CN108629140B - 一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于复合材料结构设计优化领域，并具体公开了一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，包括如下步骤：在带孔复合材料结构的实体区域内均匀定义离散设计点，设定各设计点处纤维角度的初始值；对结构进行网格划分，确定各单元中心点的坐标；计算各设计点到各单元中心点的测地线距离，基于测地线距离求得各单元中心点处的纤维角度；建立刚度矩阵，并计算得到整体位移向量；根据整体位移向量得到敏度，然后更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件。本发明通过计算单元中心点到设计点之间的测地线距离，并基于测地线距离得到带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，改善了带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，提升了结构性能。

Description

一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法

技术领域

本发明属于复合材料结构设计优化领域，更具体地，涉及一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法。

背景技术

与常规的定刚度复合材料结构相比，曲线纤维复合结构具有极高的可设计性。除了常规的结构外形设计外，复合材料结构的设计还包括纤维布局的设计。例如，通过设计纤维的铺放角度使结构具有变刚度的特性，进而获得更优的结构性能。随着自动纤维铺放和增材制造技术的发展，曲线纤维复合结构逐渐应用于航空航天、汽车、高端装备等领域。

对于复合材料结构中纤维角度布局的设计，由于要保证纤维铺设角的空间连续性以便于加工制造，所以连续变角度纤维布局描述模型是必不可少的。目前已有的优化设计方法中，基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法能保证纤维角度的空间连续变化布局，例如CN107590325A公开的一种基于Shepard插值的纤维增强复合材料结构优化方法，CN107729648A公开的一种基于Shepard插值的曲线纤维复合结构设计瀑布型多级优化方法。但上述方法涉及的Shepard插值基于欧氏距离，只能解决不含孔洞的复合材料结构设计，而未考虑带孔的复合材料结构设计问题。在实际的工程结构中，大部分复合材料结构带有孔洞，或称为非凸形状。为解决该类复合材料结构的纤维角度优化问题，需研究设计一种新的优化方法，以实现带孔洞复合材料结构的纤维角度的优化。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其通过计算单元中心点到设计点之间的测地线距离，并基于测地线距离得到带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，解决了现有的基于欧氏距离的Shepard插值方法的局限性，改善了带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，提升了结构性能。

为实现上述目的，本发明提出了一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其包括如下步骤：

S1在带孔复合材料结构的实体区域内均匀定义一系列离散设计点p_i，并设定各设计点p_i处纤维角度θ_i的初始值，其中，i＝1,2,...,n，n为正整数；

S2对带孔复合材料结构进行网格划分，提取节点数据和单元数据，确定各单元中心点x_c的坐标；

S3计算各单元中心点x_c到各设计点p_i的测地线距离||x_c-p_i||_g，基于测地线距离||x_c-p_i||_g求得各单元中心点x_c处的纤维角度

其中，

I_xc为单元中心点x_c的影响域内所有设计点索引集合；

S4建立依赖于纤维角度θ_e的刚度矩阵，并计算得到整体位移向量；

S5根据整体位移向量得到敏度，然后更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件，以此完成带孔复合材料结构的设计优化。

作为进一步优选的，测地线距离||x_c-p_i||_g采用如下方式获得：

1)在带孔复合材料结构的实体区域内划分正方形的背景网格，定义速度场F(x)，根据非线性偏微分方程

求解各单元中心点x_c和对应背景网格节点x间的测地线距离d；

2)利用二维线性插值根据步骤1)计算得到的各单元中心点x_c和对应背景网格节点x间的测地线距离d计算单元中心点x_c和设计点p_i之间的测地线距离||x_c-p_i||_g。

作为进一步优选的，速度场F(x)具体为：

其中，x为背景网格节点的坐标，Ω代表带孔复合材料结构的实体区域，x∈Ω表示节点在实体区域内，

表示节点在孔洞内。

作为进一步优选的，测地线距离||x_c-p_i||_g具体采用如下公式计算：

其中，

分别表示从单元中心点x_c到四个背景网格节点A₁、A₂、A₃、A₄的测地线距离，这四个背景网格节点分别分布在设计点p_i左上、左下、右上、右下的位置，(a₁,b₁)为A₁的坐标，(a₁,b₂)为A₂的坐标，(a₂,b₁)为A₃的坐标，(a₂,b₂)为A₄的坐标，(a,b)为p_i的坐标。

