CN105426641A - 基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法，用于解决现有简谐载荷下的结构拓扑优化方法实用性差的技术问题。技术方案是采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，结合模态加速度法来计算结构位移响应，然后以结构指定位置位移响应最小为目标，以结构质量为约束进行设计。本发明方法实现了多点加速度简谐激励，得到清晰有效的结构构型，从而满足工程中考虑多点加速度加载的设计需求。经过实施例203步迭代后得到优化设计结果。初始结构指定自由度r＝204的位移响应幅值为1.8215m，优化得到结构的指定自由度r＝204的位移响应幅值为0.4138m，位移响应幅值降幅达到77.28％。

Description

基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种简谐载荷下的结构拓扑优化方法，特别涉及一种基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法。

背景技术

在航空航天、汽车制造、日常家电等领域，存在大量旋转类机械，如发动机、螺旋桨、机械加工机床、洗衣机等，旋转机械工作时旋转部件产生的周期性旋转激励即为简谐类型激励，该激励对结构的正常工作产生很大影响，甚至使结构破坏。因此在结构构型设计时考虑结构在简谐激励下的性能表现非常重要。

文献“LiuH,ZhangW.H.,GaoT.Acomparativestudyofdynamicanalysismethodsforstructuraltopologyoptimizationunderharmonicforceexcitations.StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2014,51(6):1321-1333.”公开了一种简谐载荷下的结构拓扑优化方法。文献中对比了三种常用的简谐响应计算方法，分别为完全法、模态位移法(MDM)和模态加速度法(MAM)，指出对于大自由度结构和激励频率很高的情况下，模态位移法的模态截断误差会明显增加，导致优化的失败；模态加速度法在模态位移法的基础上额外进行一次静力分析，对模态位移法进行修正，通过分析说明模态加速度法在自由度很大和高频激励情况下计算精度仍然很高，并且计算效率也能得到保证；完全法为精确解法，但对于多频激励情况下，该方法计算效率急剧下降，因此只适用于单频激励。

文献公开的方法虽然能够实现简谐激励结构拓扑优化，但是由于其激励是施加在单个点的力类型激励，不能施加多点加速度简谐激励。

发明内容

为了克服现有简谐载荷下的结构拓扑优化方法实用性差的不足，本发明提供一种基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法。该方法采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，结合模态加速度法来计算结构位移响应，然后以结构指定位置位移响应最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度简谐激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、建立有限元模型，在拟施加激励位置处的所有节点上施加大质量点，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数，表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量，给定材料密度ρ和杨氏模量E，给定质量约束上限大质量点取结构重量的10⁷倍。

步骤二、设置激励载荷，给出加速度激励的等效力激励f(t)，载荷的激励频段为 ω表示激励角频率的下限值，表示激励角频率的上限值。根据大质量法原理存在下式：

$\left[\begin{array}{cc}{M}_{ss}& M_{sb}\\ M_{bs}& M_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\mathrm{..}}{U_s}\\ \stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{ss}& C_{sb}\\ C_{bs}& C_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{U_s}\\ \stackrel{.}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_{ss}& K_{sb}\\ K_{bs}& K_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_s\\ U_b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ M_{bb}\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}=f\left(t\right)---\left(1\right)$

其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标b表示结构支撑处的自由度，M_bb是基底大质量矩阵，为地震动加速度，f(t)为等效力载荷向量。将式(1)的第2行展开，得下式：

$M_{bs}{\stackrel{\·\·}{U}}_s+M_{bb}{\stackrel{\·\·}{U}}_b+C_{bs}{\stackrel{\·}{U}}_s+C_{bb}{\stackrel{\·}{U}}_b+K_{bs}{U}_s+K_{bb}{U}_b=M_{bb}\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}---\left(2\right)$

将(2)式左右两端左乘M_bb ^-1，由于M_bb ^-1中对角元素趋近于零，得基础激励处的加速度：

$\stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\≈\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}---\left(3\right)$

步骤三、根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝ρη_h(4)

$E_h=\frac{15{{\mathrm{\η}}_h}^5+{\mathrm{\η}}_h}{16}E---\left(5\right)$

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析。

步骤四、从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵k_h和质量矩阵E_h，结构的前l阶模态频率值ω_i，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目，设结构前l阶阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

${\mathrm{\ξ}}_i=\frac{\mathrm{\α}+{\mathrm{\β\ω}}_i^2}{2{\mathrm{\ω}}_i}---\left(6\right)$

α与β为Rayleigh阻尼系数。

采用模态加速度法计算结构在简谐激励Fe^jωt下，自由度r的位移响应公式为

式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r相对基础点的相对位移。式中，a为n维列向量，只有第r项为1，其余项均为0。为的第i列，F为n维载荷列向量，e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1。上式中

H_i＝(ω² _i-ω²+2jξ_iω_iω)^-1(8)

x＝K^-1F(9)

