CN109145427B - 一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法 - Google Patents

Abstract

一种高效的基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，属于计算机辅助设计领域。首先给出基于三周期极小曲面的多孔结构的函数表示及对应多孔结构设计方法，然后在给定外部条件约束下，通过构建能量函数模型对多孔结构设计进行建模，并给出对应的离散化形式。最后，分别对上述建模问题进行拓扑初始化和几何优化，得到给定约束条件下优化多孔结构。该发明使得该类孔洞结构的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。该发明设计的多孔结构具有光滑性、全连通性、可控性、准自支撑性等特性，适用于常用的3D打印制造方法，打印过程的内部结构无需额外支撑，可以节省打印时间和打印材料。

Description

一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计领域，涉及一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，适用于工程轻量化设计、医学应用设计与制造等领域。

背景技术

多孔结构设计与优化是工程和制造等领域的重点也是难体之一，尤其是以减轻质量为目标同时保证力学稳定性的轻量化工作一直受到大量的关注。已有的多孔结构设计与优化工作受限于模型表示复杂，力学分析代价大等限制，在适用性(功能性)和可控性上表现不佳。如何研发性能更加优越且可控的轻量化多孔结构，以及利用优化方法实现模型多孔结构的优化，是拓展多孔结构广泛应用的关键所在。

在轻量化结构方面，多孔结构具有密度低、强度高和渗透性好等优点，是轻量化材料及结构设计的重要方式，且在传统工程制造领域、新兴的微米和纳米制造等领域都有广泛的应用，Nature、Science等权威杂志也纷纷报道相关研究成果。目前，应用最多的还只是简单的多孔结构，如蜂窝结构、支架结构等，前者结构具有较强的各向异性且内部非全连通，后者稳定性差且容易受力集中，这些导致了该类结构在适用性和可控性方面不足等问题，限制了其应用范围。最近，数学领域的一种被称为三周期极小曲面的结构引起了广泛关注。三周期极小曲面具有多孔性、光滑性、连通性、多样性及可控性等诸多优点，能够很好地补充各领域轻量化设计中多样性需求。该类多孔结构由于难以制造没有引起足够重视，而3D打印技术的迅猛发展为其应用提供了条件。已经有很多工作基于这种三周期极小曲面来对模型内部进行结构设计，但是目前为止还没有一个完整的、优化方案被提出，因此，将数学理论上属性优越的周期性极小曲面应用到结构设计中，并构建出一套体系完整的优化方法，是目前国内亟需填补的技术空白区。

基于上述目的，提出了一种基于三周期极小曲面的多孔结构优化设计方案。首先，设计了一种能基于函数表示的多尺度多孔结构模型。然后利用函数的可微分性对多孔结构进行分析和优化，给出了一套多孔结构设计和优化框架。

发明内容

本发明提出一种基于三周期极小曲面的多尺度多孔结构表示，建立了一套完整的、“表示-分析-优化”多孔结构设计与优化框架，流程如图1所示。首先，给出基于三周期极小曲面的多孔结构的函数表示，以及对应多孔结构设计方法。然后，在给定外部条件约束下，通过构建能量函数模型对多孔结构设计进行建模，并给出对应的离散化形式。最后，分别对上述建模问题进行拓扑初始化和几何优化，得到给定约束条件下优化多孔结构。

本发明采用的技术方案是：

一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，方法如下：

(一)多尺度多孔壳状结构建模

1.多尺度三周期极小曲面表示

在三周期极小曲面函数表示的基础上，引入控制周期的参数函数t(r)＞0设计出了一种多尺度三周期极小曲面。具体地，以

极小曲面为例：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对于坐标，c为标量。

极小曲面对应的多尺度曲面

可以表示为

其中,t(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡尺寸的孔洞曲面。其它类型曲面可以按照相似的方法进行处理，称该类曲面为多尺度三周期极小曲面。

