CN111950149A - 基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。该方法首先根据连续体结构的受力和失效特点，基于非概率集合可靠性模型，考虑有限样本条件参数的不确定性效应，以可靠度和体积作为约束条件，以上界柔度和下界柔度之和作为优化目标，以紧支径向基函数的系数作为设计变量，建立考虑有界不确定性参数的非概率拓扑优化模型；进而基于优化准则法求解拓扑优化模型，通过反复迭代获得连续体结构在给定外载和边界条件下的水平集函数，进而确定结构的构型。本发明在对连续体结构进行拓扑优化设计的过程中有效合理地量化了不确定性参数对拓扑优化过程中水平集函数演化的综合影响，可实现一定目标的减重并且使得结构保持一定的可靠度，使得结构设计结果在安全性和经济性两方面得到平衡。

Description

基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及连续体结构拓扑优化设计技术领域，特别涉及一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，该方法考虑材料弹性模量、外部载荷和许用位移存在一定的范围的不确定性，基于参数化水平集法建立以结构上界柔度和下界柔度为优化目标，在优化特征距离d这一非概率可靠性指标和目标体积的双重约束下，利用OC法求解拓扑优化模型。

背景技术

拓扑优化对应结构优化的概念设计阶段，是在结构设计最开始的阶段，在给定荷载条件和边界条件的情况下，找到设计域内满足约束条件并且能达到设计目标最优化的材料分布情况从而确定结构在满足设计要求下的最佳传力路径的设计手段。借助于拓扑优化，设计者可以更容易提出初步的设计方案，缩短设计周期。相较于尺寸优化而言，拓扑优化需要谋求设计域内的满足设计要求并且达到性能最优的最佳的材料分布方案，从而获得结构设计所达到的目标函数的最值，设计变量更多，设计的可能性的更多，这些特点使得拓扑优化问题求解也更加困难。拓扑优化成为结构优化领域中难度最大、水平更高的研究课题^[4]。在诸多工业领域，拓扑优化的应用成效已经日渐显著，逐渐体现出其在结构设计阶段的优越性。例如卫星以及火箭的部分结构、民机以及军机的部分结构、汽车和船舶的某些结构的设计、微机电系统都已经引入拓扑优化的方法，以谋求经济效益和工程材料损耗的“同步极限”。经过几十年的发展，连续体结构拓扑优化获得极大地发展，研究人员提出了很多拓扑优化的方法，例如均匀化方法、渐进结构法(ESO)、SIMP法和水平集法。

虽然均匀化方法基于严格的数学基础，均匀化方法仍然存在着缺点：在以微结构的信息作为优化模型的设计变量时，计算效率并不高，并且改进优化算法来提高效率的效果并不明显。SIMP法应用时会出现棋盘格现象、网格依赖性和中间密度单元等数值不稳定现象，引入敏度过滤法也难以避免。渐进优化法在结构优化中，迭代次数多，计算效率低，并且这种方法的收敛性还没有得到理论上的证明，需要进一步改进。相比于上面谈到的几种方法，水平集法有着其突出的优势，一方面，它可以有效地表达曲线(或曲面)的几何特征，在优化过程中可以实现复杂的形状和拓扑优化；另一方面，水平集法可以有效合理地避免网格依赖性和棋盘格现象，是目前拓扑优化领域的主流方法之一。

目前工程结构的优化设计方法大多基于确定性数学模型的拓扑优化方法，为了研究的方便，往往会忽略实际工程中存在诸多不确定性因素的现实情况，这就使得优化的结果与实际应用情况存在一定的差距，这些不确定性因素的累积可能会对结构产生显著的影响，结构甚至会因此失效。某型直升机油箱原采用复合材料，由于诸多不确定因素的影响最终更改为金属材料。所建立的拓扑优化模型，无论基于何种拓扑优化方法，所使用的参数如果没有考虑现实结构中往往存在的诸多不确定性因素将会导致实际应用时的失效。结构设计方法经过几十年的发展，研究人员发现可靠性优化方法是分析工程中不确定性因素的影响的实用且有效手段。可靠性理论主要可以分为概率可靠性理论、模糊可靠性理论和非概率可靠性理论。但在很多时候，概率可靠性理论和模糊可靠性理论具有一定的不足之处，用概率模型来描述工程中的不确定因素是不恰当甚至是不准确的，而用非概率可靠性理论更加方便和准确。因此，非概率可靠性成为近年来的又一个研究的热点。

