CN112800608A - 一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于多相材料拓扑优化设计相关技术领域，其公开了一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，该方法用显式水平集函数及隐式水平集函数分别构造多组件形状及基体结构；通过彩色水平集多相材料理论和显式水平集函数得到多个材料以及多组件的拓扑表达，基于Heaviside函数得到单元密度；接着用材料插值方案将不同相材料的弹性模量与多组件的弹性模量插值得到等效弹性模量；其次，基于参数化水平集拓扑优化方法和彩色水平集多相材料理论建立考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计模型，实现多组件布局与多相材料基体的并行优化设计及多相材料中多组件集成系统结构整体性能达到最优。本发明实现了考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计。

Description

一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法

技术领域

本发明属于多相材料拓扑优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法。

背景技术

复合材料是由具有明显可区分特性的多种成分材料相制成，可以产生多种组合功能。复合多相材料是两种或者两种以上不同材料的不同组合，与单相材料相比，复合多相材料可以实现不同材料的性能。一般地，复合多相材料具有较高的比刚度和比强度，也就说明材料重量轻，而且强度和刚度较高。除此之外，复合多相材料具有较好的抗疲劳性能，其疲劳寿命比一般的金属长数倍。在减振降噪方面，复合多相材料同样优于单相材料，具有较好的减振隔音性能。伴随着3D技术的兴起，多相材料具备优异的性能且成本较低，在工程中的应用变得越来越重要。

结合复合多相材料性能，特别符合航空航天领域中结构设计特点，不仅可以实现飞行器结构的轻量化设计，同时可使整体结构具有较强的刚度和优异的减振性能，且设备零件具有较高的安全性能。多组件集成布局优化设计是航空航天、汽车、军工等领域中经常遇到的技术问题，有时需要将一个或者几个固定形状的几何体嵌入到设计结构中来满足我们需要的特定功能。所以就要同时考虑多组件在结构中的布局设计以及连接组件的基体的结构优化设计。这就要求在优化组件位置分布与角度的同时，优化基体材料的分布，以实现结构性能最优。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，所述设计方法是一种整体式系统结构优化设计方法，能够同时实现优化多组件布局及多相材料基体的拓扑结构，且基体材料是复合多相材料，具有更加优越的材料性能和组合功能，可以满足航空航天、火箭、导弹等军工制造中的结构性能设计需求。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，所述方法包括以下步骤：

(1)采用两套设计变量构造多组件形状和不同材料相的基体结构，其中，采用扩展系数插指隐式水平集函数构建不同材料相的基体结构，同时采用位置坐标和方向角度几何参数建立显式水平集函数，并采用显式水平集函数分别构造各个组件形状；接着，采用max函数将所有组件的水平集函数集成到一个水平集函数中，以得到集成有所有组件的多组件水平集函数；

(2)基于彩色水平集多相理论和多组件水平集函数构造基体材料、多组件及空洞的材料相，并通过组件和基体的水平集函数的不同组合得到不同材料相的拓扑模型；接着，基于Heaviside函数获得不同材料相连续变化的单元密度；

(3)基于不同材料相连续变化的单元密度，将基体多相材料的弹性模量与嵌入设计域中的各个组件的弹性模量相插值，以得到多组件结构系统的等效弹性模量；

(4)基于参数化水平集和彩色水平集多相材料理论建立考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型，并基于得到的等效弹性模量在结构设计域中通过有限元分析求解整体结构的位移场，根据得到的位移场计算多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数；接着，基于形状微分与伴随变量法对基体和组件的设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，继而确定各个组件的最优布局和不同材料相基体的最优分布。

进一步地，基体结构的隐式水平集函数为：

其中，x＝x₁,x₂,...,x_N表示所有插值节点坐标，即水平集节点；N表示节点总数；t为伪时间变量；α_l,n表示在第l个水平集函数节点n处的扩展系数；Φ_l(l＝1,2)表示基体结构材料1和基体结构材料2的水平集函数，该水平集函数由高斯径向基函数φ_l,n(x)插值；φ_l,n(x)表示第l个高斯径向基函数。

进一步地，

其中，c是形状参数，等于水平集网格面积或者体积的倒数；x_n表示水平集函数的第n个节点的坐标；||x-x_n||是用于计算当前采样点x到x_n节点距离的欧几里得范数。

进一步地，组件的水平集函数为：

其中，Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；x_ci表示第i个组件的横坐标；y_ci表示第i个组件的纵坐标；r_ci表示第i个圆形组件的半径；(x,y)为采样点坐标。

