CN110955941A - 基于向量场的复合材料结构优化设计方法及设备 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于向量场的复合材料结构优化设计方法及设备，属于复合材料结构设计领域。该方法包括：在结构设计域内设置系列离散设计点并定义设计点的权重系数，将设计域划分为若干个单元，定义每个单元中心点处的向量；根据设计点坐标和单元中心点坐标计算线性无关向量场，结合设计点权重系数计算单元中心点向量和单元中心点纤维角度；定义复合材料结构优化设计问题中的设计变量、设计目标和设计约束；进行有限元分析，建立各单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解位移场；计算目标函数对设计变量的灵敏度；更新设计变量，重复上述步骤直到满足优化终止条件。本发明可保证纤维角度的空间连续性，减少设计变量，提高优化效率。

Description

基于向量场的复合材料结构优化设计方法及设备

技术领域

本发明属于复合材料结构设计领域，更具体地，涉及一种基于向量场的复合材料结构优化设计方法及设备。

背景技术

复合材料比传统材料具有更高的比强度和比模量，并具有设计性强、耐腐蚀性好、抗疲劳断裂性好、抗震性能好等优点。其广泛应用于武器装备、建筑结构、航空航天等领域。纤维增强的复合材料结构具有良好的可设计性。通过改变材料种类、纤维铺设方向、纤维体积含量、结构拓扑和铺设方向及顺序，可以满足结构设计中对材料刚度、强度、弹性和方向性的要求。设计师可以根据自己的需要设计纤维增强复合材料的组成和组合，从而发挥材料最有效的作用。由于纤维铺放路径对材料性能的重要影响，利用现代结构优化设计方法，通过计算机自动高效地确定纤维铺放路径的做法越来越受到重视。

通常，纤维增强复合材料结构设计的主要研究对象是纤维铺设角度的优化。早期由于制造工艺的限制，纤维铺设角度只能固定，材料的性能没有得到充分利用。随着先进制造技术的发展，特别是纤维自动铺放技术的出现，纤维增强复合材料可以具有空间连续变化的铺放角度，大大提高了纤维增强结构的设计自由度。同时也对开发新的优化设计方法提出了新的要求，将新的制造方法结合起来，充分发挥复合材料的性能。

现有的复合材料结构优化方法中，关于纤维铺设角度的优化问题，有一类方法是通过连续不断改变单元中心点处的纤维角度值，获得使结构力学性能最优的纤维铺设角度。但这类方法没有考虑纤维角度的空间变化连续性，导致优化的结构通常具有不连续的纤维铺设路径，这会导致不可制造的结构以及应力集中。此外，这类方法比较依赖于初始设计，从而容易获得局部最优解。

另一类方法基于曲线参数化格式，利用曲线的解析函数定义纤维铺设路径。这类方法的优势在于保证纤维铺设路径的连续性，所需的设计变量也较少。然而，这类方法的限制在于最优解严重依赖于参数化格式，设计自由度有限，并且对于具有不规则几何形状的结构很难找到合适的参数化格式。还有一类方法是使用间接参数化格式，这些参数通常是完全描述层刚度特性的连续参数集合。这类方法可有效地解决非凸问题，并且使优化结果不依赖于初始设计。然而对于复杂问题，层参数可行域的解析形式还是一个未解决的问题。

发明内容

针对现有方法的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于向量场的复合材料结构优化设计方法及设备。其目的在于，提出一种新的描述纤维角度布局的参数化建模方法，在减少设计变量的情况下，保证纤维角度的空间连续性，提高优化效率。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于向量场的复合材料结构优化设计方法，包括以下步骤：

(1)在复合材料结构的设计域D内设置一系列离散的设计点P_i，为每个设计点P_i赋予权重系数α_i，并将设计域D划分为N个单元，在每个单元中心点处定义向量v_e＝(v_ex,v_ey)，其中i＝1,2,...,n，e＝1,2,...,N，n和N均为正整数；

(2)根据设计点P_i的坐标p_i和单元中心点的坐标x_e计算线性无关向量场φ(x_e-p_i)，结合设计点P_i处的系数α_i计算单元中心点处的向量v_e，再利用向量v_e的两个分量v_ex和v_ey计算得到各单元中心点处的纤维角度θ_e，其计算式为θ_e＝actan(v_ey/v_ex)；

