CN117171864B - 一种梁结构线性振动预测方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种梁结构线性振动预测方法，属于梁结构振动预测领域，包括将多跨梁或交叉梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；建立梁单元结构的物理模型；基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；建立梁单元的弹性力学方程；根据能量叠加原理建立多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函；使用瑞利‑里兹法将振动模型离散化，并结合经典振动理论求解特征值，通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；对多跨梁和交叉梁结构进行振动特性预测。本发明能够对多跨梁和交叉梁系结构进行线性振动预测，精确描述梁所有方向的变形。
Description
技术领域
本发明涉及梁结构振动预测领域，特别涉及一种梁结构线性振动预测方法。
背景技术
梁结构因为结构简单、可塑性强、截面型号标准化等原因被广泛用作桥梁建造、海洋平台、输电铁塔等结构的基本框架材料。在这些应用场景中，常需要连接两个距离较远的位置，长梁往往不能保证结构的刚度和强度设计要求，为提高结构的稳定性和安全性，工程从业人员会在梁中增加支撑节点或者设计交叉梁系。考虑到此类结构的动力学环境非常复杂，且增加梁的支撑节点或者设计成交叉梁系后，结构内部存在复杂的耦合关系，其动力学特性发生变化。为了研究结构几何因素、材料因素以及边界条件等对长跨梁、多跨梁和交叉梁系结构线性振动特性的影响，需要建立相关的分析模型，为多跨梁和交叉梁系的减振设计提供基础。
现有的梁结构振动预测建模方法，大多是在Euler-Bernoulli梁理论、Rayleigh梁、Timoshenko梁理论上建立的，这些建模理论均对梁做了平面变形假设，对某些方向的变形不做考虑，无法获得欠考虑方向的模态振型。因此，通过以上建模理论建立的预测模型进行求解计算，获得的多跨梁的振动特性并不全面。
此外，交叉梁系是一个复杂的多梁单元耦合系统，模态振型中的交叉节点变形具有一定空间性，而不是简单的平面变形。基于平面变形假设的经典梁理论建立的梁单元模型，没有限制假设平面外的空间自由度，导致在交叉节点位置处的耦合失效，因此，获得的预测结果也是不准确的；而有限元仿真软件作为结构振动预测的现有常用解决办法，在建模方面表现得十分繁琐，无法快速进行参数化分析，获得具有指导意义的规律性动力学特性曲线。
鉴于以上技术缺陷的存在，提出本发明申请。
需注意的是，以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的发明构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本申请的申请日已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。
发明内容
为解决上述技术问题，本申请提供一种梁结构线性振动预测方法，能够对多跨梁和交叉梁结构进行线性振动预测，精确描述梁所有方向的变形，解决了传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的固有频率结果缺失的现象，有利于获得完整的多跨梁振动信息。同时也可以有效解决传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的交叉梁内部梁单元刚性连接模拟失效问题。
一种梁结构线性振动预测方法，包括：
将多跨梁或交叉梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；
建立梁单元结构的物理模型；
基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；
建立梁单元的弹性力学方程；
根据能量叠加原理建立多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函；
使用瑞利-里兹法获得多跨梁和交叉梁的振动预测模型，并结合经典振动理论求解特征值；
通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；
对多跨梁和交叉梁结构进行振动特性预测。