式中，K为结构有限元整体刚度矩阵。x是静力载荷F下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算。

步骤五、定义拓扑优化模型：

$\begin{array}{ccc}find& 0<\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\&le;{\mathrm{\&eta;}}_h\&le;1& h=1,2,\mathrm{3...}{N}_h\\ \min & {\&Integral;}_{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\left|\right|x_r\left(t\right)\left|\right|d\mathrm{\&omega;}& \\ s.t& M\&le;\stackrel{\&OverBar;}{M}& \end{array}---\left(10\right)$

式中，η为设计变量下限值，取0.001。||x_r(t)||表示自由度r的位移响应幅值。自由度r的位移响应幅值||x_r(t)||的积分由高斯积分求得。M表示结构质量。

步骤六、将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。

本发明的有益效果是：该方法采用大质量法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，结合模态加速度法来计算结构位移响应，然后以结构指定位置位移响应最小为目标，以结构质量为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法可以实现多点加速度简谐激励，不局限于对结构进行单点加载。最终能够设计得到清晰有效的结构构型，从而能满足工程实际中考虑多点加速度加载的设计需求。本发明方法经过实施例203步迭代后得到设计结果。初始结构指定自由度r＝204的位移响应幅值为1.8215m，设计得到结构的指定自由度r＝204的位移响应幅值为0.4138m，位移响应幅值降幅达到77.28％。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法实施例中几何模型与边界条件示意图。

图2是本发明方法实施例的设计结果图。

图中，1、3、5、7、9、11-大质量点；2、4、6、8、10、12-施加在对应点竖直方向的载荷。

具体实施方式

参照图1-2。本发明基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法具体步骤如下：

(a)建立设计空间有限元模型：将长宽厚分别为0.8m，0.4m和0.001m的矩形平面结构划分为80×40的正方形网格，在结构左边界所有节点上施加质量为3×10⁷kg的大质量点，约束结构左边界除竖直方向以外的所有自由度。设置拓扑设计变量η_h初始值均为0.5。结构单元总数目N_h＝3200。给定材料密度ρ＝7800kg/m³，杨氏模量E＝200GPa，质量约束上限

(b)设置激励载荷为作用在结构左边界施加大质量点处所有节点竖直向上的简谐载荷f(t)＝Fe^jωt，结构共有p＝41个力载荷，大小均为5×10¹⁰N，则载荷向量F中仅有41项为5×10¹⁰，其余项为0。载荷的激励频段为[0,2513]rad/s。根据大质量法原理存在下式：

$\left[\begin{array}{cc}{M}_{ss}& M_{sb}\\ M_{bs}& M_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\mathrm{..}}{U_s}\\ \stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{ss}& C_{sb}\\ C_{bs}& C_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{U_s}\\ \stackrel{.}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_{ss}& K_{sb}\\ K_{bs}& K_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_s\\ U_b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ M_{bb}\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}=f\left(t\right)---\left(1\right)$

其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标b表示结构支撑处的自由度，M_bb是基底大质量矩阵，为基础激励(地震动加速度)，f(t)为等效载荷向量。将式(11)的第2行展开，得下式：

$M_{bs}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{U}}_s+M_{bb}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{U}}_b+C_{bs}{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_s+C_{bb}{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_b+K_{bs}{U}_s+K_{bb}{U}_b=M_{bb}\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}---\left(2\right)$

将(12)式左右两端左乘M_bb ^-1，由于M_bb ^-1中对角元素趋近于零，可得基础激励处的加速度：

$\stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\&ap;\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}---\left(3\right)$

这样就将简谐加速度载荷等效为简谐力载荷施加到结构上了。

(c)根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝ρη_h(4)

$E_h=\frac{15{{\mathrm{\&eta;}}_h}^5+{\mathrm{\&eta;}}_h}{16}E---\left(5\right)$

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析。

(d)从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵k_h和质量矩阵E_h，结构的前l＝30阶模态频率值ω_i，模态振型为n＝6642行l＝30列矩阵。设结构前l＝30阶模态的阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

${\mathrm{\&xi;}}_i=\frac{\mathrm{\&alpha;}+{\mathrm{\&beta;\&omega;}}_i^2}{2{\mathrm{\&omega;}}_i}---\left(6\right)$

Rayleigh阻尼系数α＝0.01与β＝0.00001。

采用模态加速度法计算结构在简谐激励f(t)＝Fe^jωt下，自由度r＝204(右端中点竖直方向对应的自由度)位移响应公式为

式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r＝204相对基础点的相对位移。式中a为6642维列向量，只有第r＝204项为1，其余项均为0。为的第i列，F为6642维列向量，f(t)中共有41个力分别施加在结构左端节点竖直向上自由度上，因此，F中只有该41个自由度上的值为5×10¹¹，其余元素的值均为0。e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1。(17)式中

H_i＝(ω² _i-ω²+2jξ_iω_iω)^-1(8)

x＝K^-1F(9)

式中K为结构有限元整体刚度矩阵。x是静力载荷F下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算。

(e)定义拓扑优化模型：

$\begin{array}{ccc}find& 0<\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&eta;}}\&le;{\mathrm{\&eta;}}_h\&le;1& h=1,2,\mathrm{3...}{N}_h\\ \min & {\&Integral;}_0^{2513}\left|\right|x_r\left(t\right)\left|\right|d\mathrm{\&omega;}& \\ s.t& M\&le;1.248kg& \end{array}---\left(10\right)$