该类曲面具有很多良好的性质，如光滑性、可控性、全连通性，以及准自支撑性(几乎处处不用额外支撑)。该类曲面不仅受力性质好，容易控制，且适用于常见的三维打印制造方法(如，FDM、DLP、SLA、SLS等)。因此，在实际应用中可以被用来进行模型内部填充结构设计。

2.多尺度多孔壳状结构表示

基于上述构建的多尺度三周期极小曲面，并根据其隐函数等值面描述这一特征，进一步来构建具有厚度的多尺度多孔壳状结构。利用两个具有相同的周期分布的不同等值面所确定的封闭区域作为多孔壳状内部。具体地，设两个同周期曲面分别为：

则多孔壳状结构φ^s(r)可以表示为：

φ^s(r)＝min(φ₁(r),φ₂(r)). (1.5)

在上述定义中，c(r)决定了壳状结构的壁厚。因此，可以通过优化参数函数c(r)来生成满足需求的非均匀壁厚的多孔结构。

(二)基于多尺度多孔壳状结构的建模及优化

给定模型受力及边界条件后，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使给定材料体积约束情况下，多孔结构的壁厚具有最优化分布。

1.问题模型建立

基于上述目的，的模型问题建立如下：

使得

其中，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，f为体积力，s为定义在黎曼边界Γ_s上的面力，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，

Sob¹为一阶Soblev空间，ε为二阶线性应变张量，

为四阶弹性张量，其由弹性模量和泊松比决定。

为定义在狄利克雷边界Γ_u上的位移约束，

为体积约束值，H(x)函数定义为：

2.优化问题的离散化

为了求解上述问题，需对上述建模问题进行离散化。这里，利用有限元方法进行相关力学分析。另外，为了保证模型构建的精读和效率，采用了“由粗到细”的策略将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值位移场函数；用细网格去描述模型和进行积分计算。例如，第i个粗网格下的局部单元刚度矩阵构建如下：

其中，Ω_i是第i个粗单元所占区域，B为应变矩阵，Dⁱ为本构矩阵，n_b表示粗单元内部细单元的个数，E_ij为弹性模量值，D⁰为常值杨氏模量下满材料单元的本构矩阵，r_ij为细网格内部积分点的位置坐标，v_b为细单元的体积。如此，将所有的局部单元刚度矩阵整合得到总体刚度矩阵K之后，就得到优化问题(1.1-1.2)的离散形式：

使得

其中，U为位移向量，N_b为求解域中总的细单元个数。

3.建模问题优化

基于上述构建的优化问题，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化。另外，根据该类结构的属性，只需初始化周期控制函数t(r)，只对函数分布c(r)进行优化计算即可。具体优化流程如下：

步骤1：力学性能分析。对输入的模型，在给定应力条件及外界约束条件下，计算实体模型应力分布。

步骤2：拓扑初始化。根据实体模型的应力分布，利用插值方法得到初始的周期函数t(r)的连续参数分布。

步骤3：壁厚c(r)优化。首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化。在求解域中随机选择n_c个插值基点

则有插值形式：

其中，R_i(r)＝R(||r-p_i||)选择薄板径向基函数R(x)＝x²log(|x|)，q_j(r)为关于坐标的多项式。经过推导简化可以将(1.12)式转化为：

如此，厚度优化问题就转换为了对参数

的优化问题。最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

带入经典的MMA算法最终得到优化问题的解。

本发明的面向3D打印的多尺度壳状孔洞结构设计与优化系统，属于计算机辅助设计、工业设计制造领域。主要包括多尺度多孔结构设计与表示，基于该多孔结构的问题建模与优化求解。本发明提出了一种多尺度多孔壳状结构表示和设计方法，建立了一套完整的从模型的表示、分析、优化，以及储存到传输都能够用函数表示的一个完整体系。该发明使得该类孔洞结构的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。该发明设计的多孔结构具有光滑性、全连通性、可控性、准自支撑性等特性，这些优良性质确保了该类结构的适用性和可制造性。另外，该类多孔结构适用于常用的3D打印制造方法，打印过程的内部结构无需额外支撑，可以节省打印时间和打印材料。

