CN113158526B - 一种基于tpms可控孔隙结构设计方法 - Google Patents
一种基于tpms可控孔隙结构设计方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，针对植入器械相应综合力学性能与人体自身骨不匹配的问题，采用基于参数化TPMS的多孔结构设计方法，结合三向周期性极小曲面方法与基于组合逼近技术，来进一步实现结构—性能的关联映射，通过MMA算法对微孔结构形状及空间分布进行快速优化，实现植入体零件的综合力学性能与缺损骨组织的最佳匹配，实现植入体零件的结构的“控性”操作，达到“神似”效果。
Description
技术领域
本发明涉及一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法。
背景技术
下面的背景技术用于帮助读者理解本发明，而不能被认为是现有技术。
目前，随着工作压力的不断加大，广大年轻人、中老年人的脊椎、腰椎都出现一定的病变，后期严重起来都需要进行相应的手术治疗。目前针对手术治疗的腰椎椎间融合器设计尚且处于发展阶段，骨骼本身具有松质骨和皮质骨，所以需要针对腰椎椎间融合器设计相应符合人体组织所需的多孔结构来代替松质骨，使整体腰椎椎间融合器的力学性能满足人体所需，不会出现因为植入器械的弹性模量太大，导致“应力屏蔽”现象的发生。
传统的腰椎椎间融合器设计相对不够完善，多采用非TPMS曲面构建多孔结构，且孔隙率和力学性能都不能满足人体所需。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，针对植入器械相应综合力学性能与人体自身骨不匹配的问题，采用基于参数化TPMS的多孔结构设计方法，结合三向周期性极小曲面方法与基于组合逼近技术，来进一步实现结构-性能的关联映射，通过MMA算法对微孔结构形状及空间分布进行快速优化，实现植入体零件的综合力学性能与缺损骨组织的最佳匹配，实现植入体零件的结构的“控性”操作，达到“神似”效果。
本发明提供一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，包括以下步骤：
步骤一，通过K3DSurf软件导出三向周期性极小化P曲面，导出.obj格式文件至Rhino 6.0软件中，再导出.stl格式文件，将.stl格式文件导入Geomagics Wrap中进行曲面偏移、加厚操作，得到TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体；
步骤二，采用POD模型对TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体降阶，获取密度分布基函数，得到结构参数与弹性张量之间的多项式关系，再基于组合逼近技术构建以结构柔顺度最小为目标函数的数学模型；
步骤三，利用MMA算法对数学模型优化求解；
步骤四，获得最优TPMS多孔可控孔隙结构实体，进行压缩分析和热应变分析，判断其是否适合实际应用场合，其应力是否满足要求，其在金属3D打印过程中的形变量的大小是否在可接受范围内。
优选的，数学模型为：
KU＝F
xmin≤x≤xmax
式中：
c(x)——目标函数；
x——设计变量(TPMS控制参数)；
U——位移场；
F——外力向量；
K——全局刚度矩阵；
ue——每个单元位移量；
Ke——每个单元子刚度矩阵；
N——单元总数；
V(x)——给定材料总体积；
V0——设计区域总体积；
f——预设体积分数。
优选的，步骤三中优化求解方法为：
(1)建立有限元平衡方程，获得当前结构的相应位移场U，
KU＝F
式中：
F——外力向量；
K——全局刚度矩阵；
(2)采用拉格朗日乘子将数学模型的约束最优化问题转换成无约束最优化问题，选取拉格朗日函数为：
式中：
λ1——标量；
λ2,λ3,λ4——向量；
s3,s4——松弛变量；
C——目标函数；
f——预设体积分数；
V——给定材料总体积；
V0——设计区域总体积；
(3)计算模型的优化设计准则变量迭代因子，引入移动极限常数m和阻尼因子θ，采用优化准则法的启发式迭代格式的表达式将变为如下形式：
式中：
xi——第i个设计变量；
——给定变量的初始值；
