CN104778377A - 一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法 - Google Patents

Abstract

一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，属于横梁振动固有频率分析方法。根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；所述的一维搜索法在于先确定固有圆频率的可行域，进而在各个可行域内使用二分法获得固有频率数值。优点：1)对组合梁动力学特性的分析涉及的物理意义明确；2)固有频率的获取只与横梁材料、尺寸有关，建立的参数化频率方程具有普适性，无需模型试验或三模建模下的有限元分析。

Description

一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法

技术领域

本发明涉及一种横梁振动固有频率分析方法，特别涉及一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法。

背景技术

当横梁结构跨度很大时，自重作用下，横梁中部挠度最大，一般通过内焊筋板的方式来加大横梁刚度，减少变形。由于筋板与梁体结构材料相似，这种内焊筋板横梁可以看作是一种组合梁。组合梁一般用于重型设备的大跨度承重结构(如起重机桥臂)、大型建筑物的承载结构(如房屋钢结构)和选矿设备承重结构(如大型振动筛承重梁)等。定量分析组合梁弯曲振动的固有频率，可以避免实际中横梁承受近共振区载荷而引起破坏，对指导结构动力学设计、保障设备可靠性和安全生产具有重要意义。

在结构动力学领域，目前对横梁结构固有频率的分析方法主要包括三个途径：(1)基于结构动力学基础理论的理论计算；(2)基于结构试验模型的试验模态分析；(3)基于有限元原理的商业软件分析。对于组合梁，若采用途径(1)，先建立梁体结构的动力学模型，沿用传统结构动力学理论分析其弯曲振动特性时，需同时考虑一维梁结构和二维板结构的耦合作用，微分方程分析过程比较复杂，数值求解困难；若采用途径(2)，需先制作满足相似原理的梁体结构的结构试验模型，确定合适的梁体结构实际边界条件实现方法，同时对试验模态分析所需的传感器、采集卡和分析软件的投入成本高，试验过程操作复杂；若采用途径(3)，需先根据梁体结构几何参数建立其三维模型，导入有限元商业软件中，设定基本的结构材料特性和边界条件后进行分析，一旦结构变化，则重复上述过程，因而比较繁琐。

中国专利CN201410145273.5公开了一种应用改进微分变换法计算欧拉-伯努利梁固有频率的方法，应用改进的微分变换法求解均质欧拉-伯努利梁的自由振动问题，通过迭代以收敛级数的形式得到非线性问题的近似解，得到了四阶固有频率与模态振型等闭式解；中国专利CN201210378363.X公开了一种适于梁弯曲振动分析的传递矩阵计算方法，直接从梁的挠曲线函数出发建立传递矩阵，然后将边界条件代入进行计算，无需改变传递矩阵，也无需考虑梁的变形形式。

发明内容

本发明的目的是要提供一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，该方法简单，物理意义明确，计算精度高，无需重复性的模型试验或三维建模下的有限元分析。

本发明目的是通过以下技术方案实现的：根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；具体步骤如下：

步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比于跨度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁(EB)；然而，当梁体或梁单元的深跨比比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁(TB)，研究其弯曲振动特征时，需考虑转动惯量和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为TB-i+1的Timoshenko梁和两段代号分别为EB-i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的代号数值的一半标示，即两类梁单元在交界面F_i和F_i+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体密度均为ρ，弹性模量均为E。TB-i+1中，梁段宽b、高h、长l_i+1，满足h/l_i+1∈[1/5,+∞]，截面面积A_i+1，相对于x轴的二次惯性矩为I_i+1，截面的剪切修正系数为κ，材料的剪切弹性模量为G。EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为l_i和l_i+2(l_i＝l_i+2)，壁厚均为h₀，满足h/l_i和h/l_i+2∈[0,1/5)，截面面积分别为A_i和A_i+2(A_i+1＝A_i+2)，相对于x轴的二次惯性矩分别为I_i和I_i+2(I_i+1＝I_i+2)；

步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：在Euler-Bernoulli梁单元EB-i的固有圆频率ω满足：

${\mathrm{\λ}}^4=\frac{{\mathrm{\ρA}}_i}{{\mathrm{EI}}_i}{\mathrm{\ω}}^2,---\left(2\right)$

式(2)中λ为EB频率参数，且有振型函数：

Y_i(x)＝e_i,1sinλx+e_i,2cosλx+e_i,3sinhλx+e_i,4coshλx.    (3)

式(3)中e_i,1,e_i,2,e_i,3和e_i,4为EB-i梁单元边界条件决定的系数。

对于其他等截面等长Euler-Bernoulli梁单元，只需对应更改梁单元序号i；

由于是同一根组合梁的不同单元，Timoshenko梁单元TB-i+1的固有圆频率与步骤2中EB-i的固有圆频率ω相同，在满足

$\mathrm{\&omega;}<\sqrt{\frac{{2A}_{i+1}{\mathrm{E\&kappa;}}^2{G}^2}{{\mathrm{\&rho;I}}_{i+1}(E+\mathrm{\&kappa;G})}}---\left(6\right)$

的前提下，有一组虚根：

$r_{\mathrm{1,2}}=\&PlusMinus;\stackrel{\&OverBar;}{r}\&CenterDot;i,---\left(7\right)$

式(7)中为TB虚频率参数，i为虚数单位，满足

$\stackrel{\&OverBar;}{r}=\sqrt{{2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}({\mathrm{\&kappa;G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left({2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\right),---\left(8\right)$

而还有一组实根

$r_{\mathrm{3,4}}=\&PlusMinus;\underset{~}{r},---\left(9\right)$

式(9)中为TB实频率参数，满足

$\underset{~}{r}=\sqrt{{-2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}({\mathrm{\&kappa;G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}-\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left({2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\right).---\left(10\right)$

