CN111859693B - 一种高效的多孔结构表示和优化方法 - Google Patents

Abstract

一种高效的多孔结构表示和优化方法，属于计算机辅助设计领域。先给出用函数描述的多尺度多孔结构的表示方法，基于这种函数表示，设计优化框架；然后以结构能量最小化为目标，以体积和梯度为约束，建立优化问题模型；最后先进行拓扑优化后进行几何优化，对多孔结构的拓扑和厚度进行优化设计，得到内部填充有多孔结构的最优化模型。该发明完全在函数上对多孔结构进行表示、分析、优化和存储，大大减小了计算复杂度，使得设计和优化周期大大缩短，并且可以给出在体积约束下使得结构硬度和刚度很强的优化模型。这种结构适用于常用的3D打印制造技术，打印过程的内部结构无需额外的支撑，可以节省打印时间和打印材料。

Description

一种高效的多孔结构表示和优化方法

技术领域

本发明涉及计算机辅助设计领域，主要内容为基于三周期极小曲面的多孔结构的表示与优化方法，可应用于医学、生物和工程设计等领域。

背景技术

制造生产出轻量化且具有强力学性能的结构成为包括工业和生物在内等众多领域的重要课题，具有很大的挑战和发展机遇。其中被广泛应用的多孔结构已经得到了大量的研究，所提出的空洞结构、框架结构和蜂窝状结构等都为轻量化工作做出了一定的贡献。但是，这些传统的多孔结构或多或少都存在相应的问题，比如蜂窝结构和框架结构会产生应力集中，而且这些结构在优化设计过程中，因为必须使用传统的FEM方法进行受力分析，所以特别耗时，会给生产应用带来很大的代价。最近，基于三周期极小曲面的多孔支架结构引起了很多科研人员和工程人士的注意，已经被研究和应用在众多领域。这种结构具有很多的优点，比如内部连通性、高面积-体积比、比较高的强度和刚度等。此外最主要的一个优势是，基于三周期极小曲面的多孔结构可以通过函数生成，易于控制其空洞洞类型和结构的厚度，因此可以方便在设定的目标和约束下进行高效的优化设计。而且这种结构适用于常用的3D打印技术(SLA，SLS，SLM，FDM等)。

然而现有的关于这种多孔结构的优化技术或者是启发式的，或者是实验性的。利用三周期极小曲面的周期进行孔洞优化的这一点，还没有成熟的技术可以使用，基于周期的孔洞优化对于传统的拓扑优化方法(比如SIMP方法，水平集方法，MMC方法等)，都不能直接应用。

本发明提出了一种高效的、自动的基于三周期极小曲面的多孔结构优化框架，对模型内部进行孔洞填充，使其具有随着力学性能相应的拓扑和厚度的连续变化。该发明主要利用了三周期极小曲面有函数表示这一优点，设计了一种完全可以用函数来表示、分析、优化和存储的多尺度多孔支架结构，这使得计算的复杂度大大降低，整个优化过程高效鲁棒。

发明内容

本发明提出一种高效的多孔结构生成方法，建立了一套完整的、可自动优化的、高效的多尺度多孔结构设计与优化框架。第一步，用函数来描述基于三周期极小曲面的多孔结构的生成方法；第二步，以实际受力条件为准给定外部的边界条件，然后以能量最小化为目标，以体积和梯度为约束建立优化问题模型，提出相应的拓扑优化和几何优化模型。最后，对问题模型进行离散化，通过高效的解优化算法进行问题求解，求得优化的参数值，进一步设计出给定约束条件下优化的多尺度多孔结构。整个设计流程如图1所示。

本发明采用的技术方案是：

一种高效的多孔结构表示和优化方法，方法如下：

(一)多孔壳状结构建模

1.多尺度多孔壳状结构表示

首先常用的几种三周期极小曲面分别是P-曲面，G-曲面和D-曲面，它们的隐函数表示形式如下：

其中，

c为等值面的值。三周期极小曲面具有许多优点，第一，作为一种极小曲面，曲面光滑性很好；第二，三周期极小曲面是完全内部空间连通的，没有闭的空洞；第三，三周期极小曲面有很高的面积-体积比，这在医学领域有很高的利用价值；此外更重要的是，三周期极小曲面具有很好的力学性能，有很高的强度和刚度，这使得该曲面在工业领域也被广泛应用。

