CN115630542B

CN115630542B - 一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法

Info

Publication number: CN115630542B
Application number: CN202211187180.XA
Authority: CN
Inventors: 郭旭; 刘畅; 蒋旭东; 霍文栋; 杜宗亮
Original assignee: Dalian University of Technology; Ningbo Research Institute of Dalian University of Technology
Current assignee: Dalian University of Technology; Ningbo Research Institute of Dalian University of Technology
Priority date: 2022-09-28
Filing date: 2022-09-28
Publication date: 2023-09-01
Anticipated expiration: 2042-09-28
Also published as: CN115630542A

Abstract

本发明公开了一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，将待优化的薄壁结构基底曲面生成三角形网格曲面基于共形映射建立基底曲面和参数空间平面的映射关系在参数空间中进行组件布局以模拟参数空间的加强筋，基于共形映射的节点坐标变换将参数空间的加强筋映射为物理空间的加强筋网格模型；基于形状灵敏度分析方法，采用MMA求解器更新设计变量。本发明采用显式几何参数构建并描述参数空间的组件型加强筋，通过共形映射技术构建参数空间和物理空间的映射关系，实现物理空间中复杂曲面上的加筋模型的建立。对整个结构采用高精度的随体壳单元进行，可以准确捕获结构的响应信息。

Description

一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法

技术领域

本发明涉及一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法。

背景技术

薄壁结构作为一种轻质、易于制造的结构形式，广泛应用于各种高端工业结构装备中，如潜艇、火箭、航天飞船等。然而，薄壁结构通常处在复杂的荷载工况下服役，容易发生大变形、强度破坏、屈曲破坏等。为了增强薄壁结构的承载力，一般通过在结构上合理铺设一些增强的薄壁构件(加强筋、肋条等)来有效提高薄壁结构的整体性能。由于加强筋的尺寸、形状和布局对结构性能有很大影响，因此如何合理的设计薄壁结构加强筋也成为了薄壁结构研究中一个十分有趣且重要的问题，也引起了众多研究人员的广泛关注。

拓扑优化方法，作为一种先进的设计技术，目前已经在工程以及学术界中广泛使用来确定薄壁结构中加强筋的最优尺寸、形状和布局。现阶段，对于薄壁加筋结构的拓扑优化方法主要分为两大类：一类是基于单元密度的隐式拓扑优化方法，另一类是采用涂抹/等效模型的优化方法。在基于单元密度的优化方法中，通常采用实体单元对薄壁结构进行分析和优化，往往需要在薄壁结构的厚度方向上划分较密的网格，而密度变量数与结构单元数挂钩，这使得这类方法的设计变量数较多，计算量大。此外，密度类方法优化的结果通常不清晰，需要繁杂的人工处理过程才能得到可用的设计结果。在基于涂抹/等效模型的优化方法中，涂抹/等效技术虽然能较准确的获取结构的整体响应，但却不能精确预测结构的局部响应(局部应力、局部屈曲)。需要强调的是，现有的方法只能解决简单薄壁结构的加筋优化设计问题，对于具有复杂曲面(尤其是高亏格的曲面，参考图1)的薄壁结构的加筋优化设计，目前的方法不能有效地实现。

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明所要解决的技术问题是：如何提供一种能够针对薄壁加筋结构优化的高效地灵敏度分析算法，实现对一般复杂的薄壁加筋结构的布局优化设计方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用了如下的技术方案：

一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、将待优化的薄壁结构基底曲面生成三角形网格曲面

S2、基于共形映射建立基底曲面和参数空间平面的映射关系f:

S3、在参数空间中进行组件布局以模拟参数空间的加强筋，基于共形映射的节点坐标变换将参数空间的加强筋映射为物理空间的加强筋网格模型；

S4、基于形状灵敏度分析方法，采用MMA求解器更新设计变量。

进一步的，所述步骤S2中，采用如下步骤构建映射关系：

令为单连通开曲面，/>为复平面/>中的目标平面单位圆盘，构造调和映射h: 满足以下方程：

其中，表示用曲面/>定义的Laplace-Beltrami算子；

令g(z＝x+iy)＝u(x,y)+iv(x,y):是从/>到平面参数域/>的第二次拟共形映射，用μ_h ^-1＝ρ+iτ表示h的逆映射的Beltrami系数，映射g＝u+iv满足以下广义拉普拉斯方程：

其中，

将所需的共形映射f:建立为/>

进一步的，所述步骤S3中，加强筋组件在参数空间中满足下式：

其中，S₀(μ,η)为加强筋组件的中面，具体形式可以写为：

在上式中，t和h分别代表加强筋组件的厚度和高度，和是加强筋组件骨架的两个端点的坐标；n₁表示外边界S₁的外法线向量；符号μ,η和r分别是沿加强筋组件的长度、高度和厚度方向引入的局部坐标，并且有μ∈[0,1]，η∈[0,1]和r∈[0,1]；

与参数空间中加强筋组件中面的任意点P＝(u,v,w)所对应的在物理空间中加强筋组件中面上的点P′的坐标可以表示为：

S′₀(u,v,w)＝f^-1(u,v)+whN_p(u,v) (26)

其中，w∈[0,1]，f^-1:是由共形映射构造的逆映射，f^-1(u,v)计算的是点P′在基底曲面上的投影点P′₀的坐标，N_p表示点P′₀处曲面的外法线向量；

物理空间中加强筋组件上与中面平行的外边界S′₁和S′₂上的任一点的坐标满足下式：

其中，表示边界S′₁上的外向法向量，满足下式：

在上式中，τ_p表示加强筋中面底部骨架投影点P′₀处的切向量。

进一步的，采用下式约束方程建立加强筋底端的节点处的位移相容条件：

P_r是加强筋网格底部的一个节点，该节点也位于在基底曲面网格的某个单元上；其中，和/>分别表示节点P_r，P_bi，P_bj和P_bk的节点位移向量，N_bi，N_bj和N_bk是从单元全局坐标系建立的节点P_bi，P_bj和P_bk的形函数。

对每个参数空间中加强筋的驱动节点的坐标以及物理空间中曲面上的加强筋的几何参数进行优化，优化的数学列式如下：

FindD＝((P¹)^T,…,(P^np)^T,t¹,…,t^ns)^T,u(x)

其中，D为总的设计变量向量，其中pⁱ,i＝1,…np表示参数域中的驱动节点的坐标设计变量；tⁱ,i＝1,…ns表示厚度设计变量；I为优化的目标函数，此处为结构的柔度；符号K,u和f分别表示结构的全局刚度阵，位移向量以及纽曼边界Γ_t上的面力向量；υ_D为设计变量D的所有可行解组成的设计空间；为给定的材料体积上限。

进一步的，所述步骤S4中，加强筋结构优化的形状灵敏度信息满足下式：

式中，为第i个加强筋的外边界，/>表示所有加强筋的外边界，/>表示沿边界/>的外法向速度场；f是结构响应的量度，当符号I表示结构柔度时f＝2ω(ω表示应变能密度)，当I表示加强筋的总体积时f＝1。

综上所述，本发明具有如下优点：

1、对于一般复杂的曲面，根据曲面的形状和拓扑样式，采用共形映射技术进行参数化表示，建立与曲面所对应的参数域；

2、基于移动可变形组件法，在参数空间中布置组件模拟加强筋，采用显式的几何参数描述这些参数空间中的组件型加强筋，如端点坐标、厚度参数等，这些参数同时也被当成优化设计变量，这样的描述和优化方式不依赖于背景网格，可以大大降低设计变量数；