优选的，所述建立梁单元结构的物理模型包括：
将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型；
选择合适位置建立笛卡尔空间坐标系；
所述建立梁单元的弹性力学方程包括：根据梁结构的几何特征和材料参数，选取合适的本构方程，建立适用多跨梁和交叉梁的梁单元弹性力学方程。
优选的，多跨梁和交叉梁内部的梁单元的物理模型位移表达式为：
；
式中，为位移；/>、/>、/>分别为对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量；上标T表示转置；
其中，梁单元的物理模型位移使用6自由度梁理论表示为：
；
；
；
式中，、/>、/>分别表示梁单元中间层上x, y, z三个方向的平动，/>、/>分别表示梁单元中间层绕x, y, z三个方向的转动，t表示时间变量。
优选的，多跨梁中间层上任一点的某自由度方向的位移容许函数满足：
；
式中，代表/>、/>、/>、/>、/>；/>为自然指数的底数；/>为虚数单位；/>为圆频率；/>为辅助函数个数；/>为傅里叶余弦级数项数；/>代表位移容许函数辅助项的未知系数；/>代表位移容许函数基函数的未知系数；
其中，
；
；
式中，为梁单元长度。
优选的，多跨梁和交叉梁内部梁单元的本构模型为：
；
式中，σ e 表示单元应力向量；ε e 表示单元应变向量；和G分别表示以材料的杨氏模量和剪切模量为元素的对角矩阵；/>为剪切修正因子。
优选的，所述单元应变向量包括多跨梁和交叉梁内部梁单元中面的正应力和曲率变化，所述单元应变向量可表示为：
；
其中，
；
；
；
；
；
；
式中，表示单元应变向量，/>表示相对梁中面沿x方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿y轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿z轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿y方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿z方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿x轴旋转的曲率变化。
优选的，多跨梁和交叉梁的能量表达式包括的梁结构的应变势能、动能和外力做功；
其中，梁结构的应变势能表达式为：
；
梁结构的动能为：
；
外力做工为：
；
式中，代表多跨梁和交叉梁中梁单元的数目；/>表示梁单元的长度；/>表示外力数目；/>为狄拉克函数；/>表示受外力的位置；/>表示梁单元矩形截面梁的厚度；/>表示梁单元矩形截面的宽度。
优选的，多跨梁和交叉梁的边界条件和耦合关系通过人工弹簧来进行模拟，其中，弹簧的弹性势能包括：
耦合势能：
；
边界弹簧势能：
；
其中，表示耦合点的个数；/>表示边界点个数；/>表示耦合弹簧刚度矩阵；/>表示耦合节点处各自由度方向的相对位移向量；/>、/>、/>、/>、/>、/>表示边界上的6自由度弹簧组的刚度值。
优选的，所述多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函为：
。
优选的，多跨梁和交叉梁的振动预测模型为：
；
式中，为梁结构的刚度矩阵；/>为梁结构的质量矩阵；/>为梁结构的系数向量；/>为梁结构的外力向量。
与现有技术相比，本申请至少具有以下有益效果：
1.本发明技术方案采用了6自由度梁理论描述梁单元内任意一点的位移，可以精确描述梁所有方向的变形，解决了传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的固有频率结果缺失的现象，有利于获得完整的多跨梁振动信息。同时也可以有效解决传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的交叉梁系内部梁单元刚性连接模拟失效问题。
2.本发明技术方案使用人工虚拟弹簧技术来模拟多跨梁和交叉梁结构的边界约束以及耦合关系，通过设置各方向的弹簧刚度值，模拟不同的边界约束条件和刚性连接条件，可以有效解决多跨梁和交叉梁结构的复杂边界模拟问题和梁单元之间的刚性连接问题，从而可以全面分析多跨梁和交叉梁系在各类边界条件下的振动特性。
3.本发明中使用改进傅里叶级数构造梁单元的位移函数，可以适应各种复杂边界条件，且具有快速的收敛性和准确度。
