CN111611693A - 一种多段连续梁固有频率的计算方法 - Google Patents

一种多段连续梁固有频率的计算方法 Download PDF

Info

Publication number
CN111611693A
CN111611693A CN202010343754.2A CN202010343754A CN111611693A CN 111611693 A CN111611693 A CN 111611693A CN 202010343754 A CN202010343754 A CN 202010343754A CN 111611693 A CN111611693 A CN 111611693A
Authority
CN
China
Prior art keywords
section
continuous
boundary
natural frequency
spring
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Granted
Application number
CN202010343754.2A
Other languages
English (en)
Other versions
CN111611693B (zh
Inventor
鲍四元
周静
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Suzhou University of Science and Technology
Original Assignee
Suzhou University of Science and Technology
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Suzhou University of Science and Technology filed Critical Suzhou University of Science and Technology
Priority to CN202010343754.2A priority Critical patent/CN111611693B/zh
Publication of CN111611693A publication Critical patent/CN111611693A/zh
Priority to US17/152,247 priority patent/US20210334423A1/en
Application granted granted Critical
Publication of CN111611693B publication Critical patent/CN111611693B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/10—Geometric CAD
    • G06F30/13—Architectural design, e.g. computer-aided architectural design [CAAD] related to design of buildings, bridges, landscapes, production plants or roads
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01M—TESTING STATIC OR DYNAMIC BALANCE OF MACHINES OR STRUCTURES; TESTING OF STRUCTURES OR APPARATUS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G01M5/00—Investigating the elasticity of structures, e.g. deflection of bridges or air-craft wings
    • G01M5/0066—Investigating the elasticity of structures, e.g. deflection of bridges or air-craft wings by exciting or detecting vibration or acceleration
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01M—TESTING STATIC OR DYNAMIC BALANCE OF MACHINES OR STRUCTURES; TESTING OF STRUCTURES OR APPARATUS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G01M5/00—Investigating the elasticity of structures, e.g. deflection of bridges or air-craft wings
    • G01M5/0033—Investigating the elasticity of structures, e.g. deflection of bridges or air-craft wings by determining damage, crack or wear
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01M—TESTING STATIC OR DYNAMIC BALANCE OF MACHINES OR STRUCTURES; TESTING OF STRUCTURES OR APPARATUS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G01M7/00—Vibration-testing of structures; Shock-testing of structures
    • G01M7/02—Vibration-testing by means of a shake table
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01M—TESTING STATIC OR DYNAMIC BALANCE OF MACHINES OR STRUCTURES; TESTING OF STRUCTURES OR APPARATUS, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G01M7/00—Vibration-testing of structures; Shock-testing of structures
    • G01M7/02—Vibration-testing by means of a shake table
    • G01M7/025—Measuring arrangements
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/10—Geometric CAD
    • G06F30/17—Mechanical parametric or variational design
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/23—Design optimisation, verification or simulation using finite element methods [FEM] or finite difference methods [FDM]
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/10—Numerical modelling
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2119/00—Details relating to the type or aim of the analysis or the optimisation
    • G06F2119/14—Force analysis or force optimisation, e.g. static or dynamic forces

Landscapes

  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Aviation & Aerospace Engineering (AREA)
  • Architecture (AREA)
  • Civil Engineering (AREA)
  • Structural Engineering (AREA)
  • Measurement Of Mechanical Vibrations Or Ultrasonic Waves (AREA)
  • Complex Calculations (AREA)

Abstract

本发明公开了一种多段连续梁固有频率的计算方法，它涉及梁结构技术领域。梁左、右两端分别设置位移弹簧和旋转弹簧模拟任意边界条件，构造连续多段梁在整段上的横向位移函数；求出连续多段梁结构的应变能；求出连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能；求出连续多段梁的动能最大值；求出连续多段梁结构的拉格朗日函数；将位移函数的改进傅里叶级数形式代入拉格朗日方程；拉格朗日函数应对改进傅里叶级数中的各待定系数取极值，得齐次线性方程组，转化为矩阵形式；求解标准矩阵特征值问题，得到固有频率。本发明可快速得到不同截面形状、不同分段材料及不同分段梁长的多段梁弯曲多阶固有频率值，应用前景广阔。