将非概率可靠性与拓扑优化相结合是进行拓扑优化时更加合理也更加方便的考虑，这样所得到的拓扑优化设计结果考虑了一定参数的不确定性，使得拓扑优化设计更加合理更加贴近现实。目前，将非概率可靠性理论与拓扑优化理论相结合的研究成果尚不丰富，并且现有的将非概率可靠性理论与拓扑优化理论相结合的研究成果都是基于SIMP法，基于其他方法的非概率可靠性拓扑优化方法尚未公开发表。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于参数化的水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法。本发明将基于水平集法的拓扑优化理论与非概率可靠性理论结合，建立考虑材料弹性模量、外部载荷和许用位移存在一定范围的不确定性的拓扑优化方法，实现水平集法的优点与非概率可靠性拓扑优化的优点结合建立非概率可靠性拓扑优化的新方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，以优化特征距离d这一非概率可靠性度量指标和目标体积作为优化模型的约束条件，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性、安全性和经济性得到平衡和兼顾。

本发明采用的技术方案为：一种基于参数化的水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，用于二维连续体结构受集中载荷或均布载荷约束以及固支、简支边界约束的可靠性拓扑优化问题中，其基于水平集法解决拓扑优化问题并且考虑材料的弹性模量和载荷数值存在的有界不确定性，整体流程如图1所示，实现步骤如下：

步骤一：输入给定结构设计域以及边界和载荷条件，基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型；

步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在的不确定性，采用区间变量来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程，使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界；

步骤三、建立结构真实位移与许用位移之间的标准化位移区间干涉模型，定义描述结构的功能函数，借助于功能函数判断结构的安全状态，并且通过结构功能函数与标准化区间干涉模型之间的关系，判断结构的可靠性；

步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离这个指标来量化当前设计的非概率可靠度；

步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数和体积约束关于时间的灵敏度，依据伴随向量法计算可靠度约束关于时间的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向；

步骤六：关于采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解；

步骤七：如果当前设计满足可靠度约束并且满足体积约束，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。整体流程实现如图1所示。

进一步的，所述步骤一：基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型：

find[α₁,...,α_i,...,α_n]

G(u^I,φ)＝∫_ΩH(φ)dΩ-V_targ≤0

上述模型表示优化模型以径向基函数的系数作为设计变量，以结构上下界柔度之和为目标，针对线弹性结构以体积和位移可靠性为约束条件，通过径向基函数对水平集函数插值，对连续体结构进行拓扑优化设计；

其中，J^I(u^I,φ)是优化的目标函数，

是结构的上界柔度，

是结构的下界柔度，φ是水平集函数，a(u,v,φ)＝l(v,φ)表示弱形式下的弹性结构的状态方程；U表示结构的虚位移的集合；v表示结构可能的虚位移；u表示结构的真实位移，u_s表示许用位移；Ω表示结构设计域，上标I表示参数为区间形式；G(·)是描述结构体积与体积约束的函数，V表示结构体积，下标targ表示约束的目标，d是优化特征距离，α_i表示第i个紧支径向基函数的系数，g_i(x)表示第i个控制点处的紧支径向基函数，n是控制点的个数，p(x,t)是为了保证计算稳定性而附加的多项式，x是控制设计域内某点的位置变量，t是水平集函数演化的伪时间变量H(φ)表示水平集函数φ(x,t)的阶跃函数，形式为：

水平集法是将结构空间Rⁿ中的边界隐式表示到高一维空间Rⁿ⁺¹的水平集函数中去，将比结构空间高一维空间Rⁿ⁺¹中水平集函数的零水平集作为结构空间Rⁿ的边界描述，如图2所示。对二维问题而言，界面曲线C(x,y,t)表示为一个三维标量函数φ(x,y,t):R²×[0,t)→R的零水平集:(x,y)表示二维设计域内的位置变量：

C(x,y,t)＝{(x,y)∈R²|φ(x,y,t)＝0}

水平集演化方程为：

这是一个哈密顿-雅克比(H-J：Hamilton-Jacobi)偏微分方程V_n表示法向演化速度，如图3所示，利用紧支径向基函数对水平集函数插值表示：

上面的偏微分方程转化为常微分方程：

其中：

该耦合非线性常微分方程可以用一阶正演欧拉法求解，近似解为：

α(t_i+1)＝α(t)+Δt·G^-1B(α(t_i),t_i)

其中i为拓扑优化的循环次数，G是控制点处的径向基函数数值矩阵，B是控制点处演化速度数值矩阵，

当|(▽g(x)^T)α(t)|＝1时，迭代求解时可以进一步简化计算，此时：

B(α(t_i),t_i)＝{V_n(x₁,t_i)…V_n(x_n,t_i) 0 0 0}^T

以下近似的值初始化方案应用于防止|(▽g(x)^T)α(t)|太大或太小，φ的水平集函数在整个设计领域更新φ^u由以下近似初始化方案：

其中

和

分别是零水平集的第r个控制点处的水平集函数值和水平集函数梯度；

是结构边界的水平集函数梯度的平均值，基于上式中的参数矩阵的表达，有以下结果：

为了避免水平集函数的无界增长，将δ(x)引入水平集函数演化方程中，从而保持了水平集函数满足计算要求而避免了由于数据异常而发散的性质；δ(x)表示为：

因此，将水平集函数演化方程修正为以下形式：

其中：

进一步的，所述步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在一定范围的不确定性，采用区间变量K^I和F^I来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量

