CN110414127A - 一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，属于结构优化技术领域。该方法在基于密度的拓扑优化框架下，构建了零件支撑结构体积的计算公式，并将支撑结构的体积作为约束条件引入拓扑优化公式中，然后设置约束控制参数，得到模型的拓扑优化结果。该方法的支撑体积约束条件物理意义明确，数学表达形式较为简单，灵敏度信息的推导容易，可以直接采用数学规划算法进行求解。此外，在拓扑优化中考虑支撑体积约束可以有效地控制优化结果增材制造所需的支撑体积，避免了支撑结构的添加和去除所造成的成本、时间和工作难度的增加。

Description

一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法

技术领域

本发明涉及结构优化技术领域，尤其涉及一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法。

背景技术

随着计算机技术的发展，拓扑优化作为一种结构优化方法，在结构的创新设计中发挥着日益重要的作用。拓扑优化归根结底是一个材料分配问题，根据定义的设计区域、边界条件和载荷情况，找到特定区域材料的最优配置，因此可以获得更加新颖的优质结构构型。拓扑优化技术在结构的早期概念设计阶段具有更大的优势，使设计更自由，能够获得创新型概念设计方案，目前已经成为产品概念设计阶段的有效工具，并成功应用于机械、航空航天等领域。虽然拓扑优化已经被证明是一种高效的设计方法，但是由于优化结果往往是不符合可制造要求和美学要求的复杂结构，工程技术人员需要对复杂结构进行模型重构，修正复杂特征，这个过程不仅浪费时间，最终结构的改变还可能对结构性能产生影响。这些问题限制了拓扑优化的实际应用，因此研究考虑制造工艺要求的拓扑优化设计方法具有重要的理论和应用价值。

增材制造技术根据离散堆积的成型思想，以逐层添加的方式成型零件(通过极小单位原材料的叠加生成三维物体形态)，这种方式摆脱了零件结构复杂度的限制。在以粉末床为技术特征的增材制造过程中，如激光选区烧结(Selective Laser Sintering，SLS)和激光选区熔化 (Selective Laser Melting，SLM)，为避免制造过程中出现坍塌和翘曲等问题，在悬垂区域添加支撑结构，这样不仅浪费材料，还给后处理去除支撑结构增加了难度，提高了整个生产过程的材料成本和时间成本。

发明内容

针对上述现有技术的不足，本发明提供一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法。

为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，该方法的过程如图1所示，包括如下步骤：

步骤1：定义设计域并建立有限元模型，定义有限元模型中的载荷和边界条件；

步骤2：在基于密度的拓扑优化框架下，对结构支撑体积进行公式化，计算每个单元在正下方一个柱状的区域内需要的支撑体积，再根据每个单元的支撑需求情况，将所有单元支撑体积进行加权求和，计算总支撑体积S(ρ)；

步骤2-1：以设计域左下角前侧的点为原点，建立三维坐标系，将设计域划分成a×b×c个正六面体单元的网格，设计域内单元网格所在的坐标为(i，j，k)，其中i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]，设计域内坐标为(i,j,k)单元的密度用ρ_ijk表示：

ρ_ijk＝{ρ(i,j,k)|i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]}

步骤2-2：以递归的形式计算每个单元在其正下方柱状区域内需要的支撑体积γ_ijk，单元体积的计算方式如图2所示；

其中，i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]，ρ_ijk表示坐标为(i,j,k)的单元密度，ρ_ij(k-1)表示坐标为 (i,j,k-1)的单元密度，ν_ijl表示坐标为为(i,j,l)的单元的体积，l＝1,2,...,k-1；

步骤2-3：定义单元网格所在的坐标为(i，j，k)的支撑区域s，单元支撑区域的示意图如图3所示：

步骤2-4：采用类似p范数的平滑近似函数表示支撑区域内的最大单元密度ρ_s,max：

其中，P和Q控制近似的平滑和精确程度；

步骤2-5：对已获得的每个单元的支撑体积进行加权求和，即可得到支撑总体积的计算公式：

其中，ρ_ijk为坐标为(i,j,k)单元的密度，ρ_s,max为支撑区域的最大密度，γ_ijk为单元的支撑体积，m为常数，用于惩罚小密度单元的支撑体积在总支撑体积中的贡献，m的取值不能过大，范围为2～4。

