CN107562994A - 薄板的加强肋拓扑优化设计方法 - Google Patents
薄板的加强肋拓扑优化设计方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种薄板的加强肋拓扑优化设计方法，该方法假设加强肋在设计域内不均匀连续分布。采用有限元方法进行结构分析，得到应力，应变分布场。以加强肋在结点位置的密度和方向为优化设计变量。根据结点位置的主应力方向以及主应力方向的应变大小，采用满应力准则的应力比公式优化加强肋在结点位置的密度和方向。由形函数插值得到任意位置加强肋分布。重新进行结构分析。如此反复迭代，直到收敛，形成加强肋在结点位置的分布方向和密度。由结点位置的分布方向和密度构造加强肋的分布函数实现其拓扑优化。该方法不需要初始结构和设计经验，可以直接形成加强肋的拓扑优化设计。
Description
技术领域
本发明涉及一种薄板的加强肋拓扑优化设计方法。
背景技术
在航天航空、船舶以及土木等领域大量使用板结构。这里的板是指外荷载垂直于板面的情况。为了提高板的强度和刚度，提高承载能力，需要在板的一侧或两侧适当位置布置一定数量和尺寸的加强肋。为了采用尽可能少的材料实现更高的性能，需要优化设计加强肋布置的数量、位置以及方向等。在各种复杂几何形状、荷载以及支撑条件下如何优化设计加强肋的数量、位置和尺寸是一个重要问题。
目前各种拓扑优化主要研究对象是均匀各向同性带孔平面连续体。平面连续体是指外荷载作用在板的平面内。针对板的情况研究很少。
发明内容
本发明提供了一种薄板的加强肋拓扑优化设计方法，用于应力约束下重量最小板的加强肋拓扑优化设计。本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
薄板的加强肋拓扑优化设计方法，包括
第一步：设计问题初始化
根据实际使用要求首先选择一个设计域，采用有限元方法划分有限单元；根据实际工作状况施加位移约束条件和荷载；初始化加强肋在结点位置的方向和密度；假设初始角度为零，初始密度为任意值；
第二步：建立并求解有限元刚度方程
根据板的加强肋在应力约束下的体积最小问题的分布形成单元刚度矩阵和结构刚度矩阵；对结构进行有限元分析，求解刚度方程，得到结构在结点位置的位移；
第三步：计算应力、应变
根据结构在结点位置的位移计算出结构单元内的应力和应变；由应力分量可以计算出主应力的方向以及主应力的方向的应变值；
第四步：优化材料的方向和密度
将板的加强肋的两个方向调整到主应力方向；根据满应力准则的应力比公式调整加强肋在结点位置的密度值；
第五步：迭代收敛性检查
比较加强肋在结点位置的方向和密度在两次连续迭代的相对变化量；当变化量小于一个事先给定的数值时，优化迭代结束；否则重复第二步和第三步的计算；
第六步：优化结果的后处理
采用有限元的形函数，根据加强肋在结点位置的方向和密度插值得到单元内部任意位置的加强肋分布；根据工程实际需要和加强肋分布函数，选择其中的部分肋，形成离散的加强肋；离散的加强肋的尺寸由形状优化方法确定。
本技术方案与背景技术相比，它具有如下优点：
加强肋只要沿着分布函数布置就是拓扑优化的，与选择其中的哪些肋和选择多少没有关系。该方法不需要初始结构和设计经验，可以直接形成加强肋的拓扑优化设计。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
图1是本发明优化方法的流程图。
图2是本发明优化方法采用的材料模型微观示意图
图3是实施例一个矩形板结构的初始设计域。
图4是采用本发明方法获得的实施例的最佳肋分布。
图5由附图3导出的一种拓扑优化肋。
图6由附图3导出的另一种拓扑优化肋。
具体实施方式
请参照图1至图6，受均布荷载的四边简支正方形薄板加强肋的拓扑优化设计，一个1.6m×1.6m正方形板，厚0.05米，如图3所示。板的四边间支，中点有一个100kN竖直向下的集中力作用。板的弹性模量E＝210GPa，允许应力＝160MPa。优化设计加强肋的分布。最后得到的加强肋优化分布如图4所示。图4中的肋是任意可能的优化分布。实际结构中可以选择其中的部分加强肋，如图4和图5所示。
优化步骤如下：
1.由于对称性，取右上角四分之一板作为分析对象。将设计域划分为1616＝256个四结点矩形板单元。将左边和下边右边结点位移设置为零，右上角结点施加向下的结点力25kN竖直向下的集中力。
2.形成结构刚度矩阵，并进行有限元分析，得到结点位移列向量。据此，逐个单元计算结点位置应变分量并累加后取平均值作为结点位置应变。
3.根据材料在结点位置的分布计算弹性矩阵，由结点位置的应变和弹性矩阵计算得到结点位置的主应力方向和主应力方向的应变。
4.根据满应力准则调整加强肋在结点位置的方向和角度。
5.验证收敛条件。如果未收敛则返回2，否则进入下一步。
6.计算结构的材料体积，并插值得到材料在任意位置的方向和密度。
7.优化结果可视化输出。
以上所述，仅为本发明较佳实施例而已，故不能依此限定本发明实施的范围，即依本发明专利范围及说明书内容所作的等效变化与修饰，皆应仍属本发明涵盖的范围内。
Claims (10)
1.薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于，包括
第一步：设计问题初始化
根据实际使用要求首先选择一个设计域，采用有限元方法划分有限单元；根据实际工作状况施加位移约束条件和荷载；初始化加强肋在结点位置的方向和密度；假设初始角度为零，初始密度为任意值；
第二步：建立并求解有限元刚度方程
根据板的加强肋在应力约束下的体积最小问题的分布形成单元刚度矩阵和结构刚度矩阵；对结构进行有限元分析，求解刚度方程，得到结构在结点位置的位移；
第三步：计算应力、应变
根据结构在结点位置的位移计算出结构单元内的应力和应变；由应力分量可以计算出主应力的方向以及主应力的方向的应变值；
第四步：优化材料的方向和密度
将板的加强肋的两个方向调整到主应力方向；根据满应力准则的应力比公式调整加强肋在结点位置的密度值；
第五步：迭代收敛性检查
比较加强肋在结点位置的方向和密度在两次连续迭代的相对变化量；当变化量小于一个事先给定的数值时，优化迭代结束；否则重复第二步和第三步的计算；