作为进一步优选的，更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件具体为：

(1)更新纤维角度θ_i：

其中，

为第k+1次更新后的θ_i值，

为第k次更新后的θ_i值，η为步长因子，

为敏度值

采用共轭映射后的结果，

和

分别为步长约束δ下的变量更新值；

(2)根据更新后的纤维角度计算目标函数值，判断目标函数值是否满足收敛条件，若否，返回步骤(1)再次更新纤维角度，若是，则结束，此时对应的纤维角度即为优化结果，以此完成带孔复合材料结构的设计优化。

作为进一步优选的，所述的收敛条件为：

其中，c^k为第k次更新后的目标函数值，c^k-1为第k-1次更新后的目标函数值，k为纤维角度更新的次数。

作为进一步优选的，

和

采用如下公式确定：

其中，θ_min和θ_min分别为θ_i的上下界，θ_min＝0，θ_max＝θ_min+π-ε，ε＝1×10^-8。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：

1.本发明改变现有优化方法，通过计算单元中心点到设计点之间的测地线距离，并基于测地线距离得到带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，解决了现有的基于欧氏距离的Shepard插值方法的局限性，改善了带孔复合材料结构的连续变角度纤维布局，提升了结构性能。

2.由于带孔复合材料结构孔洞的存在，使得现有的基于欧氏距离的优化方法不在适用于该结构，因为现有的方法忽视了孔洞两侧单元中心点处纤维角度和设计点处纤维角度的不相关性，导致孔洞两侧的纤维分布不合理而使设计的结构刚度偏小，本发明通过研究获得了一种新的优化方法，可适用于带孔复合材料结构的设计优化，该方法相比于现有方法，可将设计的结构刚度大大提升，提高约30％，并且孔周围的纤维角度分布更合理。

3.本发明方法通过划分背景网格并定义速度场，以区分实体区域与孔洞区域，然后基于上述区分对应计算出各区域中设计点到单元中心点的测地线距离，可以较好地解决带孔复合材料结构的纤维角度设计问题，改善孔周围的纤维分布，提升结构的力学性能，可获得最优的连续变角度纤维布局。

附图说明

图1是本发明的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法的流程图；

图2是本发明较佳实施方式提供的平面悬臂梁结构优化设计例子示意图；

图3是图2中的优化设计例子关于设计点处的纤维角度的优化结果；

图4是图2中的优化设计例子关于有限单元中心点处的纤维角度的优化结果；

图5是基于欧氏距离优化方法得到的有限单元中心点处纤维角度的优化结果。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，本发明实施例提供的一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，包括如下步骤：

S1在带孔复合材料结构的实体区域内均匀定义一系列离散设计点p_i，并设定各设计点p_i处纤维角度θ_i的初始值，其中，i＝1,2,...,n，n为正整数；

S2对带孔复合材料结构进行网格划分，提取节点数据和单元数据，确定各单元中心点x_c的坐标；

S3计算各单元中心点x_c到各设计点p_i的测地线距离||x_c-p_i||_g，基于测地线距离||x_c-p_i||_g求得各单元中心点x_c处的纤维角度

其中，

I_xc为单元中心点x_c的影响域内所有设计点索引集合；

S4建立依赖于纤维角度θ_e的刚度矩阵，并计算得到整体位移向量；

S5根据整体位移向量得到敏度，然后更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件，以此完成带孔复合材料结构的设计优化。

以下通过具体实施例对本发明进行详细说明，本实施例中，以带有均布载荷的悬臂梁柔度最小化的优化问题为例来解释本发明。如图2所示，在给定的1m×2m设计域内设置纤维角度初始值为90°，区域左侧边界施加位移约束，垂直于梁方向的面内载荷f＝1均匀地施加在区域上边界右侧0.5m范围内，对带孔的纤维增强悬臂梁结构进行纤维角度布局优化，使其柔度最小化，包括如下步骤：