Description

一种多段连续梁固有频率的计算方法
技术领域
本发明涉及的是梁结构技术领域，具体涉及一种多段连续梁固有频率的计算方法。
背景技术
多段梁构件在工程中很常见，如动力机械中支承回转零件和传递运动、动力的阶梯轴、石油钻井工程中的阶梯钻柱、油杆以及发动机内的阶梯形活塞杆、处于车削加工中的工件等，以弯曲为主要变形的阶梯形杆可称为多段连续梁。连续梁的振动问题是机械振动中的基础课题，多段连续梁的固有频率受多重因素的影响，如截面形状、分段杆长、材料、梁长等影响。现有的文献往往只给出常规的经典边界条件(如固定、简支、自由等)下的等截面直杆的固有频率方程，其固有频率值可通过解对应的方程得到，而欲确定给定边界条件的多段连续梁的固有频率，对应的频率方程较为复杂，计算量大。两段阶梯梁弯曲振动的计算，目前在现有的文献中没有系统给出阶梯多段梁弯曲振动固有频率的推导及计算，也没有查到可套用的给定弹性边界条件下的阶梯多段梁弯曲的固有频率的计算公式。基于此，设计一种多段连续梁弯曲振动的各阶固有圆频率的计算方法尤为必要。
发明内容
针对现有技术上存在的不足，本发明目的是在于提供一种多段连续梁固有频率的计算方法，给出多段连续梁在弹性边界条件下固有频率的推导及计算，可快速得到不同截面形状、不同分段材料及不同分段梁长的多段梁弯曲多阶固有频率值，易于推广使用。
为了实现上述目的，本发明是通过如下的技术方案来实现：一种多段连续梁固有频率的计算方法，包括以下步骤：
(1)梁左、右两端分别设置位移弹簧和旋转弹簧，模拟多段阶梯梁任意边界条件；
(2)构造连续多段梁在整段上的横向位移函数，并由待定振型函数及一个待定振动频率的指数函数构成，振型函数由改进傅里叶级数形式来表示，而改进傅里叶级数是在传统傅里叶级数的基础上添加四个辅助函数；
(3)求出连续多段梁结构的应变能，所述的梁是伯努利-欧拉梁等直杆；
(4)求出连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能；
(5)求出连续多段梁的动能最大值；
(6)求出连续多段梁结构的拉格朗日函数；
(7)将位移函数的改进傅里叶级数形式代入拉格朗日方程；
(8)拉格朗日函数应对改进傅里叶级数中的各待定系数取极值，即令偏导数为零，可得齐次线性方程组；
(9)对所得的线性方程组转化为矩阵形式；
(10)由Mathematica软件求解标准矩阵特征值问题，得到各阶固有圆频率值。
作为优选，所述步骤(1)中左端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为为k1和K1，右端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为k2和K2；当边界条件为固定边界时，需将位移弹簧和旋转弹簧刚度值同时设为无穷大，这里取1013；当边界条件为自由边界时，将位移弹簧和旋转弹簧刚度值取零即可；当边界条件为简支边界时，需将位移弹簧取1013，旋转弹簧刚度值为0；而位移弹簧和旋转弹簧刚度系数取有限值时，即可模拟弹性约束边界条件。
作为优选，所述步骤(2)中构造连续多段梁在整段上由改进傅里叶级数形式来表示的横向位移函数为
Figure BDA0002469331600000031
式中，x∈[0,L]，an为待定常数，λn＝nπ/L。
作为优选，所述步骤(3)中连续多段梁结构的应变能为
Figure BDA0002469331600000032
梁总长度为L，一共分为p段，第i段的长度为Li，Vp为任意边界条件下连续多段梁结构的应变能，Ei为第i段梁的弹性模量，Ii为第i段梁的截面惯性矩。
作为优选，所述步骤(4)中连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能Vs：
Figure BDA0002469331600000033
作为优选，所述步骤(2)中基于变量分离法假设多段连续梁的模态解的形式为
w(x，t)＝W(x)eiωt (4)
其中i是虚数单位，ω是多段连续梁的固有频率。
作为优选，所述步骤(5)中连续多段梁的动能最大值
Figure BDA0002469331600000034
作为优选，所述步骤(6)中连续多段梁结构的拉格朗日函数
L＝Vmax-Tmax＝Vp+Vs-Tma。 (6)
作为优选，所述步骤(8)中拉格朗日函数逐项对待定系数ai(i＝-4，-3，…，9)求偏导，得到线性方程组：