TB-i+1的弯曲变形振型表达式：

$Y_{i+1}\left(x\right)=t_{i+\mathrm{1,1}}\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,2}}\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,3}}\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,4}}\cosh \left(\underset{~}{r}x\right).---\left(11\right)$

式中，t_i+1,1,t_i+1,2,t_i+1,3和t_i+1,4为TB-i+1梁单元边界条件决定的系数。

TB-i+1的截面转角振型表达式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_{i+1}\left(x\right)=-(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,2}}\&CenterDot;\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,1}}\&CenterDot;\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+\\ (\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,4}}\&CenterDot;\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+(\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,3}}\&CenterDot;\cosh \left(\underset{~}{r}x\right)\end{array}.---\left(12\right)$

对于其他等截面等长Timoshenko梁单元，只需对应更改梁单元序号i+1。

步骤3、混合梁单元ETE-B联接条件的数学描述：定义EB系数 $E_i^F=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{i,1}& e_{i,2}& e_{i,3}& e_{i,4}\end{array}\right]$ 和TB系数 $T_{i+1}^F=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{i+\mathrm{1,1}}& t_{i+\mathrm{1,2}}& t_{i+\mathrm{1,3}}& t_{i+\mathrm{1,4}}\end{array}\right],$ 则在交界面F_i＝(EB-i)∩(TB-i+1)处，其中∩符号表示两个梁单元联接位置，存在振型系数界面联接向量：

和振型界面联接特征矩阵

类似地，在交界面F_i+1＝(TB-i+1)∩(EB-i+2)处存在振型系数界面联接向量：

和振型界面联接特征矩阵

因此，任意单段混合梁单元的振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

${\left[D_{i+1}^1\right]}_{8\&times;12}=\left[\begin{array}{cc}{\left[D_i^F\right]}_{4\&times;8}& {\left[0\right]}_{4\&times;4}\\ {\left[0\right]}_{4\&times;4}& {\left[D_{i+1}^F\right]}_{4\&times;8}\end{array}\right]---\left(27\right)$

和

${\left[C_{i+1}^1\right]}_{12\&times;1}=[C_i^F\&cup;C_{i+1}^F]=\left[\begin{array}{ccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F\end{array}\right],---\left(28\right)$

且满足：

$D_{i+1}^1\&CenterDot;C=0.---\left(29\right)_{i+1}^1$

左上标为ETE-B的段数，左下标为首段组合梁中TB梁序号，

对于任意连续两段ETE-B，TB即梁单元序号为i+1和i+3，共同拥有EB-i+2，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_{i+1}^2\right]}_{20\&times;1}=[C_{i+1}^1\&cup;C_{i+3}^1]=[C_i^F\&cup;C_{i+1}^F\&cup;C_{i+2}^F\&cup;C_{i+3}^F]=\left[\begin{array}{ccccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F& T_{i+3}^F& E_{i+4}^F\end{array}\right],---\left(31\right)$

且满足：

$D\&CenterDot;C=0,---\left(32\right)_{i+1}^2_{i+1}^2$

其中，和分别由和将其各含右下标元素的右下标数值上加班费获得，未给出大小的“0”的维数视矩阵整体而定。

对于n段ETE-B构成的组合梁，TB梁单元序号依次为2,4,6,…,2j,…,2n，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_2^n\right]}_{(8n+4)\&times;1}=\left[C\&cup;C\&cup;...\&cup;C\&cup;C\&cup;...\&cup;C\&cup;C_{2n}^1_{2n-2}^1_{2j+2}^1_{2j-2}^1_4^1_2^1\right],---\left(34\right)$

且满足：

$D\&CenterDot;C=0,---\left(35\right)_2^n_2^n$

其中，左上标“n”为组合梁中ETE-B的段数，左下标“2”为首段混合梁单元中TB梁单元序号。

步骤4、组合梁边界条件的数学描述：对于n段ETE-B构成的组合梁，其经典边界条件下的数学表达如下：

左端固支(CL) ${\left[D_0^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ \mathrm{\&lambda;}\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& -\mathrm{\&lambda;}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(41\right)$

左端简支(PL) ${\left[D_0^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ -{\mathrm{\&lambda;}}^2\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& -{\mathrm{\&lambda;}}^2\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(42\right)$

右端自由(FR)

右端简支(PR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ -{\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {-\mathrm{\&lambda;}}^2\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(44\right)$

右端固支(CR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ \mathrm{\&lambda;}\cos \mathrm{\&lambda;}{\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& -\mathrm{\&lambda;}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(45\right)$

步骤5、组合梁参数化频率方程的建立：两端经典边界条件分别是式(41)、(42)描述的和式(43)～(45)描述的的n段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵D和振型系数向量C分别为：

和

${\left[C\right]}_{(8n+4)\&times;1}={\left[C_2^n\right]}_{(8n+4)\&times;1},---\left(47\right)$

且满足：

[D]_{(8n+4)×(8n+4)}·[C]_(8n+4)×1＝0.    (48)

令组合梁的特征方程系数矩阵D的行列式为零，行列式以特征函数f(λ)＝|D|表示，求解参数化频率方程：

f(λ)＝|D|＝0    (49)

即获得整根组合梁的固有圆频率ω，按式f＝ω/2π计算组合梁的各阶固有频率。

所述的混合梁单元ETE-B，将任意两个EB及其间的一个TB看作一个混合梁单元ETE-B，则组合梁结构可认为是多个混合梁单元ETE-B构成的；所有EB等截面、等长、空心，而所有TB等截面、等长、实心；组合梁的首尾两段梁单元都是EB梁。

