CN105893699A - 一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法。首先，根据连杆机构杆长、初始位置与铰链间隙的具体特征，结合向量法获取机构运动误差函数的数学表达；其次，将杆长不确定性与铰链的不确定性信息引入建立机构运动误差的区间过程模型，并且实现机构运动精度误差函数不确定特征量的快速计算；确定误差函数上界与下界的均值与方差；最后，以区间半径、区间中心值的均值与方差之和为目标，以机构存在条件函数的中心值为约束条件，完成含铰链间隙的连杆机构混合鲁棒综合。本发明在进行机构综合过程中合理表征了概率与凸集不确定性对机构运动误差的综合影响，并可实现有效提高机构时变可靠度。

Description

一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法

技术领域

本发明涉及连杆机构的尺寸综合技术领域，特别涉及考虑概率不确定性与非概率不确定性共同作用下的连杆机构运动误差函数定量表征以及基于不确定性误差范围最小化指标为优化目标的连杆机构鲁棒综合方案的制定。

背景技术

当前，固定结构的分析和优化设计理论已经日渐成熟，由于固定结构发生故障而引起的事故越来越少，相对而言，随着机械向着高精度方向发展，由于机构运动误差所导致的故障问题显得日益突出，机构的运动精度往往是设计者最关心的问题。

由于加工误差的广泛存在，机构的杆长往往是不确定的，同时由于装配公差与工作磨损的因素，铰链间隙也是不可避免的。合适的间隙可以带来位移与转角的补偿，能够防止机构出现卡滞，但是，也严重影响了机构运动精度。由于不确定因素广泛存在于杆长与铰链间隙中，机构的运动误差除了确定性误差即结构误差外还存在有不确定性误差。传统的机构尺寸综合方法仅仅能够有效的降低结构误差，但是不能降低机构的不确定误差，因此传统的机构尺寸综合方法以更高运动精度为目标的机构设计问题不再使用。综上，针对含杆长不确定性与铰链间隙的机构开展不确定性分析方法与机构不确定性综合方法研究已经受到了学术界和工程界的高度重视。

鲁棒综合方法是一种以同时降低结构误差峰值与结构误差范围峰值为目标的优化综合方法，针对含铰链间隙的不确定性连杆机构设计问题，鲁棒综合能够有效的提高机构的运动精度。但是，当前国内外学者与工程技术人员对于含铰链间隙连杆机构的不确定性连杆机构鲁棒综合研究主要集中在以下三个方面：(1)基于概率统计模型量化零件尺寸的不确定性与铰链；(2)通过无质量杆来描述铰链间隙的物理模型；(3)通过概率统计的方法将铰链间隙简化为具有某种分布形式的随机变量。上述工作一定程度上丰富了含铰链间隙连杆机构的鲁棒综合理论，但是仍存在一定的问题：(1)在实际工程中，铰链轴销在轴承中的运动规律取决于极为复杂的物理因素，无法通过概率模型进行量化表征，因此以非概率模型量化铰链具有更强的物理意义；(2)通过无质量杆替代铰链间隙的方法仅仅考虑到了轴承与轴销连续接触的情况，而忽略了轴销在间隙圆中自由运动的情况；(3)针对铰链间隙与杆长的不确定性，普遍使用同一种不确定性模型进行量化表征，但是在实际工程中，由于铰链间隙在有限样本的情况下无法通过概率模型来量化表征，因此，需要建立含有混合不确定性的鲁棒指标。

综合上述原因，针对实际工程中贫信息、少数据的情况，建立以概率模型和非概率凸集模型混合理论框架为基础的机构运动学不确定性分析模型、铰链间隙的量化表征模型、机构运动精度鲁棒指标建模与求解技术以及机构混合鲁棒综合技术具有显著的现实意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，以提出的机构运动精度混合鲁棒指标作为机构综合的目标函数，所得到的设计结果工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，实现步骤如下：