进一步地，多组件水平集函数为：

Φ_c(x,y)＝max(Φ_c1,Φ_c2,...,Φ_cnc)

其中，nc为所有组件的数量。

进一步地，不同材料相的拓扑模型如下：

其中，Φ₁(x)表示基体材料1的水平集函数；Φ₂(x)表示基体材料2的水平集函数。

进一步地，材料相的特征函数χ_r为：

其中，Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；r＝1,2,3,4；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；H表示Heaviside函数：

进一步地，多相材料最小柔度拓扑优化模型的表达式为：

Find:α_l,n＝[α_l,1,α_l,2,...,α_l,N]；S_Ci＝{x_C1,y_C1,θ_C1,x_C2,y_C2,θ_C2,...,x_Cnc,y_Cnc,θ_Cnc}

其中，α_1,n表示基体材料1的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_1,n,max和α_1,n,min分别表示基体材料1设计变量的上限和下限；α_2,n表示基体材料2的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_2,n,max和α_2,n,min分别表示基体材料2设计变量的上限和下限；S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；nc是组件的总数量；x_Ci,max和x_Ci,min分别是组件质心横坐标移动的上限和下限；y_Ci,max和y_Ci,min分别是组件质心纵坐标移动的上限和下限；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；E表示多组件集成系统的等效弹性模量；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；g₁表示基体材料1的体积约束函数；g₂表示基体材料2的体积约束函数；f_v1是基体材料1约束的体积分数；f_v2是基体材料2约束的体积分数；V₀表示结构设计域体积。

进一步地，步骤(4)包括以下子步骤：

(4.1)初始化设计参数和基体不同材料的水平集函数以及组件水平集函数；

(4.2)基于求得的多组件集成系统的等效弹性模量E计算结构单元刚度Ke，并组装得到整体刚度矩阵K；接着进行有限元分析求解结构位移场u；

(4.3)基于步骤(4.2)中求解的结构位移场u计算考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数J：

其中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E是多组件集成系统的等效弹性模量；dΩ为结构设计域的积分算子；

(4.4)基于形状微分与伴随变量法，就模型的目标函数与约束函数对基体设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，判断模型是否满足收敛条件；若否，则返回到步骤(4.2)，若是，则输出基体材料的最优拓扑结构和多组件的最优布局。

进一步地，多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数与约束函数针对组件设计变量的一阶微分为：

其中，u表示结构场的位移；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；g_l表示基体材料l的体积约束函数，l＝1,2S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；

表示集成所有多组件的水平集函数对组件设计变量的一阶微分。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法主要具有以下有益效果：

1.本发明提供的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，与现有的技术方案相比，基体材料是复合多相材料，具有更加优越的材料性能和组合功能，可以满足航空航天、火箭、导弹等军工制造中的结构性能设计需求。

2.所述优化设计方法开发了两个及两个以上的材料相复合结构的通用并行设计方式，可以实现多相材料的基体与不同材料的组件同时优化设计，在获得组件最优布局的同时，得到基体结构不同相材料的最佳分布。

3.所述优化设计方法采用显式和隐式水平集函数分别表示多组件和基体结构，采用两套设计变量，即插值基体隐式水平集函数的扩展系数和构造组件显式水平集函数的位置坐标及方向角度几何参数，极大地降低了设计变量数量。

4.所述优化设计方法可以方便地处理不同相材料的多个体积约束，精确控制多个组件的几何形状，同时可以获得清晰、独特的不同材料相的拓扑结构边界。

附图说明

图1是本发明提供的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法的流程示意图；

图2是本发明实施例的初始结构设计域的示意图；

图3是图2中的初始结构设计域嵌入两个圆形组件后的示意图；

图4是基体材料1、基体材料2及空洞材料中嵌入两个圆形组件的初始布局示意图；

图5是拓扑优结构柔度J＝522.0177时的拓扑结构示意图；

图6是基体材料1的体积分数迭代曲线示意图；

图7是基体材料2的体积分数迭代曲线示意图；

图8是目标函数的迭代曲线示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1，本发明提供的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，所述多相材料拓扑优化设计方法主要包括以下步骤：

(1)采用两套设计变量构造多组件形状和不同材料相的基体结构，其中，采用扩展系数插指隐式水平集函数构建不同材料相的基体结构，同时采用位置坐标和方向角度几何参数建立显式水平集函数，并采用显式水平集函数分别构造各个组件形状；接着，采用max函数将所有组件的水平集函数集成到一个水平集函数中，以得到集成有所有组件的多组件水平集函数。