附图说明

图1是基于多尺度多孔壳状结构的设计与优化流程图。

图2是基于多尺度多孔壳状结构的设计与优化结果图。

图中：a原始模型；b对用优化结果(P曲面)；c对用优化结果(G曲面)；

具体实施方式

本发明实施具体可分为多尺度多孔壳状结构设计，建立优化问题及其离散化，优化设计流程等几个主要步骤：

(一)多尺度多孔壳状结构

这里，以φ_P(p)曲面为例说明多尺度多孔壳状结构的构造。首先建立多尺度多孔曲面：

其中,r为三维空间中点，c为标量(取值区间为[-1,1])，t(r)控制了孔洞周期的连续变化(取值区间为[0.5,2])。

进而，构造具有厚度的多尺度多孔壳状结构：利用两个具有相同的周期分布的不同等值面所确定的封闭区域作为多孔壳状内部空间，即定义：

则多孔壳状结构可以用φ^s(r)来表示：

φ^s(r)＝min(φ₁(r),φ₂(r))。 (1.16)

综上可知，c(r)决定了多孔结构的壁厚(取值区间为[0.2,0.8])，t(r)控制了孔洞周期的连续变化(取值区间为[0.5,2])。

(二)基于多尺度多孔壳状结构的建模及优化

1.问题建模

这里使用经典的最小柔度问题来建立多孔结构优化问题。即以结构能量最小化为目标，以模型体积、受力及边界条件为约束，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使得给定材料体积约束情况下，多孔结构的壁厚具有最优化的分布。

基于上述目的，的优化问题具有如下连续形式：

使得

这里，为了求解优化时能够对H(x)函数计算导数信息，这里一般使用该函数的正规化逼近形式：

2.优化问题的离散化

对于上述问题的离散化，为了保持模型构建的细节同时保证计算的高效，采用了“由粗到细”的策略将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值位移场函数；用细网格去描述模型和进行积分计算。例如，第i个粗网格下的局部单元刚度矩阵构建如下：

这里，利用代替材料方法来提高方法的效率，即

其中，E₀为原始弹性模量值，

为φ^s(r)在第i个粗单元中的第j个细单元的第l个节点处的值，q＞1为惩罚因子。将所有的局部单元刚度矩阵整合得到总体刚度矩阵K之后，就得到优化问题的离散形式：

使得

KU＝F

其中，U为位移向量，N_b为求解域中总的细单元个数。

3.建模问题优化

这里只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行优化。具体优化流程如下：

步骤1：力学性能分析。对输入的模型，指定其外部载荷和支撑面等工学条件，计算其应力分布。

步骤2：拓扑初始化。基于对三周期极小曲面相对于周期参数的变化及其力学性能的表现，根据实体模型的应力分布，指导生成多尺度三周期极小曲面的连续参数分布t(r)。这里利用了贝塔生长函数

t(r)＝(t_max-t_min)g(d(r))+t_min

其中，min{d(r)}＝d_min≤d_m≤max{d(r)}＝d_max，d_m为生长率最大的点，可以通过控制d_m来调整孔结构的分布，这样就得到了初始的拓扑结构。

步骤3：壁厚c(r)优化。首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化。在求解域中随机选择n_c＝200个插值基点

对于三维问题m＝4，则插值形式(1.12)为：

进一步，(2.7)式转化为：

如此，厚度优化问题就转换为了对参数

的优化问题。最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

将公式(2.9)，(2.10)带入经典的MMA算法最终得到优化问题的解。

将上述方法在不同3D模型上进行模拟仿真，实验均可以达到理想效果。从结果来看，的优化方法在应力较小地方孔洞较大且厚度较薄，在应力较大地方孔洞较小且厚度较厚，并且不同受力位置过渡光滑自然，如图2所示。实验中几乎所有模型的重量优化都可达60-70％。同时为了说明该发明的高效性，将力学分析环节的时间复杂度和通用的力学分析软件ANSYS进行比较。对比发现，对于可分析的简单模型，本发明优化一次的耗时是ANSYS的几十分甚至几百分之一；对于较大的复杂模型，ANSYS因为模型处理等问题不能进行正确分析，而该发明仍能很高效地进行分析。

