CN110717208B - 一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化领域，并公开了一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法。该方法包括：(a)对待优化的宏观结构、原型微结构的初始构型初始化；(b)以初始构型的等效属性计算宏观结构频率响应J1，计算获得每个原型微结构的构型；(c)对每个原型微结构进行形状插值，获得多个梯度微结构作为样本点构建预测模型并预测宏观结构中每个梯度微结构的等效属性；(d)利用每个梯度微结构的等效属性计算宏观结构的频率响应J2，计算J1与J2的差值，当大于预设阈值时，计算获得宏观结构中每个微结构的密度，返回步骤(b)；当小于预设阈值时，采用形状插值获得宏观结构中的微结构构型。通过本发明能充分提升结构动态性能。

Description

一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化领域，更具体地，涉及一种基于连续梯度微结构 的多尺度频率响应拓扑优化方法。

背景技术

非均匀多孔结构具有众多优异的力学性能，如超轻质、高比刚度/强度、 优异的声学和振动阻尼特性，广泛应用于航空航天、汽车工业等相关结构 设计领域。多尺度频率响应拓扑优化是一种有效的多孔结构设计方法，非 常适用于对结构由较高减振和降噪需求的结构设计。基于连续梯度微结构 的多尺度频率响应拓扑优化设计方法能充分发掘宏微观两个尺度上的设计 潜能，以最少的材料用量或者最低的成本实现结构的最佳性能。

然而上述方法存在两大亟待解决的难点。第一是相连微结构之间的连 接性问题。为解决该问题，本领域相关技术人员已做了一些研究，如文献1： “S.Zhou,Q.Li,Design ofgraded two-phase microstructures for tailored elasticity gradients,Journal ofMaterials Science,43 (2008)5157-5167.”公开了一种通过在微结构边界上事先定义非设计域来 保证相连微结构之间连接性的方法。该方法仅能保证相连微结构能连接， 而连接处仍存在悬空材料。第二是由于大量的微结构需要优化而引起的高 昂计算成本。如文献2：“L.Xia,P.Breitkopf,Multiscale structural topology optimization with anapproximate constitutive model for local material microstructure,ComputerMethods in Applied Mechanics and Engineering,286(2015)147-167.”公布了一种通过构建缩减模型 来近似微结构等效属性的方法以降低计算成本。然而上述方法均未考虑微结构之间的连接性问题，亦未涉及结构动力学性能方面的研究。

因此，以较低的计算成本，设计宏观结构域内微结构属性逐点变化且 构型连续的多尺度结构，以充分发掘多尺度的设计空间，最大限度提升结 构的动力学性能，是当前亟待解决的研究热点问题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于连续梯 度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其目的在于以较低的计算成本 充分发掘宏微观多尺度设计空间，同时保证相连微结构之间的连接性，充 分发挥材料潜能，提升结构动力学性能。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种基于连续梯度微结构的多 尺度频率响应拓扑优化方法，该方法包括下列步骤：

(a)对于待优化的宏观结构，其包括多个密度相同的多孔微结构，将 一个该多孔微结构设定为初始微结构，设定多个原型微结构的密度，将该 原型微结构按照设定的密度大小按照从小到大进行排序，以此获得每个原 型微结构的序号，将所述初始微结构作为原型微结构的初始构型；根据原 型微结构的密度将(0,1)之间划分为多个密度区间，每个原型微结构的密 度对应一个密度区间；

(b)根据原型微结构的初始构型采用均匀化理论计算所述初始构型的 等效属性，以所述初始构型的等效属性计算所述宏观结构频率响应J1，利 用该频率响应计算获得每个原型微结构的构型；

(c)对于每个原型微结构，根据该原型微结构所对应的密度区间，采 用形状插值方法对该原型微结构进行形状插值，以此获得与该原型微结构 对应的多个梯度微结构的构型，该多个梯度微结构的构型在所述原型微结 构对应的密度区间内呈连续梯度变化；

(d)计算每个梯度微结构的等效属性，利用每个密度区间对应的梯度 微结构的等效属性构建预测模型，该预测模型中密度作为输入，等效属性 作为输出，以此获得多个密度区间对应的预测模型，利用该多个预测模型 预测宏观结构中每个梯度微结构的等效属性，利用所述梯度微结构的等效 属性计算宏观结构的频率响应J2，计算频率响应J1与J2的差值，根据计 算的差值按照下列步骤之一进行：

