CN107729648A - 一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法 - Google Patents
一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明属于复合结构设计优化方法领域，并公开了一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，包括以下步骤：建立参数化层次；对于层次结构的每一层，在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值，利用Shepard插值构建连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；更新设计变量达到结构柔度最小的目标；得到了较粗层使得结构柔度最小的纤维角度，进而计算出邻近较细层的设计初始值；重复以上步骤，得到曲线纤维复合结构的最优纤维角度空间连续变化布局。本优化方法在设计变量减少优化效率较高的同时，优化过程的计算成本降低。
Description
技术领域
本发明属于复合结构设计优化方法领域，更具体地，涉及一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法。
背景技术
曲线纤维复合结构是一种变刚度的先进复合材料结构形式，具有比强度高、比刚度大等优点。和直线纤维复合结构相比，具有更优的力学性能。这种结构可以通过改变纤维铺放角度来改变材料性能，因此它的可设计性极强。随着自动纤维铺放技术的发展，其广泛运用于航空、航天等领域。
通常曲线纤维复合结构设计优化主要是优化纤维铺设角度。在曲线纤维复合结构优化方法的许多组成部分中，参数化格式和优化算法对解的质量有很大影响。参数化格式应保证纤维铺设角的空间连续性以便于加工制造；优化算法应能快速收敛。因此，为发展优化纤维铺设角度的方法，需仔细考虑参数化格式和优化算法。
现有技术中存在一类优化纤维铺设角度的设计方法基于参数化格式，这种参数化格式基于Shepard插值，由于其权函数无限可微，所以可保证纤维铺设角度的空间连续性。在优化算法中，具有共轭映射的最速下降法有所应用，效果不错，但该算法仍有进一步发展的空间，因此，基于Shepard插值的参数化格式和优化算法的结合以及优化算法计算成本的降低还需得到进一步解决。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，求解较粗层的优化问题在计算成本方面低于求解最细层的优化问题，所以相比直接在最细层进行优化的传统算法，多级优化算法能更快地收敛于最优解。
为实现上述目的，按照本发明，提供了一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其包括以下步骤：
(1)建立结构参数化层次，并且令层数为m；
(2)设置计时器j＝1；
(3)本步骤包括以下子步骤：
(3.1)在第j层的复合结构设计域D内均匀定义一系列离散设计点Pij，其中i＝1,2,3,......,nj，nj为该层中离散设计点的数量，然后给定Pij处纤维角度初值θij，利用设计点Pij处纤维角度初值，并通过Shepard插值格式构建该层的插值函数θj(x)来表达整个设计域纤维角度，其中其中wij(x)为权函数，x为位置坐标；
(3.2)在第j层中定义曲线纤维复合结构优化模型：设计变量为离散设计点的纤维角度值θij，设计目标为使结构的柔度c最小化，设计约束包括平衡方程Ku＝f以及θij的上下界θmax、θmin，优化模型表示如下：
find θij
min c＝fTu
s.t.Ku＝f
θmin≤θij≤θmax
其中f为力向量，K为全局刚度矩阵，u是整体位移向量；
(3.3)在第j层的设计域D内划分有限元网格，生成Nr个单元，其中Nr为正整数并且大于nj，在每个单元r上建立依赖于单元中心处纤维转角θr的刚度矩阵Kr(θr)，其中Ω为结构的体积，Ωr为单元r的体积，B为位移应变矩阵，D(θr)是依赖于单元纤维角度值的单元弹性矩阵，从而解得整体位移向量u；
(3.4)在第j层中，利用刚度矩阵与θr以及θr与θij的关系获得目标函数柔度c关于设计变量纤维角度θij的敏度其中ur为每个单元的位移向量，从而利用步骤(3.3)获得的整体位移向量u得到敏度；
(3.5)在第j层中，利用基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量θij直到收敛，该优化算法如下：
其中为第k+1步的θij值，为第k步的θij值，η为步长因子，是第k步的敏度值采用共轭映射后的结果，和分别为步长约束δ下的变量更新值，并且定义如下：
(3.6)求解出第j层使得结构柔度最小的纤维角度，利用在第j层的Shepard插值计算出第j+1层离散设计点Pi(j+1)处的初值其计算公式如下：