步骤3：构建基于支撑体积约束的拓扑优化模型，定义优化参数和约束控制参数；

minC(ρ)＝F^TU(ρ)

s.t.F＝K(ρ)U(ρ)

0＜ρ_min≤ρ_ijk≤1

其中，ρ为单元密度，C(ρ)为结构柔顺度，K(ρ)为有限元模型的整体刚度矩阵；U(ρ)和F分别为位移向量和载荷向量，g₁为结构体积约束，ν_ijk为单元的体积，f为体积分数比， V₀为设计域的总体积；g₂为支撑体积约束，s(ρ)为结构支撑体积，为增材制造中无约束拓扑优化结果的支撑体积，η为设定的常数，对支撑体积起到限制作用，ρ_min为避免有限元求解时刚度矩阵奇异的接近0的极小值。

步骤4：对模型中的支撑体积约束函数的灵敏度进行求解；

步骤4-1：分别求单元支撑区域最大密度ρ_s,max和单元的支撑体积γ_ijk关于设计变量ρ_e的导数：

其中，ρ_e为单元密度，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0，l＝1,2,...,k-1；

步骤4-2：对权利要求3中所构建的基于支撑体积约束的拓扑优化模型中的支撑体积约束 g₂关于设计变量求偏导：

其中，为ρ_ijk关于设计变量ρ_e的导数，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0。

步骤5：采用移动渐进算法MMA计算带支撑体积约束的拓扑优化模型，得到满足制造工艺要求的拓扑优化结果。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：

(1)本发明在基于密度的拓扑优化模型中，构建了一种与增材制造工艺相关的支撑体积的计算公式。

(2)本发明将支撑体积公式集成到拓扑优化框架内，构建了考虑增材制造支撑体积约束的拓扑优化模型。

(3)本发明获得了支撑约束的灵敏度分析列式，为采用移动渐进算法(MMA)求解优化问题提供了理论基础。同时灵敏度计算时采用逐层计算存储的策略，节省了计算费用，提高了计算效率。

(4)本发明可以通过修改约束的设定参数η实现对优化结果所需支撑体积的有效控制，在结构概念设计阶段实现了对增材制造支撑使用量的考虑，可以根据实际需要减少材料成本、时间以及后处理的难度。

附图说明

图1为本发明一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法的流程图；

图2为本发明单元支撑体积计算方式的示意图；

图3为本发明单元支撑区域的示意图；

图4为本发明实施例中短悬臂梁结构设计域、载荷和边界条件的示意图；

图5为本发明实施例中引入支撑体积约束后，短悬臂梁结构在不同约束设定值下的最优拓扑结构图，其中：

(a)不考虑支撑体积约束的拓扑优化结果；

(b)考虑支撑体积约束且η＝0.8时的拓扑优化结果；

(c)考虑支撑体积约束且η＝0.5时的拓扑优化结果；

(d)考虑支撑体积约束且η＝0.2时的拓扑优化结果；

(e)考虑支撑体积约束且η＝0.05时的拓扑优化结果；

图6为本发明实施例中短悬臂梁结构在不同约束设定值下的最优拓扑结构用于增材制造的支撑需求情况图，其中：

(a)不考虑支撑体积约束的拓扑优化结果增材制造的支撑需求情况；

(b)考虑支撑体积约束且η＝0.8时的拓扑优化结果增材制造的支撑需求情况；

(c)考虑支撑体积约束且η＝0.5时的拓扑优化结果增材制造的支撑需求情况；

(d)考虑支撑体积约束且η＝0.2时的拓扑优化结果增材制造的支撑需求情况；

(e)考虑支撑体积约束且η＝0.05时的拓扑优化结果增材制造的支撑需求情况。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

如图1所示，本实施例的方法如下所述。

步骤1：定义设计域尺寸为30cm×10cm×20cm的立方体，如图4所示，并建立有限元模型，定义有限元模型的边界条件为左端面固定，该模型的右端面的底边受到垂直向下的均布静载荷F＝1kN；