3、基于共形映射技术构建的参数化映射关系，将参数空间中的加强筋映射到物理空间中，实现曲面上加强筋的建模和描述，同时能保证加强筋和曲面之间的无缝贴合；

4、为了避免优化过程中加强筋的交叠，基于自适应基结构方法构建了加强筋的初始设计并以此规范优化过程；

5、由于加强筋是由明确的尺寸、形状参数来显式化描述和控制的，因此优化所得结果清晰、光滑、并可以很方便地导入到CAD/CAE系统，无需繁杂的人工识别、后处理过程。

附图说明

图1为高亏格的曲面薄壁结构示意图。

图2为基于共形映射得到曲面上的加强筋结构示意图。

图3和图4为长方体组件的几何模型和外边界定义示意图。

图5为参数空间中加强筋中面的几何模型。

图6为物理空间中加强筋中面的几何模型。

图7为物理空间中加强筋的两个主要外边界。

图8为网格模型的坐标变换。

图9为由节点驱动的自适应基结构法构建的加强筋初始设计。

图10为节点移动界限。

图11为基于切割操作的圆环面参数化。

图12为圆环面的参数空间的初始设计。

图13为圆环面的物理空间初始设计。

图14为复杂曲面的分片操作。

图15为薄壁加筋结构的网格模型。

图16为优化设计流程图。

图17为三通薄壁管加筋算例。

图18和图19为三通薄壁管的曲面分割和参数化。

图20和图21为三通薄壁管算例加强筋的各个面片的筋条初始布局和各面片初始设计的组集。

图22为三通薄壁管加筋算例中各面片上的优化后筋条布局和整体优化结果。

图23为三通薄壁管加筋算例的优化迭代历史。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步的详细说明。

本实施例中，将移动可变形组件拓扑优化框架和共形映射技术结合起来，实现了对具有复杂曲面的薄壁加筋结构的布局优化设计。整个优化模型的构建上，不同于以往的基于像素单元的密度法优化思路，采用组件代替像素单元来建立和描述加强筋，每根组件代表一根加强筋，加强筋可以在曲面上自由的移动、变形。为了保证曲面和加强筋底部的良好贴合，曲面上的筋条是基于共形映射技术由参数空间中的加强筋映射得到的，如图2所示。通过优化筋条的尺寸和布局等信息，最终可以实现对薄壁结构上的加强筋的优化设计。

首先，对于一个输入的薄壁结构基底曲面，基于共形映射技术建立曲面和参数空间平面的映射关系。共形映射的主要概念是构造一个保角双射映射f:即从在三维空间中的薄壁结构的基底曲面/>映射到二维空间参数平面/>也称为曲面共形参数化。在目前的工作中，采用如下共形映射算法来最小化角度失真，同时使得参数化更适用。该技术的核心要点描述如下。

该算法不是直接获得共形映射，而是通过构造一个由两个具有适当Beltrami系数的拟共形映射组成的映射，以实现共形性和双射性，大大降低了问题求解的难度。第一个是圆盘调和映射，可以通过求解椭圆偏微分方程组轻松获得。更明确地说，令为单连通开曲面，/>为复平面/>中的目标平面单位圆盘。要构造的调和映射h:/>满足以下方程：

其中，表示用曲面/>定义的Laplace-Beltrami算子，方程(33)通过有限元法求解的。注意得到调和映射h:/>已经实现了表面参数化的目的，但通常不是共形的，因此，通过拟共形重建方案建立第二个映射以修正角度失真。假设g(z＝x+iy)＝u(x,y)+iv(x,y):D→M是从/>到平面参数域/>的第二次拟共形映射。用μ_h ^-1＝ρ+iτ表示h的逆映射的Beltrami系数，映射g＝u+iv满足以下广义拉普拉斯方程：

其中，上述方程(2)采用有限元方法被离散化并求解。

一旦确定了两个拟共形映射h和g，就可以将所需的共形映射f:建立为所构建映射的保角特性保证了参数化空间中网格的高质量，进一步减少了后续薄壁结构加强筋参数化过程引起的筋条的扭曲。