(4)经过计算，随后检查计算结果是否满足收敛的标准，如果不收敛则继续进行式步骤(3)中式的循环迭代计算，判断计算结果是否收敛的标准如下：分别取两次邻近设计变量的最大分量，用两个分量的绝对差值式作为评判标准，具体公式如下：
式中：
ε——判断是否收敛的固定正值；
k、k+1——两次邻近设计变量。
优选的，步骤四中，压缩分析的方法为：将结构实体模型导入Hypermesh 14.0中划分网格，再将网格数据和实体模型数据导入Abaqus CAE中进行压缩分析，得到其相应应力，判断其合理性。
优选的，步骤四中，最优TPMS多孔可控孔隙结构实体在金属3D打印过程中的形变量的大小是否在可接受范围内的判断方法为：在ANSYS Additive 2020R2中进行实体模型热仿真，判断该模型实体在打印过程中受热产生的形变量的大小是否在安全范围内。
本发明的有益效果：
1、采用基于参数化TPMS的多孔结构设计方法，结合三向周期性极小曲面方法与基于组合逼近技术，来进一步实现结构—性能的关联映射，通过MMA算法对微孔结构形状及空间分布进行快速优化，实现植入体零件的综合力学性能与缺损骨组织的最佳匹配，实现植入体零件的结构的“控性”操作，达到“神似”效果。
2、本发明运用POD模型降阶算法，来替换传统的PGD模型降阶算法，进行模型降阶及映射处理，降低数值求解的难度，进一步加快优化速度。
附图说明
图1本发明的设计流程图。
图2为Geomagics Wrap中偏移曲面示意图。
图3为最优TPMS多孔可控孔隙结构实体示意图。
图4为压缩分析结果图。
图5为热应变分析结果图。
具体实施方式
下面对本发明涉及的结构或这些所使用的技术术语做进一步的说明。这些说明仅仅是采用举例的方式进行说明本发明的方式是如何实现的，并不能对本发明构成任何的限制。
如图1-5所示，一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，包括以下步骤：
步骤一，采用K3DSurf软件中的三向周期性极小化P曲面，通过将该曲面以.obj文件格式输出，用Rhino 6.0软件打开，Rhino 6.0作为格式转换工具，将.obj格式文件转换为.stl格式文件，再用Geomagics Wrap软件打开.stl格式文件，通过在Geomagics Wrap软件中进行曲面偏移、加厚等操作，得到相应的TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体。
步骤二，采用POD模型对TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体降阶，获取密度分布基函数，得到结构参数与弹性张量之间的多项式关系，再基于组合逼近技术构建以结构柔顺度最小为目标函数的数学模型。
首先，采用POD模型降阶来获取TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体的密度分布基函数，需要对每一个TPMS网格单元设置一个参数，该参数即为密度ρ。密度ρ指网格中实体材料占有的整体比例，采用POD模型降阶方法来计算相应的基底，获取其相应的密度分布基函数。
基于POD模型降阶方法的基本原理：就是将原始高阶系统通过投影，投影到由有限个最优正交基所组成的降阶子空间中，从而构建求解瞬态系统的降阶计算模型。需要考虑解的形式为u(x1,...,xn)的偏微分方程，这需要一个张量积线性组合形式的近似数值解：
式中：
——为基函数；
——为基函数中相对应的系数。
采用POD算法来进行模型降阶，以消除周期性曲面的普遍定义公式中所含未知数个数高达Nn个，随着维度n的不断增大，复杂程度将呈现指数增长态势，会带来极大的数值计算量的问题。
周期性曲面的普遍定义公式：
鉴于上述问题，本发明采用POD模型降阶算法来进行模型降阶。POD模型降阶算法实质就是寻找由瞬态解组成的样本空间的一个降阶子空间，这样可以使原始样本空间中的相应元素可以通过投影，投影至降阶子空间中，投影的结果在最小二乘意义上与在原空间中的结果在最小二乘意义上是近似的。即若d维降阶子空间的一组标准正交基则原始样本数据投影到降阶子空间的解为：
为了使得式2.1与式2.3所得结果在最小二乘意义上近似，对于所构造的d维降阶子空间的标准正交基将设置以下满足关系式：