来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程有：

K^Iu^I＝F^I

使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界：

其中

其中下标corj表示位移区间向量u^I中对应于第j个位移约束的分量；上标k_i＝1,2，当k_i＝1时表示对应值取下界，当k_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

进一步的，所述步骤三：结构的真实位移和许用位移是一个区间，分别表示为：

其中

和

分别表示真实位移和许用位移的上界，u和u _s分别表示真实位移和许用位移的下界。结构的功能函数表示为：

根据两个区间干涉模型u^I和

所建立的可行域，如图4所示，得出在满足和之间的干扰条件下，两个区域被极限状态函数M分割，即安全区域被M(u_s,u)＞0限制和破坏区域被M(u_s,u)＜0包络；依据区间向量的标准化处理办法，将临界状态表示为：

其中上标r表示区间变量的区间半径，c表示区间变量的中心值，δu^I和

表示属于[-1,1]的变量，针对每次循环通过状态函数M来判断结构是否安全。

进一步的，所述步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离d的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离d的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，如图5所示。并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离d这个指标来量化当前设计的非概率可靠度。优化特征距离d的表达式为：

其中R_targ为可靠度指标。

进一步的，所述步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数关于水平集函数的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向，借助于虚位移原理，得到优化模型关于伪时间的灵敏度：

其中ε表示应变，D表示单元刚度矩阵，基于上式优化模型中目标函数和体积约束条件的灵敏度信息由以下推到得到：

目标函数的灵敏度分为上界总柔度

的灵敏度和下界总柔度

的灵敏度两部分上界总柔度的灵敏度表示为：

下界总柔度的灵敏度表示为：

因此优化模型中的目标函数的灵敏度表示为：

优化模型中体积约束条件关于时间的灵敏度表示为：

计算优化模型中可靠度约束关于时间的灵敏度，依据函数求导的链式法则，可靠度约束——优化特征距离关于时间的灵敏度表示为：

其中，

和

由优化特征距离的定义得到：

和

上式中

由水平集函数演化方程得到；

从考虑诸有界不确定性的有限元平衡方程K^I(φ)u^I(φ)＝F^I出发，对水平集函数值求导可得：

整体刚度矩阵K^I(φ)是大型稀疏可逆矩阵，引入伴随向量的思想，定义：

式中，γ_j(j＝1,2,...,n)表示伴随向量，由于F^I-K^Iu^I＝0，

上述灵敏度表示为：

为了避免计算

令上式表达式两项中的左式等于0，即：

式中，

伴随向量γ_j能够由求解有限元平衡方程得到，将伴随向量代入上式有：

其中，整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组装得到：

则：

借助于水平集理论，单元模量表示为：

其中，

表示参与计算单元刚度矩阵的弹性模量值，

表示结构材料的弹性模量，A_e表示单元面积，基于以上关于单元性质的分析，有：

然后获得位移上下界关于时间的灵敏度：

其中，

和

是对应于结构获得

状态的参数，同样的，γ _j，K，K _e和u对应于u _j状态的参数。

最后获得水平集函数的演化速度场的表达式：

进一步的，所述步骤六：采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解，将上述带约束的优化模型转变为无约束优化模型：

L(u^I,φ)＝J(u^I,φ)+λmax(χG(u^I,φ),βd)

其中L表示无约束目标函数，参数λ的迭代更新策略为：

参数χ和β是在于优化过程中对约束条件的重视程度不同时所设置的“平衡参数”，如果对体积约束和可靠度约束的重视程度相同则令χ＝β＝1，在前一步骤已经求得的优化模型的灵敏度信息的基础上，使得无约束优化目标L(u^I,φ)随着迭代不断下降；

在迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束d＜0或者不满足体积约束V＜V_targ，或者尽管满足可靠度约束，但相较于前5个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回步骤二，否则，进行步骤七。

进一步的，所述步骤七：如果当前设计满足可靠度约束d＜0并且满足体积约束V＜V_targ，连续前5个可行解，目标函数的相对变化百分比小于预设值ε时，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