S1在带孔复合材料结构的实体区域内均匀定义一系列离散设计点p_i，并设定各设计点p_i处纤维角度θ_i的初始值，其中，i＝1,2,...,200，设计点均匀排布，如图3所示，设计为10×20，给定p_i处纤维角度θ_i的初始值为90°，即纤维与水平线的夹角为90°；

S2对带孔复合材料结构进行网格划分，提取节点数据和单元数据，确定各单元中心点x_c的坐标，节点数为807，单元数N_e为700；

具体的，如图4所示，可在ANSYS有限元分析软件中选用四边形单元对带孔结构划分有限元网格，提取节点数据和单元数据，其中节点数据包括节点编号、节点坐标，单元数据包括单元编号和每个单元对应的四个节点的编号，根据每个单元对应节点的横坐标平均值和纵坐标平均值，即可得到各单元中心点x_c的横纵坐标，各单元中心点x_c的横坐标等于该单元对应的所有节点的横坐标的平均值，各单元中心点x_c的纵坐标等于该单元对应的所有节点的纵坐标的平均值，其中可以以纤维的铺设平面为二维坐标平面，以铺设平面上任意一点为坐标原点，以从左往右的水平线为X轴，以从前往后的与X轴垂直的水平线为Y轴，具体可根据实际需要进行设计。

S3计算各单元中心点x_c到各设计点p_i的测地线距离||x_c-p_i||_g，基于测地线距离||x_c-p_i||_g求得各单元中心点x_c处的纤维角度

其中，

I_xc为单元中心点x_c的影响域内所有设计点索引集合，影响域半径R_c的选取要保证至少有一个设计点p_i在单元中心点x_c的影响域内，优选的R_c＝0.3以满足要求。由于单元中心点x_c和设计点p_i的位置坐标固定，在优化迭代前计算得到的测地线距离||x-p_i||_g和权函数w_i(x)均被保存，以节省优化时间。

具体的，测地线距离||x_c-p_i||_g采用如下方式计算获得：

在带孔复合材料结构的实体区域内划分正方形的背景网格，正方形网格的各顶点称为节点，x为背景网格节点的坐标，x∈Ω表示节点在实体区域内，

表示节点在孔洞内，其中Ω代表结构的实体区域；在该网格背景下，定义速度场F(x)，表示如下：

F(x)与d之间可采用Eikonal非线性偏微分方程进行表示：

其中，d表示从单元中心点x_c到背景网格节点x之间的测地线距离，

表示梯度，|·|表示欧几里德范数，当单元中心点x_c与背景网格节点x重合时d＝0，通过求解非线性偏微分方程即可求解获得测地线距离d，而对于非线性偏微分方程的求解方法而言，其可以采用现有的常规求解方法进行求解，例如可利用快速推进法求解，其为现有技术，在此不赘述，具体求解方法本发明不做限定，只需能求解出非线性偏微分方程中待求解的参数即可。例如，单元中心点x_c为(1，0.65)，背景网格节点x为(1，0.35)，分布在实体区域内，则F(x)＝1，利用快速推进法求解方程

得d＝1.175；再如，单元中心点x_c为(1，0.65)，背景网格节点x为(1，0.5)，分布在孔洞区域内，则F(x)＝1×10^-8，利用快速推进法求解方程

得d＝2.684×10⁶。

利用二维线性插值计算单元中心点x_c和设计点p_i之间的测地线距离||x_c-p_i||_g，具体计算如下：

其中，d₁、d₂、d₃、d₄分别表示从单元中心点x_c到四个背景网格节点A₁、A₂、A₃、A₄的测地线距离，其通过求解非线性偏微分方程获得，这四个背景网格节点分别分布在设计点p_i左上、左下、右上、右下位置，例如设计点p_i分布在背景网格中，那么该背景网格的四个节点即为这四个节点，再如设计点p_i分布在背景网格上，那么设计点p_i左上、左下、右上、右下位置对应的与设计点p_i相邻的四个节点即为这四个节点，其中，A₁的坐标为(a₁,b₁)、A₂的坐标为(a₁,b₂)、A₃的坐标为(a₂,b₁)、A₄的坐标为(a₂,b₂)，p_i的坐标为(a,b)。