基于上述三周期极小曲面的描述，并根据其隐函数等值面描述这一特征，进一步来构建具有厚度的多孔壳状结构。很容易知道，

和

定义的两个曲面当c₁≠c₂时，永远不会相交。根据这一特点，我们定义这两个曲面封闭的内部空间为多孔壳状结构，就可以通过控制等值面的值来控制结构的厚度。具体定义方式如下：

其中，t(r)为连续的几何函数(参数)用来控制壳结构的厚度，c(r)用来表示任意一种三周期极小曲面。最后，φ^s(r)＞0表示的区域，定义为Ω_s，即为基于三周期极小曲面的多孔壳状结构内部。

为了构建多尺度的多孔结构，我们在(2)中引入拓扑函数用来控制结构的拓扑，以P-曲面为例：

其中，t(r)＞0为连续的拓扑函数(参数)，用来控制三周期极小曲面的周期，从而控制多孔结构的孔径尺寸。

给定一个模型M，按照下面的方式在模型内部填充基于三周期极小曲面的多孔结构：

其中，φ^VDF为模型M的距离场，φ^M≥0即表示填充有多孔结构的模型内部。

2.参数讨论

根据对基于三周期极小曲面的多孔结构的研究，发现：1)在拓扑结构固定的情况下(即多孔结构的周期)，该结构的强度随着厚度的增大而增强；2)在几何结构固定的情况下(即多孔结构的厚度)，该结构的强度随着周期值的增大而增强。在本发明中，拓扑结构由拓扑参数t(r)控制，厚度由几何参数c(r)控制。

几何参数：由实验数据可知，当c₁≠c₂时，多孔结构在局部和全局都可以避免自交，可以产生有效的支架结构。此外，还要满足最小厚度必须不小于最小打印精度，因此根据实验研究和数学推理得到几何参数、拓扑参数和厚度之间的线性关系，设定的c(r)可取值范围为

其中，ω_min为最小打印精度的默认值，其中默认t₀＝1为初始拓扑参数。

拓扑参数：在优化过程中，给定

则拓扑参数的取值范围应该是

其中默认t₀＝1为初始拓扑参数。

在多孔结构的设计中，拓扑参数t(r)也会对结构的厚度产生影响，为了避免在调整优化t(r)的过程中，受到同质化的影响，应该固定壳状结构的厚度不变(不仅仅是保持c(r)不变)，根据几何参数、拓扑参数和厚度之间的线性关系，在拓扑优化的过程中，应该对(2)进行修改按如下方式设计多孔结构：

其中，

为修改的几何参数，用来消除拓扑参数在调整过程中对于厚度的影响，来保证在拓扑优化的过程中，厚度始终保持不变。

(二)多孔壳状结构的优化建模及求解

本发明的目的是利用上述函数方法表示的多孔结构来填充给定模型的内部，以达到轻量化的目的。给定模型受力及边界条件后，在给定材料体积约束和孔径变化梯度约束的情况下，求使得结构能量最小的最优孔径尺寸分布和壳状结构厚度分布。

1.构建优化模型

以结构能量最小化为目标，以模型体积、孔洞尺寸分布梯度为约束，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使得给定材料体积约束情况下，模型的强度和刚度仍然很强。我们采用有限元分析的方法进行求解，所以要对问题进行离散化。采用了超单元的方法，在保证计算精度的同时提高计算效率，将设计域先均匀分成超单元，然后又将超单元均匀细分为背景单元：用超单元网格系统去插值位移场；用背景单元系统去描述模型并进行积分计算。

最后根据上述目的构建的问题模型为:

使得

其中，I为模型的结构能量，U为位移向量，F为节点力向量，K为总刚度矩阵,V为体积分数，

为指定的体积约束，

为第j个背景单元的第l个节点处φ^s的值，G为周期分布的梯度，

为指定的梯度约束值，v_b为背景单元的体积，N_b为求解域中总的背景单元个数，

为周期分布梯度

在第j个背景单元的第l个节点处的值，||Ω_M||为设计域的体积。H_η(x)为正则化Heaviside函数：

其中，η用来控制正则化程度，其值得选择和网格划分的程度有关，α＞0是一个很小的正数，用来保证全局刚度矩阵的非奇异性。

定义如下：

2.优化过程

对于上面构建的优化问题模型，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化。将拓扑优化视作粗糙的优化，在确定了整个多孔结构的拓扑后，再执行更加精细的优化，即几何优化，因此在固定厚度的情况下，先对t(r)进行优化，然后固定拓扑参数，再对c(r)进行优化。具体优化过程如下：