[(M1+…+Mp)ω2-(Kp1+…+Kpp+Ks1+Ks2+Ks3+Ks4)]A＝0 (7)
其中A＝{a-4，a-3，…，a8，a9}T，
Figure BDA0002469331600000041
…
Figure BDA0002469331600000042
Figure BDA0002469331600000043
Figure BDA0002469331600000044
Figure BDA0002469331600000045
作为优选，所述的步骤(8)中齐次线性方程组有非零解的条件是：方程组的系数行列式的值为零，从而得到频率方程。
本发明的有益效果：本方法给出的阶梯多段梁通用步骤解决了目前没有系统给出多段连续梁在弹性边界条件下固有频率的推导及计算，根据该方法可快速得到不同截面形状、不同分段材料及不同分段梁长的多段梁弯曲多阶固有频率值，应用前景广阔。
附图说明
下面结合附图和具体实施方式来详细说明本发明；
图1为本发明任意边界条件下连续多段梁模型示意图。
具体实施方式
为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。
参照图1，本具体实施方式采用以下技术方案：一种多段连续梁固有频率的计算方法，包括以下步骤：
(1)梁左、右两端分别设置位移弹簧和旋转弹簧，模拟多段阶梯梁任意边界条件；
(2)构造连续多段梁在整段上的横向位移函数，并由待定振型函数及一个待定振动频率的指数函数构成，振型函数由改进傅里叶级数形式来表示，而改进傅里叶级数是在传统傅里叶级数的基础上添加四个辅助函数；
(3)求出连续多段梁结构的应变能，所述的梁是伯努利-欧拉梁等直杆；
(4)求出连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能；
(5)求出连续多段梁的动能最大值；
(6)求出连续多段梁结构的拉格朗日函数；
(7)将位移函数的改进傅里叶级数形式代入拉格朗日方程；
(8)拉格朗日函数应对改进傅里叶级数中的各待定系数取极值，即令偏导数为零，可得齐次线性方程组；
(9)对所得的线性方程组转化为矩阵形式；
(10)由Mathematica软件求解标准矩阵特征值问题，得到各阶固有圆频率值。
左端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为为k1和K1，右端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为k2和K2；当边界条件为固定边界时，需将位移弹簧和旋转弹簧刚度值同时设为无穷大，这里取1013；当边界条件为自由边界时，将位移弹簧和旋转弹簧刚度值取零即可；当边界条件为简支边界时，需将位移弹簧取1013，旋转弹簧刚度值为0；而位移弹簧和旋转弹簧刚度系数取有限值时，即可模拟弹性约束边界条件。
基于变量分离法假设多段连续梁的模态解的形式为
w(x，t)＝W(x)eiωt (4)
其中i是虚数单位，W(x)为振型函数，ω是多段连续梁的固有频率。
振型函数W(x)的形式为
Figure BDA0002469331600000061
式中，x∈[0,L]，ai(i＝-4，-3，…，9)为待定常数，λn＝nπ/L。
连续多段梁结构的应变能由每段的应变能组成
Figure BDA0002469331600000062
每段的应变能如下：
Figure BDA0002469331600000063
Figure BDA0002469331600000064
…
梁总长度为L，一共分为p段，第i段的长度为Li，Vp为任意边界条件下连续多段梁结构的应变能，Ei为第i段梁的弹性模量，Ii为第i段梁的截面惯性矩。
连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能Vs：
Figure BDA0002469331600000071
连续多段梁的动能最大值
Figure BDA0002469331600000072
连续多段梁结构的拉格朗日函数
L＝Vmax-Tmax＝Vp+Vs-Tma。 (6)
拉格朗日函数逐项对待定系数ai(i＝-4，-3，…，9)求偏导，得到线性方程组：
[(M1+…+Mp)ω2-(Kp1+…+Kpp+Ks1+Ks2+Ks3+Ks4)]A＝0 (7)
其中A＝{a-4，a-3，…，a8，a9}T，