式中：
δi,j——克罗内克函数(当i＝j时，δi,j＝1；当i≠j时，δi,j＝0)。
随后应用拉格朗日乘子法，式2.4的极值问题可以转变成特征值问题：
YYTξi＝λiξi(i＝1,2,...,d) (2.5)
式中：
矩阵为特征值方程的一组特征向量，其中/>为相对应的特征值，得到相对应的特征值之后，再采用拉格朗日特征根方程求解相应的密度分布基底集合：
式中：
——拉普拉斯算子；
ρj——特征值λi对应的d维向量。
综上，可以定义得出整体设计区域Ω上的目标密度分布ρ的线性分解如下：
式中：
ρ0——一般为平均密度分布；
ak——待定系数；
(a1,a2,...,ak,...,aN)——为降维之后与密度分布ρ一一对应的向量。
对一组对应不同密度ρ的样本单元，计算得到其对应的弹性张量，记作C(ρ)，可以采用一个二次多项式近似密度对弹性张量的关系：
C(ρ)＝C0+C1ρ+C2ρ2 (2.8)
再次，基于组合逼近技术(CA)构建TPMS结构参数和性能的解析关系，即建立以结构柔顺度最小为目标函数的数学模型。组合逼近技术最早开始应用于结构重分析领域，它结合了泰勒展开，把通过模型降阶技术得到的基底和它们的组合作为多项式展开的基底。在此之后运用组合逼近技术，得到相应解析近似解。对于只有低秩和有限高秩复杂度的结构，通过CA技术将可以得到相对精确的结果。
假定ρ是对应的密度分布，K是ρ对应的刚度矩阵，则有如下等式：
式中：
K0,Kk,Kmn分别由密度分布ρ0,ρk,ρm,ρn装配得到，分布中的单元e各自对应的弹性张量分别为：
将相应密度分解的式2.7代入式2.8可以得到如下关系式3.3：
通过上述步骤，可以得到弹性张量装配出单元e对应的刚度矩阵Ke：
当建立了设计参数和刚度矩阵的多项式的关联关系(3.4)，就可以通过刚度矩阵求解位移场，获得位移场的解析解，也即建立了结构与性能的解析关联。
步骤三，利用MMA算法对数学模型优化求解。
TPMS结构参数和性能的解析关系构建完毕，即可表达结构总体势能，表达式如下(4.1)可知：
式中：
K——总体刚度矩阵；
u——位移向量；
f——外力向量；
Ω——材料作用域；
S——作用域边界。
TPMS多孔结构的空间分布优化问题，实质可以转变为在负载作用下结构中确定材料的空间分布问题并且应使得相应的结构柔顺度达到最小，也就是结构中材料空间分布达到最少但结构刚度最大的情况。其数学模型如下(4.2)：
式中：
c(x)——目标函数；
x——设计变量(TPMS控制参数)；
U——位移场；
F——外力向量；
K——全局刚度矩阵；
ue——每个单元位移量；
Ke——每个单元子刚度矩阵；
N——单元总数；
V(x)——给定材料总体积；
V0——设计区域总体积；
f——预设体积分数。
为了实现上述TPMS多孔结构的空间分布优化目标，这里采用MMA数值求解，相应步骤如下：
(1)求解目标是得到相应TPMS多孔结构的结构柔顺度值，需要得知当前该结构的相应位移场U，需要如下有限元平衡方程(4.3)：
KU＝F (4.3)
(2)采用拉格朗日乘子将式(4.2)的约束最优化问题转换成无约束最优化问题，此处选取拉格朗日函数为式(4.4)：
式中：
λ1——标量；
λ2,λ3,λ4——向量；
s3,s4——松弛变量。
(3)计算模型的优化设计准则变量迭代因子，为了确保相应迭代过程的稳定性，此处引入移动极限常数m。与此同时，为了保证数值计算稳定性和收敛性。还引入阻尼因子θ，引入这两者之后，采用优化准则法的启发式迭代格式的表达式将变为如下形式(4.5)：
式中：
m——移动极限常数；
θ——阻尼因子；
xi——第i个设计变量；
——给定变量的初始值。
(4)经过计算，随后检查计算结果是否满足收敛的标准，如果不收敛则继续进行式(4.5)的循环迭代计算。判断计算结果是否收敛的标准如下：分别取两次邻近设计变量的最大分量，用两个分量的绝对差值式作为评判标准，具体公式如下(4.6)：
式中：
ε——判断是否收敛的固定正值；
k、k+1——两次邻近设计变量。
MMA方法通过引入移动渐近线的方法，将TPMS多孔结构的空间分布优化问题转变成一系列显式的更为简单的严格凸的近似子优化问题，在每一步迭代过程中，通过求解一个近似的凸的子问题来获得新的设计变量，且在每次迭代计算中仅用到当前点的函数值和偏导数，这进一步降低了计算复杂度和难度，适用于求解目标函数复杂且具有多约束的拓扑优化问题，能够很好完成TPMS多孔结构空间分布优化问题。