第六步：优化结果的后处理
采用有限元的形函数，根据加强肋在结点位置的方向和密度插值得到单元内部任意位置的加强肋分布；根据工程实际需要和加强肋分布函数，选择其中的部分肋，形成离散的加强肋；离散的加强肋的尺寸由形状优化方法确定。
2.根据权利要求1所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第一步当中，
假设任意点沿两个正交方向有分布肋，定义薄板在两个方向单位宽度内加强肋的宽度之和为肋的密度，
<mrow>
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<mi>t</mi>
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假设非均匀密布加强肋的曲率和弯矩列阵分别记为
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<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中w为挠度，κ中的3个分量分别是2个坐标轴方向曲率和扭率，Mx,My和Mxy分别表示两个坐标方向的弯矩和扭矩。根据板的理论，可以建立两者之间的关系，
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
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<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中D是弹性矩阵，α是加强肋的方向。
3.根据权利要求1或2所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第一步当中，初始密度为任意值，如取0.2。
4.根据权利要求1所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第二步当中，
根据当前加强肋在结点位置的分布形成结点j位置的弹性矩阵，
<mrow>
<msubsup>
<mi>D</mi>
<mi>j</mi>
<mi>i</mi>
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<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中E是弹性模量，上角标i为迭代指标，和是材料当前迭代下在结点位置的方向和密度，sbr是常数矩阵的分量，
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
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<mrow>
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<mn>5</mn>
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gr(αj)是材料方向的函数矩阵的分量，
g(α)＝[cos2α sin2α 1] (6)
Ar常数矩阵
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<mn>1</mn>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由结点位置的弹性矩阵式(4)，通过形函数插值得到单元内任意点位置的弹性矩阵
<mrow>
<msub>
<mi>D</mi>
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<mrow>
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</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中ξ,η为单元内部任意位置的局部坐标，Nj(ξ,η)是形函数，当采用四边形单元时，形函数为，
Nj(ξ,η)＝(1+ξjξ)(1+ηjη)/4，j＝1,2,3,4 (9)
ξj和ηj是结点在局部坐标系下的坐标值；
由弹性矩阵式(8)可以计算出单元刚度矩阵，
<mrow>
<msubsup>
<mi>k</mi>
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</msubsup>
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</msub>
<mo>-</mo>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
Hejr是与设计变量无关的常数矩阵；如果采用规则单元网格，Hejr与单元也无关，可以事先计算出来，
<mrow>
<msub>
<mi>H</mi>
<mrow>
<mi>e</mi>
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<mo>(</mo>
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</mrow>
由单元刚度矩阵式(10)按照结点对应位置累加得到结构刚度矩阵，
<mrow>
<msup>
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</msubsup>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
最终形成刚度方程，
KiUi＝F (13)
式中Ui和F分别是当前结构有限元方法的结点位移列向量和结点力列向量。
5.根据权利要求1所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：在第三步当中，