Figure BDA0002469331600000073
…
Figure BDA0002469331600000074
Figure BDA0002469331600000081
Figure BDA0002469331600000082
Figure BDA0002469331600000083
齐次线性方程组有非零解的条件是：方程组的系数行列式的值为零，从而得到频率方程。
本具体实施方式通过上述计算步骤可推导如下常见边界条件的多段阶梯梁的刚度矩阵和质量矩阵，并由解特征值问题得到各阶固有频率值：
(1)一端简支铰约束、一端固定端约束；
(2)一端简支铰约束、一端自由；
(3)一端固定端约束、一端自由；
(4)两端固定端约束；
(5)一端简支铰约束、一端线弹簧+扭转弹簧约束；
(6)一端固定端约束、一端线弹簧+扭转弹簧约束；
(7)两端均为线弹簧+扭转弹簧约束；
对于上述给定的一种边界条件的多段连续梁，得到其质量矩阵和刚度矩阵的表达式后，可任意改变梁的截面形状、截面尺寸、梁的总长及分段长度、分段材料参数等，利用Mathematica软件可以快速得到相应改变下多段连续梁的各阶圆频率值，解决了目前对给定弹性边界条件的不同长度、尺寸及材料的多段连续梁没有可以套用的各阶固有圆频率的计算公式或方法的问题。
实施例1：以图1所示的悬臂多段连续梁为例，给出其弯曲振动的质量矩阵、刚度矩阵，并通过矩阵特征值问题得到固有圆频率的计算，该方法适用于分段长度、不同截面形状及不同截面尺寸的悬臂多段梁。
如图1所示，梁总长度为L，一共分为2段，第1段的长度为L1，单位体积质量为ρ1，横截面面积为A1，截面惯性矩为I1，弹性模量为E1。第2段的长度为L2，单位体积质量为ρ2，横截面面积为A2，截面惯性矩为I2，弹性模量为E2。
设w(x，t)为多段连续梁距坐标原点x处的截面在t时刻的横向位移。
基于分离变量法，设模态解
w(x，t)＝W(x)eiωt (4)
令函数
Figure BDA0002469331600000091
Figure BDA0002469331600000092
Figure BDA0002469331600000101
Figure BDA0002469331600000102
Figure BDA0002469331600000103
Figure BDA0002469331600000104
线性方程组矩阵化为：
[(M1+M2)ω2-(Kp1+Kp2+Ks1+Ks2+Ks3+Ks4)]A＝0 (8)
其中A＝{a-4，a-3，…，a8，a9}T，由线性方程组有非零解的充要条件，应使方程组的系数行列式为零，得到频率方程
|(M1+M2)ω2-(Kp1+Kp2+Ks1+Ks2+Ks3+Ks4)|＝0 (9)
其中ω为待求的圆频率，矩阵M1、M2、Kp1、Kp2、Ks1、Ks2、Ks3、Ks4都需利用Mathematica软件建立。式(9)对应于矩阵的特征值问题，该矩阵特征值问题很复杂，人工无法直接求解。需利用Mathematica软件求解：
(1)选取截面为圆截面：设图1中左段梁L1直径为d1，横截面积A1＝πd2/4，轴惯性矩为I1＝π·d1 4/64，右段梁L2的直径为d2，横截面面积为A2＝πd2/4，轴惯性矩为I2＝π·d2 4/64。
①L1：L2取不同值时
第一段圆截面的直径d1＝40mm，第二段圆截面的直径d2＝30mm，双段梁的总长度L＝0.15，E1＝E2＝210GPa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3。悬臂边界条件下，第一段与第二段梁的长度L1和L2的比值取不同值时，该方法所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比，由表1可知，悬臂边界条件下多段梁的一阶自振频率随着第一段与第二段梁的长度L1和L2的比值的减小而不断增大，当接近L1＝L2时，会出现减小。
表1 C-F边界下双段梁的自振频率(rad/s)随L1/L2的变化
Figure BDA0002469331600000111
②d1：d2取不同值时