4.本发明同样能够对长跨梁结构进行振动特性分析。
附图说明
后文将参照附图以示例性而非限制性的方式详细描述本发明的一些具体实施例。附图中相同的附图标记标示了相同或类似的部件或部分。本领域技术人员应该理解，这些附图未必是按比例绘制的。附图中：
图1为本发明的整体流程示意图；
图2为本发明长梁形式的单梁几何模型示意图；
图3为本发明长梁形式的单梁几何模型的截面示意图；
图4为本发明多跨梁的几何模型示意图；
图5为本发明多跨梁内部耦合关系示意图；
图6为本发明四跨梁稳态响应对比图；
图7为本发明交叉梁系的几何模型示意图；
图8为本发明交叉梁系的几何模型边界模拟示意图；
图9为本发明交叉梁系内部轴向方向耦合关系示意图；
图10本发明交叉梁系内部交叉耦合关系示意图；
图11为本发明交叉梁系稳态响应对比图。
图12为本发明交叉梁系受迫振动激励点和响应点位置示意图；
图13本发明多跨梁和交叉梁系结构所使用的梁单元截面形状示意图。
具体实施方式
为使本申请的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本申请具体实施例及相应的附图对本申请技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。
如图1所示，一种梁结构线性振动预测方法，包括以下步骤：
步骤S1、将多跨梁或交叉梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；
步骤S2、建立梁单元结构的物理模型；
步骤S3、基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；
步骤S4、建立梁单元的弹性力学方程；
步骤S5、根据能量叠加原理建立多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函；
步骤S6、使用瑞利-里兹法获得多跨梁和交叉梁的振动预测模型，并结合经典振动理论求解特征值；
步骤S7、通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；
步骤S8、对多跨梁和交叉梁结构进行振动特性预测。
其中，所述建立梁单元结构的物理模型包括：
将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型；
选择合适位置建立笛卡尔空间坐标系。
所述建立梁单元的弹性力学方程包括：
根据梁结构的几何特征和材料参数，选取合适的本构方程，建立适用多跨梁和交叉梁的梁单元弹性力学方程。
此外，将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型时， 由于梁结构的制造倒角、焊缝等几何因素对结构振动影响较小，这些因素在梁单元抽象和简化处理时全部不予考虑，而直接将梁单元简化成便于数学建模的几何结构。梁单元抽象简化是本领域通用的技术手段，在此不再赘述。
实施例1
本实施例重点阐述单个梁单元的振动建模方法，不涉及模型拆分步骤，因此，无需实施上述步骤S1，直接从步骤S2开始。
如图2及图3所示，为单梁的结构几何模型，其截面为矩形，L i 为单梁的长度，b表示矩形截面的宽度，h为矩形截面梁的厚度。由于单梁结构较为简单，在进行多跨梁和交叉梁的分析时，可以以单梁结构作为梁单元进行分析。在本实施例中，单梁也可以看出梁单元。
梁的边界条件使用人工虚拟弹簧技术模拟，通过设定一组6自由度弹簧{,/> ,/> ,,/>, /> }的刚度来实现梁的复杂边界的模拟。例如，在将边界条件所有方向的弹簧的刚度设置为0时，可以模拟单梁的自由边界；在将边界所有方向的弹簧刚度设置为1011 N/m时，可以认为该弹簧刚度值足够大，可以模拟单梁的固支边界。
下表给出自由边界F、固支边界C、简支边界S共三种边界条件对应的弹簧刚度值。
三种边界条件对应的弹簧刚度值表
多跨梁和交叉梁内部的梁单元的物理模型位移表达式为：
；
式中，为位移；/>、/>、/>分别为对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量；上标T表示转置。
在本实施例中，使用6自由度梁理论来描述梁单元的位移，充分考虑了空间梁单元的剪切变形和扭转变形的影响，梁单元的位移分量可以表示为：
；
；
；
式中，u 0, v 0, w 0分别表示单梁中间层上的点在x, y, z三个方向的平动，φ 0 ,ψ 0,θ 0分别表示单梁中间层上的点绕x, y, z的转动，t表示时间变量。