求解结构刚度方程(13)得到结构在结点位置的位移
Ui＝(Ki)-1F (14)
并据此计算出结构单元内的应力和应变
<mrow>
<msup>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>i</mi>
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<mo>=</mo>
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<mfenced open = "[" close = "]">
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中εi是应变向量，和分别是纤维增强复合材料沿x和y坐标轴方向的正应变和剪应变分量，B和是几何矩阵和单元结点位移向量，根据单元的应变可以计算出结点位置的应变，
<mrow>
<msubsup>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>j</mi>
<mi>i</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
<mi>J</mi>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
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</mrow>
式中表示结点j位置的应变，nj表示围绕结点j的单元数量，Sj为围绕结点j的单元集合；由线弹性假设的胡克定律可以计算出应力
<mrow>
<msubsup>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>j</mi>
<mi>i</mi>
</msubsup>
<mo>=</mo>
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<mfenced open = "[" close = "]">
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<mi>&tau;</mi>
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和分别是加强肋在结点j位置沿x和y坐标轴方向的正应力和剪应力分量，由应力分量可以计算出主应力的方向
<mrow>
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以及沿主应力方向的应变值，
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6.根据权利要求2所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第四步中，
将加强肋的两个主方向调整到主应力方向，
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根据满应力准则的应力比公式
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</mrow>
调整加强肋在结点位置的密度值，式中是结点j位置在第i次迭代时的应变，εp是材料的允许最大应变。
7.根据权利要求6所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第四步中，
为了避免密度过小导致的刚度矩阵奇异，可以限制材料在结点位置的密度不要过低
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式中是本次迭代得到材料所有结点位置的密度最大值
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8.根据权利要求1所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第五步中，
比较加强肋在结点位置的方向和密度在两次连续迭代的相对变化量，当变化量小于一个事先给定的数值时，
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</mrow>
式中δ为事先指定的一个很小的值，优化迭代结束；否则迭代指标增加1，i＝i+1，回到第二步重新计算。
9.根据权利要求8所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第五步中，式中δ为10-3或10-4。
10.根据权利要求1所述的薄板的加强肋拓扑优化设计方法，其特征在于：第六步中，采用有限元的形函数，根据加强肋在结点位置的方向和密度插值得到单元内部任意位置的加强肋分布，
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加强肋材料体积为，
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<mn>27</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
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式中Ve是加强肋单元体积。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| WD01 | Invention patent application deemed withdrawn after publication | ||
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Application publication date: 20180109 |