选取悬臂边界条件下截面为圆截面的双段梁，第一段梁的长度L1＝0.117m，第二段梁的长度L2＝0.033m。E1＝E2＝210GPa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3。悬臂边界条件下，第一段梁的圆截面直径d1＝0.04m，改变第一段梁与第二段梁圆截面直径d1和d2比值，本方法所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比，数据吻合。由表2可知，悬臂边界条件下多段梁的一阶自振频率随着第一段与第二段梁的圆截面直径d1和d2的比值的减小而不断减小。
表2 C-F边界下双段梁的固有频率随d1/d2的变化
Figure BDA0002469331600000121
③左右段取不同材料或不同抗弯刚度比时
选取悬臂边界条件下截面为圆截面的双段梁，第一段梁的长度L1＝0.117m，第二段梁的长度L2＝0.033m，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3，第一段梁的圆截面直径d1＝0.04m，第二段梁圆截面直径d2＝0.038m。悬臂边界条件下，当E1I1和E2I2的比值改变时，本文方法所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比，误差在允许范围之内。
表3 C-F边界下双段梁的固有频率(rad/s)随E1I1/E2I2的变化
Figure BDA0002469331600000122
(2)选取截面为矩形截面：设图1中左段梁L1的截面宽为b1，高为h1，横截面积A1＝b1h1,轴惯性矩为I1＝b1h1 3/12,右段梁L2的截面宽为b2，高为h2,横截面面积为A2＝b2h2,轴惯性矩为I2＝b2h2 3/12。
①L1：L2取不同值时
第一段矩形截面长和宽b1×h1＝40×30mm，第二段矩形截面长和宽b2×h2＝20×15mm，双段梁的总长度L＝0.15，E1＝E2＝210GPa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3。悬臂边界条件下，第一段与第二段梁的长度L1和L2的比值取不同值时，本方法所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比，数据吻合。由表4可知，悬臂边界条件下矩形截面多段梁的一阶自振频率随着第一段与第二段梁的长度L1和L2的比值的减小而不断增大，当接近L1＝L2时，会出现减小。
表4 C-F边界下双段矩形截面梁的固有频率随L1/L2的变化
Figure BDA0002469331600000131
②A1：A2取不同值时
选取悬臂边界条件下截面为矩形截面的双段梁，第一段梁的长度L1＝0.117m，第二段梁的长度L2＝0.033m。E1＝E2＝210GPa，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3。研究悬臂边界条件下，第一段矩形截面面积A1，第二段矩形截面面积A2的比值对矩形截面梁一阶自振频率的影响。所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比，数据吻合。由表5可知，悬臂边界条件下矩形截面多段梁一阶自振频率随着第一段与第二段梁面积A1和A2的比值的减小而不断减小。
表5 C-F边界下双段矩形截面梁的固有频率(rad/s)随A1/A2的变化
Figure BDA0002469331600000141
③左右段取不同材料或不同抗弯刚度比时
选取悬臂边界条件下截面为矩形截面的双段梁，第一段梁的长度L1＝0.117m，第二段梁的长度L2＝0.033m，ρ1＝ρ2＝7800kg/m3，b1×h1＝40×30mm，b2×h2＝20×15mm。悬臂边界条件下，当抗弯刚度E1I1和E2I2的比值改变时，本方法所得一阶频率与传统解析法的结果进行对比如表6所示，误差在允许范围之内。
表6 C-F边界下双段矩形截面梁的固有频率随E1I1/E2I2的变化
Figure BDA0002469331600000142
Figure BDA0002469331600000151
本具体实施方式不仅仅只局限于特定边界，对于任意弹性边界的梁都具有适用性，同时不仅适用于单段梁，对任意段梁都具有适用性，为工程应用中连续多段梁的振动特性分析提供了良好的参考价值，具有广阔的市场应用前景。
以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (10)