(3)定义复合材料结构优化设计问题，设计变量为设计点P_i处的权重系数α_i，设计目标为使结构柔度c最小化，设计约束为力平衡方程Ku＝f，该优化问题的数学表达形式如下：

findα_i(i＝1,2,...,n)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

其中，f为外力向量，K为整体刚度矩阵，u为位移向量；

(4)进行有限元分析：建立各单元刚度矩阵K_e，

其中，B为位移应变矩阵，D(θ_e)是依赖于θ_e的单元弹性矩阵，通过组装K_e得到整体刚度矩阵K，进而根据公式Ku＝f求解得到位移场u；

(5)计算目标函数c对设计变量α_i的灵敏度

其计算式为

(6)基于灵敏度

更新设计变量α_i；

(7)重复步骤(2)到步骤(6)，直至满足预设的优化终止条件，完成复合材料结构的优化设计。

进一步地，步骤(2)中，线性无关向量场φ(x_e-p_i)的计算式为：

其中，||x_e-p_i||为坐标为x_e的单元中心点与坐标为p_i的设计点之间的欧氏距离；h是径向基函数h(||x_e-p_i||)的简写。

进一步地，步骤(2)中，各单元中心点处的向量v_e计算公式如下：

进一步地，步骤(5)中，单元中心点处的纤维角度θ_e关于设计变量α_i的偏导数计算式为：

其中，θ_e分别对向量v_e的两个分量v_ex和v_ey的偏导数计算式为：

进一步地，向量v_e的两个分量v_ex和v_ey对设计变量α_i的偏导数由线性无关向量场φ(x_e-p_i)得到：

进一步地，步骤(6)中，更新设计变量α_i的方法为基于灵敏度信息的最速下降法或移动渐进线法。

按照本发明的另一方面，提供了一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如前任一项所述的复合材料结构优化设计方法。

按照本发明的另一方面，提供了一种基于向量场的复合材料结构优化设计设备，包括如前所述的计算机可读存储介质以及处理器，处理器用于调用和处理计算机可读存储介质中存储的计算机程序。

总体而言，本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

本发明通过在结构设计域内布置一系列离散设计点，在设计点处定义权重系数作为设计变量，同时将结构划分为若干个单元，在各单元中心点处定义反映纤维角度的向量，通过结合权重系数和线性无关向量场构建一个描述整体纤维布局的向量场；以结构柔度最小化作为设计目标，利用有限元分析建立刚度矩阵与设计变量的关系，并推导单元纤维角度与设计变量的关系；通过基于灵敏度信息的优化算法更新设计变量，直至满足优化终止条件，得到最优的纤维角度布局。最终获得的复合材料结构具有空间连续变化的纤维角度布局，并且达到刚度最大化，其优化结果能够保证纤维角度的空间连续分布，在提高结构力学性能的同时，保证结构的可制造性，并且设计变量的减少有利于提高优化效率。

附图说明

图1是本发明提供的基于向量场的复合材料结构优化设计方法流程图。

图2是本发明较佳实施方式提供的一个复合材料悬臂梁结构优化设计的例子示意图。

图3是图1中的优化例子关于单元中心处纤维角度的初始设计值。

图4是图1中的优化例子关于单元中心处纤维角度值的优化结果。

图5是图1中的优化例子采用连续纤维角度优化(CFAO)方法得到的单元中心处纤维角度值优化结果。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1的流程图，本实施方式中，所述基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其包括以下步骤：

(1)在复合材料结构的设计域D内设置一系列离散的设计点P_i，为每个设计点P_i赋予权重系数α_i，并将设计域D划分为N个单元，在每个单元中心点处定义向量v_e＝(v_ex,v_ey)，其中i＝1,2,...,n，e＝1,2,...,N，n和N均为正整数。

(2)根据设计点P_i的坐标p_i和单元中心点的坐标x_e计算线性无关向量场φ(x_e-p_i)，结合设计点P_i处的系数α_i计算单元中心点处的向量v_e，再利用向量v_e的两个分量v_ex和v_ey计算得到各单元中心点处的纤维角度θ_e，其计算式为θ_e＝actan(v_ey/v_ex)；