所述的位移变量u 0, v 0, w 0, φ 0 ,ψ 0 ,θ 0均为时间和一维梁系坐标x的函数。由于本实施例的单梁为线性系统，因此可采用分离变量法对上述各变量进行时间和空间上的解耦。
本实施例采用改进傅里叶级数法构造一维的位移形函数，因此，梁单元的位移变量可以表示为：
；
；
；
；
；
；
其中，
；
；
式中，A、B、C、D、E、G分别表示6个位移函数对应的系数；ω为梁的圆频率；i为虚数单位；且i 2=-1；为自然指数的底数；/>为虚数单位；/>为圆频率；/>为辅助函数个数；/>为傅里叶余弦级数项数；
为梁单元长度；/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>、/>均为未知系数,它们代表数学中试函数法的未知系数，通过求解试函数前面的未知系数，就可以得到与精确位移逼近的近似位移。具体而言，/>、/>、/>、/>、/>、/>均代表位移容许函数辅助项的未知系数；/>、、/>、/>、/>、/>均代表位移容许函数基函数的未知系数。
根据6自由度梁单元的剪切应变效应，单梁的剪切-应变关系为：
；
；
；
表示单元应变向量可表示为：
；
其中，
；
；
；
；
；
；
式中，表示单元应变向量，/>表示相对梁中面沿x方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿y轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿z轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿y方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿z方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿x轴旋转的曲率变化。
各向同性梁的本构方程可以表示为：
；
式中，s e 表示单元应力矩阵；E*和G表示材料的杨氏模量和剪切模量为元素的对角矩阵，m表示材料的泊松比，κ为剪切修正因子。矩形截面梁的剪切因子为10(1+μ)/(12+11μ)，其中，m表示材料的泊松比。
根据能量原理，梁单元的势能表达式如下表示：
；
式中，I z 和I y 分别为梁对z轴和对y轴的截面惯性矩，J为沿梁截面中轴线的转动惯量。其中，对于矩形截面梁，I z 、I y 和J分别为：
；
；
；
式中， b为单梁矩形截面的宽度，h为单梁矩形截面梁的厚度。
因此，由个梁单元构成的梁结构的应变势能可以表示为：
。
单梁的动能表达式为：
；
式中，ρ表示单梁的密度，L表示单梁的长度，As表示单梁的横截面积，I z 和I y 分别为梁对z轴和对y轴的截面惯性矩，J为沿梁截面中轴线的转动惯量。
因此，由个单梁构成的梁结构的动能可以表示为：
。
引入人工虚拟弹簧技术后，其边界弹簧势能表达为：
；
式中，ku, kv, kw, kφ, kθ, kψ分别表式人工虚拟弹簧技术在梁单元边界中面上6个位移自由度方向上引入的等效弹簧刚度；u0, v0, w0, φ0, θ0, ψ0表示梁单元中面上边界点的6个自由度方向的位移；下标x=0，x=L分别表示两个边界位置。
因此，以单梁作为梁单元，由多梁单元构成的梁结构的耦合势能可以表示为：
；
此时，梁结构的边界弹簧势能可以表示为：
；
其中，表示耦合点的个数；/>表示边界点个数；/>表示耦合弹簧刚度矩阵；/>表示耦合节点处各自由度方向的相对位移向量；/>、/>、/>、/>、/>、/>表示边界上的6自由度弹簧组的刚度值。
对于外部分布激励f，主要考虑横向载荷(z方向和y方向)所做功W f ，即：
；
其中，d(x-x 0)表示狄拉克函数（单位脉冲函数），x 0表示梁的受载位置。
因此，由个梁单元构成的梁结构的外力做工可以表示为：
。
构建拉格朗日能量泛函。其表达式为：
；
其中，以单梁作为梁单元，为梁单元的势能、/>为梁单元边界弹簧势能、/>为梁单元的动能、W f 为梁单元外力做功。
通过瑞利里兹法对构建拉格朗日能量泛函求解未知函数，获得梁单元的振动预测模型为：
；
其中，以单梁作为梁单元，Ks为梁单元的刚度矩阵；Ms为梁单元的质量矩阵；为梁单元的系数向量；Fs为梁单元的载荷向量。
当单梁或梁单元的载荷向量为零时，可分析单梁或梁单元的自由振动特性。通过求解上式可以获得单梁或梁单元的固有频率、模态振型以及简谐响应结果。
实施例2