式中η为设计变量下限值，取0.001。||x_r(t)||表示自由度r＝204的位移响应幅值。自由度r＝204的位移响应幅值||x_r(t)||的积分由高斯积分求得。M表示结构质量。

(f)将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。

本发明方法经过实施例203步迭代后得到设计结果。初始结构指定自由度r＝204的位移响应幅值为1.8215m，设计得到结构的指定自由度r＝204的位移响应幅值为0.4138m，位移响应幅值降幅达到77.28％。由图2可见设计得到的结构构型有效。本实施例中将载荷由背景文献中的单点力加载变化为更加符合实际情况的多点加速度载荷，能更好地模拟工程实际中的受载情况。本实施例表明了本发明方法在处理多点加速度激励下结构设计问题上的有效性。

Claims (1)

1.一种基于大质量法的简谐加速度激励下结构拓扑优化设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、建立有限元模型，在拟施加激励位置处的所有节点上施加大质量点，设置拓扑设计变量η_h初始值，h是正整数，表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示结构单元总数量，给定材料密度ρ和杨氏模量E，给定质量约束上限大质量点取结构重量的10⁷倍；

步骤二、设置激励载荷，给出加速度激励的等效力激励f(t)，载荷的激励频段为 ω表示激励角频率的下限值，表示激励角频率的上限值；根据大质量法原理存在下式：

$\left[\begin{array}{cc}{M}_{ss}& M_{sb}\\ M_{bs}& M_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\mathrm{..}}{U_s}\\ \stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{C}_{ss}& C_{sb}\\ C_{bs}& C_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{U_s}\\ \stackrel{.}{U_b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{K}_{ss}& K_{sb}\\ K_{bs}& K_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_s\\ U_b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ M_{bb}\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}=f\left(t\right)---\left(1\right)$

其中，M、C、K分别表示质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，U分别表示加速度、速度、位移，下标s表示结构非支撑处的自由度，下标b表示结构支撑处的自由度，M_bb是基底大质量矩阵，为地震动加速度，f(t)为等效力载荷向量；将式(1)的第2行展开，得下式：

$M_{bs}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{U}}_s+M_{bb}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{U}}_b+C_{bs}{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_s+C_{bb}{\stackrel{\&CenterDot;}{U}}_b+K_{bs}{U}_s+K_{bb}{U}_b=M_{bb}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{U}}_g---\left(2\right)$

将(2)式左右两端左乘M_bb ^-1，由于M_bb ^-1中对角元素趋近于零，得基础激励处的加速度：

$\stackrel{\mathrm{..}}{U_b}\&ap;\stackrel{\mathrm{..}}{U_g}---\left(3\right)$

步骤三、根据当前设计变量值，采用以下材料插值模型分别计算每一个有限元单元的材料密度ρ_h和杨氏模量E_h

ρ_h＝ρη_h(4)

$E_h=\frac{15{{\mathrm{\&eta;}}_h}^5+{\mathrm{\&eta;}}_h}{16}E---\left(5\right)$

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；

步骤四、从有限元分析结果中提取每个单元的刚度矩阵k_h和质量矩阵E_h，结构的前l阶模态频率值ω_i，1≤i≤l，模态振型为n行l列矩阵，n为结构总自由度数目，设结构前l阶阻尼比为ξ_i，ξ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

${\mathrm{\&xi;}}_i=\frac{\mathrm{\&alpha;}+{\mathrm{\&beta;\&omega;}}_i^2}{2{\mathrm{\&omega;}}_i}---\left(6\right)$

α与β为Rayleigh阻尼系数；

采用模态加速度法计算结构在简谐激励Fe^jωt下，自由度r的位移响应公式为

式中不考虑结构刚体模态，计算所得位移为自由度r相对基础点的相对位移；式中，a为n维列向量，只有第r项为1，其余项均为0；为的第i列，F为n维载荷列向量，e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1；上式中

H_i＝(ω² _i-ω²+2jξ_iω_iω)^-1(8)

x＝K^-1F(9)

式中，K为结构有限元整体刚度矩阵；x是静力载荷F下的相对位移向量，利用惯性释放分析计算；

步骤五、定义拓扑优化模型：

find0＜η≤η_h≤1h＝1,2,3...N_h

$\begin{array}{cc}min& {\&Integral;}_{\underset{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}^{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&omega;}}}\left|\right|x_r\left(t\right)\left|\right|d\mathrm{\&omega;}\end{array}---\left(10\right)$

$\begin{array}{cc}s.t& M\&le;\stackrel{\&OverBar;}{M}\end{array}$

式中，η为设计变量下限值，取0.001；||x_r(t)||表示自由度r的位移响应幅值；自由度r的位移响应幅值||x_r(t)||的积分由高斯积分求得；M表示结构质量；

步骤六、将模型进行一次有限元分析；通过优化灵敏度分析，求得目标函数和约束条件的灵敏度，选取梯度优化算法进行优化设计，得到优化结果。