CN108897935A - 面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法，该方法使用能量法来计算单胞结构的等效力学性能，依据载荷的不同选取适合的单胞构型；采用多点约束(Multi‑point constraints，MPC)连接集中质量将多点加速度激励转化为力激励，结合模态位移法来计算结构位移响应；最后考虑增材制造工艺的最小制造尺寸约束，以点阵指定位置位移响应最小为目标进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法对点阵单胞结构的力学性能进行了等效，并且考虑了点阵结构的动力学响应特性，可以实现对给定结构构型点阵进行设计，从而满足工程应用需求。

Description

面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法

技术领域

本发明涉及一种点阵结构动力学响应优化设计方法，特别涉及一种面向增材制造的点阵结构的动力学响应优化设计方法。

背景技术

在航空航天、汽车工业等领域，存在大量旋转类机械，如发动机、螺旋桨、机械加工机床、洗衣机等，旋转机械工作时旋转部件产生的周期性简谐激励常常对结构的正常工作产生很大的影响，使结构发生破坏，结构动力学响应是重要的设计要求。点阵结构具有孔隙率高，比强度和比模量高的特性，对抑制振动响应效果明显，增材制造解决了大规模点阵结构的制造工艺难题，因此点阵结构的动力学性能设计十分重要。

文献“Gorguluarslan,R.M.,et al.(2017).An improved lattice structuredesign optimization framework considering additive manufacturingconstraints."Rapid Prototyping Journal 23(2):305-319.”公开了一种考虑增材制造约束的点阵结构设计优化方法。文献公开的方法对点阵单胞结构的静刚度进行了比较，没有对单胞结构的力学性能进行等效；文献采用静力学优化方法对点阵结构进行优化设计，设计结果满足结构静刚度的要求，但是无法针对结构的动力学性能进行优化设计。

发明内容

为了克服现有面向增材制造点阵结构优化设计方法无法进行动力学优化的不足，本发明提供了一种面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法。该方法使用能量法来计算单胞结构的等效力学性能，依据载荷的不同选取适合的单胞构型；采用多点约束(Multi-point constraints，MPC)连接集中质量将多点加速度激励转化为力激励，结合模态位移法来计算结构位移响应；最后考虑增材制造工艺的最小制造尺寸约束，以点阵指定位置位移响应最小为目标进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法对点阵单胞结构的力学性能进行了等效，并且考虑了点阵结构的动力学响应特性，可以实现对给定结构构型点阵进行设计，从而满足工程应用需求。

本发明的技术方案为：

所述一种面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立不同种类的点阵单胞结构的几何模型及其有限元模型；根据各个种类的点阵单胞结构的有限元模型，使用能量法理论，对其力学性能分别进行等效，求出与之对应的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e；

步骤2、建立设计空间有限元模型，选择步骤1中某一种类点阵单胞结构的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e作为设计空间有限元模型中各个单元的材料属性；在拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，计算设计空间指定位置的位移响应；

步骤3：重复步骤2，得到步骤1中所有种类点阵单胞结构对应的位移响应，选择位移响应最小所对应的点阵单胞结构作为设计单胞；

步骤4：采用步骤3得到的设计单胞建立设计空间的点阵结构有限元模型，将每个单胞都用梁单元进行建模，设置梁单元半径尺寸优化变量R_h初始值，h是正整数，表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示梁单元总数量，给定材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，给定梁单元总体积约束上限

步骤5：依据步骤4所建立的设计空间点阵结构有限元模型，在设计空间拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，将加速度激励载荷施加到节点上，得到设计空间点阵结构在该激励载荷下的模态特征值和模态振型；所述加速度激励载荷根据公式

得到，其中为结构加速度，为地震激励加速度；

步骤6：从设计空间点阵结构有限元模型中，提取梁单元的长度、半径、材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，组装局部坐标系下的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀；再将局部坐标系下的刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀转换到全局坐标系下；

步骤7：根据步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，提取设计空间点阵结构的前k阶模态特征值ω_i，1≤i≤k，以及模态振型向量为n行的一维列向量，n为结构总自由度数目，并根据公式