所述的一维搜索法：以式(2)中EB频率参数λ为自变量，给定其取值范围、递增步长Δλ和初始值λ₀，在λ数值递增形成的各个子区间中确定f(λ)变号的子区间[λ_k,λ_k+Δλ](即满足f(λ_k)·f(λ_k+Δλ)＜0)，作为固有圆频率ω的可行域，在各个可行域内使用二分法，就能得到固有圆频率值，按式f＝ω/2π计算对应固有频率。

有益效果及优点：

1)根据区分经典的Euler-Bernoulli梁(EB)和Timoshenko梁(TB)类型的几何尺寸标准，提出了边界连续条件的EB和TB组成的混合梁单元，用来构造工程中常见的组合梁结构，物理意义明确；

2)固有频率的获取只与横梁材料、尺寸有关，建立的参数化频率方程具有普适性，无需重复性的模型试验或三维建模下的有限元分析。

附图说明

图1是本发明方法的技术流程图。

图2是本发明的实施组合梁固有频率分析的任意连续两段ETE-B的动力学模型。

图3(a)是与本发明的实施组合梁等长的Euler-Bernoulli梁E动力学模型。

图3(b)是本发明的实施固有频率分析的单段ETE-B单元的组合梁ETE-1。

图3(c)是本发明的实施固有频率分析的两段ETE-B单元的组合梁ETE-2。

具体实施方式

下面结合附图对本发明实施例作进一步的说明：

根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；具体步骤如下：

步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比于跨度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁(EB)；然而，当梁体或梁单元的深跨比比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁(TB)，研究其弯曲振动特征时，需考虑转动惯量和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为TB-i+1的Timoshenko梁和两段代号分别为EB-i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的代号数值的一半标示，即两类梁单元在交界面F_i和F_i+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体密度均为ρ，弹性模量均为E；TB-i+1中，梁段宽b、高h、长l_i+1，满足h/l_i+1∈[1/5,+∞]，截面面积A_i+1，相对于x轴的二次惯性矩为I_i+1，截面的剪切修正系数为κ，材料的剪切弹性模量为G；EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为l_i和l_i+2(l_i＝l_i+2)，壁厚均为h₀，满足h/l_i和h/l_i+2∈[0,1/5)，截面面积分别为A_i和A_i+2(A_i+1＝A_i+2)，相对于x轴的二次惯性矩分别为I_i和I_i+2(I_i+1＝I_i+2)；

步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：对于Euler-Bernoulli梁单元EB-i，按经典梁理论，其弯曲变形y_i随时间t和位置坐标x的微分方程如下：

${\mathrm{EI}}_i\frac{{\&PartialD;}^4{y}_i(x,t)}{{\&PartialD;x}^4}+{\mathrm{\&rho;A}}_i\frac{{\&PartialD;}^2{y}_i(x,t)}{{\&PartialD;t}^2}=0,x\&Element;[0,l_i].---\left(1\right)$

取

${\mathrm{\&lambda;}}^4=\frac{{\mathrm{\&rho;A}}_i}{{\mathrm{EI}}_i}{\mathrm{\&omega;}}^2,---\left(2\right)$

其中，λ为EB频率参数，ω为固有圆频率，且有振型函数：

Y_i(x)＝e_i,1sinλx+e_i,2cosλx+e_i,3sinhλx+e_i,4coshλx.    (3)

式中，e_i,1,e_i,2,e_i,3和e_i,4为EB-i梁单元边界条件决定的系数；

对于其他等截面等长Euler-Bernoulli梁单元，可类似进行上述分析，同时对应更改Euler-Bernoulli梁单元序号i即可；

对于Timoshenko梁单元TB-i+1，设弯曲变形和截面转角分别为y_i+1(x,t)和随时间t和位置坐标x的微分方程如下：

设弯曲变形和截面转角振型函数分别为Y_i+1(x)和φ_i+1(x)，固有圆频率为ω，同一根组合梁时，固有圆频率应与式(2)中相同，且满足：

κGA_i+1EI_i+1·r⁴+(κGA_i+1ρI_i+1+ρA_i+1EI_i+1)ω²r²+ρ²ω⁴A_i+1I_i+1-κGA_i ² ₊₁ρω²＝0.    (5)

式(5)中，r为TB频率参数。

上述方程在

$\mathrm{\&omega;}<\sqrt{\frac{{2A}_{i+1}{\mathrm{E\&kappa;}}^2{G}^2}{{\mathrm{\&rho;I}}_{i+1}(E+\mathrm{\&kappa;G})}}---\left(6\right)$

的前提下，有一组虚根：

$r_{\mathrm{1,2}}=\&PlusMinus;\stackrel{\&OverBar;}{r}\&CenterDot;i,---\left(7\right)$

其中为TB虚频率参数，i为虚数单位，满足

$\stackrel{\&OverBar;}{r}=\sqrt{{2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}({\mathrm{\&kappa;G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left({2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\right),---\left(8\right)$

而还有一组实根

$r_{\mathrm{3,4}}=\&PlusMinus;\underset{~}{r},---\left(9\right)$

其中为TB实频率参数，满足

$\underset{~}{r}=\sqrt{{-2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}({\mathrm{\&kappa;G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}-\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left({2\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\right).---\left(10\right)$

根据常微分方程解的特性，此时有TB-i+1的弯曲变形振型表达式：

$Y_{i+1}\left(x\right)=t_{i+\mathrm{1,1}}\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,2}}\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,3}}\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,4}}\cosh \left(\underset{~}{r}x\right).---\left(11\right)$