进一步的，所述步骤一中使用水平集法实现拓扑优化问题中结构的表达，借助水平集函数的改变实现结构构型的改变。所述步骤三中使用非概率集合可靠性模型所构建的可靠度指标来判定结构是否满足一定可靠度的要求，根据非概率集合可靠性模型，引入特征优化距离——将目标临界状态平面与当前临界状态平面之间的距离作为评估结构可靠度的指标量化到优化模型中。所述方法将非概率可靠性理论引入到基于水平集法的拓扑优化问题中，建立描述结构柔度的目标函数，将特征优化距离引入到可靠度约束中，计算了优化模型关于时间的灵敏度，确定水平集函数的演化速度，实现连续体结构的非概率可靠性拓扑优化。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种基于参数化水平集法的连续体结构在位移可靠度和目标体积两约束条件下的非概率可靠性拓扑优化设计的新思路，规避了目前现有的基于SIMP法的非概率可靠性拓扑优化方法而产生棋盘格现象、网格依赖性等数值不稳定的局限性。所构建的非概率可靠性拓扑优化模型，一方面可大幅减小对样本信息的依赖性，另一方面可有效计及并量化不确定性作用下对拓扑结构构型的影响。实现了水平集法与非概率可靠性的优点的结合，在应用中考虑工程中广泛的不确定性因素建立基于参数化水平集法的非概率可靠性拓扑优化方法、在结构的安全性、经济性两方面得以兼顾和平衡。

附图说明

图1是本发明针对基于有界不确定性的连续体结构在位移可靠度约束下的非概率拓扑设计流程图；

图2是水平集模型；

图3是零水平集演化示意图；

图4是位移干涉模型；

图5是特征优化距离示意图；

图6是数值算例示意图；

图7是数值算例优化构型；其中：(a)确定性拓扑优化(V_targ＝0.4)；(b)确定性拓扑优化(V_targ＝0.45)；(c)可靠性拓扑优化，(R_targ＝0.90,V_targ＝0.40)；(d)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.45)；(e)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.40)；(f)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.45)

图8不同工况下拓扑优化的目标函数变化曲线；(a)确定性拓扑优化(V_targ＝0.4)；(b)确定性拓扑优化(V_targ＝0.45)；(c)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.4)；(d)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.45)；(e)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.4)；(f)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.45)；

图9不同工况下拓扑优化的结果对比。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明提出了一种基于有界不确定性的连续体结构非概率拓扑优化方法，包括以下步骤：

步骤一：输入给定结构设计域以及边界和载荷条件，基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型；

步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在的不确定性，采用区间变量来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程，使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界；

步骤三、建立结构真实位移与许用位移之间的标准化位移区间干涉模型，定义描述结构的功能函数，借助于功能函数判断结构的安全状态，并且通过结构功能函数与标准化区间干涉模型之间的关系，判断结构的可靠性；

步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离这个指标来量化当前设计的非概率可靠度；

步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数和体积约束关于时间的灵敏度，依据伴随向量法计算可靠度约束关于时间的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向；

步骤六：关于采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解；

步骤七：如果当前设计满足可靠度约束并且满足体积约束，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。整体流程实现如图1所示。

进一步的，所述步骤一：基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型：

find[α₁,...,α_i,...,α_n]

G(u^I,φ)＝∫_ΩH(φ)dΩ-V_targ≤0

上述模型表示优化模型以径向基函数的系数作为设计变量，以结构上下界柔度之和为目标，针对线弹性结构以体积和位移可靠性为约束条件，通过径向基函数对水平集函数插值，对连续体结构进行拓扑优化设计；

其中，J^I(u^I,φ)是优化的目标函数，

是结构的上界柔度，∫_Df(u)H(φ)dΩ是结构的下界柔度，φ是水平集函数，a(u,v,φ)＝l(v,φ)表示弱形式下的弹性结构的状态方程；U表示结构的虚位移的集合；v表示结构可能的虚位移；u表示结构的真实位移，u_s表示许用位移；Ω表示结构设计域，上标I表示参数为区间形式；G(·)是描述结构体积与体积约束的函数，V表示结构体积，下标targ表示约束的目标，d是优化特征距离，α_i表示第i个紧支径向基函数的系数，g_i(x)表示第i个控制点处的紧支径向基函数，n是控制点的个数，p(x,t)是为了保证计算稳定性而附加的多项式，x是控制设计域内某点的位置变量，t是水平集函数演化的伪时间变量H(φ)表示水平集函数φ(x,t)的阶跃函数，形式为：

水平集法是将结构空间Rⁿ中的边界隐式表示到高一维空间Rⁿ⁺¹的水平集函数中去，将比结构空间高一维空间Rⁿ⁺¹中水平集函数的零水平集作为结构空间Rⁿ的边界描述，如图2所示。对二维问题而言，界面曲线C(x,y,t)表示为一个三维标量函数φ(x,y,t):R²×[0,t)→R的零水平集:(x,y)表示二维设计域内的位置变量：

C(x,y,t)＝{(x,y)∈R²|φ(x,y,t)＝0}

水平集演化方程为：

这是一个哈密顿-雅克比(H-J：Hamilton-Jacobi)偏微分方程V_n表示法向演化速度，如图3所示。利用紧支径向基函数对水平集函数插值表示：

上面的偏微分方程转化为常微分方程：

其中：

该耦合非线性常微分方程可以用一阶正演欧拉法求解，近似解为：

α(t_i+1)＝α(t)+Δt·G^-1B(α(t_i),t_i)