Claims (1)

1.一种基于三周期极小曲面的多孔结构设计与优化方法，方法如下：

(一)多尺度多孔壳状结构建模

(1)多尺度三周期极小曲面表示

在三周期极小曲面函数表示的基础上，引入控制周期的参数函数t(r)＞0设计出多尺度三周期极小曲面；以

极小曲面为例：

其中，r为三维向量，x,y,z分别为其对于坐标，c为标量；

极小曲面对应的多尺度曲面

表示为

其中,t(r)控制了孔洞周期的连续变化，构造在空间上具有光滑过渡尺寸的孔洞曲面；其它类型曲面按照相似的方法进行处理，称该类曲面为多尺度三周期极小曲面；

(2)多尺度多孔壳状结构表示

设两个同周期曲面分别为：

则多孔壳状结构φ^s(r)表示为：

φ^s(r)＝min(φ₁(r),φ₂(r)). (1.5)

在上述定义中，c(r)决定了壳状结构的壁厚；通过优化参数函数c(r)来生成满足需求的非均匀壁厚的多孔结构；

(二)基于多尺度多孔壳状结构的建模及优化

给定模型受力及边界条件后，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使给定材料体积约束情况下，多孔结构的壁厚具有最优化分布；

(1)问题模型建立

使得：

其中，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，f为体积力，s为定义在黎曼边界Γ_s上的面力，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，

Sob¹为一阶Soblev空间，ε为二阶线性应变张量，

为四阶弹性张量，其由弹性模量和泊松比决定；

为定义在狄利克雷边界Γ_u上的位移约束，

为体积约束值，H(x)函数定义为：

(2)优化问题的离散化

采用了“由粗到细”的策略将求解区域细分成两套精度不同的均匀网格：用粗网格去插值位移场函数；用细网格去描述模型和进行积分计算；

第i个粗网格下的局部单元刚度矩阵构建如下：

其中，Ω_i是第i个粗单元所占区域，B为应变矩阵，Dⁱ为本构矩阵，n_b表示粗单元内部细单元的个数，E_ij为弹性模量值，D⁰为常值杨氏模量下满材料单元的本构矩阵，r_ij为细网格内部积分点的位置坐标，v_b为细单元的体积；

将所有的局部单元刚度矩阵整合得到总体刚度矩阵K之后，就得到优化问题的离散形式：

使得：

其中，U为位移向量，N_b为求解域中总的细单元个数；

(3)建模问题优化

基于上述构建的优化问题，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化；另外，根据该类结构的属性，只需初始化周期控制函数t(r)，只对函数分布c(r)进行优化计算即可；具体优化流程如下：

步骤1：力学性能分析；对输入的模型，在给定应力条件及外界约束条件下，计算实体模型应力分布；

步骤2：拓扑初始化；根据实体模型的应力分布，利用插值方法得到初始的周期函数t(r)的连续参数分布；

步骤3：壁厚c(r)优化；首先，利用径向基插值的方法将函数优化转化为插值基函数参数的优化；在求解域中随机选择n_c个插值基点

则有插值形式：

其中，R_i(r)＝R(||r-p_i||)选择薄板径向基函数R(x)＝x²log(|x|)，q_j(r)为关于坐标的多项式；经过推导简化将(1.12)式转化为：

如此，厚度优化问题就转换为了对参数

的优化问题；最后，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

带入经典的MMA算法最终得到优化问题的解；其中，H_η(x)为H(x)函数的正规化逼近形式，表达式为

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