式中，t_i+1,1,t_i+1,2,t_i+1,3和t_i+1,4为TB-i+1梁单元边界条件决定的系数；

将式(11)代入式(4)，得到TB-i+1的截面转角振型表达式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_{i+1}\left(x\right)=-(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,2}}\&CenterDot;\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,1}}\&CenterDot;\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+\\ (\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,4}}\&CenterDot;\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+(\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,3}}\&CenterDot;\cosh \left(\underset{~}{r}x\right)\end{array}.---\left(12\right)$

对于其他等截面等长Timoshenko梁单元，可类似进行上述分析，同时对应更改Timoshenko梁单元序号i+1即可；

步骤3、混合梁单元ETE-B联接条件的数学描述：

EB和TB梁单元分别依次建立其局部坐标系内振动微分方程，组合成混合梁单元不考虑焊接对材料属性的影响，焊接联接后，EB和TB梁单元在结构上属于一体，则EB-i在x＝l_i和TB-i+1对应x＝0处的几何边界条件即位移与转角和力边界条件即交界面剪力V和弯矩M应相同，归结为两类梁单元的联接条件，即有：

Y_i(l_i)＝Y_i+1(0),    (13)

Y′_i(l_i)＝φ_i+1(0),    (14)

EI_iY″_i(l_i)＝EI_i+1φ′_i+1(0),    (15)

EI_iY″′_i(l_i)＝κGA_i+1[Y′_i+1(0)-φ_i+1(0)].    (16)

TB-i+1梁单元在x＝l_i+1和EB-i+2梁单元对应x＝0处的边界条件相同，有：

Y_i+1(l_i+1)＝Y_i+2(0),    (17)

φ_i+1(l_i+1)＝Y′_i+2(0),    (18)

EI_i+1φ′_i+1(l_i+1)＝EI_i+2Y″_i+2(0),    (19)

κGA_i+1[Y′_i+1(l_i+1)-φ_i+1(l_i+1)]＝EI_i+2Y″′_i+2(0).    (20)

将EB-i振型函数式(3)、TB-i+1弯曲变形振型函数式(11)和截面转角振型函数式(12)及对应的EB-i+2两类振型函数：

Y_i+2(x)＝e_i+2,1sinλx+e_i+2,2cosλx+e_i+2,3sinhλx+e_i+2,4coshλx,    (21)

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_{i+2}\left(x\right)=-(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+2,2}\&CenterDot;\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{2,1}}\&CenterDot;\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+\\ (\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{2,4}}\&CenterDot;\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+(\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{2,3}}\&CenterDot;\cosh \left(\underset{~}{r}x\right)\end{array}.---\left(22\right)$

代入到式(13)～(20)中，定义 $E_i^F=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{i,1}& e_{i,2}& e_{i,3}& e_{i,4}\end{array}\right]$ 和 $T_{i+1}^F=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{i+\mathrm{1,1}}& t_{i+\mathrm{1,2}}& t_{i+\mathrm{1,3}}& t_{i+\mathrm{1,4}}\end{array}\right],$ 则在交界面F_i＝(EB-i)∩(TB-i+1)处，∩符号表示两个梁单元联接位置，存在振型系数界面联接向量：

和振型界面联接特征矩阵：

类似地，在交界面F_i+1＝(TB-i+1)∩(EB-i+2)处存在振型系数界面联接向量：

和振型界面联接特征矩阵：

因此，任意单段混合梁单元的振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

${\left[D_{i+1}^1\right]}_{8\&times;12}=\left[\begin{array}{cc}{\left[D_i^F\right]}_{4\&times;8}& {\left[0\right]}_{4\&times;4}\\ {\left[0\right]}_{4\&times;4}& {\left[D_{i+1}^F\right]}_{4\&times;8}\end{array}\right]---\left(27\right)$

和

${\left[C_{i+1}^1\right]}_{12\&times;1}=[C_i^F\&cup;C_{i+1}^F]=\left[\begin{array}{ccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F\end{array}\right],---\left(28\right)$

且满足：

$D_{i+1}^1\&CenterDot;C=0.---\left(29\right)_{i+1}^1$

左上标为组合梁中ETE-B的段数，左下标为首段组合梁中TB梁序号；

类似地推导，对于任意连续两段ETE-B，TB梁单元序号为i+1和i+3，共同拥有EB-i+2，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_{i+1}^2\right]}_{20\&times;1}=[C_{i+1}^1\&cup;C_{i+3}^1]=[C_i^F\&cup;C_{i+1}^F\&cup;C_{i+2}^F\&cup;C_{i+3}^F]=\left[\begin{array}{ccccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F& T_{i+3}^F& E_{i+4}^F\end{array}\right],---\left(31\right)$

且满足：

$D\&CenterDot;C=0,---\left(32\right)_{i+1}^2_{i+1}^2$

其中，和分别由和将其各元素的右下标+2获得，未给出大小的“0”的维数视矩阵整体而定；

依此类推，对于n段ETE-B构成的组合梁，TB梁单元序号依次为2,4,6,…,2j,…,2n，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_2^n\right]}_{(8n+4)\&times;1}=\left[C\&cup;C\&cup;...\&cup;C\&cup;C\&cup;...\&cup;C\&cup;C_{2n}^1_{2n-2}^1_{2j+2}^1_{2j-2}^1_4^1_2^1\right],---\left(34\right)$

且满足：

$D\&CenterDot;C=0,---\left(35\right)_2^n_2^n$

其中，左上标“n”为组合梁中ETE-B的段数，左下标“2”为首段混合梁单元中TB梁单元序号；

步骤4、组合梁边界条件的数学描述：

对于n段ETE-B构成的组合梁，其经典边界条件下的数学表达如下；若仅考虑左端固支或简支情况，则EB-1局部坐标系x＝0处的边界条件为：

左端固支(CL)    Y₁(0)＝0,Y′₁(0)＝0,    (36)

