CN110569519B - 考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)确定三维连续体基结构，并建立有限元模型；(2)定义非设计域单元，并输入优化参数，形成优化模型；(3)引入识别数组对设计域及非设计域单元进行标识；(4)对结构进行静力及模态分析，并提取单元、节点及结构分析结果；(5)建立拓扑优化模型的近似连续数学优化列式；(6)计算非设计域单元对结构性能的贡献值，并对性能约束值及目标函数进行折减；(7)采用数学规划算法，对优化模型进行求解；(8)对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型。本发明可以有效解决考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计问题，为复杂结构体系的优化设计提供一个参考。
Description
技术领域
本发明属于工程结构设计技术领域，尤其涉及考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法。
背景技术
结构拓扑优化设计可以在工程结构设计初始阶段提供一个概念性设计，因其不依赖初始构型及工程师经验，便可获得完全意想不到的创新构型，受到学者以及工程人员的广泛关注。拓扑优化设计方法，通过建立数学优化模型(目标函数、约束条件和设计变量)，根据优化理论和方法求解优化模型，综合多种设计因素确定结构材料的分布状况，进而使复杂结构与零部件的结构形式和参数更加合理。但结构拓扑优化设计，由于所要确定的参数多，数学模型建立困难，数值计算量大，敏度分析计算复杂，是当前结构优化领域极具挑战性的课题之一。
随着航空航天等现代工业技术的发展，结构设计人员对结构拓扑优化设计方法提出了更高的要求，希望结构拓扑优化设计能实现多构件，多工况结构体系的优化设计，并为结构局部的详细设计提供更多的参考。此外，实际工程中的复杂结构体系，通常由于美观或特殊性能的需求，其外观或某些局部特征是确定的。考虑到这些确定的非设计区域对结构的整体性能具有一定的贡献，因此，对结构进行拓扑优化设计时，非常有必要考虑局部非设计域材料对结构性能的影响。
目前，由于人们普遍认为结构拓扑优化设计的主要作用是为结构的初始概念设计提供一个参考，因此，在对结构进行拓扑优化设计阶段，很少考虑确定局部特征对结构力学性能的影响，而是在设计后期，通过修改局部构型的方式来保证这些特殊需求。这种设计思路，没有充分发挥拓扑优化方法在轻量化设计方面的优越性。
本发明针对具有非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计的问题，提出了考虑非设计域的三维连续体拓扑优化设计方法。这种考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法，结合结构静力及模态有限元分析方法，计算非设计域单元对结构力学性能的贡献系数，并通过移项的方式对约束系数进行折减，进而考虑非设计域对结构动静力学性能的影响，不但能减少设计变量数目，还能充分挖掘设计域内材料的设计潜力。此外，这种考虑非设计域的结构拓扑优化方法可为结构的细节设计提供更详尽的指导，有助于缩短结构设计周期，更大限度的实现复杂结构的减重优化设计，这对于推动航空航天等重要领域的快速发展具有重要意义。
发明内容
本发明针对具有非设计域的三维连续体结构拓扑优化设计问题，采用非设计单元性能识别向量对非设计域性能贡献系数进行识别，并通过对显式方程移项折减的方式消除非设计域单元对优化目标及约束的影响。这种考虑非设计域的三维结构拓扑优化设计方法，最大限度的调动了设计域单元的可设计性，充分体现了结构轻量化的设计理念，具有极强的实用性。为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法包括以下步骤：
第一步，建立考虑非设计域的三维连续体基结构有限元模型；
第二步，输入结构动静力学性能优化参数，并定义设计域及非设计域，形成考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化列式；
第三步，提取非设计域单元号，并采用非设计域标识数组和设计域标识数组分别对非设计单元和设计单元进行标识；
第四步，对结构进行静力及模态分析，并提取单元、相关节点及结构分析结果，为建立显式优化方程提供力学性能参数；