(d1)当二者差值大于二者预设阈值时，以宏观结构的频率响应最小 为目标，预设的材料用量为约束条件，构建宏观优化模型，利用该宏观优 化模型计算获得所述宏观结构中每个梯度微结构的密度；采用获得的每个 梯度微结构的密度对所述宏观结构进行更新，获得更新后的宏观结构；

将所述更新后的宏观结构作为待优化的宏观结构，第一个原型微结构 作为初始微结构，所有原始微结构作为初始构型，返回步骤(b)；

(d2)当二者差值小于预设阈值时，根据宏观结构中的每个梯度微结 构的密度，对该密度所在密度区间对应的原型微结构进行形状插值，以此 获得宏观结构中每个微结构的构型，即获得优化后的宏观结构，实现拓扑 优化过程。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述计算获得每个原型微结构的构型， 按照下列步骤进行：

(b1)对于第i个原型微结构，将其作为目标原型微结构，采用参数 化水平集的拓扑优化方法对所述初始微结构的构型进行优化，以此获得所 述目标原型微结构的构型，即第i个原型微结构的构型；

(b2)将获得的第i个原型微结构的构型作为初始微结构，第i+1个 原型微结构作为目标原型微结构，返回步骤(b2)，直至获得所有原型微 结构的构型。

进一步优选地，在步骤(b1)中，获得所述目标原型微结构的构型， 优选按照下列步骤进行：

(b21)采用均匀化理论计算每个原型微结构的等效属性；

(b22)以步骤(b)中获得的频率响应J1最小为目标，目标原型微结 构的密度为约束条件，构建微观优化模型，计算该微观优化模型获得所述 目标原型微结构的构型。

进一步优选地，在(b22)步骤中，所述微观优化模型优选按照下列模 型进行：

Find:

Minimize:

Subjectto:

其中，

是微观设计变量，MI表示α_m,n是微观尺度下的物理量，m 是原型微结构的数量，M是原型微结构的总数量，n是一个原型微结构的节 点数量，N是一个原型微结构的节点总数量，

是第m个原型微结构在 其设计域

内的水平集函数，J(α^MI)是指定点的位移响应，|·|是计算复 变量的幅值，ω是激励载荷频率，ω_e和ω_s表示激励载荷频率的上下界限，

是位移向量U的共轭向量，L是标识向量，即在指定的自由度处为1，其 他处为0，S是动刚度矩阵，G_m是第m个原型微结构的体积率约束，H(·) 是Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，

表示宏观结构的体 积，

和

是

的上下边界，

正则化的设计变量，便于后续的 优化算法求解，

是原型微结构的等效属性，通过均匀化理论计算，

是的第m个原型微结构的等效密度，PM用于标识当前量与原型微结构是相 关的量，ρ是宏观结构的密度向量，MA是是宏观尺度下的物理量，H表示 均匀化，i，j，k，l分别是施加单元测试应变的方向，对应横坐标方向、 纵坐标及竖坐标方向，F是外加激励载荷。

进一步优选地，在(b22)步骤中，采用基于参数化水平集拓扑优化方 法计算所述微观优化模型。

进一步优选地，在步骤(d1)中，所述宏观优化模型优选按照下列模 型进行：

Find:

Minimize:

Subject to:

S(ρ^MA)U＝F

其中，

为宏观尺度设计变量，即单元相对密度，Ne是宏观结构中 微结构的数量，NE是宏观结构中微结构的总数量，J(ρ^MA)是指定点的位移 响应，G表示预设的材料用量约束条件，Ω^MA是整个宏观结构设计域，

为限定的材料使用量。ρ_min为设计变量的最小值，f_pm是可通过插值原型微 结构得到的非均匀微结构的最小密度，ρ_max是设计变量的最大值。

进一步优选地，在步骤(d1)中，所述利用该宏观优化模型计算获得 所述宏观结构中每个梯度微结构的密度，优选采用变厚度拓扑优化方法。

进一步优选地，在步骤(d)中，所述预测模型优选为Kriging预测模 型。

进一步优选地，在步骤(b)中，所述获得每个原型微结构的构型后， 还包括：对每个原型微结构根据其敏度信息进行过滤，使得该原型微结构 的构型光滑。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够 取得下列有益效果：

