041
得到
Figure FDA0002175864480000042
式中，振型向量
Figure FDA0002175864480000043
中的元素φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标。
6.如权利要求5所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，斜拉桥塔底剪力F，具体包括：
Figure FDA0002175864480000044
其中，-k为地震水平加速度系数，根据桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定；
-γ为振型参与系数，按照下式确定：
Figure FDA0002175864480000045
式中，mi为结构质量，为第一阶振型第i自由度的质量(i＝1,3)；φi为第一阶振型第i自由度的振型坐标(i＝1,3)；g为重力加速度，g＝9.806m/s2。-β(T)为动力放大系数，
Figure FDA0002175864480000046
式中，βmax为动力放大系数最大值，Tg为场地特征周期(s)，βmax和Tg由桥梁抗震设计规范或地震安全性评价报告确定，ω为桥梁结构的自振频率。
7.如权利要求6所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，简化斜拉桥塔底剪力F得到ξ、η与F的数学关系，具体包括：
Figure FDA0002175864480000051
8.如权利要求1所述的斜拉桥桥塔地震响应的计算方法，其特征在于，所述计算方法还包括确定塔底弯矩，根据斜拉桥塔底剪力F，得到塔底弯矩M＝F×H。
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