第一步：首先根据机构杆长，铰链间隙结合矢量方法建立机构运动学方程，以机构实际运动函数ψ(θ)与目标函数ψ_d(θ)的差值作为误差函数，以四连杆方程生成机构为例，杆长为l₁,l₂,l₃,l₄，铰链间隙C₁,C₂,C₃,C₄为轴承中心坐标到轴中心坐标的向量，即(x_j,y_j)，则四连杆机构的运动误差函数可以定义为e(θ)＝ψ_d(θ)-ψ(θ)，θ为机构输入角度，ψ_d(θ)为连杆机构目标运动，ψ(θ)为连杆机构实际运动；

第二步：利用概率模型合理表征的机构尺寸参数l_i的不确定性，则有l＝(l_i)^T，其中为第i根杆长度的均值，为第i根杆长度的方差，其取决于部件制备公差，利用凸集模型来合理表征无法确知联合分布函数下的铰链间隙参数，则定义凸集模型C_j＝(x_j,y_j)^T，E_j(C_j,r_Cj)＝{C_j:C_j ^TΩ_jC_j≤r_Cj ²}，其中，r_Cj为第j个铰链的间隙圆半径，(x_j,y_j)定义为轴中心在距离轴承中心的坐标向量，由于轴承与轴的截面都为标准圆形，因此可知

第三步：将不确定信息带入到机构运动误差函数中，建立含不确定性的机构运动误差随时间的变化函数，即：

e(a,θ)＝ψ_d(θ)-ψ(a,θ)

其中为包含所有随机变量与凸集变量的向量，ψ_d(θ)为机构目标运动方程，ψ(a,θ)为机构实际运动方程。结合一阶泰勒展开方法，将含有不确定参数的机构运动误差方程在不确定参数中心值与均值处展开，可得：

$e(a,\mathrm{\θ})=e(a^c,\mathrm{\θ})+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂l_i}{|}_{a^c}(l_i-l_i^{\mathrm{\μ}})+\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂x_j}{|}_{a^c}{x}_j+\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂y_j}{|}_{a^c}{y}_j$

其中，a^c为区间向量a的中心值向量，为误差函数e(a,θ)在随机变量为均值同时区间变量为中心值处，关于变量·的偏导数，n为机构连杆个数，m为机构铰链个数。引入四个拉格朗日乘子，

$L_j\left(\mathrm{\θ}\right)=g_j{\left(\mathrm{\θ}\right)}^T{C}_j+{\mathrm{\μ}}_j\left(\mathrm{\θ}\right)\[{C_j}^T{\mathrm{\Ω}}_j{C}_j-{r_{Cj}}^2\]$

其中为系数向量，针对拉格朗日方程求导，可得：

$\frac{\∂L_j\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂C_j\left(\mathrm{\θ}\right)}=g_j\left(\mathrm{\θ}\right)+2{\mathrm{\μ}}_j\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Ω}}_j{C}_j=0$

可知拉格朗日乘子为：

${\mathrm{\μ}}_j\left(\mathrm{\θ}\right)=\±\frac{1}{2r_{Cj}\left(\mathrm{\θ}\right)}\sqrt{g_j{\left(\mathrm{\θ}\right)}^T{\mathrm{\Ω}}_j{g}_j\left(\mathrm{\θ}\right)}$

由此可得：

$e(a,\mathrm{\θ})=e(a^c,\mathrm{\θ})+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂l_i}{|}_{a^c}(l_i-l_i^{\mathrm{\μ}})+\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{r}_{Cj}\sqrt{{\left(\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}{\mathrm{\ξ}}_j$

其中ξ_j为标准区间变量[-1,1]，基于本步骤可以获得机构运动误差不确定上界与下界随输入角度的变化函数；

第四步：根据以上步骤可知机构运动误差可以拆分为由于设计导致的结构误差e(a^c,θ)，由于随机变量导致的随机误差和由于铰链间隙引起的非随机误差

则机构误差函数可以转换为一个中心值为随机变量的区间形式，则误差函数的中心值可以定义为根据区间运算法则可知e(θ)＝[e^c-Δe,e^c+Δe]，由于且正态分布的叠加形式仍为正态分布，根据随机变量运算法则可知Δe为非随机误差，根据步骤三可知其为所有铰链所引起的运动误差之和，即