1、本发明由于采用了多种原型微结构顺序优化策略，保证了多种原型 微结构具有相似的拓扑构型，通过形状插值技术插值具有相似拓扑构型的 多种原型微结构，保证了宏观结构域内逐点变化的梯度微结构具有较好的 连接性；

2、本发明由于采用Kriging模型预测宏观结构域内的所有梯度微结构 等效属性，减少了微观优化的计算成本，引入拟静力Ritz基向量法进行宏 观结构频率响应分析,降低了宏观优化的计算成本；

3、本发明提供的化方法，与现有的技术相比，实现了连续梯度微结构 的最优拓扑构型及其在宏观结构域内位置的联合优化，同时保证所有梯度 微结构具有较好的连接性，本发明相较于传统的多尺度设计，不仅大大减 少了计算成本，也极大地扩展了多尺度设计空间，能有效提升结构动力学 性能。

附图说明

图1是按照本发明的优选实施例所构建的一种基于连续梯度微结构的 多尺度频率响应拓扑优化方法的流程图；

图2是按照本发明的优选实施例所构建的宏观结构设计域的结构示意 图；

图3是按照本发明的优选实施例所构建的初始微结构示意图；

图4是按照本发明的优选实施例所构建的图2中宏观结构材料布局优 化后的示意图；

图5是按照本发明的优选实施例所构建的四种原型微结构的构型及与 其对应的梯度微结构示意图；

图6是按照本发明的优选实施例所构建的图2中宏观结构的最优多尺 度设计示意图；

图7是按照本发明的优选实施例所构建的图4中四种原型微结构插值 得到的梯度微结构等效属性相对于等效密度的变化示意图

图8是按照本发明的优选实施例所构建的四种原型微结构构型的迭代 示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图 及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体 实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的 本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可 以相互组合。

一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其流程图 如图1所示，主要包括如下步骤：

本实施例中的待优化的宏观结构如图2所示，其包括多个密度相同的 多孔微结构，多孔微结构如图3所示，本发明中的密度是指整个微结构中 实体部分体积所占该整个微结构体积的体积率，其取值范围为(0,1)之间， 步骤一，将一个该多孔微结构设定为初始微结构，设定多个原型微结 构的密度，将该原型微结构按照设定的密度大小按照从小到大进行排序， 以此获得每个原型微结构的序号，将所述初始微结构作为原型微结构的初 始构型，第一个原型微结构是密度最小的原型微结构；

采用基于参数化水平集的拓扑优化方法逐个优化原型微结构的拓扑构 型，具体包括以下子步骤：

(1.1)采用均匀化理论计算多种原型微结构的等效属性，对于二维结 构，等效属性为3×3的矩阵，对于三维结构，等效属性为6×6的矩阵，其 包括弹性模量，泊松比和剪切模量；

(1.2)基于宏观单元密度分布进行密度聚类，即在密度区间

内的所有宏观单元被当作具有等效密度

的原型微结构， 随后引入拟静力Ritz基向量法进行宏观结构频率响应分析，获得宏观结构 的频率响应；

(1.3)以宏观结构频率响应最小为目标，第一个原型微结构的等效密 度为给定的材料用量，即约束条件，基于参数化水平集拓扑优化方法构建 第一个原型微结构的优化模型，所述优化模型如下：

Find:

Minimize:

Subject to:

其中

是微观设计变量，MI表示α_m,n是微观尺度下的物理量，M是 原型微结构的种类，N是一个原型微结构的节点数量。

是第m个原型 微结构在其设计域

内的水平集函数。J(α^MI)是宏观结构频率响应目标函 数，表示指定点的位移响应。｜·|表示计算复变量的幅值，ω_e和ω_s表示激励 载荷频率的上下界限，

是位移向量U的共轭向量，L是标识向量，即在指 定的自由度处为1，其他处为0。S是动刚度矩阵，即S＝(-ω²M+iωC+K)，F是 设定的外载荷。G_m表示第m个原型微结构的体积率约束，H(·)是Heaviside函 数，用于表述结构形式的特征函数，