具体地，通过隐式水平集函数构建不同材料相的基体结构，以插值隐式水平集函数的扩展系数为基体设计变量，在N个固定水平集结点处的基体结构隐式水平集函数为：

其中，x＝x₁,x₂,...,x_N表示所有插值节点坐标，即水平集节点；N表示节点总数；t为伪时间变量；α_l,n表示在第l个水平集函数节点n处的扩展系数；Φ_l(l＝1,2)表示基体结构材料1和基体结构材料2的水平集函数，该水平集函数由高斯径向基函数φ_l,n(x)插值；φ_l,n(x)表示第l个高斯径向基函数，公式为：

其中，c是形状参数，等于水平集网格面积或者体积的倒数；x_n表示水平集函数的第n个节点的坐标；||x-x_n||是用于计算当前采样点x到x_n节点距离的欧几里得范数。

以组件位置坐标和方向角度为设计变量构造显式水平集函数，使用max函数将所有组件集成到一个水平集函数中。以下以圆形组件为例，组件的水平集函数为：

其中，Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；x_ci表示第i个组件的横坐标；y_ci表示第i个组件的纵坐标；r_ci表示第i个圆形组件的半径；(x,y)为采样点坐标。

矩形组件的水平集函数为：

其中，Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；Q是一个相对较大的偶数，这里取值Q＝6；x_ci表示第i个组件的横坐标；y_ci表示第i个组件的纵坐标；θ_i表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；L_i为第i个矩形组件长度的一半；t_i为第i个矩形组件宽度的一半；x'为嵌入组件的局部横坐标；y'为嵌入组件的局部纵坐标。

接着，使用max函数将所有函数集成到一个水平集函数Φ_c(x,y)中，此水平集函数集成了所有组件的几何参数：

Φ_c(x,y)＝max(Φ_c1,Φ_c2,...,Φ_cnc)

其中，nc为所有组件的数量。

(2)基于彩色水平集多相理论和多组件水平集函数构造基体材料、多组件及空洞的材料相，并通过组件和基体的水平集函数的不同组合得到不同材料相的拓扑模型；接着，基于Heaviside函数获得不同材料相连续变化的单元密度。

具体地，通过彩色水平集多相材料理论和显式水平集函数构造基体材料1、基体材料2等基体材料和多组件、空洞等材料相。本实施方式中以基体三相材料为例说明，但本发明所提供的方法不限于三相材料。通过组件和基体的水平集函数的不同组合，分别得到不同材料相的拓扑模型如下：

其中，Φ₁(x)表示基体材料1的水平集函数，Φ₂(x)表示基体材料2的水平集函数。

接着；利用Heaviside函数获得不同材料相连续变化的单元密度，不同材料相的特征函数χ_r(r＝1,2,3,4)为：

其中，Φ₁表示基体材料1的水平集函数，Φ₂表示基体材料2的水平集函数；H表示Heaviside函数：

(3)基于不同材料相连续变化的单元密度，将基体多相材料的弹性模量与嵌入设计域中的各个组件的弹性模量相插值，以得到多组件结构系统的等效弹性模量。

具体地，将基体各相材料的弹性模量与各个组件的弹性模量相插值得到多组件集成系统的等效弹性模量E:

特别地，当嵌入的所有组件材料属性相同时：

其中，E_r(r＝1,2,3,4)表示第r种材料相的弹性模量；E_ci表示第i个组件材料的弹性模量；E_c表示当所有组件材料相同时的弹性模量；H表示Heaviside函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数。

(4)基于参数化水平集和彩色水平集多相材料理论建立考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型，并基于得到的等效弹性模量在结构设计域中通过有限元分析求解整体结构的位移场，根据得到的位移场计算多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数；接着，基于形状微分与伴随变量法对基体和组件的设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，继而确定各个组件的最优布局和不同材料相基体的最优分布。

具体地，所述的基于参数化水平集和彩色水平集多相材料理论建立的考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型的表达式为：

Find:α_l,n＝[α_l,1,α_l,2,...,α_l,N]；S_Ci＝{x_C1,y_C1,θ_C1,x_C2,y_C2,θ_C2,...,x_Cnc,y_Cnc,θ_Cnc}