第五步：针对连杆机构运动误差的特点，本发明提出了含混合不确定性参数的鲁棒综合方法，将连杆机构由于设计引起的结构误差e(a^c,θ)，由于随机杆长引起的随机误差的方差和由于铰链间隙所引起的非随机误差的区间半径同时最小为优化目标，建立三个权重系数w₁，w₂与w₃分别代表降低结构误差、随机误差与非随机误差的偏好，则优化目标可以定义为：

$w_1\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|e(a^c,\mathrm{\θ})\right|+w_2\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\left(\frac{\∂e(a,t)}{\∂l_i}{|}_{a^c}{\mathrm{\σ}}_i\right)}^2+w_3\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{r}_{Cj}\sqrt{{\left(\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\∂e(a,\mathrm{\θ})}{\∂y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}$

其中，N为机构误差函数离散个数，即其中θ₀为机构初始输入角度，θ_f为机构最终输入角度，机构输入角度的微小增量Δθ取决于实际工程问题，其数值与计算量成反比，与计算精度成正比，在四连杆机构综合问题中，Δθ取1°；

以机构各个组成杆件的长度的均值机构初始输入与目标函数初值为优化变量，则含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合模型的优化变量可以表示为其中θ₀为机构输入角度初值，ψ₀为机构输出角度初值。

在确定性的机构尺寸综合往往以机构存在条件作为约束条件，而不确定性优化中，约束条件也为不确定，针对四连杆机构可知其机构存在条件的确定性表达为f(L)<0，其中L为包含所有杆长参数的函数，根据一阶泰勒展开可知则根据随机向量运算原则可知根据随机变量的3σ原则可知随机变量值出现在3σ范围以外的概率极小，可以忽略，因此，机构鲁棒综合的约束条件为

综上所述，构建面向方程生成机构混合鲁棒综合的优化模型如下：

优化变量

优化目标最小化

约束条件

$Z\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_d^6$

其中，M为约束条件个数。以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程。

第六步：迭代过程中，如果当前设计不满足约束，或者尽管满足约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回步骤三，否则，进行步骤七。

第七步：如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的连杆机构设计方案。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了机构尺寸综合的新思路，弥补和完善了传统基于概率理论的鲁棒综合方法的局限性。所构建的运动误差模型，一方面可大幅提高对铰链信息描述的准确性，另一方面可有效计及并量化混合不确定性所带来的机构运动误差。在机构进行鲁棒综合时，可以充分考虑随机不确定性参数与非概率不确定参数共同作用下的运动误差规律，在确保机构几何装配实现的情况下，能够尽量提高机构的鲁棒性。

附图说明

图1是本发明针对含混合不确定性的连杆机构鲁棒综合流程图；

图2是本发明所针对的含铰链间隙的连杆机构；

图3是本发明所基于的铰链间隙简化原则，其中，图3(a)为铰链间隙实际模型，图3(b)为铰链间隙圆模型；

图4是本发明定义的含混合不确定参数的连杆机构运动误差示意图；

图5是本发明所定义的含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合设计目标示意图；

图6是本发明所基于的3倍标准差法则示意图；

图7是本发明针对含混合不确定性的四连杆机构鲁棒综合的迭代历程曲线示意图；

图8是本发明针对四连杆机构确定性尺寸综合的迭代历程曲线示意图；

图9是本发明针对含混合不确定性的四连杆机构鲁棒综合结果的概率密度函数示意图；

图10是本发明针对四连杆机构确定性尺寸综合结果的概率密度函数示意图；

图11是本发明针对四连杆机构确定性尺寸综合与混合不确定性鲁棒综合结果通过Monte-Carlo模拟所获得的平均误差对比示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种含混合不确定性的连杆机构鲁棒综合方法，包括以下步骤：

(1)首先根据机构杆长，铰链间隙结合矢量方法建立机构运动学方程，以机构实际运动函数ψ(θ)与目标函数ψ_d(θ)的差值作为误差函数，以四连杆方程生成机构为例，如图2所示，杆长为l₁,l₂,l₃,l₄，铰链间隙C₁,C₂,C₃,C₄为轴承中心坐标到轴中心坐标的向量，即(x_j,y_j)，则四连杆机构的运动误差函数可以定义为e(θ)＝ψ_d(θ)-ψ(θ)，θ为机构输入角度，ψ_d(θ)为连杆机构目标运动，ψ(θ)为连杆机构实际运动；