计算设计空间点阵结构的前k阶模态阻尼比ζ_i，ζ_i为Rayleigh阻尼，α、β为Rayleigh阻尼系数；

根据公式

计算自由度r的位移响应x_r(t)，其中为的第i行，F为n维载荷列向量，ejωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1；H_i＝(ω_i ²-ω²+2jζ_iω_iω)^-1；

步骤8、定义优化模型：

find:R_min≤R_h≤R_max h＝1,2,3…N_h

min:||x_r(t)||

其中R_min取增材制造能够制造的最小尺寸；R_max取L为梁单元的长度；||x_r(t)||表示自由度r的位移响应幅值；V表示设计空间点阵结构的体积；

步骤9、根据步骤6得到的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀，以及步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，对梁单元优化变量进行灵敏度分析，得到步骤8定义的优化模型的灵敏度，选取梯度优化算法对优化变量进行优化设计，得到优化结果。

有益效果

本发明的有益效果是：该方法采用能量法对单胞结构的力学性能进行等效，选取等效力学性能求得的响应最小的Octa单胞进行优化设计，同时考虑增材制造工艺的制造尺寸约束对结构进行设计，动力学计算采用MPC单元连接质量点的方法将多点加速度激励转化为力激励施加到结构上，结合模态位移法来计算结构位移响应，然后以结构指定位置响应最小为目标，以结构体积为约束进行设计。相比背景技术的设计方法，本发明方法对单胞的力学性能进行等效计算，利用点阵结构的承载性和减振性，结合增材制造的新型技术，对点阵结构进行设计，最终设计得到清晰的结构构型，满足工程实际中的承载性能和动力学性能设计需求。

本发明方法经过实施例100步迭代后得到优化设计结果。在激励频率为160Hz的简谐加速度载荷下，初始结构指定位置的位移响应幅值为5.124e-6mm，优化得到的结构该节点竖直方向位移响应幅值为1.049e-6mm，位移响应幅值降幅达到80.5％。对比参考文献的设计方法优化出的结构在相同的激励频率下同一个参考点的位移响应幅值为1.411e-6mm，本发明方法的是优于参考文献的设计方法。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1从左到右分别是BC、FCC、Octa、Octet单胞示意图。

图2是本发明方法实施例中有限元模型与边界条件示意图。

图3是本发明方法实施例中所用到的点阵结构单胞示意图。

图4是本发明方法实施例的设计结果图。

图5是参考文献方法实施例的设计结果图。

图6、图7、图8分别是结构的俯视图、左视图、和轴测视图。

图中，1-质量点；2-施加在该点竖直方向的载荷；3-初始设计均匀单胞结构；4-目标响应节点；6、7、9、11、13表示优化得到的横截面尺寸较低的单元，5、8、10、12、14表示优化得到的横截面尺寸较高的单元；15-结构的自由度约束；16-表示参考文献优化方法载荷点。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

本实施例中的面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法，包括以下步骤：

步骤1：建立不同种类的点阵单胞结构的几何模型及其有限元模型；根据各个种类的点阵单胞结构的有限元模型，使用能量法理论，对其力学性能分别进行等效，求出与之对应的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e。

本实施例中，建立BC、FCC、Octa、Octet单胞的有限元模型，单胞尺寸为5mm，孔隙率为85％，材料的杨氏模量E＝210GPa，泊松比μ＝0.3；计算得到的单胞等效力学属性如下表所示。

步骤2、建立设计空间有限元模型，选择步骤1中某一种类点阵单胞结构的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e作为设计空间有限元模型中各个单元的材料属性；在拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，计算设计空间指定位置的位移响应。

步骤3：重复步骤2，得到步骤1中所有种类点阵单胞结构对应的位移响应，选择位移响应最小所对应的点阵单胞结构作为设计单胞。

本实施例中，建立设计空间有限元模型，将长、宽、厚分别为0.2m，0.1m和0.02m的长方体结构划分为25600个实体单元，将等效得到的单胞属性赋给设计空间有限元模型进行响应计算，得到对应单胞的响应如上表所示，根据响应计算结果选择Octa单胞进行后续优化设计。