线性无关向量场φ(x_e-p_i)的计算式为：

其中，G(x_e-p_i)＝h(||x_e-p_i||)，即为径向基函数，其具体表达式由选取的径向函数类型确定，进而φ(x_e-p_i)的计算式更具体地为

其中，||x_e-p_i||为坐标为x_e的单元中心点与坐标为p_i的设计点之间的欧氏距离；h是径向基函数h(||x_e-p_i||)的简写。

各单元中心点处的向量v_e结合权重系数α_i和线性无关向量场φ(x_e-p_i)计算得到，其具体计算式为：

(3)定义复合材料结构优化设计问题，设计变量为设计点P_i处的权重系数α_i，设计目标为使结构柔度c最小化，设计约束为力平衡方程Ku＝f，该优化问题的数学表达形式如下：

find α_i(i＝1,2,...,n)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

其中，f为外力向量，K为整体刚度矩阵，u为位移向量；

(4)进行有限元分析：建立各单元刚度矩阵K_e，

其中，B为位移应变矩阵，D(θ_e)是依赖于θ_e的单元弹性矩阵，通过组装K_e得到整体刚度矩阵K，进而根据公式Ku＝f求解得到位移场u；

(5)计算目标函数c对设计变量α_i的灵敏度

其计算式为

单元中心点处的纤维角度θ_e关于设计变量α_i的偏导数计算式为：

其中，θ_e分别对向量v_e的两个分量v_ex和v_ey的偏导数计算式为：

向量v_e的两个分量v_ex和v_ey对设计变量α_i的偏导数由线性无关向量场φ(x_e-p_i)得到，具体关系式为：

(6)利用基于灵敏度

的优化算法更新设计变量α_i：可采用不同的优化算法更新设计变量α_i，常采用的优化算法包括基于灵敏度信息的最速下降法和移动渐进线方法等。

(7)重复步骤(2)到步骤(6)，直至满足预设的优化终止条件，完成复合材料结构的优化设计。一般可以将优化终止条件直接设定为指定的迭代次数。

请参阅图2，下面以带有集中载荷的平面悬臂梁结构柔度最小化的优化问题为例来对本发明的上述方法进行进一步的示例性说明。本应用实例中，在给定的1m×2m矩形设计域D内设置单元中心点处的纤维角度初始布局，固定区域左侧边界，区域右边界中心处施加集中力f＝1N。

对所述悬臂梁复合材料结构进行纤维角度布局优化，使其刚度最大化，其具体步骤如下：

步骤1，在复合材料结构设计域D内设置一系列离散设计点P_i(i＝1,2,...,n)，具体地，设计点均匀排布为10×20，给定设计点P_i处的权重系数初始值

并将设计域D划分为20×40的正方形单元，单元边长为0.05m；

步骤2，根据设计点坐标p_i和单元中心点坐标x_e计算线性无关向量场φ(x_e-p_i)，φ(x_e-p_i)即为径向基函数G(x_e-p_i)的梯度，这里选取多元二次(MQ)样条函数作为径向基函数，即

则φ(x_e-p_i)的具体计算式为：

本实施例取r²＝0.0005，进而，结合设计点P_i处的系数α_i计算各单元中心点处的向量v_e，其计算式为：

再利用向量v_e的两个分量v_ex和v_ey计算得到各单元中心点处的纤维角度θ_e，其计算式为θ_e＝actan(v_ey/v_ex)，以此得到整个设计域内的纤维角度分布，初始纤维角度分布如图3所示；

步骤3，定义复合材料结构优化设计问题，设计变量为设计点P_i处的权重系数α_i，设计目标为使结构柔度c最小化，设计约束为力平衡方程Ku＝f，该优化问题的数学表达形式如下：

find α_i(i＝1,2,...,200)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

其中f为外力向量，K为整体刚度矩阵，u为位移向量；

步骤4，设计域D被划分为800个单元，在单元e(e＝1,2,...,800)上建立依赖于单元中心处纤维角度θ_e的单元刚度矩阵K_e，其计算式为：

其中，B为位移应变矩阵，D(θ_e)为单元弹性矩阵，其计算式为D(θ_e)＝T(θ_e)D₀ T(θ_e)^T，D₀为纤维未旋转时的原始弹性矩阵，T(θ_e)为旋转矩阵：

其中，E_x和E_y是杨氏模量，G_xy是剪切模量，ν_xy和ν_yx是泊松比，满足ν_xyE_y＝ν_yxE_x。通过组装K_e得到整体刚度矩阵K属于有限元分析方法中的基础操作，这里不再赘述，再根据公式Ku＝f求解得到位移场u；