S4建立依赖于纤维角度θ_e的刚度矩阵，并计算得到整体位移向量；

S5根据整体位移向量得到敏度，然后更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件。

其中，步骤S4和S5采用的计算方法与背景技术中介绍的现有专利的计算方法一致，但输入的原始数据存在本质区别，本发明的原始数据是测地线距离，而现有专利的原始数据是欧氏距离，因此数据处理细节存在区别。

具体的，步骤S4中，利用步骤S2已划分的有限元网格，单元数N_e为700，在每个单元e(e＝1,2,3,......,700)上建立依赖于单元中心处纤维角度θ_e的刚度矩阵K^e(θ_e)，其中：

式中，B为位移应变矩阵，D(θ_e)是依赖于单元中心处纤维角度的单元弹性矩阵，A为结构的面积，A_e为单元e的面积；

单元弹性矩阵D(θ_e)计算如下：

D(θ_e)＝T(θ_e)D₀T(θ_e)^T

式中，D₀为纤维未旋转时原始弹性矩阵，T(θ_e)为旋转矩阵：

其中，E_x和E_y是杨氏模量，G_xy是剪切模量，ν_xy和ν_yx是泊松比，满足条件ν_xyE_y＝ν_yxE_x；

再通过组装单元刚度矩阵K^e(θ_e)得到整体刚度矩阵K，其具体操作就是把所有单元刚度矩阵K^e(θ_e)扩大为整体刚度矩阵同阶的方块阵

将单元刚度矩阵的元素存放至单元扩大矩阵中对应节点整体编号的行和列，其余元素为零，扩大后的矩阵也称为单元贡献矩阵，将所有单元贡献矩阵相加，即得到整体刚度矩阵，计算公式如下：

根据Ku＝f计算得到整体位移向量u，其中，f为外力向量，可根据实际需要进行选择与设定。

步骤S5中，利用刚度矩阵K^e(θ_e)、θ_e以及θ_e与θ_i的关系推导目标函数c关于设计变量θ_i的敏度

敏度

计算公式如下：

式中，u_e为单元e对应的位移向量，单元e的编号为n_e，则u_e为整体位移向量u第n_e行的元素。

利用基于敏度共轭映射的优化算法更新设计变量θ_i直到收敛，其更新格式如下：

其中，

为第k+1次更新后的纤维角度值，

为第k次更新后的纤维角度值，k为更新的次数，为≥1的正整数，

为初始纤维角度，即步骤S1中设定的纤维角度的初始值，η为步长因子，取值为3；

为敏度值

归一化后采用共轭映射后的结果，计算公式如下：

其中，e为自然常数；

和

分别为步长约束δ(取值为5°)下的变量更新值，定义如下：

其中，θ_min和θ_min分别为θ_i的上下界，θ_min＝0，θ_max＝θ_min+π-ε，ε＝1×10^-8，其为一个极小正值，用来消除插值时由于三角函数计算造成的数值错误；

获得更新后的设计变量(即纤维角度)，例如第k+1次更新后的θ_i值为

然后通过有限元分析得到设计变量第k+1次更新后的整体位移向量u^k+1，利用公式c^k+1＝f^Tu^k+1得到c^k+1，直至满足如下收敛准则，完成整个优化过程：

即当满足上述三个条件中的任意一个条件即完成优化，其中，c^k为第k次更新后的目标函数值，c^k-1为第k-1次更新后的目标函数值，k为纤维角度更新的次数。

综上，带孔复合材料结构的优化设计模型可以概括为：

findθ_i(i＝1,2,…,200)

min c＝f^Tu

s.t.Ku＝f

θ_min≤θ_i≤θ_max

其中，离散设计点处的纤维角度值θ_i为设计变量，目标函数为柔度c，设计目标使结构的柔度c最小化，设计约束为平衡方程Ku＝f和θ_i的上下界θ_max、θ_min。