步骤1：拓扑优化。利用径向基函数插值的方法来插值拓扑参数t(r)，将函数优化转化为插值节点处参数的优化。在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值t(r)的形式为：

其中，R_i(r)＝R(||r-p_i||)，选择logarithmic径向基函数R(x)＝x²log(|x|)，{q_j(r)}为关于坐标的多项式，

和

为未定系数。经过推导(10)可以简化为：

其中，t_i＝t(p_i)为控制点p_i处的周期值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式。因此，拓扑结构的优化就转换成对参数

的优化。

最后，求出目标函数和约束函数关于优化变量的导数，得到变量的敏感度信息，如下：

其中，N_s为超单元的个数，N_b为设计域中总的背景单元的个数，U_k为第k个单元对应的节点位移向量，K⁰＝E₀B^TD⁰Bv_b，E₀为弹性模量，B为应变矩阵，D⁰为单元填充实体材料的本构矩阵，

是第i个超单元中第j个背景单元的第l个节点处的φ^s的值。然后将敏感度信息代入力学领域常用的解优化算法MMA中去，即可得到拓扑优化下问题的解，即得到最优参数

的值，这样就确定了多孔结构的拓扑形态。

步骤2：几何优化。几何优化就是对参数c(r)的优化，我们利用和拓扑优化一样的技术，利用径向基函数将函数优化转化为控制点处参数

的优化。在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值c(r)的形式为：

其中，

和

为未定系数，同样可以简化为：

其中，c_i＝c(p_i)为控制点p_i处的厚度值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式。然后，可以计算其关于优化变量的敏感度信息代入到MMA算法中，即可得到几何优化下问题的解。

这样在对拓扑优化之后，更加精细地对厚度进行了控制，使得结构的能量最小，从而具有更高的硬度和强度。

本发明是属于计算机辅助设计领域的一种建模和优化系统，面向3D打印和工业生产需求，设计制造模型的内部多孔填充结构。提出了一种新的、高效的多孔结构表示域优化算法，这种结构可以完全用函数来描述、分析、优化和存储。该发明在基于三周期极小曲面的多孔结构设计和优化问题上，计算复杂度更低，更加高效，大大缩短了多孔结构的设计与优化周期，并且能够满足工业生产需求，给出最优结果。而且这种基于三周期极小曲面的多孔结构具有很多优势，比如光滑(工业上利于力和热的传导，生物上利于细胞的附着)，全连通(3D打印过程中可以导出打印产生的废料；生物上利于细胞的迁移)，易控制(可以通过控制函数的参数来任意改变形状结构)，准自支撑(省材料)等等，这些性质使得这种结构在工业和生物等领域有很大的适用性和发展空间。

附图说明

图1是多孔壳状结构的表示与优化流程图。

图2是基于P-曲面的多孔壳状结构的优化结果和打印模型图。

具体实施方式

本发明实施具体可分为多尺度多孔壳状结构的函数表示，建立优化模型及其离散化，优化求解这几个主要步骤：

(一)多尺度多孔壳状结构

下面，以P-曲面为例说明如何用函数表示多尺度多孔壳状结构。首先建立多尺度多孔曲面：

其中,t(r)＞0是连续的周期分布函数，控制了孔洞尺寸的连续变化。

进而，构造具有厚度的多尺度多孔壳状结构：利用两个具有相同的周期分布的不同等值面所确定的封闭区域作为多孔壳状内部空间，即定义：

φ^s(r)＞0表示的区域，定义为Ω_s，即为基于三周期极小曲面的多孔壳状结构内部。对于给定的模型M，也可以用函数来表示内部填充有多孔结构的模型：

则φ^M≥0即表示填充有多孔结构的模型内部。

在上面的函数描述中，c(r)控制多孔结构的厚度，取值范围为

其中，ω_min为最小打印精度的默认值；t(r)控制多孔结构的孔径尺寸分布，取值范围为

其中，t₀＝1为默认初始拓扑参数，

(二)建立优化模型及其离散化

以结构能量最小化为目标，以模型体积、孔洞尺寸分布梯度为约束，利用上述构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使得给定材料体积约束情况下，模型的强度和刚度仍然很强。我们采用有限元分析的方法进行求解，所以要对上述问题进行离散化。采用了超单元的方法，在保证计算精度的同时提高计算效率，将设计域先均匀分成超单元，然后又将超单元均匀细分为背景单元：用超单元网格系统去插值位移场；用背景单元系统去描述模型并进行积分计算。