(2)利用概率模型合理表征的机构尺寸参数l_i的不确定性，则有l＝(l_i)^T，其中为第i根杆长度的均值，为第i根杆长度的方差，其取决于部件制备公差，利用凸集模型来合理表征无法确知联合分布函数下的铰链间隙参数，则定义凸集模型C_j＝(x_j,y_j)^T，其中，r_Cj为第j个铰链的间隙圆半径，如图3所示，(x_j,y_j)定义为轴中心在距离轴承中心的坐标向量，由于轴承与轴的截面都为标准圆形，因此可知

(3)将不确定信息带入到机构运动误差函数中，建立含不确定性的机构运动误差随时间的变化函数，即：

e(a,θ)＝ψ_d(θ)-ψ(a,θ)

其中为包含所有随机变量与凸集变量的向量，ψ_d(θ)为机构目标运动方程，ψ(a,θ)为机构实际运动方程。结合一阶泰勒展开方法，将含有不确定参数的机构运动误差方程在不确定参数中心值与均值处展开，可得：

$e(a,\mathrm{\&theta;})=e(a^c,\mathrm{\&theta;})+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;l_i}{|}_{a^c}(l_i-l_i^{\mathrm{\&mu;}})+\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;x_j}{|}_{a^c}{x}_j+\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;y_j}{|}_{a^c}{y}_j$

其中，a^c为区间向量a的中心值向量，为误差函数e(a,θ)在随机变量为均值同时区间变量为中心值处，关于变量·的偏导数，n为机构连杆个数，m为机构铰链个数。引入四个拉格朗日乘子：

$L_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)=g_j{\left(\mathrm{\&theta;}\right)}^T{C}_j+{\mathrm{\&mu;}}_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)\&lsqb;{C_j}^T{\mathrm{\&Omega;}}_j{C}_j-{r_{Cj}}^2\&rsqb;$

其中为系数向量。针对拉格朗日方程求导，可得：

$\frac{\&part;L_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)}{\&part;C_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)}=g_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)+2{\mathrm{\&mu;}}_j\left(\mathrm{\&theta;}\right){\mathrm{\&Omega;}}_j{C}_j=0$

可知拉格朗日乘子为：

${\mathrm{\&mu;}}_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\&PlusMinus;\frac{1}{2r_{Cj}}\sqrt{g_j{\left(\mathrm{\&theta;}\right)}^T{\mathrm{\&Omega;}}_j{g}_j\left(\mathrm{\&theta;}\right)}$

由此可得：

$e(a,\mathrm{\&theta;})=e(a^c,\mathrm{\&theta;})+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;l_i}{|}_{a^c}(l_i-l_i^{\mathrm{\&mu;}})+\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{r}_{Cj}\sqrt{{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}{\mathrm{\&xi;}}_j$

其中ξ_j为标准区间变量[-1,1]，基于本步骤可以获得机构运动误差不确定上界与下界随输入角度的变化函数；

(4)根据以上步骤可知机构运动误差可以拆分为由于设计导致的结构误差e(a^c,θ)，由于随机变量导致的随机误差和由于铰链间隙引起的非随机误差如图4所示。

则机构误差函数可以转换为一个中心值为随机变量的区间形式，则误差函数的中心值可以定义为根据区间运算法则可知e(θ)＝[e^c-Δe,e^c+Δe]。由于且正态分布的叠加形式仍为正态分布，根据随机变量运算法则可知Δe为非随机误差，根据步骤三可知其为所有铰链所引起的运动误差之和，即

(5)针对连杆机构运动误差的特点，本发明提出了含混合不确定性参数的鲁棒综合方法，将连杆机构由于设计引起的结构误差e(a^c,θ)，由于随机杆长引起的随机误差的方差和由于铰链间隙所引起的非随机误差的区间半径同时最小为优化目标，如图5所示。建立三个权重系数w₁，w₂与w₃分别代表降低结构误差、随机误差与非随机误差的偏好，则优化目标可以定义为：