其中，α_1,n表示基体材料1的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_1,n,max和α_1,n,min分别表示基体材料1设计变量的上限和下限；α_2,n表示基体材料2的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_2,n,max和α_2,n,min分别表示基体材料2设计变量的上限和下限；S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；nc是组件的总数量；x_Ci,max和x_Ci,min分别是组件质心横坐标移动的上限和下限；y_Ci,max和y_Ci,min分别是组件质心纵坐标移动的上限和下限；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；E表示多组件集成系统的等效弹性模量；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；g₁表示基体材料1的体积约束函数；g₂表示基体材料2的体积约束函数；f_v1是基体材料1约束的体积分数；f_v2是基体材料2约束的体积分数；V₀表示结构设计域体积。

基于虚功原理，针对有限单元平衡方程进行计算，对应的弱变分形式如下：

a(u,v,Φ₁,Φ₂,Φ_C)＝∫_Dε^T(u)Eε(v)dΩ

l(u,v,Φ₁,Φ₂,Φ_C)＝

∫_DpvH(Φ₁)H(Φ₂)(1-H(Φ_C))dΩ+∫_DpvH(Φ₁)(1-H(Φ₂))(1-H(Φ_C))dΩ+

∫_DpvH(Φ_C)dΩ+∫_Dτvδ(Φ₁)H(Φ₂)(1-H(Φ_C))|▽Φ₁|dΩ-

∫_Dτvδ(Φ₂)H(Φ₁)(1-H(Φ_C))dΩ+∫_Dτvδ(Φ_C)dΩ

其中，a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；P表示结构设计域的体积力；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；▽表示差分算子。

构建考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型具体包括以下步骤：

(4.1)初始化设计参数和基体不同材料的水平集函数以及组件水平集函数。具体还包括基体和组件材料属性参数、设计域长宽；

(4.2)基于求得的多组件集成系统的等效弹性模量E计算结构单元刚度Ke，并组装得到整体刚度矩阵K；接着进行有限元分析求解结构位移场u；

(4.3)基于步骤(4.2)中求解的结构位移场u计算考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数J：

其中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E是多组件集成系统的等效弹性模量；dΩ为结构设计域的积分算子。

(4.4)基于形状微分与伴随变量法求解目标函数与约束函数针对基体设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，判断模型是否满足收敛条件，若否，则返回到步骤(4.2)，若是，则输出基体材料的最优拓扑结构和多组件的最优布局。

具体地，根据链式求导法则计算目标函数与约束函数针对组件设计变量的一阶微分，计算如下：

目标函数与约束函数针对基体设计变量α_l(l＝1,2)的一阶微分：

其中：

其中，α_l,n表示基体材料l(l＝1,2)的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E是多组件集成系统的等效弹性模量；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；E_r表示第r种材料相的弹性模量，r＝1,2,3,4；τ表示应用在边界

的部分边界

上的牵引力；P表示结构设计域的体积力；H表示Heaviside函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；χ_r表示第r种材料相的特征函数；φ_l,n(x)表示第l个高斯径向基函数；g₁表示基体材料1的体积约束函数；g₂表示基体材料2的体积约束函数；dΩ为结构设计域的积分算子；dV表示体积积分。

目标函数与约束函数针对组件设计变量的一阶微分为：

其中，u表示结构场的位移；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；g_l表示基体材料l的体积约束函数，l＝1,2S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；

表示集成所有多组件的水平集函数对组件设计变量的一阶微分。

根据链式规则可以得如下：

使用伴随法可以得到目标函数和体积约束函数对集成所有组件的水平集函数的一阶微分

和

如下：

其中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；E是多组件集成系统的等效弹性模量；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；χ_r表示第r种材料相的特征函数，r＝1,2,3,4；g_l(l＝1,2)表示基体材料l的体积约束函数，