第五步，形成以位移及频率为约束，结构质量最小为目标的近似连续数学优化列式；
第六步，基于设计域及非设计域标识数组，计算非设计单元对结构性能的贡献系数，通过移项的方式对约束值进行折减，并忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化列式；
第七步，采用数学规划算法，对优化模型进行求解；
第八步，对拓扑优化变量进行反演，获得最优拓扑构型。
本发明相比现有技术的优点在于：
(1)充分考虑了结构的细节设计，在MSC.Patran的拓扑优化设计界面中添加了非设计域定义菜单，可直接在基结构有限元模型上，通过框选的方式实现非设计域单元的选择，进而通过设计单元与非设计单元标识数组实现对设计域及非设计域的标识。
(2)基于整体结构的力学性能分析和显式优化方程，计算非设计单元对结构性能的贡献，并通过移项折减的方式消除非设计域单元对整体结构性能的影响，进而充分发挥设计域的潜力，为设计师提供更轻便的拓扑优化构型设计。
附图说明
图1是考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计流程图。
图2是考虑非设计域的牛腿柱的基结构及最优拓扑图。
图3是考虑非设计域的牛腿柱拓扑优化过程图。
具体实施方式
如图1所示，本发明中提供一种考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法，具体解决方案如下：
第一步，建立考虑非设计域的三维连续体基结构有限元模型；
首先，给定三维连续体结构的最大设计边界，即基结构，并确定非设计域及设计域；其次，基于MSC.Patran软件平台，建立基结构几何模型，并进行网格划分；然后，定义材料，赋予单元属性，施加边界条件；最后，设定静力及模态分析输出选项，包括单元节点力，关键节点位移，单元应变能，单元动能及结构固有频率特征值。
第二步，输入结构动静力学性能优化参数，并定义非设计域，形成考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化列式；
在MSC.Patran软件平台的Topology Optimization的PerformancesOptimization界面内，输入结构位移及固有频率性能约束参数，包括定义位移约束的节点号，位移约束值，频率约束阶数及频率约束值；在Non-design domain界面内，定义非设计域名称，并框选非设计域单元，确定非设计的单元号，实现非设计域的定义。至此，建立了以位移和频率为约束，结构质量最小为优化目标，考虑非设计域的拓扑优化模型：
式中：t＝(t1,...,ti,...,tN T)表示拓扑变量向量，ti表示单元i的拓扑变量，表征单元的有无，Ed和En分别为设计域单元号数组和非设计域单元号数组(上标d表征设计域design domain，上标n表征非设计域non-design domain)，i∈Ed表明单元i为设计单元，i∈En表明单元i为非设计单元，W(t)为结构总质量，w(ti)为单元i的质量，uj(t)结构第j个关键节点位移，表示结构第j个关键节点位移约束的上限，J为位移约束总数，ωl(t)为结构第l阶固有频率，ω l为结构第l阶固有频率约束下限，L为频率约束总数，tmin为拓扑变量下限，取值为0.01，N为单元总数。
第三步，提取非设计域单元号，并采用非设计域标识数组和设计域标识数组分别对非设计单元和设计单元进行标识；
定义两个只有0或1的一维数组Rd和Rn，对设计域单元和非设计单元进行标识，其中，数组中基于设计域单元号数组Ed和非设计单元号数组En，通过FOR循环的方式确定设计域与非设计域标识数组Rd和Rn。采用/>表征设计域拓扑变量向量，/>表征非设计域拓扑变量向量，其中有/>为第i个设计域拓扑变量，/>为第i个非设计域拓扑变量。至此，拓扑优化模型修改为：
第四步，对结构进行静力及模态分析，并提取单元、相关节点及结构分析结果，为建立显式优化方程提供结构单元、相关节点及结构的力学性能参数；
采用有限元分析软件MSC.Patran&Nastran实现结构的静力和模态分析，并采用PCL优化程序实现单元节点力向量、关键节点位移、单元应变能、单元动能及结构固有频率特征值的自动提取，为形成近似显式优化模型准备好结构静力及模态性能参数。
第五步，形成以位移及频率为约束，结构质量最小为目标的近似连续数学优化列式；