如前所述，由于薄壁结构基底的曲面形状通常不规则且复杂，因此很难在基底曲面上直接构建薄壁加强筋并描述每个加强筋的几何形状。为了克服这个问题，采用上述的共形映射所建立的从到/>的参数化来实现参数空间中的加强筋到物理空间中的加强筋的映射变换。具体来说，基于MMC方法首先在参数空间中进行组件布局以模拟参数空间加强筋，然后基于共形映射将组件映射为物理空间的曲面上的加强筋。接下来，我们分别阐述参数空间中组件的描述以及物理空间中加强筋的生成过程。

其中，S₀(μ,η)为组件的中面，具体形式可以写为：

在上式(35)～(41)中，t和h分别代表长方体组件的厚度和高度。和是组件骨架的两个端点的坐标。n₁表示外边界S₁的外法线向量。此外，符号μ,η和r分别是沿组件的长度、高度和厚度方向引入的局部坐标(参考图4)，并且有μ∈[0,1]，η∈[0,1]和r∈[0,1]。

采用上述的长方体组件描述形式刻画参数空间中的薄壁加强筋，考虑到薄壁加强筋的厚度通常远小于其其他两个维度的尺度，因此在参数空间中仅对加强筋的中面进行建模，如图5所示。相应的物理空间中对应的加强筋中面如图6所示，其由参数空间加强筋的中面映射得到。与参数空间中筋条中面的任意点P＝(u,v,w)所对应的在物理空间中筋条中面上的点P′的坐标可以表示为：

S′₀(u,v,w)＝f^-1(u,v)+whN_p(u,v) (42)

其中，w∈[0,1]，f^-1:是由共形映射构造的逆映射，f^-1(u,v)计算的是点P′在基底曲面上的投影点P′₀的坐标。N_p表示点P′₀处曲面的外法线向量。

一旦完成了薄壁加强筋中面的构造，加强筋的两个主要外边界S′₁和S′₂上的任一点的坐标(参考图7)可以写成如下式：

其中，表示边界S′₁上的外向法向量，可以用下式计算：

在上式(45)中，τ_p表示筋条中面底部骨架投影点P′₀处的切向量。由上式可知，薄壁加强筋在物理空间中的几何形状和位置完全由在参数空间中的组件的位置参数和物理空间中组件的几何参数h和t控制。需要强调的是，上述参数化过程在实际的优化程序实现时被用于构建加强筋的网格模型。以图8为例，通过对参数空间中加强筋网格模型的节点进行坐标变换，可以得到曲面上加强筋的网格模型。

在薄壁结构加强筋的优化设计中，通常需要避免出现加强筋之间互相重叠、交叉的现象。为了实现这一点，我们基于节点驱动的自适应地面基结构方法，通过一系列驱动节点将加强筋之间连接起来，这些节点的坐标同时也可以作为每个加强筋的位置参数。在这种情况下，加强筋的移动和变形是由这些节点坐标的变化驱动的。基于节点驱动的自适应地基结构方法，一个简单曲面上的加强筋的典型初始设计如图9所示。需要强调的是，这些分布在设计域中的驱动节点都有各自规定的移动范围，以有效避免优化过程中加强筋的重叠问题。从图10可以看出，位于矩形域顶点的节点在整个过程中是不动的，而那些最初分布在边界上的节点只能在边界线上移动。此外，对于矩形域内的节点，我们设置了一些初始边界来限定它们的移动范围。

当基板曲面的拓扑具有高亏格的复杂流形时，需要引入切割操作来定义参数化。以一个亏格为1的圆环面为例，沿该曲面的径向剖面线Γ₁和圆环线Γ₂切割后，得到的中间曲面可以共形映射到一个矩形平面/>上，如图11～13所示。因此，可以在参数平面/>上设置初始加强筋，然后将其映射到圆环面/>上。由于位于切割线Γ_i和不同侧的加强筋最终可能在物理空间上相互重叠，因此我们只将加强筋放置在参数空间中切割线(Γ′_i)的一侧(参考图12)。此外，在优化过程中，切割线Γ_i不同侧的驱动节点的移动是同步的。图13显示了物理空间中相应的初始加强筋布局。