其中pi(j+1)为设计点Pi(j+1)的位置坐标，Ix为pi(j+1)处影响域内所有设计点索引集合，wij(pi(j+1))为设计点Pi(j+1)处的权函数，表示第j层优化后的设计变量值；
(4)设置j＝j+1；
(5)判断j≤m是否成立，如果成立，则返回步骤(3.1)并且令步骤(3.1)中的Pij处纤维角度初值如果不成立，则结束优化过程，从而获得最细层使得结构柔度最小的纤维角度布局。
优选地，权函数wij(x)通过归一化位置x和离散设计点Pij之间距离的反幂来表示：
其中||·||表示欧几里德范数，p>0是幂参数，Xij为设计点Pij的位置坐标。
优选地，每一层全局纤维角度函数θj(x)的构造选取在一个圆形的影响域内，影响域定义为：||x-Xij||≤Rc，Rc为截断半径，至少包含一个设计点Pij，修正后的插值函数θj(x)为：Ix为x处影响域内所有设计点索引集合。
优选地，有限单元中心处纤维转角值θr通过修正后的全局纤维角度函数θj(x)通过影响域内设计点Pij处的θij插值得到。
优选地，有限元分析中单元弹性矩阵计算如下：D(θr)＝T(θr)D0T(θr)T，D0为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θr)为旋转矩阵。
优选地，目标函数的敏度的共轭映射计算步骤如下：
(6.1)首先将敏度相对于其最大值归一化；
(6.2)然后执行下面的映射F(·)：F(x)＝x e(1-|x|)，e为自然对数。
优选地，参数化层次结构中的每一层均遵循以下收敛准则：
其中ck、ck-1分别为第k次和第k-1次迭代的柔度值，τ1、τ2为控制收敛的参数，k为迭代次数，nk为迭代次数的界限。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：
本发明提供的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其建立参数化层次，从最粗层到最细层；对于层次结构的每一层，在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值，利用Shepard插值构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；通过基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量达到结构柔度最小的目标；得到了较粗层使得结构柔度最小的纤维角度，进而计算出邻近较细层的设计初始值；重复以上步骤，得到了曲线纤维复合结构的最优纤维角度空间连续变化布局。优化算法与基于Shepard插值的参数化格式结合，在设计变量减少优化效率较高的同时，优化过程的计算成本降低。
附图说明
图1是本发明较佳实施方式提供的一个曲线纤维复合材料悬臂梁结构优化设计的例子示意图；
图2是本发明基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法流程图；
图3a、图3b和图3c分别是图1中的优化例子参数化层次中第1,2,3层关于设计点处的纤维角度值优化结果；
图4a、图4b和图4c分别是图1中的优化例子参数化层次中第1,2,3层优化后的曲线纤维复合结构有限元分析结果。
图5是图1中的优化例子目标函数关于迭代次数的收敛历程曲线；
图6是图1中的优化例子基于SLO法优化得到的曲线纤维复合结构有限元分析结果。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
请参阅图1，本实施方式以带有面内载荷的平面悬臂梁纤维增强结构柔度最小化的优化问题为例来解释本发明。在给定的1×3矩形设计域D内给定纤维角度初始布局，本例设定初始纤维角度均为0°，区域左侧边界施加位移约束，区域上边界0.5宽度内均匀分布面内载荷f＝1。对所述悬臂梁纤维增强结构进行纤维角度布局优化，使其刚度最大化，即柔度最小化。
请参阅图2的流程图，本实施方式中，所述基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其包括以下步骤：
步骤一，建立参数化层次。在第1层，设计点均匀排布为2×6；在第2层，设计点均匀排布为6×18；在第3层，设计点均匀排布为20×60。第j层的截断半径为Rc＝2.5Δj(j＝1,2,3),其中Δj表示第j层邻近设计点之间的距离，且Δ1＞Δ2＞Δ3。
步骤二，在复合结构设计域D内定义一系列离散设计点Pi1(i＝1,2,3,......,12)，设计点均匀排布为2×6，给定Pi1处纤维角度初值在所有给定设计点建立关于设计域内任意位置x的权函数，其中||·||表示欧几里德范数，p>0是幂参数，取值为2。利用设计点Pi1处纤维角度值θi1以及权函数wi1(x)由Shepard插值格式构建一个连续全局函数θ1(x)来表达整个设计域纤维角度，其中x为任意位置坐标。
步骤三，定义曲线纤维复合结构优化模型，设计变量为离散设计点的纤维角度值θi1，设计目标为使结构的柔度c最小化，设计约束包括平衡方程Ku＝f以及θi1的上下界θmax、θmin，优化模型表示如下：