$w_1\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\left|e(a^c,\mathrm{\&theta;})\right|+w_2\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(\frac{\&part;e(a,t)}{\&part;l_i}{|}_{a^c}{\mathrm{\&sigma;}}_i\right)}^2+w_3\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{r}_{Cj}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\sqrt{{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}$

其中，N为机构误差函数离散个数，即其中θ₀为机构初始输入角度，θ_f为机构最终输入角度，机构输入角度的微小增量Δθ取决于实际工程问题，其数值与计算量成反比，与计算精度成正比，在四连杆机构综合问题中，Δθ取1°。

以机构各个组成杆件的长度的均值机构初始输入与目标函数初值为优化变量，则含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合模型的优化变量可以表示为其中θ₀为机构输入角度初值，ψ₀为机构输出角度初值。

在确定性的机构尺寸综合往往以机构存在条件作为约束条件，而不确定性优化中，约束条件也为不确定，针对四连杆机构可知其机构存在条件的确定性表达为f(L)≤0，其中L为包含所有杆长参数的函数，根据一阶泰勒展开可知则根据随机向量运算原则可知根据随机变量的3σ原则可知随机变量值出现在3σ范围以外的概率极小，可以忽略，如图6所示，因此，机构鲁棒综合的约束条件为

综上所述，构建面向方程生成机构混合鲁棒综合的优化模型如下：

优化变量

优化目标最小化

约束条件

$Z\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_d^6$

其中，M为约束条件个数。以四连杆机构为例，M＝5，其确定性表达为：

f₁(L)＝(l₁+l₄)-(l₂+l₃)≤0

f₂(L)＝(l₁+l₃)-(l₄+l₂)≤0

f₃(L)＝(l₁+l₂)-(l₄+l₃)≤0

$f_4\left(L\right)=2l_2{l}_3{\mathrm{cos\&gamma;}}^U+{(l_4+l_1)}^2-(l_2^2+l_3^2)\&le;0$

$f_5\left(L\right)=2l_2{l}_3{\mathrm{cos\&gamma;}}^L-{(l_4+l_1)}^2+(l_2^2+l_3^2)\&le;0$

则机构存在的不确定约束条件分别为：

$f_1\left(L\right)=(l_1^{\mathrm{\&mu;}}+l_4^{\mathrm{\&mu;}})-(l_2^{\mathrm{\&mu;}}+l_3^{\mathrm{\&mu;}})+3\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}\&le;0$

$f_2\left(L\right)=(l_1^{\mathrm{\&mu;}}+l_3^{\mathrm{\&mu;}})-(l_4^{\mathrm{\&mu;}}+l_2^{\mathrm{\&mu;}})+3\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}\&le;0$

$f_3\left(L\right)=(l_1^{\mathrm{\&mu;}}+l_2^{\mathrm{\&mu;}})-(l_4^{\mathrm{\&mu;}}+l_3^{\mathrm{\&mu;}})+3\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}\&le;0$

$f_4\left(L\right)=2l_2^{\mathrm{\&mu;}}{l}_3^{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{cos\&gamma;}}^U+{(l_4^{\mathrm{\&mu;}}+l_1^{\mathrm{\&mu;}})}^2-(l_2^{\mathrm{\&mu;}2}+l_3^{\mathrm{\&mu;}2})+3\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(\frac{\&part;f_4\left(L\right)}{\&part;l_i}{|}_{L^c}{\mathrm{\&sigma;}}_i\right)}^2}\&le;0$

$f_5\left(L\right)=2l_2^{\mathrm{\&mu;}}{l}_3^{\mathrm{\&mu;}}{\mathrm{cos\&gamma;}}^L-{(l_4^{\mathrm{\&mu;}}+l_1^{\mathrm{\&mu;}})}^2+(l_2^{\mathrm{\&mu;}2}+l_3^{\mathrm{\&mu;}2})+3\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(\frac{\&part;f_5\left(L\right)}{\&part;l_i}{|}_{L^c}{\mathrm{\&sigma;}}_i\right)}^2}\&le;0$