左端固支(PL)    Y₁(0)＝0,Y″₁(0)＝0,    (37)仅考虑右端固支、简支和自由的情况，EB-2n+1对应局部坐标系中x＝l_2n+1处的边界条件为：

右端自由(FR)    Y″_2n+1(l_2n+1)＝0,Y″′_2n+1(l_2n+1)＝0,    (38)

右端简支(PR)    Y_2n+1(l_2n+1)＝0,Y″_2n+1(l_2n+1)＝0,    (39)

右端固支(CR)    Y_2n+1(l_2n+1)＝0,Y′_2n+1(l_2n+1)＝0.    (40)

提取边界条件式(36)～(40)中含λ的三角函数，有以下表达式：

左端固支(CL) ${\left[D_0^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ \mathrm{\&lambda;}\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& -\mathrm{\&lambda;}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(41\right)$

左端简支(PL) ${\left[D_0^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ -{\mathrm{\&lambda;}}^2\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& -{\mathrm{\&lambda;}}^2\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(42\right)$

右端自由(FR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_F=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& -{\mathrm{\&lambda;}}^2\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ -{\mathrm{\&lambda;}}^3\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^3\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^3\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^3\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(43\right)$

右端简支(PR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ -{\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {-\mathrm{\&lambda;}}^2\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(44\right)$

右端固支(CR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ \mathrm{\&lambda;}\cos \mathrm{\&lambda;}{\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& -\mathrm{\&lambda;}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(45\right)$

步骤5、组合梁的参数化频率方程的建立：

结合振型联接特征矩阵和振型系数联接向量两端经典边界条件(分别是式(41)、(42)描述的和式(43)～(45)描述的)的n段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵D和振型系数向量C分别为：

和

${\left[C\right]}_{(8n+4)\&times;1}={\left[C_2^n\right]}_{(8n+4)\&times;1},---\left(47\right)$

且满足：

[D]_{(8n+4)×(8n+4)}·[C]_(8n+4)×1＝0.    (48)

令组合梁的特征方程系数矩阵D的行列式为零，其中：行列式以特征函数f(λ)＝|D|表示，求解参数化频率方程：

f(λ)＝|D|＝0    (49)

即获得整根组合梁的固有圆频率ω，按式f＝ω/2π计算组合梁的各阶固有频率；

根据上面的理论推导，利用Matlab编程获取组合梁的各阶固有频率的求解；确定横梁几何参数后，按式(41)～(45)选择需考虑的两端边界条件，并按式(49)建立组合梁的参数化频率方程；考虑到该方程的非线性，采用一维搜索法进行方程根的搜索；由于各个解离散分布，为减少计算工作量，可以先找到解的邻域，再定位精确解，确定求解的基本方法是：以式(2)中EB频率参数λ为自变量，给定其取值范围、递增步长Δλ和初始值λ₀，在λ数值递增形成的各个子区间中确定f(λ)变号的子区间[λ_k,λ_k+Δλ]，即满足f(λ_k)·f(λ_k+Δλ)＜0，其中λ_k＝λ₀+k·Δλ，即为固有圆频率的可行域，这些可行域是离散、等长、短距的，依次在各个可行域内使用二分法，就能得到固有圆频率值，按式f＝ω/2π计算组合梁的各阶固有频率。

所述的混合梁单元ETE-B，将任意两个EB及其间的一个TB看作一个混合梁单元ETE-B，则组合梁结构可认为是多个混合梁单元ETE-B构成的；所有EB等截面、等长、空心，而所有TB等截面、等长、实心；组合梁的首尾两段梁单元都是EB梁。

所述的一维搜索法：以式(2)中EB频率参数λ为自变量，给定其取值范围、递增步长Δλ和初始值λ₀，在λ数值递增形成的各个子区间中确定f(λ)变号的子区间[λ_k,λ_k+Δλ](即满足f(λ_k)·f(λ_k+Δλ)＜0，其中λ_k＝λ₀+k·Δλ)，作为固有圆频率的可行域，在各个可行域内使用二分法，就能得到固有圆频率值，按式f＝ω/2π计算对应固有频率。

具体的：

图2为任意连续两段ETE-B的动力学模型。针对图3(b)、(c)所示的单段(n＝1)、两段(n＝2)混合梁单元的组合梁ETE-1、ETE-2进行数值仿真，讨论相应组合梁的弯曲振动固有频率，同时和等截面等长空心Euler-Bernoulli横梁E(图3a)进行比较，E梁相当于n＝0的组合梁情况。具体的各个梁单元基本几何参数如表1所示。TB梁单元的深跨比为1.5，满足h_T/l_Ti∈[1/5,+∞]，截面面积均A_T＝b_T×h_T，相对于x轴的二次惯性矩矩形截面剪切修正系数κ＝10(v+1)/(11v+12)，泊松比v＝0.28，剪切弹性模量G＝0.5E/(1+v)；EB梁单元最大深跨比为0.056，满足h_E/l_Ei∈[0,1/5)，截面面积A_E＝b_E×h_E-(b_E-2h₀)×(h_E-2h₀)，相对于x轴的二次惯性矩分别为梁单元均为不锈钢，密度ρ＝7750kg/m³，弹性模量E＝193GPa；

表1两种组合梁(ETE-1、ETE-2)及等长Euler-Bernoulli梁(E)的几何参数

具体步骤如下：

图3(a)中，对于E，根据表2中经典边界条件下Euler-Bernoulli梁固有频率计算通式，可以得到E梁的三种边界条件(CL-FR、PL-PR和CL-CR)下的固有频率。