定义刚度矩阵过滤函数的倒变量xi＝1/fk(ti)为第i个中间设计变量，式中γk为刚度过滤函数的常数项，取值大于0。x＝xd+xn＝(x1,...,xi,...,xN)T为中间设计变量向量，/>为设计域中间设计变量向量，为非设计域中间设计变量向量。此时，结构的质量，关键节点位移及结构固有频率均表征为中间设计变量的函数，即/>uj(t)，ωl(t)均改写为/>uj(x)，ωl(x)。此时，基于二阶泰勒展式对单元质量进行显式化处理，即/>其中上标υ表征迭代次数，/>表示在第υ次迭代时的中间设计变量值，/>为单元质量在/>处的二阶导数，/>为单元质量在/>处的一阶导数，/>表示中间变量为/>时的单元质量。通过敏度分析及一阶泰勒展式对关键节点位移及结构固有频率进行显式化处理，获得关键节点位移及结构固有频率的近似一阶线性表达式为/> 其中，x(υ)表示第υ次迭代时的中间设计变量向量，表示第j个关键节点位移在中间设计变量/>处的一阶偏导值，/>表示第l阶频率在中间设计变量/>处的一阶偏导值。uj(x(υ))和ωl(x(υ))分别表示中间设计变量向量为x(υ)时的第j个关键节点位移值及第l阶固有频率值。最后忽略目标中的常系数，获得标准的二次规划方程为：
ai为显式优化目标函数中第i个二次项中间设计变量的常系数项，bi为显式优化目标函数中第i个一次项中间设计变量的常系数项，为单元i的初始质量，γw为质量过滤函数/>的常数项，取值大于0，cij,gil分别为位移和频率显式约束方程中第i个一次项中间设计变量的常系数项，γm为质量矩阵过滤函数的常数项，取值大于0，Aij为单元i对第j个关键节点位移约束的贡献系数，/>为实载荷作用下，单元i的节点力向量，/>为沿uj位移方向作用单位虚载荷时，单元i的节点位移向量，ξl(x(υ))＝[2πωl(x(υ))]2为第υ次迭代时结构的第l阶频率特征值，ωl(x(υ))为第υ次迭代时结构的第l阶频率值，ξ l＝[2πω l]2为频率特征值约束下限，/>为第υ次迭代时单元i在l阶模态下的应变能，/>为第υ次迭代时单元i在l阶模态下的动能，/>为第υ次迭代时结构在l阶模态下的总动能，/>为频率约束显式化过程中的过程量，xmax＝1/fk(tmin)为中间设计变量上限。令/>则优化模型简化为：
第六步，基于设计域及非设计域标识数组，计算非设计单元对结构性能的贡献系数，并对结构总性能约束值进行折减，忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化列式；
考虑到非设计域内单元的拓扑变量值始终为1，即始终为常数。定义/>为设计域中间设计变量的平方向量，为非设计域中间设计变量的平方向量， 均为显式优化模型中设计域中间设计变量的常系数向量，/> 均为显式优化模型中非设计域单元的常系数向量，则优化方程(4)修改为：
计算非设计域内单元对结构性能的贡献系数之和，即 均为常数，进而通过移项的方式对约束系数进行折减，并忽略优化目标中的常系数，近似连续数学优化列式简化为：
此时，与/>向量中均有一部分元素为0，这对于降低求解优化模型的计算量是非常有益的。
第七步，采用数学规划算法，对优化模型进行求解；
考虑到优化模型(6)中的设计变量数目远大于约束数目，因此，基于K-T条件将其转化成对偶模型，之后采用序列二次规划算法求解，获得最优拓扑变量向量。
第八步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型。
结合二分法，搜索最佳反演阈值，实现拓扑优化变量从连续到离散0/1的映射，获得最优拓扑构型。
本发明公开一种考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法包括以下步骤：(1)确定三维连续体基结构，并建立有限元模型；(2)定义非设计域单元，并输入优化参数，形成优化模型；(3)提取非设计域单元号，并采用非设计域标识数组和设计域标识数组分别对非设计单元和设计单元进行标识；(4)对结构进行有限元分析，并提取单元、相关节点及结构分析结果；(5)建立拓扑优化模型的近似连续数学优化列式；(6)基于设计域及非设计域标识数组，计算非设计单元对结构性能的贡献系数，通过移项的方式对约束值进行折减，并忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化列式；(7)采用数学规划算法，对优化模型进行求解；(8)对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型。本发明提出的考虑非设计域的三维连续体结构动静力学性能拓扑优化设计方法，既考虑了非设计域对结构性能的贡献，也充分挖掘了设计域材料布局的设计潜力，可将单个构件整体力学性能的拓扑优化设计推广到结构体系整体力学性能的拓扑优化设计，实现复杂结构的轻量化设计。