1.一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)梁左、右两端分别设置位移弹簧和旋转弹簧模拟任意边界条件；
(2)构造连续多段梁在整段上的横向位移函数，并由改进傅里叶级数形式来表示，即在传统傅里叶级数的基础上添加四个辅助函数；
(3)求出连续多段梁结构的应变能；
(4)求出连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能；
(5)求出连续多段梁的动能最大值；
(6)求出连续多段梁结构的拉格朗日函数；
(7)将位移函数的改进傅里叶级数形式代入拉格朗日方程；
(8)拉格朗日函数应对改进傅里叶级数中的各待定系数取极值，即令偏导数为零，可得齐次线性方程组；
(9)对所得的线性方程组转化为矩阵形式；
(10)求解标准矩阵特征值问题，得到固有频率。
2.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(1)中左端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为为k1和K1，右端边界的位移弹簧刚度和旋转弹簧刚度分别记为k2和K2；当边界条件为固定边界时，需将位移弹簧和旋转弹簧刚度值同时设为无穷大，这里取1013；当边界条件为自由边界时，将位移弹簧和旋转弹簧刚度值取零即可；当边界条件为简支边界时，需将位移弹簧取1013，旋转弹簧刚度值为0；而位移弹簧和旋转弹簧刚度系数取有限值时，即可模拟弹性约束边界条件。
3.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(2)中构造连续多段梁在整段上由改进傅里叶级数形式来表示的横向位移函数为
Figure FDA0002469331590000021
式中，x∈[0,L]，an为待定常数，λn＝nπ/L。
4.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(3)中连续多段梁结构的应变能为
Figure FDA0002469331590000022
梁总长度为L，一共分为p段，第i段的长度为Li，Vp为任意边界条件下连续多段梁结构的应变能，Ei为第i段梁的弹性模量，Ii为第i段梁的截面惯性矩。
5.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(4)中连续多段梁结构边界处模拟弹簧的弹性势能Vs：
Figure FDA0002469331590000023
6.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(2)中基于变量分离法假设多段连续梁的模态解的形式为
w(x，t)＝W(x)eiωt (4)
其中i是虚数单位，ω是多段连续梁的固有频率。
7.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(5)中连续多段梁的动能最大值
Figure FDA0002469331590000024
8.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(6)中连续多段梁结构的拉格朗日函数
L＝Vmax-Tmax＝Vp+Vs-Tmax。 (6)
9.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述步骤(8)中拉格朗日函数逐项对待定系数ai(i＝-4，-3，…，9)求偏导，得到线性方程组：
[(M1+…+Mp)ω2-(Kp1+…+Kpp+Ks1+Ks2+Ks3+Ks4)]A＝0 (7)
其中A＝{a-4，a-3，…，a8，a9}T，
Figure FDA0002469331590000031
Figure FDA0002469331590000041
10.根据权利要求1所述的一种多段连续梁固有频率的计算方法，其特征在于，所述的步骤(8)中齐次线性方程组有非零解的条件是：方程组的系数行列式的值为零，从而得到频率方程。
CN202010343754.2A 2020-04-27 2020-04-27 一种多段连续梁固有频率的计算方法 Active CN111611693B (zh)