按照上面的方式计算所有的局部单元刚度矩阵，然后整合成总体的刚度矩阵K之后，就可以得到优化问题的离散形式：

使得

KU＝F

其中，I为模型的结构能量，U为位移向量，F为节点力向量，K为总刚度矩阵,V为体积分数，

为指定的体积约束，

为第j个背景单元的第l个节点处φ^s的值，G为周期分布的梯度，

为指定的梯度约束值，v_b为背景单元的体积，N_b为求解域中总的细单元个数，

为周期分布的梯度

在第j个背景单元的第l个节点处的值。H_η(x)为正则化Heaviside函数。

(三)优化求解

基于上述构建的优化问题，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化。将拓扑优化视作粗糙的优化，在确定了整个多孔结构的拓扑后，再执行更加精细的优化，即几何优化，因此在固定厚度的情况下，先对t(r)进行优化，然后固定拓扑参数，再对c(r)进行优化。具体优化流程如下：

步骤1：拓扑优化。利用径向基函数插值的方法来插值拓扑参数t(r)，将函数优化转化为插值节点处参数的优化。在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值t(r)的形式为：

其中，R_i(r)＝R(||r-p_i||)，选择logarithmic径向基函数R(x)＝x²log(|x|)，{q_j(r)}为关于坐标的多项式，

和

为未定系数。经过推导(16)可以简化为：

其中，t_i＝t(p_i)为控制点p_i处的周期值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式。因此，拓扑结构的优化就转换成对参数

的优化。

最后，求出目标函数和约束函数关于优化变量的导数，如下：

其中，N_s为超单元的个数，N_b为设计域中总的背景单元的个数，U_k为第k个单元对应的节点位移向量，K⁰＝E₀B^TD⁰Bv_b，E₀为弹性模量，B为应变矩阵，D⁰为单元填充实体材料的本构矩阵，

是第i个超单元中第j个背景单元的第l个节点处的φ^s的值。然后将敏感度信息代入力学领域常用的解优化算法MMA中去，即可得到拓扑优化下问题的解，即得到最优参数

的值，这样就确定了多孔结构的拓扑形态。

步骤2：几何优化。几何优化就是对参数c(r)的优化，我们利用和拓扑优化一样的技术，利用径向基函数将函数优化转化为控制点处参数

的优化。在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值c(r)的形式为：

其中，

和

为未定系数，同样可以简化为：

其中，c_i＝c(p_i)为控制点p_i处的厚度值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式。然后，可以计算其关于优化变量的敏感度信息代入到MMA算法中，即可得到几何优化下问题的解。

这样在对拓扑优化之后，更加精细地对厚度进行了控制，使得结构的能量最小，从而具有更高的硬度和强度。

本发明对很多不同的3D模型进行了实验，也用了不同种类的三周期极小曲面来设计多孔结构，实验结果都可以得到在约束体积下强度很大的优化模型。对于实验得到的多孔结构进行观察，可以发现，模型在受力情况下，应力大的区域孔径尺寸小，厚度更厚，质量都集中在这个区域；相比较而言，在应力小的区域，孔径尺寸大，厚度较薄。并且在梯度约束下，不同尺寸的孔洞之间过渡自然，不会产生应力集中的部分。为了说明该发明的高效性，将算法的时间复杂度和通用的力学分析软件ANSYS进行比较，对比发现，本发明在优化过程中计算一次受力分析的过程所用的时间是ANSYS的几十分甚至几百分之一，充分说明的本发明的高效率。同时我们也将力学分析的结果在精度上和ANSYS进行了比较，实验可以说明本发明在计算精度上也可以满足制造要求。

Claims (1)