表示宏观实体单元的体积。

和

是

的上下边界。

正则化的设计变量，便于后续的优化算法 求解。

表示原型微结构的等效属性，通过均匀化理论计算。

(1.4)计算目标函数及约束条件对微观尺度设计变量的敏度信息，采 用基于梯度的优化算法更新设计变量，所述敏度计算公式如下：

其中Δω表示频率子区间，

表示在指定频率ω_z时的频率响应对设 计变量的敏度，这里ω_z＝ω_s+z(ω_e-ω_s)/NS，z是表示当前频率的下标， z＝1,2,...,NS，NS是在激励频率区间[ω_s,ω_e]内需要进行积分计算的频率数量， NS＝(ω_e-ω_s)/Δω。其中U_real,L和U_imag,L是指定点位移向量U_L的实部和虚部， U′_real,L和U′_imag,L是指定点位移向量对设计变量敏度U′_L的实部和虚部。λ表示伴 随向量，可通过方程Sλ＝L求得，α_r和β_r表示Rayleigh阻尼系数，N是形 状函数矩阵，B是应变-位移矩阵，

表示Heaviside函数对设计变量的 导数，

表示微结构等效属性对设计变量的导数，δ(·)为Dirac函数， 用于计算Heaviside函数的偏导数，

表示第m个微结构的第n个节点的 紧支撑径向基插值系数。

(1.5)判断目标函数是否满足设定的阈值，即收敛条件，若满足收敛 条件，则输出当前原型微结构的构型并转至(1.6)，否则转至(1.1)，收敛 条件；

(1.6)基于当前原型微结构优化后的构型构建下一个原型微结构的初 始构型；

(1.7)重复(1.1)-(1.5)直至获得所有原型微结构构型，且在计算 敏度信息时利用邻近原型微结构敏度信息对当前原型微结构敏度信息进行 过滤，使得当前原型微结构的构型变得光滑，在当前原型微结构上不出现 细小的结构。

步骤二，基于形状插值技术对优化后的原型微结构进行形状插值，以 获得一系列形状类似的梯度微结构。以这些梯度微结构为样本点构建 Kriging模型并预测宏观结构域内所有梯度微结构的等效属性，随后引入拟 静力Ritz基向量法进行宏观结构的频率响应分析，具体包括以下子步骤：

(2.1)对于一种具有等效密度

的原型微结构，在密度区间

内选择一系列密度值，通过形状插值技术插值该原型微结构 以得到相应的梯度微结构构型；

(2.2)采用均匀化理论计算插值得到的微结构等效属性，并以此作为 样本点构建Kriging模型；

(2.3)基于构建的每个原型微结构的Kriging模型预测宏观结构域内所 有梯度微结构的等效属性；

(2.4)基于拟静力Ritz基向量法进行宏观结构的频率响应分析；

(2.5)判断目标函数是否满足收敛条件，若满足收敛条件，则输出当 前最优多尺度设计结果，否则转至步骤三；

本实施例中选取四种原型微结构，如图5所示，第一行为四个原型微 结构，密度分别为0.2,0.4,0.6,0.8，第二行为原型微结构对应的密度区间 (0.05，0.3)，(0.3，0.5)，(0.5，0.7)和(0.7，1)，第三行为每 个原型微结构对应的梯度微结构。密度小于0.05的微结构，不便于制造， 所以在本方法中，将密度小于0.05的微结构全部舍弃。

步骤三，在给定的约束条件下，以宏观结构频率响应最小为优化目标， 采用变厚度法优化宏观结构域内的梯度微结构分布，具体包括以下子步骤：

(3.1)以宏观结构频率响应最小为优化目标，在给定的约束条件下， 采用变厚度法构建宏观材料分布优化模型，所述优化模型如下：

Find:

Minimize:

Subjectto:

S(ρ^MA)U＝F,

其中

为宏观尺度设计变量，即单元相对密度，NE表示宏观单元总数。 J(ρ^MA)是宏观结构的频率响应，目标函数，表示指定点的位移响应，G表示 给定的材料用量约束条件，Ω^MA表示整个宏观结构设计域，

为预设的限定 的材料使用量。ρ_min为设计变量的最小值，一般取0.001，目的是避免刚度 矩阵，f_pm表示可通过插值原型微结构得到的非均匀微结构的最小密度，一 般取0.05，ρ_max是设计变量的最大值，一般取1。