多跨梁是在单向长梁的基础上发展而来的，只是为了增加梁的支撑刚度，在中间位置添加了适量的支撑点。本实施例重点阐述多跨梁的线性振动预测建模方法。
根据多跨梁的支撑位置，将多跨梁在支撑位置处拆解成多个梁单元的组合结构。
建立如图4所示的多跨梁的物理模型，拆解出来的各梁单元的长度分别为L i (i=1,2, 3, …)，各子梁的截面属性统一，矩形梁截面的宽为b，厚为h。梁单元间的刚性连接关系通过人工弹簧技术模拟，即推导出连接界面间相应自由度方向的相对位移，再根据弹簧的胡克定律模拟梁单元内部力与位移之间的关系，因此在连接截面位置引入6个自由度的弹簧组{k u c , k v c , k w c , k φ c , k θ c , k ψ c }，由于内部是刚性连接，因此，此时刚度需要选择一个足够大的数值模拟k w c =k φ c =k θ c =k ψ c =1011 N/m。支撑点的模拟也是通过人工弹簧技术模拟，本实施例中使用链杆支撑方式，x, y, z三个方向的移动自由度被完全限制，而x, y, z三个方向的转动自由度则被释放，对应的弹簧刚度为：
k u s =k v s =k w s =1011 N/m；
k φ s , k θ s , k ψ s =0；
多跨梁的边界条件设置方式与实施例1保持一致。
考虑带本实施例的多跨梁是多个梁单元的相互耦合的结果。因此多跨梁的位移表达式、位移容许函数以及弹性力学方程同实施例1。
不同之处在于，基于能量叠加原理，多跨梁的应变势能U m 和动能T m 的表达式为：
；
；
其中，U b i 和T b i 分别表示第i根梁的势能和动能，其具体表达式同实施例1，在此不再赘述。
各子梁之间沿长度方向耦合，其连接关系如图5所示，连接处的力学和位移连续条件可以表示为：
；
式中，u0,v0,w0,φ0,ψ0,θ0表示梁单元中面上连接界面处的6自由度位移变量；N1,N2,Q3,M1,M2,M3表示梁单元中面上的面内力、剪切力和弯矩；i和i+1分别表示左右两个梁单元的编号；
在所述的力学和位移连续性条件的基础上，通过人工虚拟弹簧技术模拟的多跨梁的梁单元间的力与位移关系具体表达为：
；
所述的人工弹簧技术模拟多跨梁内部梁单元的刚性连接关系，带来了耦合弹性势能V m c ，可表示为：
；
多跨梁内部还存在链杆支撑节点，同样也使用弹簧模拟，储存在多跨梁支撑弹簧内的弹簧势能为：
；
所述的多跨梁两端的边界条件为：
；
多跨梁受到的外部集中载荷做功可表达为：
；
将多跨梁的应变势能、系统的弹性势能、动能以及外力做功分类叠加，构造多跨梁的拉格朗日能量泛函:
；
使用瑞丽-里兹法建立多跨梁的振动预测模型方程：
；
式中，K m 表示多跨梁的刚度矩阵；M m 表示多跨梁的质量矩阵；A m 表示多跨梁的系数向量；F m 表示多跨梁的外力向量。
当多跨梁的外力向量为零时，可分析多跨梁的自由振动特性，对多跨梁进行振动特性预测。求解上式可以获得梁系的固有频率、模态振型以及简谐响应结果。
将所建立的预测模型，设置好梁的几何参数、材料参数和边界条件后进行求解，并在有限元软件ABAQUS软件中建立相同分析模型，将两种方法获得的结果进行对比。通过对比发现，本发明提出的预测模型获得的多跨梁的模态振型与有限元方法具有良好的一致性。图6为四跨梁结构的稳态响应对比结果，组成的梁单元尺寸为：L 1=1 m, L 2=1.5 m, L 3=2m, L 4=2.5 m, b=0.15 m, h=0.1 m，材料属性为：E=206 GPa, ρ=7850 kg/m3, m=0.3。激励位置和响应位置以在梁单元上的比例位置形式给出，例如0.5L i ，则说明激励位置或响应位置在第i根梁单元上的中点位置，本算例中激励位置为0.5L 3和0.5L 4，响应位置为0.5L 1,0.5L 2, 0.25L 3, 0.25L 4，激励方法为y和z方向同时点激励，激励幅值为1 N。选测点1的y方向的响应结果进行对比，可知本发明提出的多跨梁的稳态响应预测方法与有限元结果具有良好的一致性。
实施例3
交叉梁系是多根长梁交叉组合的结果，本实施例重点阐述交叉梁系的线性振动预测建模方法。
图7为交叉梁系的几何模型。以图7为例，该交叉梁系可拆分为8种型号的梁单元，即横梁单元1, 2, 3, 4和纵梁单元I, II, III, IV，这八种梁单元的长度分别为A 1, A 2,A 3, A 4和D 1, D 2, D 3, D 4。这8种梁单元的截面属性与实施例2中的多跨梁定义的截面属性相同。根据纵横方向排列，搭建如图7的4×4的交叉梁系。如图8所示，该梁系的边界设置采用人工弹簧技术模拟，通过引入一组3方向线性弹簧和3方向旋转弹簧，设置不同的弹簧刚度便可模拟不同的边界约束，边界条件的设置方式与实施例1保持一致。