步骤2：在基于密度的拓扑优化框架下，对结构支撑体积进行公式化，计算每个单元在正下方一个柱状的区域内需要的支撑体积，再根据每个单元的支撑需求情况，将所有单元支撑体积进行加权求和，计算总支撑体积S(ρ)；

步骤2-1：以设计域左下角前侧的点为原点，建立三维坐标系，将设计域划分成30×10×20 个正六面体单元的网格，设计域内单元网格所在的坐标为(i，j，k)，其中 i∈[1,30],j∈[1,10],k∈[1,20]，设计域内坐标为(i,j,k)单元的密度用ρ_ijk表示：

ρ_ijk＝{ρ(i,j,k)|i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]}

步骤2-2：以递归的形式计算每个单元在其正下方柱状区域内需要的支撑体积γ_ijk，单元体积的计算方式如图2所示；

其中，i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]，ρ_ijk表示坐标为(i,j,k)的单元密度，ρ_ij(k-1)表示坐标为 (i,j,k-1)的单元密度，ν_ijl表示坐标为为(i,j,l)的单元的体积，l＝1,2,...,k-1；

步骤2-3：定义单元网格所在的坐标为(i，j，k)的支撑区域s，单元支撑区域的示意图如图3所示：

步骤2-4：采用类似p范数的平滑近似函数表示支撑区域内的最大单元密度ρ_s,max：

其中，P＝40和Q＝P+ln(5)/ln(ρ₀)，ρ₀＝0.5；

步骤2-5：对已获得的每个单元的支撑体积进行加权求和，即可得到支撑总体积的计算公式：

其中，ρ_ijk为坐标为(i,j,k)单元的密度，ρ_s,max为支撑区域的最大密度，γ_ijk为单元的支撑体积，m＝3；

步骤3：构建基于支撑体积约束的拓扑优化模型，定义优化参数和约束控制参数；

minC(ρ)＝F^TU(ρ)

s.t.F＝K(ρ)U(ρ)

0＜ρ_min≤ρ_ijk≤1

其中，ρ为单元密度，C(ρ)为结构柔顺度，K(ρ)为有限元模型的整体刚度矩阵；U(ρ)和F分别为位移向量和载荷向量，g₁为结构体积约束，ν_ijk为单元的体积，g₂为支撑体积约束，体积分数比f＝0.5，设计域的总体积V₀＝30×10×20＝6000cm³，s(ρ)为结构支撑体积，增材制造中无约束拓扑优化结果的支撑体积ρ_min＝1×10^-3，设置约束控制参数η分别为0.8、0.5、0.2、0.05。

步骤4：对模型中的支撑体积约束函数的灵敏度进行求解；

步骤4-1：分别求单元支撑区域最大密度ρ_s,max和单元的支撑体积γ_ijk关于设计变量ρ_e的导数：

其中，ρ_e为单元密度，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0，l＝1,2,...,k-1；

步骤4-2：对权利要求3中所构建的基于支撑体积约束的拓扑优化模型中的支撑体积约束 g₂关于设计变量求偏导：

其中，为ρ_ijk关于设计变量ρ_e的导数，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0。

步骤5：采用移动渐进算法MMA计算在不同约束控制参数下带支撑体积约束的悬臂梁结构拓扑优化模型，得到满足制造工艺要求的拓扑优化结果，如图5所示。

约束控制参数η分别为0.8、0.5、0.2、0.05时拓扑优化后的悬臂梁结构在增材制造时的支撑情况与不考虑支撑体积约束的拓扑优化悬臂梁结构在增材制造时的支撑情况做对比，如图6所示。不同支撑约束下的优化结果统计和分析如表1所示：

表1 不同支撑约束下的优化结果统计和分析结果

从表1中可以看出当约束控制参数η的取值不断减小时，拓扑优化后的悬臂梁结构在增材制造时的实际支撑体积也不断减小，当η的取值为0.05时，拓扑优化后的悬臂梁结构在增材制造时的支撑体积为0，该结构的最大等效应力和最大总变形量都在能够接受的范围内。