理论上，任何曲面都可以全局参数化映射到单个参数域。然而，这样所建立的映射关系有时不适用于加强筋的优化问题，因为过于僵硬的全局映射会导致加强筋在物理空间中的扭曲，并有可能使优化求解过程不稳定。为了解决这个问题，我们引入了常用的多面片拼接技术以减少参数化映射的失真，提高加强筋几何模型的保真度。在这里，我们展示了一个具有高亏格和非流形属性的经典曲面的拼接模式，如图14所示。一旦完成曲面的分割操作，就可以在每个面片上使用前面描述的方法进行加强筋的布局和描述。

在目前的工作中，基底曲面和加强筋分别被离散成三角形网格和四边形网格(见图15)，其中加强筋的网格模型通过自适应随体网格技术划分并在每个迭代循环中不断更新。为保证分析结果的准确性，在当前工作中基底曲面和加强筋均采用高精度的壳单元进行模拟以获取结构响应信息。考虑到基底与加强筋的连接性，采用如下约束方程建立加强筋底端的节点处的位移相容条件，如图7所示，P_r是加强筋网格底部的一个节点，该节点也位于在基底曲面网格的某个单元上。

其中，U_Pbi，U_Pbj和U_Pbk分别表示节点P_r，P_bi，P_bj和P_bk的节点位移向量。在等式。上式中，N_bi，N_bj和N_bk是从单元全局坐标系建立的节点P_bi，P_bj和P_bk的形函数。

综上所述，在此优化框架中，优化的设计变量为每个参数空间中加强筋的驱动节点的坐标以及物理空间中曲面上的加强筋的几何参数(在本工作中，考虑加强筋的厚度)，优化目标是在给定的体积约束下使整个薄壁结构的柔度最小。优化的数学列式如下：

在优化的每次迭代流程中，优化求解器需要根据结构的力学响应指标来更新设计变量。本实施例中优化求解器采用梯度类求解器——MMA，则需要在每一个优化迭代步中提供结构的灵敏度信息，即优化的目标函数/约束函数对设计变量的导数。在我们所提方法中，基于形状灵敏度分析方法，推导了对于复杂曲面的薄壁加筋结构优化的灵敏度信息。

在形状灵敏度分析方法中，对于一般的目标函数/约束函数，相应的形状灵敏度表达式可以写为：

在式(48)中，为第i个加强筋的外边界，/>表示所有加强筋的外边界。/>表示沿边界/>的外法向速度场。此外，f是结构响应的度量。具体来说，当符号I表示结构柔度时，有f＝2ω(ω表示应变能密度)。当I表示加强筋的总体积时，我们有f＝1。