表2经典边界条件下Euler-Bernoulli梁固有频率计算通式中λ_iL的数值

图3(b)中ETE-1，相当于图2中n＝1段的ETE-B构成，EB序号分别为1和3，长度分别l₁和l₃，且满足l₁＝l₃，截面尺寸为b×h，侧壁厚度均为h₀。TB序号为2，长度为l₂，截面尺寸为b×h。将n＝1代入式(33)中，引入式(27)，则ETE-1的振型联接特征矩阵为：

${\left[D_2^1\right]}_{8\&times;12}=\left[\begin{array}{cc}{\left[D_1^F\right]}_{4\&times;8}& \\ & {\left[D_2^F\right]}_{4\&times;8}\end{array}\right],---\left(50\right)$

其中，和分别为i＝1下的式(24)和式(26)的数学表达。对应的振型系数联接向量为：

${\left[C_2^1\right]}_{12\&times;1}=[C_1^F\&cup;C_2^F],---\left(51\right)$

其中，和分别为i＝1下的式(23)和式(25)的数学表达。两端经典边界条件的1段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵[D]_12×12和振型系数向量[C]_12×1分别为：

和

${\left[C\right]}_{12\&times;1}={\left[C_2^1\right]}_{12\&times;1},---\left(53\right)$

则求解参数化频率方程：

f₁(λ)＝|[D]_12×12|＝0,    (54)

即获得ETE-1固有频率。

图3(c)中ETE-2，相当于图2中n＝2段的ETE-B构成，EB序号分别为1、3和5，长度分别l₁、l₃和l₅，且满足l₁＝l₃＝l₅，截面尺寸均为b×h，侧壁厚度均为h₀。TB序号为2和4，长度分别为l₂和l₄，且满足l₂＝l₄，截面尺寸均为b×h。将n＝2代入式(33)中，引入式(27)，则ETE-2的振型联接特征矩阵为：

${\left[D_2^2\right]}_{16\&times;20}=\left[\begin{array}{cc}{\left[D_2^1\right]}_{8\&times;12}& {\left[0\right]}_{8\&times;8}\\ {\left[0\right]}_{8\&times;8}& {\left[D_4^1\right]}_{8\&times;12}\end{array}\right]=$

其中，未给出的“0”的维数视矩阵整体而定，和分别为i＝1下的式(24)和式(26)的数学表达，和分别为i＝3下的式(24)和式(26)的数学表达。对应的振型系数联接向量为：

${\left[C_2^2\right]}_{12\&times;1}=[C_1^F\&cup;C_2^F{C}_3^F\&cup;C_4^F],---\left(56\right)$

其中，和分别为i＝1下的式(23)和式(25)的数学表达，和分别为i＝3下的式(23)和式(25)的数学表达。两端经典边界条件的2段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵[D]_20×20和振型系数向量[C]_20×1分别为：

和

${\left[C\right]}_{20\&times;1}={\left[C_2^2\right]}_{20\&times;1},---\left(58\right)$

则求解参数化频率方程：

f₂(λ)＝|[D]_20×20|＝0,    (59)

即获得ETE-2固有频率。

利用一维搜索法求解参数化频率方程(54)、(59)，以λ为自变量，设定其取值范围[0.1,10]、递增步长Δλ＝0.01和初始值λ₀＝0.1，在λ数值递增形成的各个子区间中确定f(λ)变号的子区间[λ_k,λ_k+Δλ]，即满足f(λ_k)·f(λ_k+Δλ)＜0，其中λ_k＝λ₀+k·Δλ，作为固有圆频率的可行域，依次在各个可行域内使用二分法，分别获取本发明实施例的组合梁ETE-1、ETE-2的前四阶固有频率和等长Euler-Bernoulli梁(E)前四阶固有频率，并通过与有限元软件分析的结果比较进行验证，如表3～5所示。可以发现：各表中利用经典理论和本发明方法获得的E梁前四阶固有频率几乎完全相同，表明本发明原理和模型推导过程的准确性；就本发明方法获得的固有频率值而言，边界条件CL-FR、PL-PR和CL-CR的变化趋势，横梁端部约束自由度增多，故各阶固有频率整体增大，而模态阶数越高，固有频率也增大，与经典的横梁振动理论的性质一致。CL-FR、PL-PR和CL-CR边界条件下本发明方法获得的固有频率值与软件分析结果相对差异绝对值分别在5％、5％和8％以内，主要来源软件分析设置以及TB单元质量因素，实施例中TB单元相较于组合梁整体在轴向长度的占比较大的影响。实际中，一方面组合梁跨度大(如起重机桥臂达20米，振动筛承重梁跨度达4米以上)，另一方面，TB单元类似板结构，长度小，因而相较于组合梁整体在轴向长度的占比很小，TB单元的集中质量因素影响可以忽略，因此，可以认为本方法的分析结果在工程误差允许范围内。

表3CL-FR边界条件下ETE-1、ETE-2和E梁的前四阶固有频率(Hz)

表4PL-PR边界条件下ETE-1、ETE-2和E梁的前四阶固有频率(Hz)

表5CL-CR边界条件下ETE-1、ETE-2和E梁的前四阶固有频率

该实施例说明了本发明一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法的有效性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的技术人员来说，在不脱离本发明原理、思想的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：根据组合梁几何特征，构建一种基于经典Euler-Bernoulli梁(EB)与Timoshenko梁(TB)理论的混合梁单元ETE-B，各ETE-B中EB梁单元和TB梁单元通过边界条件连续进行联接，建立组合梁的动力学模型、弯曲振动方程，获得经典边界条件下组合梁的参数化频率方程，最后利用一维搜索法确定组合梁的固有频率；具体步骤如下：