表示多组件集成系统的等效弹性模量对集成所有组件的水平集函数的一阶微分；

表示第r种材料相的特征函数对集成所有组件的水平集函数的一阶微分；dΩ为结构设计域的积分算子；dV表示体积积分。

结合步骤(2)得到的多组件集成系统的等效弹性模量E可以得到：

其中，E_r表示第r种材料相的弹性模量；χ_r表示第r种材料相的特征函数，Φ_C是集成所有组件的水平集函数。

进一步地，可以计算特征函数的形状导数

为：

其中，H表示Heaviside函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数。

注意到，当组件材料属性不同时可以直接求

其中，Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分。

上面已完成

和

的求解过程，可以由Heaviside函数求导法则轻松获得。

更新设计变量并判断优化模型是否满足收敛条件，若否，则返回到步骤(4.2)；若是，则输出基体材料的最优拓扑结构和多组件的最优布局。本步骤关键在于

的求解，由于Φ_C＝max(Φ_C1,Φ_C2,...,Φ_Cnc)中包含max算子，所以在求解

微分时，可以采用K-S方程来近似max算子，从而可以计算

的解析求解。K-S方程方程如下：

其中，当A取一个较大的正数时(例如A＝50)，γ≈max(γ¹,γ²,...,γⁿ)，所以

可以由K-S方程近似求得。

构造多组件的显式水平集函数对设计变量的一阶微分

可根据显式水平集函数Φ_Ci对几何参数S_i(x_i,y_i,θ_i)进行求导获得，所以到此目标函数和体积约束函数对多组件设计变量的敏度分析完毕。

实施例

本发明实施例提供了一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，且本实施例中以基体三相材料为例说明本方法，三相基体材料即为基体材料1、基体材料2和空洞材料。实施例中，2D结构设计域如图2所示，结构尺寸定义为120×60，有限单元网格划分为120×60，定义基体材料1的弹性模量为E₁＝1，基体材料2的弹性模量为E₂＝5，空洞的弹性模量定义为E₃＝0.001，基体所有材料的泊松比为μ＝0.3。定义基体材料1的体积分数为f_v1＝0.25，基体材料2的体积分数为f_v2＝0.25，空洞的体积分数为0.5。在本例中嵌入相同材料属性的多组件，所有组件的弹性模量为E_C＝10。如图2所示定义设计域的左边固定约束，右边界中点施加有F＝-5N的集中载荷。将两个圆形组件嵌入到结构设计域中的初始布局如图3所示，圆形组件的半径r＝5，组件的初始质心位置为(54.5，16.3)、(54.5，43.7)。图4展示了基体材料1、基体材料2和空洞材料中嵌入两个圆形组件初始布局示意图。在优化中，设置优化过程最大迭代步数为200步，设置迭代终止的条件为目标函数迭代前后的目标函数值的差小于等于10^-7时，终止迭代。

经过106步迭代，考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计的最优拓扑结构如图5所示，其柔度值为J＝522.0177，可以看到圆形组件移动到结构的关键承载路径上，基体材料1和基体材料2的边界区分清晰、独特，并且整体结构边界光滑、连接性较好。如图6是基体材料1的实际体积分数与约束体积分数差值的迭代曲线，可以看到开始时由于基体材料1的实际体积分数远小于约束值，所以优化前期波动较大，差值为负值，迭代20步后慢慢趋于稳定。图7是基体材料2的实际体积分数与约束体积分数差值的迭代曲线，可以看到开始时由于实际体积分数大于约束值，所以开始时出现剧烈下降，随后趋于稳定，可以看到该实施例在优化中可以方便地处理不同规模的多个体积约束。如图8所示是考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计模型的目标函数迭代曲线，在开始时由于全局体积分数没有达到材料体积的约束值，所以在前几步出现波动，当基体材料1和基体材料2的体积分数达到约束值时，目标函数开始稳定变化，在迭代10步以后目标函数逐渐收敛。结果表明所提出的方法具有较高的优化效率。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)采用两套设计变量构造多组件形状和不同材料相的基体结构，其中，采用扩展系数插指隐式水平集函数构建不同材料相的基体结构，同时采用位置坐标和方向角度几何参数建立显式水平集函数，并采用显式水平集函数分别构造各个组件形状；接着，采用max函数将所有组件的水平集函数集成到一个水平集函数中，以得到集成有所有组件的多组件水平集函数；

(2)基于彩色水平集多相理论和多组件水平集函数构造基体材料、多组件及空洞的材料相，并通过组件和基体的水平集函数的不同组合得到不同材料相的拓扑模型；接着，基于Heaviside函数获得不同材料相连续变化的单元密度；

(3)基于不同材料相连续变化的单元密度，将基体多相材料的弹性模量与嵌入设计域中的各个组件的弹性模量相插值，以得到多组件结构系统的等效弹性模量；

(4)基于参数化水平集和彩色水平集多相材料理论建立考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型，并基于得到的等效弹性模量在结构设计域中通过有限元分析求解整体结构的位移场，根据得到的位移场计算多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数；接着，基于形状微分与伴随变量法对基体和组件的设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，继而确定各个组件的最优布局和不同材料相基体的最优分布。