本发明的优化结果如下：基于测地线距离的带孔复合材料结构设计点处的细微角度优化结果如图3所示，有限单元中心点处的纤维角度优化结果如图4所示，对应的结构柔度值为105.29；而采用现有的基于欧式距离的优化方法对带孔复合材料结构进行优化，其在有限单元中心点处的纤维角度优化结果如图5所示，对应的结构柔度值为151.64。比较本发明与现有的优化方法，可以看出本发明方法得到的结构刚度更大(柔度更小)，约提高30％，并且孔周围的纤维角度分布更合理，因此本发明的方法更适用于带孔复合材料结构的设计优化。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1在带孔复合材料结构的实体区域内均匀定义一系列离散设计点p_i，并设定各设计点p_i处纤维角度θ_i的初始值，其中，i＝1,2,...,n，n为正整数；

S2对带孔复合材料结构进行网格划分，提取节点数据和单元数据，确定各单元中心点x_c的坐标；

S3计算各单元中心点x_c到各设计点p_i的测地线距离||x_c-p_i||_g，基于测地线距离||x_c-p_i||_g求得各单元中心点x_c处的纤维角度

其中，

I_xc为单元中心点x_c的影响域内所有设计点索引集合；

其中，测地线距离||x_c-p_i||_g采用如下方式获得：

1)在带孔复合材料结构的实体区域内划分正方形的背景网格，定义速度场F(x)，根据非线性偏微分方程|▽d|F(x)＝1求解各单元中心点x_c和对应背景网格节点x间的测地线距离d；

2)利用二维线性插值根据步骤1)计算得到的各单元中心点x_c和对应背景网格节点x间的测地线距离d计算单元中心点x_c和设计点p_i之间的测地线距离||x_c-p_i||_g；

S4建立依赖于纤维角度θ_e的刚度矩阵，并计算得到整体位移向量；

S5根据整体位移向量得到敏度，然后更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件，以此完成带孔复合材料结构的设计优化。

2.如权利要求1所述的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，速度场F(x)具体为：

其中，x为背景网格节点的坐标，Ω代表带孔复合材料结构的实体区域，x∈Ω表示节点在实体区域内，

表示节点在孔洞内。

3.如权利要求1所述的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，测地线距离||x_c-p_i||_g具体采用如下公式计算：

其中，

d₁、d₂、d₃、d₄分别表示从单元中心点x_c到四个背景网格节点A₁、A₂、A₃、A₄的测地线距离，这四个背景网格节点分别分布在设计点p_i左上、左下、右上、右下的位置，(a₁,b₁)为A₁的坐标，(a₁,b₂)为A₂的坐标，(a₂,b₁)为A₃的坐标，(a₂,b₂)为A₄的坐标，(a,b)为p_i的坐标。

4.如权利要求1所述的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，更新纤维角度θ_i直至满足优化终止条件具体为：

(1)更新纤维角度θ_i：

其中，

为第k+1次更新后的θ_i值，

为第k次更新后的θ_i值，η为步长因子，

为敏度值

采用共轭映射后的结果，c^k为第k次更新后的目标函数值，

和

分别为步长约束δ下的变量更新值；

(2)根据更新后的纤维角度计算目标函数值，判断目标函数值是否满足收敛条件，若否，返回步骤(1)再次更新纤维角度，若是，则结束，此时对应的纤维角度即为优化结果，以此完成带孔复合材料结构的设计优化。

5.如权利要求4所述的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，所述的收敛条件为：

|c^k-c^k-1|≤2或

或k＞50

其中，c^k为第k次更新后的目标函数值，c^k-1为第k-1次更新后的目标函数值，k为纤维角度更新的次数。

6.如权利要求4所述的基于测地线距离的带孔复合材料结构设计优化方法，其特征在于，

和

采用如下公式确定：

其中，θ_max和θ_min分别为θ_i的上下界，θ_min＝0，θ_max＝θ_min+π-ε，ε＝1×10^-8。

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