(3.2)计算目标函数及约束条件对宏观尺度设计变量的敏度信息，敏 度信息用于指导设计变量的迭代方向，所述敏度计算公式如下：

其中

(3.3)采用基于梯度的优化算法更新宏观尺度设计变量，并输出优化 后的宏观结构中每个微结构的密度。

(3.4)判断目标函数是否满足阈值，收敛条件，若满足收敛条件，则 转至步骤一，否则转至(3.1)；

请参阅图2至图8，以下以两端铰接的宏观结构的设计来进一步说明本 发明。如图2所示，两端铰接的宏观设计域尺寸为长0.8m，高0.2m，简谐激 励载荷

施加于设计域中心位置P点，激励载荷频率变化范围 ω∈[0,100]Hz，宏观设计域采用120×30＝3600个四边形单元进行网格划分。如图3 所示，原型微结构设计域尺寸为长1/150m，高1/150m，采用50×50＝2500个四边形 单元进行网格划分，原型微结构的设计域采用50×50＝2500个四边形单元进行 网格划分。所用材料的材料属性为弹性模量E₀＝201GPa，泊松比μ＝0.3，密度 ρ₀＝7.8×10³kg/m³。优化目标为载荷激励点处的位移响应值最小，限定的材料用量为40％。

如图4所示为通过变厚度法优化后的宏观材料密度分布图，图5为采 用参数化水平集拓扑优化方法按照四种原型微结构体积率大小顺序优化得 到的最优拓扑构型，四种原型微结构具有相似的拓扑，通过形状插值技术 插值具有相似拓扑构型的四种原型微结构所获得的所有梯度微结构具有较 好的连接性。图6是宏观结构的最优多尺度设计，优化后载荷激励点P处 的位移响应值为2.0792×10^-2m。图7是四种原型微结构插值得到的梯度微结构 等效属性相对于等效密度的变化图，可看到任意梯度微结构均具有显著的 正交各向异性属性，能灵活地根据宏观结构域内各点处的材料属性需求提 供不同的等效性能，使宏观结构频率响应最小。图8是采用本发明所提供 的方法进行多尺度优化时宏观目标函数、宏观材料密度分布以及四种原型 微结构构型的迭代示意图。在经历了7次宏微观两尺度循环，总共130步 迭代后目标函数获得收敛，显示本发明所提供的方法的高效性，同时宏观 材料密度分布与原型微结构构型随着迭代稳定收敛。本发明提供的一种基 于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，实现了连续梯度微结 构的最优拓扑构型及其在宏观结构域内位置的联合优化，同时保证了逐点 变化的微结构具有较好的连接性，本发明相较于传统的多尺度设计，不仅 大大减少了计算成本，也极大地扩展了多尺度设计空间，同时适用于提升 结构动力学性能。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已， 并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等 同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)对于待优化的宏观结构，其包括多个密度相同的多孔微结构，将一个该多孔微结构设定为初始微结构，设定多个原型微结构的密度，将该原型微结构按照设定的密度大小按照从小到大进行排序，以此获得每个原型微结构的序号，将所述初始微结构作为原型微结构的初始构型；根据原型微结构的密度将(0,1)之间划分为多个密度区间，每个原型微结构的密度对应一个密度区间；

(b)根据原型微结构的初始构型采用均匀化理论计算所述初始构型的等效属性，以所述初始构型的等效属性计算所述宏观结构频率响应J1，利用该频率响应计算获得每个原型微结构的构型；

(c)对于每个原型微结构，根据该原型微结构所对应的密度区间，采用形状插值方法对该原型微结构进行形状插值，以此获得与该原型微结构对应的多个梯度微结构的构型，该多个梯度微结构的构型在所述原型微结构对应的密度区间内呈连续梯度变化；

(d)计算每个梯度微结构的等效属性，利用每个密度区间对应的梯度微结构的等效属性构建预测模型，该预测模型中密度作为输入，等效属性作为输出，以此获得多个密度区间对应的预测模型，利用多个所述预测模型预测宏观结构中每个梯度微结构的等效属性，利用所述梯度微结构的等效属性计算宏观结构的频率响应J2，计算频率响应J1与J2的差值，根据计算的差值按照下列步骤之一进行：

(d1)当二者差值大于二者预设阈值时，以宏观结构的频率响应最小为目标，预设的材料用量为约束条件，构建宏观优化模型，利用该宏观优化模型计算获得所述宏观结构中每个梯度微结构的密度；采用获得的每个梯度微结构的密度对所述宏观结构进行更新，获得更新后的宏观结构；