其中i为拓扑优化的循环次数，G是控制点处的径向基函数数值矩阵，B是控制点处演化速度数值矩阵，

当|(▽g(x)^T)α(t)|＝1时，迭代求解时可以进一步简化计算，此时：

B(α(t_i),t_i)＝{V_n(x₁,t_i)…V_n(x_n,t_i) 0 0 0}^T

以下近似的值初始化方案应用于防止|(▽g(x)^T)α(t)|太大或太小，φ的水平集函数在整个设计领域更新φ^u由以下近似初始化方案：

其中

和

分别是零水平集的第r个控制点处的水平集函数值和水平集函数梯度；

是结构边界的水平集函数梯度的平均值，基于上式中的参数矩阵的表达，有以下结果：

为了避免水平集函数的无界增长，将δ(x)引入水平集函数演化方程中，从而保持了水平集函数满足计算要求而避免了由于数据异常而发散的性质；δ(x)表示为：

因此，将水平集函数演化方程修正为以下形式：

其中：

进一步的，所述步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在一定范围的不确定性，采用区间变量K^I和F^I来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量

来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程有：

K^Iu^I＝F^I

使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界：

其中

其中下标corj表示位移区间向量u^I中对应于第j个位移约束的分量；上标k_i＝1,2，当k_i＝1时表示对应值取下界，当k_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

进一步的，所述步骤三：结构的真实位移和许用位移是一个区间，分别表示为：

其中

和

分别表示真实位移和许用位移的上界，u和u _s分别表示真实位移和许用位移的下界。结构的功能函数表示为：

根据两个区间干涉模型u^I和

所建立的可行域，如图4所示，得出在满足和之间的干扰条件下，两个区域被极限状态函数M分割，即安全区域被M(u_s,u)＞0限制和破坏区域被M(u_s,u)＜0包络；依据区间向量的标准化处理办法，将临界状态表示为：

其中上标r表示区间变量的区间半径，c表示区间变量的中心值，δu^I和

表示属于[-1,1]的变量，针对每次循环通过状态函数M来判断结构是否安全。

进一步的，所述步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离d的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离d的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，如图5所示，并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离d这个指标来量化当前设计的非概率可靠度。优化特征距离d的表达式为：

其中R_targ为可靠度指标。

进一步的，所述步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数关于水平集函数的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向，借助于虚位移原理，得到优化模型关于伪时间的灵敏度：

其中ε表示应变，D表示单元刚度矩阵，基于上式优化模型中目标函数和体积约束条件的灵敏度信息由以下推到得到：

目标函数的灵敏度分为上界总柔度

的灵敏度和下界总柔度∫_Df(u)H(φ)dΩ的灵敏度两部分上界总柔度的灵敏度表示为：

下界总柔度的灵敏度表示为：

因此优化模型中的目标函数的灵敏度表示为：

优化模型中体积约束条件关于时间的灵敏度表示为：

计算优化模型中可靠度约束关于时间的灵敏度，依据函数求导的链式法则，可靠度约束——优化特征距离关于时间的灵敏度表示为：

其中，

和

由优化特征距离的定义得到：

和

上式中

由水平集函数演化方程得到；

从考虑诸有界不确定性的有限元平衡方程K^I(φ)u^I(φ)＝F^I出发，对水平集函数值求导可得：

整体刚度矩阵K^I(φ)是大型稀疏可逆矩阵，引入伴随向量的思想，定义：

式中，γ_j(j＝1,2,...,n)表示伴随向量，由于F^I-K^Iu^I＝0，

上述灵敏度表示为：

为了避免计算

令上式表达式两项中的左式等于0，即：

式中，

伴随向量γ_j能够由求解有限元平衡方程得到，将伴随向量代入上式有：

其中，整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组装得到：

则：

借助于水平集理论，单元模量表示为：

其中，

表示参与计算单元刚度矩阵的弹性模量值，

表示结构材料的弹性模量，A_e表示单元面积，基于以上关于单元性质的分析，有：

然后获得位移上下界关于时间的灵敏度：

其中，

和

是对应于结构获得

状态的参数，同样的，γ _j，K，K _e和u对应于u _j状态的参数。

最后获得水平集函数的演化速度场的表达式：

进一步的，所述步骤六：采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解，将上述带约束的优化模型转变为无约束优化模型：

L(u^I,φ)＝J(u^I,φ)+λmax(χG(u^I,φ),βd)

其中L表示无约束目标函数，参数λ的迭代更新策略为：

参数χ和β是在于优化过程中对约束条件的重视程度不同时所设置的“平衡参数”，如果对体积约束和可靠度约束的重视程度相同则令χ＝β＝1，在前一步骤已经求得的优化模型的灵敏度信息的基础上，使得无约束优化目标L(u^I,φ)随着迭代不断下降；

在迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束d＜0或者不满足体积约束V＜V_targ，或者尽管满足可靠度约束，但相较于前5个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回步骤二，否则，进行步骤七。

进一步的，所述步骤七：如果当前设计满足可靠度约束d＜0并且满足体积约束V＜V_targ，连续前5个可行解，目标函数的相对变化百分比小于预设值ε时，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

进一步的，所述步骤一中使用水平集法实现拓扑优化问题中结构的表达，借助水平集函数的改变实现结构构型的改变。所述步骤三中使用非概率集合可靠性模型所构建的可靠度指标来判定结构是否满足一定可靠度的要求，根据非概率集合可靠性模型，引入特征优化距离——将目标临界状态平面与当前临界状态平面之间的距离作为评估结构可靠度的指标量化到优化模型中。所述方法将非概率可靠性理论引入到基于水平集法的拓扑优化问题中，建立描述结构柔度的目标函数，将特征优化距离引入到可靠度约束中，计算了优化模型关于时间的灵敏度，确定水平集函数的演化速度，实现连续体结构的非概率可靠性拓扑优化。

实际应用的举例：

针对军民机的翼肋结构、卫星火箭等的主承力结构等工程结构以及悬臂梁或者简支梁等一般结构的拓扑优化问题，本发明所提出的方法都适用，为了更充分地了解该发明的特点及其对实际问题的适用性，针对如图6所示的一般矩形平板的拓扑优化问题，采用本发明所提出的可靠性拓扑优化方法可以有效解决。设计区域为1.4m×0.3m的矩形区域，划分为140×30个单元。材料弹性模量10GPa，泊松比μ＝0.3。矩形区域下侧的左右两顶点固定，上边界中间部分施加q＝1kN/m的均布载荷，不考虑重力的影响，许用位移为14mm。设弹性模量E、载荷F和许用位移的相对名义值均有5％的波动，即[0.95,1.05]，[0.95,1.05]和[13.3,14.7]。

结果说明：图7、图8和图9是分别在体积约束分别为0.4和0.45的情况下的确定性拓扑优化和非概率可靠性为90％、99％的优化构型和目标函数的变化曲线以及优化数据的对比。图7是数值算例优化构型；其中：(a)确定性拓扑优化(V_targ＝0.4)；(b)确定性拓扑优化(V_targ＝0.45)；(c)可靠性拓扑优化，(R_targ＝0.90,V_targ＝0.40)；(d)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.45)；(e)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.40)；(f)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.45)；图8是不同工况下拓扑优化的目标函数变化曲线；(a)确定性拓扑优化(V_targ＝0.4)；(b)确定性拓扑优化(V_targ＝0.45)；(c)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.4)；(d)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.90,V_targ＝0.45)；(e)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.4)；(f)可靠性拓扑优化(R_targ＝0.99,V_targ＝0.45)；可以看到，确定性拓扑优化和不同非概率可靠性拓扑优化出来的结构的构型存在较大的区别，并且所得结果数据也有较大差别，可靠性拓扑优化方法一方面可以提高结构在诸多不确定性参数影响下的可靠性，另一方面可以降低结构柔度的中心支的变化半径，也就是使得结构受不确定性的影响更下。

综上所述，本发明提供了一种基于参数化水平集法的连续体结构在位移可靠度和目标体积两约束条件下的非概率可靠性拓扑优化设计的新思路，规避了目前现有的基于SIMP法的非概率可靠性拓扑优化方法而产生棋盘格现象、网格依赖性等数值不稳定的局限性。所构建的非概率可靠性拓扑优化模型，一方面可大幅减小对样本信息的依赖性，另一方面可有效计及并量化不确定性作用下对拓扑结构构型的影响。实现了水平集法与非概率可靠性的优点的结合，在应用中考虑工程中广泛的不确定性因素建立基于参数化水平集法的非概率可靠性拓扑优化方法、在结构的安全性、经济性两方面得以兼顾和平衡。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含缺陷结构的优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (9)

1.一种基于参数化的水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，用于二维连续体结构受集中载荷或均布载荷约束以及固支、简支边界约束的可靠性拓扑优化问题中，其特征在于：基于水平集法解决拓扑优化问题并且考虑材料的弹性模量和载荷数值存在的有界不确定性，实现步骤如下：

步骤一：输入给定结构设计域以及边界和载荷条件，基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型；

步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在的不确定性，采用区间变量来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程，使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界；

步骤三：建立结构真实位移与许用位移之间的标准化位移区间干涉模型，定义描述结构的功能函数，借助于功能函数判断结构的安全状态，并且通过结构功能函数与标准化区间干涉模型之间的关系，判断结构的可靠性；

步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离这个指标来量化当前设计的非概率可靠度；

步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数和体积约束关于时间的灵敏度，依据伴随向量法计算可靠度约束关于时间的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向；