步骤1、组合梁的动力学模型建立：根据经典梁结构动力学理论，梁截面尺寸相比于跨度而言很小，一般都可以认为是Euler-Bernoulli梁(EB)；然而，当梁体或梁单元的深跨比比1/5大很多时，通常被看作Timoshenko梁(TB)，研究其弯曲振动特征时，需考虑转动惯量和截面剪切变形的影响；混合梁单元包括一段代号为TB-i+1的Timoshenko梁和两段代号分别为EB-i和EB-i+2的Euler-Bernoulli梁，以Timoshenko梁的序号数值(i+1)的一半标示，即两类梁单元在交界面F_i和F_i+1处通过双边V缝周边对焊联接，材料体密度均为ρ，弹性模量均为E；TB-i+1中，梁段宽b、高h、长l_i+1，满足h/l_i+1∈[1/5,+∞]，截面面积A_i+1，相对于x轴的二次惯性矩为I_i+1，截面的剪切修正系数为κ，材料的剪切弹性模量为G；EB-i和EB-i+2中，梁段宽均为b、高均为h、长分别为l_i和l_i+2(l_i＝l_i+2)，壁厚均为h₀，满足h/l_i和h/l_i+2∈[0,1/5)，截面面积分别为A_i和A_i+2(A_i+1＝A_i+2)，相对于x轴的二次惯性矩分别为I_i和I_i+2(I_i+1＝I_i+2)；

步骤2、混合梁单元ETE-B的动力学分析：在Euler-Bernoulli梁单元EB-i的固有圆频率ω满足：

${\mathrm{\&lambda;}}^4=\frac{{\mathrm{\&rho;A}}_i}{{\mathrm{EI}}_i}{\mathrm{\&omega;}}^2,---\left(2\right)$

式(2)中λ为EB频率参数，且有振型函数：

Y_i(x)＝e_i,1sinλx+e_i,2cosλx+e_i,3sinhλx+e_i,4coshλx.   (3)

式(3)中e_i,1,e_i,2,e_i,3和e_i,4为EB-i梁单元边界条件决定的系数；

对于其他等截面等长Euler-Bernoulli梁单元，只需对应更改梁单元序号i；

由于是同一根组合梁的不同单元，Timoshenko梁单元TB-i+1的固有圆频率与步骤2中EB-i的固有圆频率ω相同，在满足

$\mathrm{\&omega;}<\sqrt{\frac{{2A}_{i+1}E{\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2}{{\mathrm{\&rho;I}}_{i+1}(E+\mathrm{\&kappa;G})}}---\left(6\right)$

的前提下，有一组虚根：

$r_{\mathrm{1,2}}=\&PlusMinus;\stackrel{\&OverBar;}{r}\&CenterDot;i,---\left(7\right)$

式(7)中为TB虚频率参数，i为虚数单位，满足

$\stackrel{\&OverBar;}{r}=\sqrt{2{\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&kappa;}{\mathrm{G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left(2\mathrm{\&kappa;}{\mathrm{GEI}}_{i+1}\right),---\left(8\right)$

而还有一组实根

$r_{\mathrm{3,4}}=\&PlusMinus;\underset{~}{r},---\left(9\right)$

式(9)中为TB实频率参数，满足

$\underset{~}{r}=\sqrt{-2{\mathrm{\&kappa;GEI}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}(\mathrm{\&kappa;}{\mathrm{G\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}+{\mathrm{E\&rho;I}}_{i+1}\mathrm{\&omega;}-\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}^2{I}_{i+1}^2{\mathrm{\&omega;}}^2{(\mathrm{\&kappa;G}-E)}^2+{4\mathrm{\&kappa;}}^2{G}^2\mathrm{\&rho;}{A}_{i+1}{\mathrm{EI}}_{i+1}})}/\left(2\mathrm{\&kappa;}{\mathrm{GEI}}_{i+1}\right).---\left(10\right)$

TB-i+1的弯曲变形振型表达式：

$Y_{i+1}\left(x\right)=t_{i+\mathrm{1,1}}\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+1,2}\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+t_{i+\mathrm{1,3}}\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)\text{+}{t}_{i+\mathrm{1,4}}\cosh \left(\underset{~}{r}x\right).---\left(11\right)$

式中，t_i+1,1,t_i+1,2,t_i+1,3和t_i+1,4为TB-i+1梁单元边界条件决定的系数；

TB-i+1的截面转角振型表达式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&phi;}}_{i+1}\left(x\right)=-(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,2}}\&CenterDot;\sin \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+(\stackrel{\&OverBar;}{r}-\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\stackrel{\&OverBar;}{r}})t_{i+\mathrm{1,1}}\&CenterDot;\cos \left(\stackrel{\&OverBar;}{r}x\right)+\\ (\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,4}}\&CenterDot;\sinh \left(\underset{~}{r}x\right)+(\underset{~}{r}+\frac{{\mathrm{\&rho;\&omega;}}^2}{\mathrm{\&kappa;G}\underset{~}{r}})t_{i+\mathrm{1,3}}\&CenterDot;\cosh \left(\underset{~}{r}x\right)\end{array}.---\left(12\right)$