2.如权利要求1所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：基体结构的隐式水平集函数为：

其中，x＝x₁,x₂,...,x_N表示所有插值节点坐标，即水平集节点；N表示节点总数；t为伪时间变量；α_l,n表示在第l个水平集函数节点n处的扩展系数；Φ_l(l＝1,2)表示基体结构材料1和基体结构材料2的水平集函数，该水平集函数由高斯径向基函数φ_l,n(x)插值；φ_l,n(x)表示第l个高斯径向基函数。

3.如权利要求2所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：

其中，c是形状参数，等于水平集网格面积或者体积的倒数；x_n表示水平集函数的第n个节点的坐标；||x-x_n||是用于计算当前采样点x到x_n节点距离的欧几里得范数。

4.如权利要求2所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：组件的水平集函数为：

其中，Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；x_ci表示第i个组件的横坐标；y_ci表示第i个组件的纵坐标；r_ci表示第i个圆形组件的半径；(x,y)为采样点坐标。

5.如权利要求4所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：多组件水平集函数为：

Φ_c(x,y)＝max(Φ_c1,Φ_c2,...,Φ_cnc)

其中，nc为所有组件的数量。

6.如权利要求4所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：不同材料相的拓扑模型如下：

其中，Φ₁(x)表示基体材料1的水平集函数；Φ₂(x)表示基体材料2的水平集函数。

7.如权利要求6所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：材料相的特征函数χ_r为：

其中，Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；r＝1,2,3,4；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；H表示Heaviside函数：

8.如权利要求7所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：多相材料最小柔度拓扑优化模型的表达式为：

Find:α_l,n＝[α_l,1,α_l,2,...,α_l,N]；S_Ci＝{x_C1,y_C1,θ_C1,x_C2,y_C2,θ_C2,...,x_Cnc,y_Cnc,θ_Cnc}

Min:

其中，α_1,n表示基体材料1的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_1,n,max和α_1,n,min分别表示基体材料1设计变量的上限和下限；α_2,n表示基体材料2的设计变量，是高斯径向基函数插值时的扩展系数，仅与时间变量相关；α_2,n,max和α_2,n,min分别表示基体材料2设计变量的上限和下限；S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；nc是组件的总数量；x_Ci,max和x_Ci,min分别是组件质心横坐标移动的上限和下限；y_Ci,max和y_Ci,min分别是组件质心纵坐标移动的上限和下限；ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；a表示双线性能量式；l表示单线性负载式；E表示多组件集成系统的等效弹性模量；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；dΩ为结构设计域的积分算子；H表示Heaviside函数，用于表征结构形式的特征函数；g₁表示基体材料1的体积约束函数；g₂表示基体材料2的体积约束函数；f_v1是基体材料1约束的体积分数；f_v2是基体材料2约束的体积分数；V₀表示结构设计域体积。

9.如权利要求1-8任一项所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：步骤(4)包括以下子步骤：

(4.1)初始化设计参数和基体不同材料的水平集函数以及组件水平集函数；

(4.2)基于求得的多组件集成系统的等效弹性模量E计算结构单元刚度Ke，并组装得到整体刚度矩阵K；接着进行有限元分析求解结构位移场u；

(4.3)基于步骤(4.2)中求解的结构位移场u计算考虑多组件集成系统布局优化的多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数J：

其中，ε为应变场；T表示矩阵的转置；u表示结构场的位移；v表示在动力学上允许的位移空间U中的一个虚拟位移；E是多组件集成系统的等效弹性模量；dΩ为结构设计域的积分算子；

(4.4)基于形状微分与伴随变量法，就模型的目标函数与约束函数对基体设计变量进行灵敏度分析，并采用MMA移动渐近线算法更新全局设计变量，判断模型是否满足收敛条件；若否，则返回到步骤(4.2)，若是，则输出基体材料的最优拓扑结构和多组件的最优布局。

10.如权利要求9所述的考虑多组件布局的多相材料拓扑优化设计方法，其特征在于：多相材料最小柔度拓扑优化模型的目标函数与约束函数针对组件设计变量的一阶微分为：

其中，u表示结构场的位移；Φ₁表示基体材料1的水平集函数；Φ₂表示基体材料2的水平集函数；Φ_ci(x,y)表示第i个组件的水平集函数；Φ_C是集成所有组件的水平集函数；g_l表示基体材料l的体积约束函数，l＝1,2 S_Ci为组件的设计变量，即为x_Ci,y_Ci,θ_Ci，其中x_Ci表示第i个组件的横坐标，y_Ci表示第i个组件的纵坐标，θ_Ci表示第i个组件与平轴之间逆时针旋转的角度；

表示集成所有多组件的水平集函数对组件设计变量的一阶微分。

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