1.一种高效的多孔结构表示和优化方法，其特征在于，步骤如下：

(一)多尺度多孔壳状结构

首先建立多尺度多孔曲面：

其中，

为空间中的点，t(r)>0是连续的周期分布函数，控制了孔洞尺寸的连续变化；

进而，构造具有厚度的多尺度多孔壳状结构：利用两个具有相同的周期分布的不同等值面所确定的封闭区域作为多孔壳状内部空间，即定义：

φ^s(r)＝min(φ₁(r),φ₂(r))

其中，φ^s(r)>0表示的区域，定义为Ω_s，即为基于三周期极小曲面的多孔壳状结构内部，

是多尺度三周期极小曲面，c₀(r)和t₀(r)为初始的厚度和周期值；对于给定的模型M，用函数来表示内部填充有多孔结构的模型：

其中，φ^VDF为模型M的距离场，则φ^M≥0即表示填充有多孔结构的模型内部；

(二)建立优化模型及其离散化

以结构能量最小化为目标，以模型体积、孔洞尺寸分布梯度为约束，利用构建的多尺度多孔壳状结构来填充模型内部空间，使得给定材料体积约束情况下，模型的强度和刚度仍然很强；采用有限元分析的方法进行求解，对问题进行离散化；采用超单元的方法，在保证计算精度的同时提高计算效率，将设计域先均匀分成超单元，然后又将超单元均匀细分为背景单元：用超单元网格系统去插值位移场；用背景单元系统去描述模型并进行积分计算；

最后构建的问题模型为：

使得

KU＝F

其中，I为模型的结构能量，U为位移向量，F为节点力向量，K为总刚度矩阵,V为体积分数，

为指定的体积约束，

为第j个背景单元的第l个节点处φ^s的值，G为周期分布的梯度，

为指定的梯度约束值，v_b为背景单元的体积，N_b为求解域中总的背景单元个数，

为周期分布梯度

在第j个背景单元的第l个节点处的值，||Ω_M||为设计域的体积；H_η(x)为正则化Heaviside函数，

定义如下：

(三)优化求解

基于上述构建的优化问题，只需对两个未知参数t(r)和c(r)进行计算和优化；将拓扑优化视作粗糙的优化，在确定了整个多孔结构的拓扑后，再执行更加精细的优化，即几何优化，因此在固定厚度的情况下，先对t(r)进行优化，然后固定拓扑参数，再对c(r)进行优化；具体优化流程如下：

步骤1、拓扑优化：利用径向基函数插值的方法来插值拓扑参数t(r)，将函数优化转化为插值节点处参数的优化；在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值t(r)的形式为：

其中，R_i(r)＝R(||r-p_i||)，选择logarithmic径向基函数R(x)＝x²log(|x|)，{q_j(r)}为关于坐标的多项式；

和

为未定系数；经过推导(9)简化为：

其中，t_i＝t(p_i)为控制点p_i处的周期值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式，如此，拓扑结构的优化就转换成对参数

的优化；

最后，求出目标函数和约束函数关于优化变量的导数，如下：

其中，N_s为超单元的个数，N_b为设计域中背景单元的个数，U_k为第k个单元对应的节点位移向量，K⁰＝E₀B^TD⁰Bv_b，E₀为弹性模量，B为应变矩阵，D⁰为单元填充实体材料的本构矩阵，

是第i个超单元中第j个背景单元的第l个节点处的φ^s的值；然后将敏感度信息代入力学领域常用的解优化算法MMA中去，即得到拓扑优化下问题的解，即得到最优参数

的值，这样就确定了多孔结构的拓扑形态；

步骤2、几何优化：几何优化就是对参数c(r)的优化，利用和拓扑优化一样的方法，利用径向基函数将函数优化转化为控制点处参数

的优化；在设计域Ω_M.中随机选择插值点

则插值c(r)的形式为：

其中，

和

为未定系数，同样简化为：

其中，c_i＝c(p_i)为控制点p_i处的厚度值，S_i(r)为矩阵化推导得到的多项式形式；然后，计算其关于优化变量的敏感度信息代入到MMA算法中，即得到几何优化下问题的解；

在对拓扑优化之后，更加精细地对厚度进行了控制，使得结构的能量最小，从而具有更高的硬度和强度。

Images