步骤4：采用步骤3得到的设计单胞建立设计空间的点阵结构有限元模型，将每个单胞都用梁单元进行建模，设置梁单元半径尺寸优化变量R_h初始值，h是正整数，表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示梁单元总数量，给定材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，给定梁单元总体积约束上限V。

本实施例中，建立设计空间有限元模型，将长、宽、厚分别为0.2m，0.1m和0.02m的长方体结构离散为由400个0.01m大小的单胞组成的结构，在结构的左边界0.01m处建立大质量点，用MPC多点约束将大质量点和结构左边界所有节点连接，约束大质量点除竖直方向的所有自由度。设置尺寸优化的初始值R_h＝0.7mm，结构单元总数目N_h＝4800。给定的材料密度杨氏模量E＝210GPa，体积约束上限

步骤5：依据步骤4所建立的设计空间点阵结构有限元模型，在设计空间拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，将加速度激励载荷施加到节点上，得到设计空间点阵结构在该激励载荷下的模态特征值和模态振型；所述加速度激励载荷根据公式

得到，其中为结构加速度，为地震激励加速度。

本实施例中，设置激励载荷为作用在大质量点处节点竖直向上的简谐载荷f(t)＝Fe^jωt，通过MPC多点约束将施加在大质量点上的简谐载荷传递到结构左边界的p＝20个节点上，大小均等于施加在大质量点上的载荷值5000N，则载荷向量F中仅有20项为5000，其余项为0。载荷的激励频率为160Hz。根据大质量法原理存在以下公式：

其中，M、C、K分别表示质量矩、阵阻尼矩阵和刚度矩阵，X分别表示加速度、速度和位移，下标f表示结构非支撑处的自由度，下标s表示结构支撑处的自由度，M_ss为基底大质量矩阵，为地震加速度，f(t)为等效力载荷向量；将上式的第2行展开，得下式：

左右两端同时左乘M_ss ^-1，由于质量矩阵M_ss为对角矩阵，所以M_ss ^-1中对角线上的元素趋近于零，得到基础激励处的加速度：

这样就将简谐加速度载荷施等效为力载荷施加到结构上了。

步骤6：从设计空间点阵结构有限元模型中，提取梁单元的长度、半径、材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，组装局部坐标系下的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀；再将局部坐标系下的刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀转换到全局坐标系下。

本实施例中，组装局部坐标系下的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀，建立绕Z轴旋转的坐标变换矩阵λ₀₁和绕Y轴旋转的坐标变换矩阵λ₀₂，将局部坐标系下的刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀转换到全局坐标系下，如下式：

K＝λ₀₂ ^Tλ₀₁ ^TK₀λ₀₁λ₀₂

M＝λ₀₂ ^Tλ₀₁ ^TM₀λ₀₁λ₀₂

式中α、β分别是梁单元与XY平面夹角和XY平面夹角，K和M分别是梁单元在全局坐标系下的刚度和质量矩阵。

步骤7：根据步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，提取设计空间点阵结构的前k阶模态特征值ω_i，1≤i≤k，以及模态振型向量为n行的一维列向量，n为结构总自由度数目，并根据公式

计算设计空间点阵结构的前k阶模态阻尼比ζ_i，ζ_i为Rayleigh阻尼，α、β为Rayleigh阻尼系数；

根据公式

计算自由度r的位移响应x_r(t)，其中为的第i行，F为n维载荷列向量，e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1；H_i＝(ω_i ²-ω²+2jζ_iω_iω)^-1。

本实施例中，提取结构的前k＝30阶模态频率特征值ω_i，模态振型向量为8766行的列向量，设结构前k＝30阶模态阻尼比为ζ_i，ζ_i为Rayleigh阻尼，按下式计算：

Rayleigh阻尼系数α＝0.001与β＝0.00001；

采用模态位移法计算结构在简谐激励f(t)＝Fe^jωt下，目标节点竖直方向的位移响应公式为

式中不考虑结构的刚体模态，计算所得位移为目标节点竖直方向对集中质量点的相对位移；式中r为目标节点竖直方向的自由度编号，为的第i列，F为8766维载荷列向量，e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1。