Priority Applications (2)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202010343754.2A CN111611693B (zh) 2020-04-27 2020-04-27 一种多段连续梁固有频率的计算方法
US17/152,247 US20210334423A1 (en) 2020-04-27 2021-01-19 Method for calculation of natural frequency of multi-segment continuous beam

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN202010343754.2A CN111611693B (zh) 2020-04-27 2020-04-27 一种多段连续梁固有频率的计算方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN111611693A true CN111611693A (zh) 2020-09-01
CN111611693B CN111611693B (zh) 2024-03-19

Family

ID=72198156

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN202010343754.2A Active CN111611693B (zh) 2020-04-27 2020-04-27 一种多段连续梁固有频率的计算方法

Country Status (2)

Country Link
US (1) US20210334423A1 (zh)
CN (1) CN111611693B (zh)

Cited By (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111259470A (zh) * 2020-01-13 2020-06-09 河海大学 任意变截面梁式构件的固有频率检测方法
CN112926222A (zh) * 2021-03-29 2021-06-08 苏州科技大学 一种起重机n阶伸缩臂架临界载荷的确定方法
CN113779847A (zh) * 2021-09-22 2021-12-10 宁波工程学院 一种u形加劲板在轴心受压作用下的稳定承载力计算方法
CN117454718A (zh) * 2023-12-05 2024-01-26 重庆大学 一种考虑任意边界条件下识别桥梁频率的车辆扫描方法
CN117556510A (zh) * 2023-11-24 2024-02-13 招商局重庆交通科研设计院有限公司 一种考虑梁任意边界条件下的车桥耦合动力响应分析方法

Families Citing this family (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN116384162B (zh) * 2023-06-05 2023-08-08 华东交通大学 基于虚拟弹簧模型的轨道结构复能带计算方法及电子设备
CN116384205B (zh) * 2023-06-05 2023-08-11 华东交通大学 基于能量法和高斯消去法的周期性轨道结构带隙计算方法
CN117171864B (zh) * 2023-11-02 2024-02-20 鲁东大学 一种梁结构线性振动预测方法

Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
EP2120034A1 (en) * 2008-05-16 2009-11-18 Vrije Universiteit Brussel Method and apparatus for providing an optimal test panel for the non-destructive measurement of elastic properties of structural materials
CN104778377A (zh) * 2015-05-04 2015-07-15 中国矿业大学 一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法
CN105740541A (zh) * 2016-01-29 2016-07-06 厦门大学 一种基于结构动力学模型修正的预应力识别方法
CN107808048A (zh) * 2017-10-26 2018-03-16 哈尔滨工程大学 一种均匀截面梁结构的振动分析方法
CN107808038A (zh) * 2017-10-12 2018-03-16 宁波大学 一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法
JP2019194747A (ja) * 2018-05-01 2019-11-07 公益財団法人鉄道総合技術研究所 鉄道複線桁のねじり振動評価方法

Patent Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
EP2120034A1 (en) * 2008-05-16 2009-11-18 Vrije Universiteit Brussel Method and apparatus for providing an optimal test panel for the non-destructive measurement of elastic properties of structural materials
CN104778377A (zh) * 2015-05-04 2015-07-15 中国矿业大学 一种组合梁弯曲振动的固有频率分析方法
CN105740541A (zh) * 2016-01-29 2016-07-06 厦门大学 一种基于结构动力学模型修正的预应力识别方法
CN107808038A (zh) * 2017-10-12 2018-03-16 宁波大学 一种任意边界约束条件拉索横向振动频率的求解方法
CN107808048A (zh) * 2017-10-26 2018-03-16 哈尔滨工程大学 一种均匀截面梁结构的振动分析方法
JP2019194747A (ja) * 2018-05-01 2019-11-07 公益財団法人鉄道総合技術研究所 鉄道複線桁のねじり振動評価方法