find θi1(i＝1,2,......,12)
min c＝fTu
s.t.Ku＝f
θmin≤θi1≤θmax
其中f为力向量，K为全局刚度矩阵，u是整体位移向量。本例中θi1的上下界分别为θmin＝-90°，θmax＝90°-ε，其中ε＝1×10-8为一个极小正值用来消除插值时由于三角函数计算造成的数值错误。
步骤四，在设计域D内划分50×150的有限元网格，生成7500个单元，在每个单元r(r＝1,2,3,......,7500)上建立依赖于单元中心处纤维转角θr的刚度矩阵Kr(θr)，其中B为位移应变矩阵，D(θr)是依赖于单元纤维角度值的单元弹性矩阵。单元弹性矩阵计算如下：D(θr)＝T(θr)D0T(θr)T，D0为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θr)为旋转矩阵。进行有限元分析，其中单元纤维转角θr由设计点转角θi1插值得到，为了提升计算效率，在一个圆形的影响域||x-Xi1||≤Rc(Rc＝2.5Δ1为截断半径)内构建修正后的插值函数θ1(x)为：Ix为x处影响域内所有设计点索引集合，从而计算整体位移向量u。
步骤五，利用刚度矩阵与θr以及θr与θi1的关系推导目标函数柔度c关于设计变量θi1的敏度从而利用步骤四中获得的整体位移向量u得到敏度。
步骤六，敏度相对于归一化后共轭映射F(·)：F(x)＝x e(1-|x|)，利用基于敏度共轭映射的优化算法更新设计变量θi1直到收敛，其更新格式如下：
其中为第k+1步θi值，为第k步θi值，η为步长因子，取值3，是敏度值采用共轭映射后的结果，和分别为步长约束δ(取值为5°)下的变量更新值，定义如下：
层次结构的每一层均遵循以下收敛准则：
步骤七，利用在第1层的Shepard插值计算得到第2层Pi2处设计初始值其中i＝1,2,3,...108。计算公式如下：
步骤八，利用步骤七中得到的第2层初值，重复步骤二到步骤七，得到第3层的初值，进而解得第3层的纤维角度值布局。
优化结果如下：优化后参数化层次的第1,2,3层设计点处的纤维角度值布局如图3，曲线纤维复合结构有限元分析结果如图4，最小柔度值为108.74，图5反映了得到最小柔度值的迭代次数为26。作为对比，采用单级优化算法(SLO)迭代50次优化得到的结构有限元分析结果如图6，柔度值为108.92。可以看出，本发明的优化算法相较于SLO法，能在较少的迭代次数得到更小的柔度值，减少了计算时间，降低了计算成本。
本发明提供的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其建立参数化层次，从最粗层到最细层；对于层次结构的每一层，在结构内部均匀布局一系列离散设计点作为设计变量，通过离散点处的纤维角度值，利用Shepard插值构建一个连续全局函数来表达整个设计域纤维角度；利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系；通过基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量达到结构柔度最小的目标；得到了较粗层优化问题的解，进而计算出邻近较细层的设计初始值；重复以上步骤，得到了曲线纤维复合结构的最优纤维角度空间连续变化布局。优化算法与基于Shepard插值的参数化格式结合，在设计变量减少优化效率较高的同时，优化过程的计算成本降低。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其包括以下步骤：
(1)建立结构参数化层次，并且令层数为m；
(2)设置计时器j＝1；
(3)本步骤包括以下子步骤：
(3.1)在第j层的复合结构设计域D内均匀定义一系列离散设计点Pij，其中i＝1,2,3,......,nj，nj为该层中离散设计点的数量，然后给定Pij处纤维角度初值θij，利用设计点Pij处纤维角度初值，并通过Shepard插值格式构建该层的插值函数θj(x)来表达整个设计域纤维角度，其中其中wij(x)为权函数，x为位置坐标；
(3.2)在第j层中定义曲线纤维复合结构优化模型：设计变量为离散设计点的纤维角度值θij，设计目标为使结构的柔度c最小化，设计约束包括平衡方程Ku＝f以及θij的上下界θmax、θmin，优化模型表示如下：
findθij
min c＝fTu
s.t.Ku＝f
θmin≤θij≤θmax
其中f为力向量，K为全局刚度矩阵，u是整体位移向量；
(3.3)在第j层的设计域D内划分有限元网格，生成Nr个单元，其中Nr为正整数并且大于nj，在每个单元r上建立依赖于单元中心处纤维转角θr的刚度矩阵Kr(θr)，其中Ω为结构的体积，Ωr为单元r的体积，B为位移应变矩阵，D(θr)是依赖于单元纤维角度值的单元弹性矩阵，从而解得整体位移向量u；
(3.4)在第j层中，利用刚度矩阵与θr以及θr与θij的关系获得目标函数柔度c关于设计变量纤维角度θij的敏度其中ur为每个单元的位移向量，从而利用步骤(3.3)获得的整体位移向量u得到敏度；