步骤四，获得最优TPMS多孔可控孔隙结构实体，进行压缩分析和热应变分析，判断其是否适合实际应用场合，其应力是否满足要求，其在金属3D打印过程中的形变量的大小是否在可接受范围内。
具体如下：压缩分析，通过将结构实体模型导入Hypermesh 14.0中划分网格，再将网格数据和实体模型数据导入Abaqus CAE中进行压缩分析，得到其相应应力，判断其合理性；再在ANSYS Additive 2020R2中进行实体模型热仿真，判断该模型实体在打印过程中受热产生的形变量的大小是否在安全范围内。
以上详细描述了本发明的具体设计及关键制备具体实施例。应当理解，本领域的普通研究人员无需创造性劳动就可以根据本发明的构思做出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。
Claims (3)
1.一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，通过K3DSurf软件导出三向周期性极小化P曲面，导出.obj格式文件至Rhino6.0软件中，再导出.stl格式文件，将.stl格式文件导入Geomagics Wrap中进行曲面偏移、加厚操作，得到TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体；
步骤二，采用POD模型对TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体降阶，来获取密度分布基函数，得到结构参数与弹性张量之间的多项式关系，再基于组合逼近技术构建以结构柔顺度最小为目标函数的数学模型；
首先，采用POD模型降阶来获取TPMS微孔曲面单元和微观孔隙单元实体的密度分布基函数，需要对每一个TPMS网格单元设置一个参数，该参数即为密度ρ，密度ρ指网格中实体材料占有的整体比例，采用POD模型降阶方法来计算相应的基底，获取其相应的密度分布基函数；
基于POD模型降阶方法的基本原理：将原始高阶系统通过投影，投影到由有限个最优正交基所组成的降阶子空间中，从而构建求解瞬态系统的降阶计算模型，需要考虑解的形式为u(x1,...,xn)的偏微分方程，需要一个张量积线性组合形式的近似数值解：
式中：
——为基函数；
——为基函数中相对应的系数，
采用POD算法来进行模型降阶，以消除周期性曲面的普遍定义公式中所含未知数个数高达Nn个，随着维度n的不断增大，复杂程度将呈现指数增长态势，会带来极大的数值计算量的问题，
周期性曲面的普遍定义公式：
采用POD模型降阶算法来进行模型降阶，若d维降阶子空间的一组标准正交基则原始样本数据投影到降阶子空间的解为：
为了使得式(一)与式(三)所得结果在最小二乘意义上近似，对于所构造的d维降阶子空间的标准正交基将设置以下满足关系式：
式中：
δij——克罗内克函数(当i＝j时，δij＝1；当i≠j时，δij＝0)，
应用拉格朗日乘子法，式(四)的极值问题转变成特征值问题：
YYTξi＝λiξi(i＝1,2,...,d) (五)
式中：
矩阵Y＝[ψ1,ψ2,...,ψs]∈Rd×s,ψψTξi∈Rd×d,为特征值方程的一组特征向量，其中为相对应的特征值，得到相对应的特征值之后，再采用拉格朗日特征根方程求解相应的密度分布基底集合：
式中：
——拉普拉斯算子；
ρj——特征值λi对应的d维向量；
综上，定义得出整体设计区域Ω上的目标密度分布ρ的线性分解如下：
式中：
ρ0——一般为平均密度分布；
ak——待定系数；
(a1,a2,...,ak,...,aN)——为降维之后与密度分布；
ρ——对应的向量；
对一组对应不同密度ρ的样本单元，计算得到其对应的弹性张量，记作C(ρ)，采用一个二次多项式近似密度对弹性张量的关系：
C(ρ)＝C0+C1ρ+C2ρ2 (八)
再次，基于组合逼近技术构建TPMS结构参数和性能的解析关系，即建立以结构柔顺度最小为目标函数的数学模型，
假定ρ是对应的密度分布，K是ρ对应的刚度矩阵，则有如下等式：
式中：
K0,Kk,Kmn分别由密度分布ρ0,ρk,ρmn装配得到，分布中的单元e各自对应的弹性张量分别为：