Non-Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
鲍四元: "不同截面形状下弹性支撑多跨梁振动特性分析" *

Cited By (8)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111259470A (zh) * 2020-01-13 2020-06-09 河海大学 任意变截面梁式构件的固有频率检测方法
CN111259470B (zh) * 2020-01-13 2022-11-04 河海大学 任意变截面梁式构件的固有频率检测方法
CN112926222A (zh) * 2021-03-29 2021-06-08 苏州科技大学 一种起重机n阶伸缩臂架临界载荷的确定方法
CN112926222B (zh) * 2021-03-29 2022-02-11 苏州科技大学 一种起重机n阶伸缩臂架临界载荷的确定方法
CN113779847A (zh) * 2021-09-22 2021-12-10 宁波工程学院 一种u形加劲板在轴心受压作用下的稳定承载力计算方法
CN117556510A (zh) * 2023-11-24 2024-02-13 招商局重庆交通科研设计院有限公司 一种考虑梁任意边界条件下的车桥耦合动力响应分析方法
CN117454718A (zh) * 2023-12-05 2024-01-26 重庆大学 一种考虑任意边界条件下识别桥梁频率的车辆扫描方法
CN117454718B (zh) * 2023-12-05 2024-05-31 重庆大学 一种考虑任意边界条件下识别桥梁频率的车辆扫描方法

Also Published As

Publication number Publication date
CN111611693B (zh) 2024-03-19
US20210334423A1 (en) 2021-10-28

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN111611693A (zh) 一种多段连续梁固有频率的计算方法
Pagani et al. Exact dynamic stiffness elements based on one-dimensional higher-order theories for free vibration analysis of solid and thin-walled structures
CN205154998U (zh) 多自由度被动隔振平台
Kang et al. Vibration analysis of shear deformable circular arches by the differential quadrature method
CN106051022B (zh) 一种液力忆惯容器装置及其应用
CN102825613B (zh) 一种基于可控局部自由度的主动减振方法与装置
Luo et al. Exact closed-form solution for free vibration of Euler-Bernoulli and Timoshenko beams with intermediate elastic supports
Lu et al. Internal resonance and stress distribution of pipes conveying fluid in supercritical regime
CN101603855A (zh) 汽轮发电机组轴系扭振的分析方法
CN102653315B (zh) 一种提高无轴承旋翼气弹稳定性的装置及其设计方法
Wang et al. Modeling and parameter analysis of in-plane dynamics of a suspension bridge with transfer matrix method
Yoo et al. Flapwise bending vibration analysis of rotating multi-layered composite beams
CN105426641A (zh) 基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法
Jun et al. Free bending vibration of a multi-step rotor
Patil et al. Buckling and vibration of beams using Ritz method: effects of axial grading of GPL and axially varying load
CN109783836A (zh) L型压电能量采集器的非线性模型建立与验证分析方法
CN115618503A (zh) 一种舵翼类结构增材工艺仿真及工艺优化方法
CN109902357B (zh) 一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法
CN106053011B (zh) 带刚度可调节u型弹簧片的圆管输电塔气弹性模型
CN110516384A (zh) 一种多输入多输出齿轮传动系统动力学建模方法
JP2008129726A (ja) 回転構造体の設計装置および設計方法
Srinath et al. Instability of asymmetric continuous shaft system
Zhong et al. Generalized Differential Quadrature Method for Free Vibration Analysis of a Rotating Composite Thin‐Walled Shaft
CN216768794U (zh) 一种单自由度刚性隔振恒力机构
CN108138786A (zh) 用于将叶片连接到工业轴流风机中的轮毂的连接元件和包括所述连接元件的叶片系统

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant