CN111723457A - 一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法 - Google Patents

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CN111723457A CN202010383646.8A CN202010383646A CN111723457A CN 111723457 A CN111723457 A CN 111723457A CN 202010383646 A CN202010383646 A CN 202010383646A CN 111723457 A CN111723457 A CN 111723457A
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Abstract

本发明属于结构优化设计相关技术领域，其公开了一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其包括以下步骤：首先，在结构设计域内设置一系列设计点和场中心点，并构建向量场，进而求解各场中心点处的初始权重系数；其次，将结构设计域划分为有限个单元，根据单元中心点和场中心点构建向量场，利用参数化水平集函数的切线方向来描述整体纤维角度布局；再者，建立单元刚度矩阵以求解整体位移向量和目标函数值，并以权重系数为设计变量，柔度最小化为设计目标，计算目标函数关于设计变量的灵敏度；其次，更新设计变量后重复迭代，直到满足优化终止条件。本发明能够保证纤维相互平行，避免最优结构在制造过程中出现纤维重叠或存在间隙的情况。

Description

一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法
技术领域
本发明属于结构优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法。
背景技术
相比于传统材料，复合材料的特点是比重小、比强度和比模量大，具有优越的综合性能，因此被广泛应用于航空航天、汽车工业、机械制造、医疗设备等领域。其中，纤维增强的复合材料具有良好的可设计性。在设计由这类复合材料组成的结构时，通过优化纤维铺设方向、纤维体积含量和拓扑构型，可以充分提高结构的刚度、强度。优化设计得到的结构将由自动纤维铺放技术制造得到。根据铺放纤维路径的不同，该技术制造的复合材料结构可分为直线纤维定刚度结构和曲线纤维变刚度结构。纤维曲线铺放的结构由于变刚度的特性，越来越多地受到重视。而基于计算机的结构优化方法可以最大程度地发挥这类结构的力学性能。
现有的复合材料结构优化设计方法通常是以纤维铺设角度为对象，例如CN107590325A公开的一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，在保证纤维角度在空间内连续变化的同时，寻求最优的纤维角度布局，进而获得连续的纤维铺放路径，使变刚度结构表现出最佳的力学性能。但这些方法往往忽略了自动纤维铺放技术对这类结构设计的可制造性要求，其中很关键的一点在于纤维铺放路径需平行，否则制造出来的结构中纤维丝束会重叠或存在间隙，这样的缺陷严重影响结构性能。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其通过参数化水平集函数的切线方向来描述整体的纤维角度布局，并以权重系数为设计变量，利用灵敏度信息更新设计变量，优化得到使结构刚度最大的纤维角度布局，保证纤维铺设路径相互平行，满足自动纤维铺放技术对变刚度结构设计的制造约束。
为实现上述目的，本发明提供了一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，所述方法包括以下步骤：
(1)在待优化设计的纤维曲线铺放变刚度结构的结构设计域D内确定一系列设计点pi，在每个设计点处给定初始向量
Figure BDA0002483029190000021
再确定一系列场中心点cj，在每个场中心点cj处确定权重系数αj，根据设计点坐标pi和场中心点坐标cj构建向量场
Figure BDA0002483029190000022
利用得到的向量场
Figure BDA0002483029190000023
和各设计点pi处的初始向量求得各场中心点cj处的初始权重系数
Figure BDA0002483029190000024
其中i＝1,2,...,np，j＝1,2,...,nc，np和nc均为正整数；
(2)将结构设计域D划分为多个单元，根据单元中心点坐标xe和场中心点坐标cj构建向量场ψ(xe,cj)，结合各场中心点处的权重系数αj计算各单元中心点处的向量ve，进而计算得到各单元中心点处的纤维角度θe；
(3)利用各单元中心点处的纤维角度θe建立各单元的刚度矩阵Ke，通过组装Ke得到整体刚度矩阵K，再根据公式Ku＝f求解出整体位移向量u，进而利用柔度计算式C＝fTu得到目标函数C，其中f为外力向量；
(4)根据Ke与θe的关系、θe与αj的关系以及整体位移向量u，利用公式
Figure BDA0002483029190000025
计算得到目标函数C对设计变量αj的灵敏度
Figure BDA0002483029190000026
(5)利用基于灵敏度
Figure BDA0002483029190000027
的优化算法更新设计变量αj；
(6)重复步骤二至步骤五，直至总迭代次数达到预定迭代次数，完成优化设计。
进一步地，所述预定迭代次数为100次。
进一步地，利用公式θe＝actan(vey/vex)计算得到各单元中心点处的纤维角度θe，其中vex和vex为向量ve的两个分量，e＝1,2,...,ne，ne为正整数。
进一步地，
Figure BDA0002483029190000031
其中B为位移应变矩阵，D(θe)是依赖于θe的单元弹性矩阵。
进一步地，向量场
Figure BDA0002483029190000032
的计算式为：
Figure BDA0002483029190000033
其中，A为反对称矩阵；G(pi,cj)＝h(||pi-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而
Figure BDA0002483029190000034
的计算式更具体地为：
Figure BDA0002483029190000035
其中，||pi-cj||为坐标为pi的设计点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
进一步地，各设计点处的初始向量
Figure BDA0002483029190000036
由初始参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure BDA0002483029190000037
代入给定的初始向量
Figure BDA0002483029190000038
求解得到初始权重系数
Figure BDA0002483029190000039
进一步地，向量场ψ(xe,cj)的计算式为：
ψ(xe,cj)＝A▽G(xe,cj)，
其中，A为反对称矩阵；G(xe,cj)＝h(||xe-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而ψ(xe,cj)的计算式更具体地为：
Figure BDA0002483029190000041
其中，||xe-cj||为坐标为xe的单元中心点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
进一步地，各单元中心点处的向量ve由参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure BDA0002483029190000042
进一步地，单元中心点处的纤维角度θe对设计变量αj的偏导数计算式为：
Figure BDA0002483029190000043
其中，vex和vey为向量ve的两个分量，θe对vex和vey的偏导数计算式分别为：
Figure BDA0002483029190000044
进一步地，向量ve的两个分量vex和vey对设计变量αj的偏导数由向量场ψ(xe,cj)得到，具体关系式为：
Figure BDA0002483029190000045
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法主要具有以下有益效果：
1.本发明通过参数化水平集函数的切线方向来描述整体的纤维角度布局，并以权重系数为设计变量，利用灵敏度信息更新设计变量，优化得到使结构刚度最大的纤维角度布局，保证纤维铺设路径相互平行，满足自动纤维铺放技术对变刚度结构设计的制造约束。
2.优化后的纤维角度布局具有空间连续性，同时保证由此得到的纤维铺放路径相互平行，满足制造技术对优化设计的要求，避免了最优结构在制造过程中产生缺陷而影响结构的力学性能。
3.所述方法适应性强，且精度较高，有利于推广应用。
附图说明
图1是本发明较佳实施方式提供的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法的流程示意图；
图2是图1中的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法涉及的一个具体结构设计域示意图；
图3是图1中的纤维曲线铺放变刚度结构优化涉及的水平集方法涉及的关于单元中心点处纤维角度值的优化结果示意图；
图4是采用的基于Shepard插值的优化设计方法得到的单元中心点处纤维角度值的优化结果示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
请参阅图1及图2，本发明提供的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，所述方法在结构设计域内设置一系列设计点，在各设计点处给定初始向量，然后设置一系列场中心点，在各场中心点处定义权重系数作为设计变量，根据设计点坐标和场中心点坐标构建向量场，结合该向量场和设计点处的初始向量求解出初始权重系数；将结构设计域划分为有限个单元，根据单元中心点坐标和场中心点坐标构建向量场，结合该向量场和权重系数来描述整体纤维布局；以结构柔度最小化作为设计目标，利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系，并推导单元纤维角度与设计变量的关系；通过基于灵敏度信息的优化算法更新设计变量，直至满足优化终止条件，得到最优的纤维角度布局。优化后的纤维角度布局具有空间连续性，同时保证由此得到的纤维铺放路径相互平行，满足制造技术对优化设计的要求，避免最优结构在制造过程中产生缺陷而影响结构的力学性能。
如图2所示，给定1m×1m的结构设计域D，固定区域左侧边界，在区域右下角施加集中力f＝1N；对所述结构进行纤维角度布局优化，使其刚度最大化。
所述纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法为基于线性无关向量场的复合材料结构优化设计方法，其主要包括以下步骤：
步骤一，在待优化设计的纤维曲线铺放变刚度结构的结构设计域D内确定一系列设计点pi，在每个设计点处给定初始向量
Figure BDA0002483029190000061
再确定一系列场中心点cj，在每个场中心点cj处确定权重系数αj，根据设计点坐标pi和场中心点坐标cj构建向量场
Figure BDA0002483029190000062
利用得到的向量场
Figure BDA0002483029190000063
和各设计点pi处的初始向量求得各场中心点cj处的初始权重系数
Figure BDA0002483029190000064
其中i＝1,2,...,np，j＝1,2,...,nc，np和nc均为正整数。
具体地，在结构设计域D内定义一系列设计点pi(i＝1,2,...,100)，按10×10均匀排布，在每个设计点处给定初始向量
Figure BDA0002483029190000065
再定义一系列场中心点cj(j＝1,2,...,200)，保证每个设计点左右等距排布2个场中心点，在每个场中心点处定义权重系数αj。根据设计点坐标pi和场中心点坐标cj构建向量场
Figure BDA0002483029190000066
Figure BDA0002483029190000067
由反对称矩阵A与径向基函数G(pi,cj)的梯度相乘得到，向量场
Figure BDA0002483029190000068
的计算式为：
Figure BDA0002483029190000071
其中，A为反对称矩阵，G(pi,cj)＝h(||pi-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而
Figure BDA0002483029190000072
的计算式更具体地为：
Figure BDA0002483029190000073
其中，||pi-cj||为坐标为pi的设计点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
各设计点处的初始向量
Figure BDA0002483029190000074
由初始参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure BDA0002483029190000075
代入给定的初始向量
Figure BDA0002483029190000076
求解得到初始权重系数
Figure BDA0002483029190000077
本实施方式中，选取紧支径向基函数，即G(r)＝(max(0,1-r))4·(4r+1)，其中
Figure BDA0002483029190000078
这里取a2＝0.0005，dsp＝8，则
Figure BDA0002483029190000079
的具体计算式为：
Figure BDA00024830291900000710
这里取反对称矩阵
Figure BDA00024830291900000711
进而，各设计点处的初始向量
Figure BDA00024830291900000712
可由公式
Figure BDA00024830291900000713
来表达，代入给定的初始向量
Figure BDA00024830291900000714
求解出初始权重系数
Figure BDA00024830291900000715
作为设计变量的初始值。
步骤二，将结构设计域D划分为多个单元，根据单元中心点坐标xe和场中心点坐标cj构建向量场ψ(xe,cj)，结合各场中心点处的权重系数αj计算各单元中心点处的向量ve，进而计算得到各单元中心点处的纤维角度θe。
具体地，向量场ψ(xe,cj)的计算式为：
ψ(xe,cj)＝A▽G(xe,cj)，
其中，A为反对称矩阵，G(xe,cj)＝h(||xe-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而ψ(xe,cj)的计算式更具体地为：
Figure BDA0002483029190000081
其中，||xe-cj||为坐标为xe的单元中心点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
各单元中心点处的向量ve由参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure BDA0002483029190000082
本实施方式中，将结构设计域D划分为20×20个单元，根据单元中心点坐标xe和场中心点坐标cj构建向量场ψ(xe,cj)，与步骤一类似，这里选取同样的紧支径向基函数和相关参数，得到ψ(xe,cj)。进而，结合设计点处的权重系数αj计算各单元中心点处的向量ve，其计算式为
Figure BDA0002483029190000083
再利用公式θe＝actan(vey/vex)计算得到各单元中心点处的纤维角度θe，其中vex和vex为向量ve的两个分量。
步骤三，利用各单元中心点处的纤维角度θe建立各单元的刚度矩阵Ke，通过组装Ke得到整体刚度矩阵K，再根据公式Ku＝f求解出整体位移向量u，进而利用柔度计算式C＝fTu得到目标函数C，其中f为外力向量。
具体地，在单元e(e＝1,2,...,400)上建立依赖于单元中心点处纤维角度θe的单元刚度矩阵Ke，其计算式为
Figure BDA0002483029190000091
其中B为位移应变矩阵，D(θe)为单元弹性矩阵，其计算式为D(θe)＝T(θe)D0T(θe)T，D0为纤维未旋转时的弹性矩阵，T(θe)为旋转矩阵：
Figure BDA0002483029190000092
Figure BDA0002483029190000093
其中，Ex和Ey是杨氏模量；Gxy是剪切模量；νxy和νyx是泊松比；满足νxyEy＝νyxEx。通过组装Ke得到整体刚度矩阵K，再根据公式Ku＝f求解得到整体位移向量u，进而利用柔度计算式C＝fTu得到目标函数C，其中f为外力向量。
步骤四，根据Ke与θe的关系、θe与αj的关系以及整体位移向量u，利用公式
Figure BDA0002483029190000094
计算得到目标函数C对设计变量αj的灵敏度
Figure BDA0002483029190000095
根据公式
Figure BDA0002483029190000096
计算得到Ke对θe的偏导数，同样根据公式
Figure BDA0002483029190000097
计算得到θe对αi的偏导数，其中
Figure BDA0002483029190000098
以及
Figure BDA0002483029190000099
然后利用Ke与θe的偏导数关系、θe与αj的偏导数关系以及整体位移向量u，计算得到灵敏度
Figure BDA0002483029190000101
其具体计算式为
Figure BDA0002483029190000102
步骤五，利用基于灵敏度
Figure BDA0002483029190000103
的优化算法更新设计变量αj。
具体地，采用移动渐进线方法更新设计变量αj，在其他实施方式中，所述优化算法还可以为最速下降法。
步骤六，重复步骤二至步骤五，直至总迭代次数达到预定迭代次数，完成优化设计。
具体地，重复步骤二到步骤五，每一次重复称为一次迭代，直至满足优化终止条件，得到复合材料结构纤维角度布局的最优设计，优化终止条件简单地设定为迭代次数达到100次。
本发明较佳实施例的优化结果如下：优化后单元中心点处的纤维角度布局如图3，柔度值为54.37。作为对比，采用基于Shepard插值的优化设计方法得到的纤维角度布局如图4，柔度值为23.58。由此可见，本发明的方法得到的结构虽然刚度较大(柔度较小)，但纤维角度布局满足自动纤维铺放技术的制造约束，即保证纤维相互平行，避免最优结构在制造过程中出现缺陷。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)在待优化设计的纤维曲线铺放变刚度结构的结构设计域D内确定一系列设计点pi，在每个设计点处给定初始向量
Figure FDA0002483029180000011
再确定一系列场中心点cj，在每个场中心点cj处确定权重系数αj，根据设计点坐标pi和场中心点坐标cj构建向量场
Figure FDA0002483029180000012
利用得到的向量场
Figure FDA0002483029180000013
和各设计点pi处的初始向量求得各场中心点cj处的初始权重系数
Figure FDA0002483029180000014
其中i＝1,2,...,np，j＝1,2,...,nc，np和nc均为正整数；
(2)将结构设计域D划分为多个单元，根据单元中心点坐标xe和场中心点坐标cj构建向量场ψ(xe,cj)，结合各场中心点处的权重系数αj计算各单元中心点处的向量ve，进而计算得到各单元中心点处的纤维角度θe；
(3)利用各单元中心点处的纤维角度θe建立各单元的刚度矩阵Ke，通过组装Ke得到整体刚度矩阵K，再根据公式Ku＝f求解出整体位移向量u，进而利用柔度计算式C＝fTu得到目标函数C，其中f为外力向量；
(4)根据Ke与θe的关系、θe与αj的关系以及整体位移向量u，利用公式
Figure FDA0002483029180000015
计算得到目标函数C对设计变量αj的灵敏度
Figure FDA0002483029180000016
(5)利用基于灵敏度
Figure FDA0002483029180000017
的优化算法更新设计变量αj；
(6)重复步骤(2)至步骤(5)，直至总迭代次数达到预定迭代次数，完成优化设计。
2.如权利要求1所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：所述预定迭代次数为100次。
3.如权利要求1所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：利用公式θe＝actan(vey/vex)计算得到各单元中心点处的纤维角度θe，其中vex和vex为向量ve的两个分量，e＝1,2,...,ne，ne为正整数。
4.如权利要求1所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：
Figure FDA0002483029180000021
其中B为位移应变矩阵，D(θe)是依赖于θe的单元弹性矩阵。
5.如权利要求1所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：向量场
Figure FDA0002483029180000022
的计算式为：
Figure FDA0002483029180000023
其中，A为反对称矩阵；G(pi,cj)＝h(||pi-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而
Figure FDA0002483029180000024
的计算式更具体地为：
Figure FDA0002483029180000025
其中，||pi-cj||为坐标为pi的设计点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
6.如权利要求1-5任一项所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：各设计点处的初始向量
Figure FDA0002483029180000026
由初始参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure FDA0002483029180000027
代入给定的初始向量
Figure FDA0002483029180000028
求解得到初始权重系数
Figure FDA0002483029180000029
7.如权利要求1-5任一项所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：向量场ψ(xe,cj)的计算式为：
Figure FDA0002483029180000031
其中，A为反对称矩阵；G(xe,cj)＝h(||xe-cj||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向基函数类型确定，进而ψ(xe,cj)的计算式更具体地为：
Figure FDA0002483029180000032
其中，||xe-cj||为坐标为xe的单元中心点与坐标为cj的场中心点之间的欧氏距离。
8.如权利要求7所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：各单元中心点处的向量ve由参数化水平集函数的切线方向来描述，其具体计算式为：
Figure FDA0002483029180000033
9.如权利要求1-5任一项所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：单元中心点处的纤维角度θe对设计变量αj的偏导数计算式为：
Figure FDA0002483029180000034
其中，vex和vey为向量ve的两个分量，θe对vex和vey的偏导数计算式分别为：
Figure FDA0002483029180000035
10.如权利要求1-5任一项所述的纤维曲线铺放变刚度结构优化设计的水平集方法，其特征在于：向量ve的两个分量vex和vey对设计变量αj的偏导数由向量场ψ(xe,cj)得到，具体关系式为：
Figure FDA0002483029180000036
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