步骤六：采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解；

步骤七：如果当前设计满足可靠度约束并且满足体积约束，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

2.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤一：基于拓扑优化数学模型，使用非概率可靠性指标作为约束，建立基于紧支径向基函数的水平集法连续体结构非概率可靠性拓扑优化的数学模型：

find[α₁,...,α_i,...,α_n]

G(u^I,φ)＝∫_ΩH(φ)dΩ-V_targ≤0

上述模型表示优化模型以径向基函数的系数作为设计变量，以结构上下界柔度之和为目标，针对线弹性结构以体积和位移可靠性为约束条件，通过径向基函数对水平集函数插值，对连续体结构进行拓扑优化设计；

其中，J^I(u^I,φ)是优化的目标函数，

是结构的上界柔度，∫_Df(u)H(φ)dΩ是结构的下界柔度，φ是水平集函数，a(u,v,φ)＝l(v,φ)表示弱形式下的弹性结构的状态方程；U表示结构的虚位移的集合；v表示结构可能的虚位移；u表示结构的真实位移，u_s表示许用位移；Ω表示结构设计域，上标I表示参数为区间形式；G(·)是描述结构体积与体积约束的函数，V表示结构体积，下标targ表示约束的目标，d是优化特征距离，α_i表示第i个紧支径向基函数的系数，g_i(x)表示第i个控制点处的紧支径向基函数，n是控制点的个数，p(x,t)是为了保证计算稳定性而附加的多项式，x是控制设计域内某点的位置变量，t是水平集函数演化的伪时间变量，H(φ)表示水平集函数φ(x,t)的阶跃函数，形式为：

水平集法是将结构空间Rⁿ中的边界隐式表示到高一维空间Rⁿ⁺¹的水平集函数中去，将比结构空间高一维空间Rⁿ⁺¹中水平集函数的零水平集作为结构空间Rⁿ的边界描述，对二维问题而言，界面曲线C(x,y,t)表示为一个三维标量函数φ(x,y,t):R²×[0,t)→R的零水平集:(x,y)表示二维设计域内的位置变量：

C(x,y,t)＝{(x,y)∈R²|φ(x,y,t)＝0}

水平集演化方程为：

这是一个哈密顿-雅克比(H-J：Hamilton-Jacobi)偏微分方程V_n表示法向演化速度，利用紧支径向基函数对水平集函数插值表示：

上面的偏微分方程转化为常微分方程：

其中：

该耦合非线性常微分方程可以用一阶正演欧拉法求解，近似解为：

α(t_i+1)＝α(t)+△t·G^-1B(α(t_i),t_i)

其中i为拓扑优化的循环次数，G是控制点处的径向基函数数值矩阵，B是控制点处演化速度数值矩阵：

当

时，迭代求解时可以进一步简化计算，此时：

B(α(t_i),t_i)＝{V_n(x₁,t_i)…V_n(x_n,t_i) 0 0 0}^T

以下近似的值初始化方案应用于防止

太大或太小，水平集函数φ在整个设计领域更新φ^u由以下近似初始化方案：

其中

和

分别是零水平集的第r个控制点处的水平集函数值和水平集函数梯度；

是结构边界的水平集函数梯度的平均值，基于上式中的参数矩阵的表达，有以下结果：

为了避免水平集函数的无界增长，将δ(x)引入水平集函数演化方程中，从而保持了水平集函数满足计算要求而避免了由于数据异常而发散的性质，δ(x)表示为：

△为控制结点影响范围的参数。因此，将水平集函数演化方程修正为以下形式：

其中：

3.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤二：考虑材料弹性模量，外部载荷与许用位移存在一定范围的不确定性，采用区间变量K^I和F^I来表示整体刚度区间矩阵和载荷区间向量，采用区间向量

来表示位移区间向量，根据有限元的位移控制方程有：

K^Iu^I＝F^I

使用区间参数顶点法，由位移关于弹性模量和载荷的单调性，求出位移在有界但不确定参数影响下的上下界：

其中

其中下标corj表示位移区间向量u^I中对应于第j个位移约束的分量；上标k_i＝1,2，当k_i＝1时表示对应值取下界，当k_i＝2时表示对应值取上界，即

(K^-1)²＝K ^-1，F_i ¹＝F _i，

4.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤三：结构的真实位移和许用位移是一个区间，分别表示为：

其中

和

分别表示真实位移和许用位移的上界，u和u _s分别表示真实位移和许用位移的下界。结构的功能函数表示为：

根据两个区间干涉模型u^I和

所建立的可行域，得出在满足和之间的干扰条件下，两个区域被极限状态函数M分割，即安全区域被M(u_s,u)>0限制和破坏区域被M(u_s,u)<0包络；依据区间向量的标准化处理办法，将临界状态表示为：