(3.5)在第j层中，利用基于敏度及其共轭映射的优化算法更新设计变量θij直到收敛，该优化算法如下：
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其中为第k+1步的θij值，为第k步的θij值，η为步长因子，是第k步的敏度值采用共轭映射后的结果，和分别为步长约束δ下的变量更新值，并且定义如下：
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(3.6)求解出第j层使得结构柔度最小的纤维角度，利用在第j层的Shepard插值计算出第j+1层离散设计点Pi(j+1)处的初值其计算公式如下：
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其中pi(j+1)为设计点Pi(j+1)的位置坐标，Ix为pi(j+1)处影响域内所有设计点索引集合，wij(pi(j+1))为设计点Pi(j+1)处的权函数，表示第j层优化后的设计变量值；
(4)设置j＝j+1；
(5)判断j≤m是否成立，如果成立，则返回步骤(3.1)并且令步骤(3.1)中的Pij处纤维角度初值如果不成立，则结束优化过程，从而获得最细层使得结构柔度最小的纤维角度布局。
2.如权利要求1所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：权函数wij(x)通过归一化位置x和离散设计点Pij之间距离的反幂来表示：
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<mrow>
<mo>-</mo>
<mi>p</mi>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
其中||·||表示欧几里德范数，p>0是幂参数，Xij为设计点Pij的位置坐标。
3.如权利要求1所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：每一层全局纤维角度函数θj(x)的构造选取在一个圆形的影响域内，影响域定义为：||x-Xij||≤Rc，Rc为截断半径，至少包含一个设计点Pij，修正后的插值函数θj(x)为：Ix为x处影响域内所有设计点索引集合。
4.如权利要求3所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：有限单元中心处纤维转角值θr通过修正后的全局纤维角度函数θj(x)通过影响域内设计点Pij处的θij插值得到。
5.如权利要求1所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：有限元分析中单元弹性矩阵计算如下：D(θr)＝T(θr)D0T(θr)T，D0为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θr)为旋转矩阵。
6.如权利要求1所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：目标函数的敏度的共轭映射计算步骤如下：
(6.1)首先将敏度相对于其最大值归一化；
(6.2)然后执行下面的映射F(·)：F(x)＝x e(1-|x|)，e为自然对数。
7.如权利要求1所述的基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法，其特征在于：参数化层次结构中的每一层均遵循以下收敛准则：
<mrow>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>c</mi>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>c</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>c</mi>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<mi>c</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>c</mi>
<mrow>
<mi>k</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>&tau;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>k</mi>
<mo>&le;</mo>
<msub>
<mi>n</mi>
<mi>k</mi>
</msub>
</mrow>
其中ck、ck-1分别为第k次和第k-1次迭代的柔度值，τ1、τ2为控制收敛的参数，k为迭代次数，nk为迭代次数的界限。
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