步骤5，根据公式：

计算得到K_e对θ_e的偏导数，同样根据公式：

计算得到θ_e对α_i的偏导数，其中：

利用K_e与θ_e的偏导数关系、θ_e与α_i的偏导数关系以及位移场u，计算目标函数c对设计变量α_i的灵敏度

其计算式为：

步骤6，采用移动渐进线方法更新设计变量α_i，移动渐近线方法(Methodof MovingAsymptotes)为现有的优化算法，在此不赘述；

步骤7，重复步骤2到步骤6，每一次重复称为一次迭代，直至满足优化终止条件，得到复合材料结构纤维角度布局的最优设计，优化终止条件简单地设定为迭代次数达到100次。

本发明较佳实施例的优化结果如下：优化后单元中心处的纤维角度值布局如图4，柔度值为80.51。作为对比，采用传统连续纤维角度优化方法优化得到的结构纤维角度值布局如图5，柔度值为54.18，此方法得到的结构虽刚度较大(柔度较小)，但纤维角度布局不具有空间连续性。因此，从制造的角度考虑，本发明提供的基于向量场的复合材料结构优化设计方法更优，可保证优化后的结构便于制造。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)在复合材料结构的设计域D内设置一系列离散的设计点P_i，为每个设计点P_i赋予权重系数α_i，并将设计域D划分为N个单元，在每个单元中心点处定义向量v_e＝(v_ex,v_ey)，其中i＝1,2,...,n，e＝1,2,...,N，n和N均为正整数；

(2)根据设计点P_i的坐标p_i和单元中心点的坐标x_e计算线性无关向量场φ(x_e-p_i)，结合设计点P_i处的系数α_i计算单元中心点处的向量v_e，再利用向量v_e的两个分量v_ex和v_ey计算得到各单元中心点处的纤维角度θ_e，其计算式为θ_e＝actan(v_ey/v_ex)；

(3)定义复合材料结构优化设计问题，设计变量为设计点P_i处的权重系数α_i，设计目标为使结构柔度c最小化，设计约束为力平衡方程Ku＝f，该优化问题的数学表达形式如下：

find α_i(i＝1,2,...,n)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

其中，f为外力向量，K为整体刚度矩阵，u为位移向量；

(4)进行有限元分析：建立各单元刚度矩阵K_e，

其中，B为位移应变矩阵，D(θ_e)是依赖于θ_e的单元弹性矩阵，通过组装K_e得到整体刚度矩阵K，进而根据公式Ku＝f求解得到位移场u；

(5)计算目标函数c对设计变量α_i的灵敏度

其计算式为

(6)基于灵敏度

更新设计变量α_i；

(7)重复步骤(2)到步骤(6)，直至满足预设的优化终止条件，完成复合材料结构的优化设计。

2.如权利要求1所述的基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，步骤(2)中，线性无关向量场φ(x_e-p_i)的计算式为：

其中，||x_e-p_i||为坐标为x_e的单元中心点与坐标为p_i的设计点之间的欧氏距离；h是径向基函数h(||x_e-p_i||)的简写。

3.如权利要求1或2所述的基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，步骤(2)中，各单元中心点处的向量v_e计算公式如下：

4.如权利要求1所述的基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，步骤(5)中，单元中心点处的纤维角度θ_e关于设计变量α_i的偏导数计算式为：

其中，θ_e分别对向量v_e的两个分量v_ex和v_ey的偏导数计算式为：

5.如权利要求4所述的基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，向量v_e的两个分量v_ex和v_ey对设计变量α_i的偏导数由线性无关向量场φ(x_e-p_i)得到：

6.如权利要求1所述的基于向量场的复合材料结构优化设计方法，其特征在于，步骤(6)中，更新设计变量α_i的方法为基于灵敏度信息的最速下降法或移动渐进线法。

7.一种计算机可读存储介质，其特征在于，该计算机可读存储介质上存储有计算机程序，该计算机程序被处理器执行时实现如权利要求1～6任一项所述的复合材料结构优化设计方法。

8.一种基于向量场的复合材料结构优化设计设备，其特征在于，包括如权利要求7所述的计算机可读存储介质以及处理器，处理器用于调用和处理计算机可读存储介质中存储的计算机程序。

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