其中，γ^U与γ^L为机构传动角的上界与下界，以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程；

(6)迭代过程中，如果当前设计不满足约束，或者尽管满足约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回(3)，否则，进行(7)。

(7)如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的连杆机构设计方案。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对图2所示的四连杆方程生成机构进行了本发明所提出的非概率时变可靠性综合与传统的静态可靠性综合。机构目标函数为y＝arctan(x)，其中x＝[x₀,x_e]＝[0,1]。输入角度变化范围Δθ为100°,目标函数取值范围Δψ为45°。机构组成杆件的制造公差为0.15mm因此，定义尺寸变量的标准差σ_i(i＝1,2,3,4)为0.05mm，且所有尺寸变量的均值如表1所示。所有4个铰链的间隙圆半径为0.02mm。机构传动角设计范围为[20°,160°]。输入角度离散为100个区间段。

表1初始机构尺寸参数

本实施例为了更好的说明所提方法的优势，同时针对上述方程生成机构进行了混合鲁棒综合与确定性尺寸综合，其结果分别如表2与表3所示。

表2混合鲁棒综合结果

表3确定性尺寸综合结果

图7至图8为混合鲁棒综合与确定性尺寸综合的优化历程曲线，图9至图10为混合鲁棒综合与确定性尺寸综合的平均概率密度函数，图11为基于Monte-Carlo模拟的混合鲁棒综合与确定性尺寸综合平均误差，采样次数为1e6。

通过图7至图11，可以看出：(1)鲁棒综合与确定性的尺寸综合都可以有效降低连杆机构由于设计缺陷所带来的结构误差，如图7与图8所示。(2)如图9与图10所示，混合鲁棒综合结果的结构误差、随机误差与非随机误差都要小于传统的确定性尺寸综合结果。(3)通过图11可以看出，当考虑混合不确定性存在时，通过Monte-Carlo模拟所得的各个输入角度下的平均误差分析可知，混合鲁棒综合结果的平均误差最大值为0.57396mm，出现在机构启动阶段，而传统的确定性尺寸综合结果的平均误差最大值为1.21875mm，出现在机构运动结束阶段，并且要远远大于混合鲁棒可靠性分析结果，因此可知考虑混合不确定性的鲁棒综合方法能够获得更加稳定的设计。

综上所述，本发明提出了一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法。首先，根据连杆机构杆长、初始位置与铰链间隙的具体特征，结合向量法获取机构运动误差函数的数学表达；其次，根据工程实际情况将杆长不确定性定义为随机变量，将铰链间隙参数定义为非概率凸集变量；基于一阶泰勒展开法与拉格朗日乘子法完成不确定参数的传播分析，确定误差函数的量化表征模型；最后，以鲁棒性为目标，以不确定性机构存在条件为约束条件，完成含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于连杆机构设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (11)

1.一种混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于实现步骤如下：

第一步：首先根据机构杆长，铰链间隙结合矢量方法建立机构运动学方程，以机构实际运动函数ψ(θ)与目标函数ψ_d(θ)的差值作为误差函数，参照四连杆方程生成机构，杆长为l₁,l₂,l₃,l₄，铰链间隙为C₁,C₂,C₃,C₄，则四连杆机构的运动误差函数可以定义为e(θ)＝ψ_d(θ)-ψ(θ)，θ为机构输入角度；

第二步：利用概率模型合理表征的机构尺寸参数l_i的不确定性，则有l＝(l_i)^T，其中为第i根杆长度的均值，为第i根杆长度区方差，利用凸集模型来合理表征无法确知联合分布函数下的铰链间隙参数，则定义凸集模型C_j＝(x_j,y_j)^T∈E_j(C_j,r_Cj)，其中，r_Cj为第j组铰链的间隙圆半径，(x_j,y_j)定义为轴中心在距离轴承中心的坐标向量；

第三步：将不确定信息带入到机构运动误差函数中，建立含不确定性的机构运动误差随时间的变化函数，即：

e(a,θ)＝ψ_d(θ)-ψ(a,θ)

其中为包含所有随机变量与凸集变量的向量，ψ_d(θ)为机构目标运动方程，ψ(a,θ)为机构实际运动方程，结合一阶泰勒展开方法，将含有不确定参数的机构运动误差方程在不确定参数中心值与均值处展开，引入四个拉格朗日乘子，结合拉格朗日乘子法，可得：