将所述更新后的宏观结构作为待优化的宏观结构，第一个原型微结构作为初始微结构，所有原始微结构作为初始构型，返回步骤(b)；

(d2)当二者差值小于预设阈值时，根据宏观结构中的每个梯度微结构的密度，对该密度所在密度区间对应的原型微结构进行形状插值，以此获得宏观结构中每个微结构的构型，即获得优化后的宏观结构，实现拓扑优化过程。

2.如权利要求1所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述计算获得每个原型微结构的构型，按照下列步骤进行：

(b1)对于第i个原型微结构，将其作为目标原型微结构，采用参数化水平集的拓扑优化方法对所述初始微结构的构型进行优化，以此获得所述目标原型微结构的构型，即第i个原型微结构的构型；

(b2)将获得的第i个原型微结构的构型作为初始微结构，第i+1个原型微结构作为目标原型微结构，返回步骤(b1)，直至获得所有原型微结构的构型。

3.如权利要求2所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(b1)中，获得所述目标原型微结构的构型，优选按照下列步骤进行：

(b21)采用均匀化理论计算每个原型微结构的等效属性；

(b22)以步骤(b)中获得的频率响应J1最小为目标，目标原型微结构的密度为约束条件，构建微观优化模型，计算该微观优化模型获得所述目标原型微结构的构型。

4.如权利要求3所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在(b22)步骤中，所述微观优化模型优选按照下列模型进行：

Find:

Minimize:

Subjectto:

m＝1,2,...,M

n＝1,2,...,N

其中，

是微观设计变量，MI表示α_m,n是微观尺度下的物理量，m是原型微结构的数量，M是原型微结构的总数量，n是一个原型微结构的节点数量，N是一个原型微结构的节点总数量，

是第m个原型微结构在其设计域

内的水平集函数，J(α^MI)是指定点的位移响应，

是计算复变量的幅值，ω是激励载荷频率，ω_e和ω_s表示激励载荷频率的上下界限，

是位移向量U的共轭向量，L是标识向量，即在指定的自由度处为1，其他处为0，S是动刚度矩阵，G_m是第m个原型微结构的体积率约束，

是Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，

表示宏观结构的体积，

和

是

的上下边界，

正则化的设计变量，便于后续的优化算法求解，

是原型微结构的等效属性，通过均匀化理论计算，

是的第m个原型微结构的等效密度，PM用于标识当前量与原型微结构是相关的量，ρ是宏观结构的密度向量，MA是是宏观尺度下的物理量，H表示均匀化，i，j，k，l分别是施加单元测试应变的方向，对应横坐标方向、纵坐标及竖坐标方向，F是外加激励载荷。

5.如权利要求3所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在(b22)步骤中，采用基于参数化水平集拓扑优化方法计算所述微观优化模型。

6.如权利要求1所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(d1)中，所述宏观优化模型优选按照下列模型进行：

Find:

Minimize:

Subjectto:

S(ρ^MA)U＝F

Ne＝1,2,...,NE

其中，

为宏观尺度设计变量，即单元相对密度，Ne是宏观结构中微结构的数量，NE是宏观结构中微结构的总数量，J(ρ^MA)是指定点的位移响应，G表示预设的材料用量约束条件，Ω^MA是整个宏观结构设计域，

为限定的材料使用量，ρ_min为设计变量的最小值，f_pm是可通过插值原型微结构得到的非均匀微结构的最小密度，ρ_max是设计变量的最大值，U^T是位移向量的转置，S(ρ^MA)是关于宏观尺度设计变量的动刚度矩阵，

是位移向量U的共轭向量，L是标识向量，即在指定的自由度处为1，其他处为0，ω是激励载荷频率，ω_e和ω_s表示激励载荷频率的上下界限。

7.如权利要求1所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(d1)中，所述利用该宏观优化模型计算获得所述宏观结构中每个梯度微结构的密度，优选采用变厚度拓扑优化方法。

8.如权利要求1所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(d)中，所述预测模型优选为Kriging预测模型。

9.如权利要求1所述的一种基于连续梯度微结构的多尺度频率响应拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(b)中，所述获得每个原型微结构的构型之前，还包括：对每个原型微结构根据其敏度信息进行过滤，使得该原型微结构的构型光滑。

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