同样的，本实施例的交叉梁系是由多个梁单元在纵向和横向耦合的结果，因此，交叉梁系的位移表达式、位移容许函数以及弹性力学方程与实施例1中单梁的保持一致，在此不再赘述。
基于能量叠加原理，×/>交叉梁系的应变势能U sys 和动能T sys 的表达式为：
；
；
其中，应变势能以及动能的下标b表示基本梁单元，上标Λ i 和D i 分别为基本梁单元的长度，同时也是各梁单元的应变能和动能的积分上限。
本实施例的耦合步骤为，先将梁系的所有纵向和横向的梁单元耦合成纵向长梁和横向长梁，然后在纵向长梁和横向长梁的各梁单元耦合位置进行再次耦合，形成交叉梁系。
本实施例的建模过程中，横向长梁与纵向长梁的模型建立与多跨梁类似，只是在多跨梁的基础上省略了节点支撑条件。因此，如图9及图10所示，储存在横向长梁与纵向长梁中的耦合弹簧势能可以分别表示为：
；
；
如前所述，纵向长梁与横向长梁之间的二次耦合弹性势能为：
；
其中，c1和c2表示纵向长梁和横向长梁耦合节点处的坐标。
结合上述耦合过程，×/>的交叉梁系的整体耦合弹性势能为：
；
×/>梁系中，边界条件均添加在梁系外围的梁单元的端点处，因此，/>×/>梁系边界弹簧模拟器储存的弹性势能为：
；
梁系受到外界激励，假设作用在梁系中某纵长梁和某横长梁的第i根梁单元上，外力所做的功可以表示为：
；
整体梁系在外部激励载荷作用下的拉格朗日泛函L s 可以表示为：
；
通过瑞利里兹法，获得交叉梁的振动预测模型为：
；
式中，为交叉梁的刚度矩阵；/>为交叉梁的质量矩阵；/>为交叉梁的系数向量；/>为交叉梁的外力向量。通过求解上述动力学方程即可获得交叉梁的模态特性以及谐响应特性。
在本实施例中，假定交叉梁系结构中所有梁单元的截面属性以及材料属性一致，为：h=0.1 m，b=0.15 m，E=206 GPa, ρ = 7850 kg/m3, m=0.3。此外，1×1梁系横向梁单元长度为D 1=D 2=1 m，纵向梁单元长度为Λ 1=Λ 2=1.5 m；2×2梁系横向梁单元与纵向梁单元长度统一，即D 1=D 2=D 3=Λ 1=Λ 2=Λ 3=1 m，3×3梁系横向梁单元长度为D 1=D 2=D 3=D 4=1 m，纵向梁单元长度为Λ 1=Λ 2=Λ 3=Λ 4=1.5 m。将上述参数输入到已有的分析模型中进行频率与模态振型求解，获得的结果与有限元分析结果进行对比，经比较发现，本发明所提出的交叉梁系线性振动预测模型在自由振动预测上具有较高的精度。
图11为本发明提出的交叉梁系受迫振动稳态响应的计算结果与有限元结果的对比。对应的梁系结构为3×3梁系结构，梁系的组成梁单元尺寸为：L 1=L 2=L 3= L 4=1 m, D 1=D 2=D 3=D 4=1.5 m, b=0.15 m, h=0.1 m，材料属性为：E=206 GPa, ρ=7850 kg/m3, m=0.3。激励位置和响应位置如图12所示。激励方法为y和z方向同时点激励，激励幅值为1 N。获得测点z方向的响应曲线与有限元软件ABAQUS软件计算结果进行对比，由对比结果可知，本发明提供的交叉梁系线性振动预测方法用来预测交叉梁系的受迫振动是正确有效的。
需要指出的是，如图13所示，本发明所涉及的梁单元截面不仅限于矩形截面，还有圆截面、圆环形截面、工字型截面、梯形截面、空心方钢截面等，在建模过程时，仅需根据截面几何特征中梁对z轴和对y轴的截面惯性矩以及沿梁截面中轴线的转动惯量即可。
需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、工作、器件、组件和/或它们的组合。
需要说明的是，本申请的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本申请的实施方式能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种梁结构线性振动预测方法，其特征在于，包括：
将多跨梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；
建立梁单元结构的物理模型；
基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；
建立梁单元的弹性力学方程；
根据能量叠加原理建立多跨梁结构的拉格朗日能量泛函；
使用瑞利-里兹法获得多跨梁的振动预测模型，并结合经典振动理论求解特征值；