其中上标r表示区间变量的区间半径，上标c表示区间变量的中心值，δu^I和

表示属于[-1,1]的变量，针对每次循环通过状态函数M来判断结构是否安全。

5.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤四：计算非概率可靠性指标优化特征距离d的数值来判断当前迭代过程中结构是否满足可靠性的要求，优化特征距离d的定义为：当前迭代临界状态平面到目标临界平面的几何距离，其中当前迭代临界状态平面是与目标临界平面平行的平面，并且其可靠度为一给定值，用优化特征距离d这个指标来量化当前设计的非概率可靠度，优化特征距离d的表达式为：

其中R_targ为结构可靠度指标。

6.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤五：依据形状导数的概念建立目标函数和体积约束关于水平集函数的灵敏度，计算水平集函数的演化速度场以确定优化的方向，借助于虚位移原理，得到优化模型关于伪时间的灵敏度：

其中ε表示应变，D表示单元刚度矩阵，基于上式优化模型中目标函数和体积约束条件的灵敏度信息由以下推到得到：

目标函数的灵敏度分为上界总柔度

的灵敏度和下界总柔度∫_Df(u)H(φ)dΩ的灵敏度两部分上界总柔度的灵敏度表示为：

下界总柔度的灵敏度表示为：

因此优化模型中的目标函数的灵敏度表示为：

优化模型中体积约束条件关于时间的灵敏度表示为：

计算优化模型中可靠度约束关于时间的灵敏度，依据函数求导的链式法则，可靠度约束——优化特征距离关于时间的灵敏度表示为：

其中，

和

由优化特征距离的定义得到：

和

上式中

由水平集函数演化方程得到；

从考虑诸有界不确定性的有限元平衡方程K^I(φ)u^I(φ)＝F^I出发，对水平集函数值求导可得：

整体刚度矩阵K^I(φ)是大型稀疏可逆矩阵，引入伴随向量的思想，定义：

式中，γ_j(j＝1,2,...,n)表示伴随向量，由于F^I-K^Iu^I＝0，

上述灵敏度表示为：

为了避免计算

令上式表达式两项中的左式等于0，即：

式中，

伴随向量γ_j能够由求解有限元平衡方程得到，将伴随向量代入上式有：

其中，整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组装得到：

则：

借助于水平集理论，单元模量表示为：

其中，

表示参与计算单元刚度矩阵的弹性模量值，

表示结构材料的弹性模量，A_e表示单元面积，基于以上关于单元性质的分析，有：

然后获得位移上下界关于时间的灵敏度：

其中，

和

是对应于结构获得

状态的参数，同样的，γ _j，K，K _e和u对应于u _j状态的参数。

最后获得水平集函数的演化速度场的表达式：

7.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤六：采用OC法，将以最小化结构上下界总柔度为目标，以可靠度和体积为约束，以紧支径向基函数的系数为设计变量的优化模型进行求解，将上述带约束的优化模型转变为无约束优化模型：

L(u^I,φ)＝J(u^I,φ)+λmax(χG(u^I,φ),βd)

其中L表示无约束目标函数，参数λ的迭代更新策略为：

参数χ和β是在于优化过程中对约束条件的重视程度不同时所设置的“平衡参数”，如果对体积约束和可靠度约束的重视程度相同则令χ＝β＝1，在前一步骤已经求得的优化模型的灵敏度信息的基础上，使得无约束优化目标L(u^I,φ)随着迭代不断下降；

在迭代过程中，如果当前设计不满足可靠度约束d<0或者不满足体积约束V<V_targ，或者尽管满足可靠度约束，但相较于前5个可行解，目标函数的相对变化百分比大于预设值ε时，将已经完成迭代次数的值增加一，并返回步骤二，否则，进行步骤七。

8.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤七：如果当前设计满足可靠度约束d<0并且满足体积约束V<V_targ，连续前5个可行解，目标函数的相对变化百分比小于预设值ε时，则迭代结束，将当前拓扑优化的结果作为最终的优化结果。

9.根据权利要求1所述的一种基于参数化水平集法的连续体结构非概率拓扑优化方法，其特征在于：

所述步骤一中使用水平集法实现拓扑优化问题中结构的表达，借助水平集函数的改变实现结构构型的改变。

所述步骤三中使用非概率集合可靠性模型所构建的可靠度指标来判定结构是否满足一定可靠度的要求，根据非概率集合可靠性模型，引入特征优化距离——将目标临界状态平面与当前临界状态平面之间的距离作为评估结构可靠度的指标量化到优化模型中。

所述方法将非概率可靠性理论引入到基于水平集法的拓扑优化问题中，建立描述结构柔度的目标函数，将特征优化距离引入到可靠度约束中，计算了优化模型关于时间的灵敏度，确定水平集函数的演化速度，实现连续体结构的非概率可靠性拓扑优化。

Images