将相应密度分解的式(七)代入式(八)得到如下关系式：
通过上述步骤，得到弹性张量装配出单元e对应的刚度矩阵Ke：
建立设计参数和刚度矩阵的多项式的关联关系式(十二)，通过刚度矩阵求解位移场，获得位移场的解析解；
其数学模型如下：
式中：
c(x)——目标函数；
x——设计变量(TPMS控制参数)；
U——位移场；
F——外力向量；
K——全局刚度矩阵；
ue——每个单元位移量；
Ke——每个单元子刚度矩阵；
N——单元总数；
V(x)——给定材料总体积；
V0——设计区域总体积；
f——预设体积分数；
步骤三，利用MMA算法对数学模型优化求解：
(1)建立有限元平衡方程，获得当前结构的相应位移场U，
KU＝F (十四)
式中：
F——外力向量；
K——全局刚度矩阵；
(2)采用拉格朗日乘子将数学模型的约束最优化问题转换成无约束最优化问题，选取拉格朗日函数：
式中：
λ1——标量；
λ2,λ3,λ4——向量；
s3,s4——松弛变量；
C——目标函数；
f——预设体积分数；
V——给定材料总体积；
V0——设计区域总体积；
(3)计算模型的优化设计准则变量迭代因子，引入移动极限常数m和阻尼因子θ，采用优化准则法的启发式迭代格式的表达式将变为如下形式：
式中：
xi——第i个设计变量；
——给定变量的初始值；
(4)经过计算，随后检查计算结果是否满足收敛的标准，如果不收敛则继续进行步骤(3)中式的的循环迭代计算，判断计算结果是否收敛的标准如下：分别取两次邻近设计变量的最大分量，用两个分量的绝对差值式作为评判标准，
具体公式如下：
式中：
ε——判断是否收敛的固定正值；
k、k+1——两次邻近设计变量；
步骤四，获得最优TPMS多孔可控孔隙结构实体，进行压缩分析和热应变分析，判断其是否适合实际应用场合，其应力是否满足要求，其在金属3D打印过程中的形变量的大小是否在可接受范围内。
2.如权利要求1所述的一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，其特征在于，步骤四中，压缩分析的方法为：将结构实体模型导入Hypermesh 14.0中划分网格，再将网格数据和实体模型数据导入Abaqus CAE中进行压缩分析，得到结构实体模型相应应力，判断其合理性。
3.如权利要求1所述的一种基于TPMS可控孔隙结构设计方法，其特征在于，步骤四中，最优TPMS多孔可控孔隙结构实体在金属3D打印过程中的形变量的大小是否在可接受范围内的判断方法为：在ANSYS Additive 2020R2中进行实体模型热仿真，判断该模型实体在打印过程中受热产生的形变量的大小是否在安全范围内。
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Citations (5)
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|---|---|---|---|---|
| CA2045533A1 (en) * | 1989-03-14 | 1990-09-15 | David M. Anderson | Stabilized microporous materials and hydrogel materials |
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Patent Citations (5)
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| The effect of porosity on the mechanical properties of 3D-printed triply periodic minimal surface (TPMS) bioscaffold;Zizhen Cai等;Bio-Design and Manufacturing;第242-255页 * |
| 多孔结构的髙效参数优化设计;徐超;中国博士学位论文全文数据库（工程科技Ⅰ辑）(第12期);第B020-221页 * |
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