下面以一根加强筋为例，如图5～图8所示，详细说明外法向速度场的计算。对于第i根肋骨，/>与两个主要外边界S′₁和S′₂的变化相关联，可以写为：

根据式(43)和式(44)，上式可简化为：

在上式(50)中，δS′₀可以通过式(41)和式(42)获得：

其中，可以由式(45)得到。

因此，可以得出：

其中，A，B，C和D的表达式可以计算为：

基于以上表达式，最终灵敏度的具体形式可以写为：

其中，np₁和np₂分别表示受驱动节点P1和P2控制的加强筋的个数。优化设计流程图如图16所示。

为了验证上述方法的有效性和可靠性，在此，选取了一个典型的三通薄壁管加筋结构进行优化设计。由于算例的主要目的是验证所提方法的数值性能，因此算例中涉及的材料属性、载荷条件和几何参数均视为无量纲化。底板和加强筋的弹性模量分别为E_p＝1和E_s＝2，两者的泊松比均为v_p＝v_s＝0.3。图17展示了此算例的基本问题设置。加强筋的高度设置为h_r＝0.001，底板的厚度设置为t_b＝0.0001。加强筋总体积的上限取为(|D|是设计域体积)，加强筋厚度的变动范围设置为[10^-7,0.0004]。考虑到该结构的拓扑和形状非常复杂，需要进行拼接操作和切割操作来建立基底曲面的共形映射参数化。如图18所示，整个曲面可以首先分为四个面片，其中三个分支面片连接到中间的关节面片。通过沿母线方向对每个分支面片进行修剪，可以直接建立每个分支面片与矩形域之间的共形映射关系。对于关节面片，沿选定的线切割后，它在拓扑上等同于一个带有内孔的矩形域。因此，可以使用孔洞填充操作来建立该面片的共形映射(参考图19)。一旦完成共形映射的构建，就可以在参数空间和相应的物理空间中构建初始加强筋，如图20和图21所示，一共有392个加强筋、163个驱动节点和638个设计变量。

该算例的优化后加强筋布局设计和相应的迭代历史分别如图22和图23所示。结构柔度值为559.24，与初始设计相比降低了约33.1％。从优化结果可以看出，尽管该结构曲面非常复杂，加强筋仍然可以很好地贴合在基底曲面上，并且优化结果中加强筋的布局非常清晰，边界也十分光滑，这体现了所提方法的优势。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不以本发明为限制，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、将待优化的薄壁结构基底曲面生成三角形网格曲面

S2、基于共形映射建立基底曲面和参数空间平面的映射关系

S4、基于形状灵敏度分析方法，采用MMA求解器更新设计变量；

所述步骤S2中，采用如下步骤构建映射关系：

令为单连通开曲面，/>为复平面/>中的目标平面单位圆盘，构造调和映射满足以下方程：

其中，表示用曲面/>定义的Laplace-Beltrami算子；

令是从/>到平面参数域/>的第二次拟共形映射，用/>表示h的逆映射的Beltrami系数，映射g＝u+iv满足以下广义拉普拉斯方程：

其中，

将所需的共形映射建立为/>

所述步骤S3中，加强筋组件在参数空间中满足下式：

其中，S₀(μ,η)为加强筋组件的中面，具体形式可以写为：

在上式中，t和h分别代表加强筋组件的厚度和高度，和/>是加强筋组件骨架的两个端点的坐标；n₁表示外边界S₁的外法线向量；符号μ,η和r分别是沿加强筋组件的长度、高度和厚度方向引入的局部坐标，并且有μ∈[0,1]，η∈[0,1]和r∈[0,1]；

S′₀(u,v,w)＝f^-1(u,v)+whN_p(u,v) (10)

其中，w∈[0,1]，是由共形映射构造的逆映射，f^-1(u,v)计算的是点P′在基底曲面上的投影点P′₀的坐标，N_p表示点P′₀处曲面的外法线向量；

其中，表示边界S′₁上的外向法向量，满足下式：

2.如权利要求1所述的薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，其特征在于，采用下式约束方程建立加强筋底端的节点处的位移相容条件：

3.如权利要求2所述的薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，其特征在于，对每个参数空间中加强筋的驱动节点的坐标以及物理空间中曲面上的加强筋的几何参数进行优化，优化的数学列式如下：

Find D＝((P¹)^T，…，(P^np)^T，t¹，…，t^ns)^T，u(x)

Minimize I＝I(D)

s.t.

K(D)u(D)＝f

4.如权利要求3所述的薄壁加筋结构的加筋布局优化方法，其特征在于，所述步骤S4中，加强筋结构优化的形状灵敏度信息满足下式：

式中，为第i个加强筋的外边界，/>表示所有加强筋的外边界，/>表示沿边界/>的外法向速度场；f是结构响应的量度，当符号I表示结构柔度时f＝2ω，ω表示应变能密度，当I表示加强筋的总体积时f＝1。