$e(a,\mathrm{\&theta;})=e(a^c,\mathrm{\&theta;})+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;l_i}{|}_{a^c}(l_i-l_i^{\mathrm{\&mu;}})+\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{r}_{Cj}\sqrt{{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}{\mathrm{\&xi;}}_j$

其中，a^c为区间向量a的中心值向量，其中包含了随机变量的均值和区间变量的中心值，ξ_j为标准区间变量[-1,1]，为第i根连杆长度的均值，基于本步骤可以获得机构运动误差不确定上界与下界随输入角度的变化函数；

第四步：则机构误差函数可以转换为一个中心值为随机变量的区间形式，即e(θ)＝[e_μ-Δe,e_μ+Δe]，其中σ_i为第i根连杆长度的标准差，

第五步：以

$w_1\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\left|e(a^c,\mathrm{\&theta;})\right|+w_2\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(\frac{\&part;e(a,t)}{\&part;l_i}{|}_{a^c}{\mathrm{\&sigma;}}_i\right)}^2+w_3\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{r}_{Cj}\sqrt{{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;x_j}{|}_{a^c}\right)}^2+{\left(\frac{\&part;e(a,\mathrm{\&theta;})}{\&part;y_j}{|}_{a^c}\right)}^2}$

作为优化目标，其中w₁，w₂与w₃为权重系数，以机构各个组成杆件的长度、机构初始输入与目标函数初值为优化变量，以方程生成机构存在条件的中心值作为约束条件，构建面向方程生成机构混合鲁棒综合的优化模型，并以粒子群智能算法实现完整优化迭代过程；

第六步：迭代过程中，如果当前设计不满足机构存在条件可靠度约束的许用值，或者尽管满足可靠度约束，但相较于上一个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ξ时，设计变量的种群重置更新，将已经完成迭代次数的值增加1，并返回步骤三，否则，进行步骤七；

第七步：如果全局最优设计方案与全局次优设计方案的目标函数值相当接近时，终止计算，将得到的全局最优设计方案中的变量参数作为最终的连杆机构设计方案。

2.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤一中铰链间隙参数C₁,C₂,C₃,C₄为轴承中心坐标到轴中心坐标的向量，即(x_j,y_j)。

3.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤二中的杆长参数的方差与铰链间隙圆半径r_Cj取决于加工误差。

4.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤二中Ω_j为凸集模型的特征矩阵，由于轴承与轴的截面都为标准圆形，因此可知

5.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤三中ξ_j为标准区间变量[-1,1]，为误差函数e(a,θ)关于变量·的偏导数，n为连杆机构所包含的连杆个数，m为连杆机构所包含的铰链个数。

6.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤四中e_μ为结构函数均值与随机杆长引起的随机误差之和，即由于因此可知正态分布之和也为正态分布，则

7.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤五中N为机构误差函数离散个数，即其中θ₀为机构初始输入角度，θ_f为机构最终输入角度，机构输入角度的微小增量Δθ取决于实际工程问题，其数值与计算量成反比，与计算精度成正比，在四连杆机构综合问题中，Δθ取1°。

8.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤五中权重系数w₁，w₂与w₃分别为对于减小结构误差、随机误差与非概率误差的偏好，在四连杆机构综合问题中所有权重系数取1。

9.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤五中针对四连杆机构可知其机构存在条件的确定性表达为f(L)<0，其中L为包含所有杆长参数的函数，根据一阶泰勒展开可知则根据随机向量运算原则可知根据随机变量的3σ原则可知随机变量值出现在3σ范围以外的概率极小，可以忽略，因此，机构鲁棒综合的约束条件为

10.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤五中含混合不确定性的连杆机构鲁棒综合方法的优化列式为：

优化变量

目标函数

约束条件

$Z\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_d^6$

其中，M为约束条件个数。

11.根据权利要求1所述的一种含混合不确定性参数的连杆机构鲁棒综合方法，其特征在于：所述步骤六中容差百分比的预设值ξ设定为1％。