步骤8、定义优化模型：

find:R_min≤R_h≤R_max h＝1,2,3…N_h

min:||x_r(t)||

其中R_min取增材制造能够制造的最小尺寸0.2mm；R_max取即R_max＝1.5mm，L为梁单元的长度；||x_r(t)||表示自由度r的位移响应幅值；V表示设计空间点阵结构的体积；表示体积约束上限

步骤9、根据步骤6得到的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀，以及步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，对梁单元优化变量进行灵敏度分析，得到步骤8定义的优化模型的灵敏度，选取梯度优化算法对优化变量进行优化设计，得到优化结果。

通过对单胞结构的力学性能采用能量法进行等效，通过等效后的属性计算得到的响应来选择单胞进行结构设计，解决了参考文献的方法对单胞力学性能的评估不足的问题。在激励频率为160Hz的简谐加速度载荷下，初始结构指定位置的位移响应幅值为5.124e-6mm，优化得到的结构该节点竖直方向位移响应幅值为1.049e-6mm，位移响应幅值降幅达到80.5％。对比参考文献的设计方法优化出的结构在相同的激励频率下同一个参考点的位移响应幅值为1.411e-6mm，本发明方法的是优于参考文献的设计方法。本实施例表明了本发明方法在处理点阵结构动力学优化设计问题上的有效性。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种面向增材制造的点阵结构动力学响应优化设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立不同种类的点阵单胞结构的几何模型及其有限元模型；根据各个种类的点阵单胞结构的有限元模型，使用能量法理论，对其力学性能分别进行等效，求出与之对应的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e；

步骤2、建立设计空间有限元模型，选择步骤1中某一种类点阵单胞结构的等效密度ρ_e、杨氏模量E_e、剪切模量G_e和泊松比μ_e作为设计空间有限元模型中各个单元的材料属性；在拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，计算设计空间指定位置的位移响应；

步骤3：重复步骤2，得到步骤1中所有种类点阵单胞结构对应的位移响应，选择位移响应最小所对应的点阵单胞结构作为设计单胞；

步骤4：采用步骤3得到的设计单胞建立设计空间的点阵结构有限元模型，将每个单胞都用梁单元进行建模，设置梁单元半径尺寸优化变量R_h初始值，h是正整数，表示单元编号，1≤h≤N_h，N_h表示梁单元总数量，给定材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，给定梁单元总体积约束上限

步骤5：依据步骤4所建立的设计空间点阵结构有限元模型，在设计空间拟施加激励位置处的所有节点上采用多点约束连接集中质量的方法，将加速度激励载荷施加到节点上，得到设计空间点阵结构在该激励载荷下的模态特征值和模态振型；所述加速度激励载荷根据公式

得到，其中为结构加速度，为地震激励加速度；

步骤6：从设计空间点阵结构有限元模型中，提取梁单元的长度、半径、材料密度ρ、杨氏模量E和泊松比μ，组装局部坐标系下的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀；再将局部坐标系下的刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀转换到全局坐标系下；

步骤7：根据步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，提取设计空间点阵结构的前k阶模态特征值ω_i，1≤i≤k，以及模态振型向量为n行的一维列向量，n为结构总自由度数目，并根据公式

计算设计空间点阵结构的前k阶模态阻尼比ζ_i，ζ_i为Rayleigh阻尼，α、β为Rayleigh阻尼系数；

根据公式

计算自由度r的位移响应x_r(t)，其中为的第i行，F为n维载荷列向量，e^jωt表示以e为底数的指数函数，ω为激励频率，j²＝-1；H_i＝(ω_i ²-ω²+2jζ_iω_iω)^-1；

步骤8、定义优化模型：

find:R_min≤R_h≤R_max h＝1,2,3…N_h

min:||x_r(t)||

其中R_min取增材制造能够制造的最小尺寸；R_max取L为梁单元的长度；||x_r(t)||表示自由度r的位移响应幅值；V表示设计空间点阵结构的体积；

步骤9、根据步骤6得到的梁单元刚度矩阵K₀和质量矩阵M₀，以及步骤5得到的设计空间点阵结构的模态特征值和模态振型，对梁单元优化变量进行灵敏度分析，得到步骤8定义的优化模型的灵敏度，选取梯度优化算法对优化变量进行优化设计，得到优化结果。