Claims (4)

1.一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤1：定义设计域并建立有限元模型，定义有限元模型中的载荷和边界条件；

步骤2：在基于密度的拓扑优化框架下，对结构支撑体积进行公式化，计算每个单元在正下方一个柱状的区域内需要的支撑体积，再根据每个单元的支撑需求情况，将所有单元支撑体积进行加权求和，计算总支撑体积S(ρ)；

步骤3：构建基于支撑体积约束的拓扑优化模型，定义优化参数和约束控制参数；

步骤4：对模型中的支撑体积约束函数的灵敏度进行求解；

步骤5：采用移动渐进算法MMA计算带支撑体积约束的拓扑优化模型，得到满足制造工艺要求的拓扑优化结果。

2.根据权利要求1所述的一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，其特征在于所述步骤2中在基于密度的拓扑优化框架下，对结构支撑体积进行公式化，计算每个单元在正下方一个柱状的区域内需要的支撑体积，再根据每个单元的支撑需求情况，将所有单元支撑体积进行加权求和，计算总支撑体积S(ρ)的过程如下：

步骤2-1：以设计域左下角前侧的点为原点，建立三维坐标系，将设计域划分成a×b×c个正六面体单元的网格，设计域内单元网格所在的坐标为(i，j，k)，其中i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]，设计域内坐标为(i,j,k)单元的密度用ρ_ijk表示：

ρ_ijk＝{ρ(i,j,k)|i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]}

步骤2-2：以递归的形式计算每个单元在其正下方柱状区域内需要的支撑体积γ_ijk；

其中，i∈[1,a],j∈[1,b],k∈[1,c]，ρ_ijk表示坐标为(i,j,k)的单元密度，ρ_ij(k-1)表示坐标为(i,j,k-1)的单元密度，ν_ijl表示坐标为为(i,j,l)的单元的体积，l＝1,2,...,k-1；

步骤2-3：定义单元网格所在的坐标为(i，j，k)的支撑区域s：

步骤2-4：采用类似p范数的平滑近似函数表示支撑区域内的最大单元密度ρ_s,max：

其中，P和Q控制近似的平滑和精确程度；

步骤2-5：对已获得的每个单元的支撑体积进行加权求和，即可得到支撑总体积的计算公式：

其中，ρ_ijk为坐标为(i,j,k)单元的密度，ρ_s,max为支撑区域的最大密度，γ_ijk为单元的支撑体积，m为常数，用于惩罚小密度单元的支撑体积在总支撑体积中的贡献，m的取值不能过大，范围为2～4。

3.根据权利要求1所述的一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，其特征在于所述步骤3中构建基于支撑体积约束的拓扑优化模型如下：

min C(ρ)＝F^TU(ρ)

s.t.F＝K(ρ)U(ρ)

0＜ρ_min≤ρ_ijk≤1

其中，ρ为单元密度，C(ρ)为结构柔顺度，K(ρ)为有限元模型的整体刚度矩阵；U(ρ)和F分别为位移向量和载荷向量，g₁为结构体积约束，ν_ijk为单元的体积，f为体积分数比，V₀为设计域的总体积，g₂为支撑体积约束，s(ρ)为结构支撑体积，为增材制造中无约束拓扑优化结果的支撑体积，η为设定的常数，对支撑体积起到限制作用，ρ_min为避免有限元求解时刚度矩阵奇异的接近0的极小值。

4.根据权利要求1所述的一种面向增材制造的支撑体积约束拓扑优化方法，其特征在于所述步骤4中对模型中的支撑体积约束函数的灵敏度进行求解的过程如下：

步骤4-1：分别求单元支撑区域最大密度ρ_s,max和单元的支撑体积γ_ijk关于设计变量ρ_e的导数：

其中，ρ_e为单元密度，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0，l＝1,2,...,k-1；

步骤4-2：对权利要求3中所构建的基于支撑体积约束的拓扑优化模型中的支撑体积约束g₂关于设计变量求偏导：

其中，为ρ_ijk关于设计变量ρ_e的导数，当ρ_e＝ρ_ijk时，取值为1，否则为0。