通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；
对多跨梁结构进行振动特性预测；
其中，多跨梁中间层上任一点的某自由度方向的位移容许函数满足：
；
式中，代表/>、/>、/>、/>、/>、/>；/>、/>、/>分别表示梁单元中间层上x, y, z三个方向的平动，/>、/>、/>分别表示梁单元中间层绕x, y, z三个方向的转动，t表示时间变量；/>为自然指数的底数；/>为虚数单位；/>为圆频率；/>为辅助函数个数；/>为傅里叶余弦级数项数；/>代表位移容许函数辅助项的未知系数；/>代表位移容许函数基函数的未知系数；
其中，
；
；
式中，为梁单元长度；
多跨梁内部梁单元的本构模型为：
；
式中，表示单元应力向量；/>表示单元应变向量；/> G分别表示以材料的杨氏模量和剪切模量为元素的对角矩阵；/>为剪切修正因子；
将多跨梁的应变势能、系统的弹性势能、动能以及外力做功分类叠加，构造多跨梁的拉格朗日能量泛函：
；
式中，表示多跨梁的应变势能；/>表示耦合弹性势能；/>表示多跨梁两端的边界条件;/>表示储存在多跨梁支撑弹簧内的弹簧势能；/>表示多跨梁的动能；/>表示多跨梁受到的外部集中载荷做功。
2.如权利要求1所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，所述建立梁单元结构的物理模型包括：
将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型；
选择合适位置建立笛卡尔空间坐标系；
所述建立梁单元的弹性力学方程包括：根据梁结构的几何特征和材料参数，选取合适的本构方程，建立适用多跨梁的梁单元弹性力学方程。
3.如权利要求2所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，多跨梁内部的梁单元的物理模型位移表达式为：
；
式中，为位移；/>、/>、/>分别为对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量；上标T表示转置；
其中，梁单元的物理模型位移使用6自由度梁理论表示为：
；
；
。
4.根据权利要求3所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，所述单元应变向量包括多跨梁内部梁单元中面的正应力和曲率变化，所述单元应变向量可表示为：
；
其中，
；
；
；
；
；
；
式中，表示单元应变向量，/>表示相对梁中面沿x方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿y轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿z轴旋转的曲率变化，/>表示相对梁中面沿y方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿z方向的结构膜应力，/>表示相对梁中面沿x轴旋转的曲率变化。
5.根据权利要求4所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，多跨梁的能量表达式包括的梁结构的应变势能、动能和外力做功；
其中，梁结构的应变势能表达式为：
；
梁结构的动能为：
；
外力做功为：
；
式中，代表多跨梁中梁单元的数目；/>表示梁单元的长度；/>表示外力数目；/>为狄拉克函数；/>表示受外力的位置；/>表示梁单元矩形截面梁的厚度；/>表示梁单元矩形截面的宽度；ρ表示单梁的密度，L表示单梁的长度。
6.根据权利要求5所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，多跨梁的边界条件和耦合关系通过人工弹簧来进行模拟，其中，弹簧的弹性势能包括：
；
边界弹簧势能：
；
其中，表示耦合点的个数；/>表示边界点个数；/>表示耦合弹簧刚度矩阵；/>表示耦合节点处各自由度方向的相对位移向量；/>、/>、/>、/>、/>、/>表示边界上的6自由度弹簧组的刚度值。
7.根据权利要求6所述的梁结构线性振动预测方法，其特征在于，多跨梁的振动预测模型为：
；
式中，为梁结构的刚度矩阵；/>为梁结构的质量矩阵；/>为梁结构的系数向量；/>为梁结构的外力向量。
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