对于其他等截面等长Timoshenko梁单元，只需对应更改梁单元序号i+1；

步骤3、混合梁单元ETE-B联接条件的数学描述：定义EB系数 $E_i^F=\left[\begin{array}{cccc}{e}_{i,1}& e_{i,2}& e_{i,3}& e_{i,4}\end{array}\right]$ 和TB系数 $T_{i+1}^F=\left[\begin{array}{cccc}{t}_{i+\mathrm{1,1}}& t_{i+\mathrm{1,2}}& t_{i+\mathrm{1,3}}& t_{i+\mathrm{1,4}}\end{array}\right],$ 则在交界面F_i＝(EB-i)∩(TB-i+1)处，存在振型系数界面联接向量：

和振型界面联接特征矩阵

类似地，在交界面F_i+1＝(TB-i+1)∩(EB-i+2)处存在振型系数界面联接向量

和振型界面联接特征矩阵

因此，任意单段混合梁单元的振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_{i+1}^1\right]}_{12\&times;1}=[C_i^F\&cup;C_{i+1}^F]=\left[\begin{array}{ccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F\end{array}\right],---\left(28\right)$

且满足：

$D_{i+1}^1\&CenterDot;C_{i+1}^1=0.---\left(29\right)$

左上标为ETE-B的段数，左下标为首段组合梁中TB梁序号，

对于任意连续两段ETE-B，TB梁单元序号为i+1和i+3，共同拥有EB-i+2，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_{i+1}^2\right]}_{20\&times;1}=[C\&cup;C_{i+3}^1_{i+1}^1=][C_i^F\&cup;C_{i+1}^F\&cup;C_{i+2}^F{C}_{i+3}^F]=\left[\begin{array}{ccccc}{E}_i^F& T_{i+1}^F& E_{i+2}^F& T_{i+3}^F& E_{i+4}^F\end{array}\right],---\left(31\right)$

且满足：

$D_{i+1}^2\&CenterDot;C_{i+1}^2=0.---\left(32\right)$

其中，和分别由和将其各含右下标元素的右下标数值上加2获得，未给出大小的“0”的维数视矩阵整体而定；

对于n段ETE-B构成的组合梁，TB梁单元序号依次为2,4,6,…,2j,…,2n，振型联接特征矩阵和振型系数联接向量分别为：

和

${\left[C_2^n\right]}_{(8n+4)\&times;1}=\left[C\&cup;C_4^1\&cup;...\&cup;C\&cup;C_{2j}^1_{2j-2}^{1}C_{2j+2}^1\&cup;...\&cup;C_{2n-1}^1\&cup;C_{2n}^1_2^1\right],---\left(34\right)$

且满足：

$D_2^n\&CenterDot;C_2^n=0.---\left(35\right)$

其中，左上标“n”为组合梁中ETE-B的段数，左下标“2”为首段混合梁单元中TB梁单元序号；

步骤4、组合梁边界条件的数学描述：对于n段ETE-B构成的组合梁，其经典边界条件下的数学表达如下：

左端固支(CL) ${\left[D_0^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ \mathrm{\&lambda;}\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& -\mathrm{\&lambda;}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \mathrm{\&lambda;}\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(41\right)$

左端简支(PL) ${\left[D_0^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& \cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\\ {-\mathrm{\&lambda;}}^2\sin (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {-\mathrm{\&lambda;}}^2\cos (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;0)\end{array}\right],---\left(42\right)$

右端自由(FR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_F=\left[\begin{array}{cccc}{-\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {-\mathrm{\&lambda;}}^2\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ {-\mathrm{\&lambda;}}^3\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {-\mathrm{\&lambda;}}^3\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^3\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^3\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(43\right)$

右端简支(PR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_P=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ {-\mathrm{\&lambda;}}^2\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {-\mathrm{\&lambda;}}^2\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& {\mathrm{\&lambda;}}^2\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(44\right)$

右端固支(CR) ${\left[D_{2n+1}^F\right]}_C=\left[\begin{array}{cccc}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\\ \mathrm{\&lambda;}\cos {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& -\mathrm{\&lambda;}\sin {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\cosh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}& \mathrm{\&lambda;}\sinh {\mathrm{\&lambda;l}}_{2n+1}\end{array}\right],---\left(45\right)$

步骤5、组合梁参数化频率方程的建立：两端经典边界条件(分别是式(41)、(42)描述的和式(43)～(45)描述的)的n段ETE-B构成的组合梁的振型特征矩阵D和振型系数向量C分别为：

和

${\left[C\right]}_{(8n+4)\&times;1}=[{C_2^n]}_{(8n+4)\&times;1},---\left(47\right)$

且满足：

[D]_{(8n+4)×(8n+4)}·[C]_(8n+4)×1＝0.   (48)

令组合梁的特征方程系数矩阵D的行列式(以特征函数f(λ)＝|D|表示)为零，求解参数化频率方程：

f(λ)＝|D|＝0   (49)即获得整根组合梁的固有圆频率ω，按式f＝ω/2π计算组合梁的各阶固有频率f。

2.根据权利要求1所述的一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：所述的混合梁单元ETE-B，将任意两个EB及其间的一个TB看作一个混合梁单元ETE-B，则组合梁结构可认为是多个混合梁单元ETE-B构成的；所有EB等截面、等长、空心，而所有TB等截面、等长、实心；组合梁的首尾两段梁单元都是EB梁。

3.根据权利要求1所述的一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法，其特征在于：所述的一维搜索法：以式(2)中EB频率参数λ为自变量，给定其取值范围、递增步长Δλ和初始值λ₀，在λ数值递增形成的各个子区间中确定f(λ)变号的子区间[λ_k,λ_k+Δλ]，即满足f(λ_k)·f(λ_k+Δλ)＜0，其中λ_k＝λ₀+k·Δλ，作为固有圆频率ω的可行域，在各个可行域内使用二分法，就能得到固有圆频率值，按式f＝ω/2π计算对应固有频率。