实施算例：
下面结合一个考虑非设计域的牛腿柱算例对本发明的具体实施步骤进行详细说明。其中，柱和牛腿之间为无缝固定连接，其中过滤函数的常系数选值为γw＝3,γk＝0.15,γm＝3。
第一步，首先基于MSC.Patran建立尺寸如图1所示的基结构，整个结构采用钢材，其弹性模量为210GPa，泊松比为0.3，密度为7800kg/m3，柱的上下界面均采用固定约束，牛腿柱的阴影部分为非设计域，施加向下的均布压力P＝10N/mm2。考虑到非设计域尺寸为250mm×200mm×50mm。因此采用边长为50mm×50mm×50mm的正六面体Hex单元对实体结构进行网格划分，总共划分成4248个单元，其中载荷作用位置的5×4×1＝20个网格为非设计域单元。牛腿柱结构的位移约束为：A-A界面中点的位移值小于0.175mm，频率约束为：一阶固有频率大于100Hz。因此，结构静力分析类型的输出选项设定为节点位移和节点力，模态分析类型的输出选项设定为固有频率值、单元应变能和单元动能；
第二步，在Topology Optimization的Performances Optimization界面内，设置优化参数。位移约束：A-A界面的中点处为位移约束点，位移约束方向为≤，约束值为0.175mm；频率约束：约束阶数为一阶，约束方向为≥，约束值为100Hz。至此，就形成了以关键节点位移约束值为0.175mm，一阶频率约束值为100Hz的轻量化拓扑优化模型。并在Non-design domain界面内，定义非设计域名称为N_D，并框选非设计域的88个单元，实现非设计域的定义，进而确定了非设计域单元号数组En，并获得与之对应的设计域单元号数组Ed；
第三步，在优化程序中，通过PCL(Patran Command Language)实现数组的定义，空间的分配，基结构参数的提取，并通过FOR循环的方式确定设计域及非设计域标识数组Rd和Rn，实现对设计域和非设计域单元的标识；
第四步，采用MSC.Natran对结构进行静力和模态分析，并通过程序实现单元、节点及结构性能的自动提取；
第五步，采用过滤函数，对单元的力学性能进行识别，并基于灵敏度分析及泰勒展式方法，建立牛腿柱结构拓扑优化的近似连续数学优化列式；
第六步，计算非设计域单元对结构性能的贡献系数，并通过移项的方式对约束系数进行折减，同时忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化列式；
第七步，采用数学规划算法，对优化模型进行求解。如果满足给定的收敛条件，则输出优化结果，如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新有限元模型，返回到第四步，进行下一轮的循环；
第八步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型。
考虑非设计域的牛腿柱动静力学性能最优拓扑图如图3所示，最优拓扑结果的具体值如表1所式。图3表明非设计域内的材料在迭代过程中均被保留。表1及图3均表明结构的位移及一阶固有频率值均刚好满足给定的性能约束。因此，本设计提出的拓扑优化设计方法能实现考虑非设计的三维连续体结构的拓扑优化设计。
表1考虑非设计域的牛腿柱最优拓扑结果
Claims (1)
1.一种考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化设计方法，包括以下步骤：
第一步，根据三维连续体结构设计域和非设计域的几何尺寸及工况，建立相应的有限元模型，设定边界条件，材料属性；
第二步，输入结构动静力学性能优化参数，并定义非设计域，形成考虑非设计域的三维连续体结构拓扑优化列式；
第三步，提取非设计域单元号，并采用非设计域标识数组和设计域标识数组分别对非设计单元和设计单元进行标识；
第四步，对结构进行静力及模态分析，并提取单元、相关节点及结构分析结果，为建立显式优化方程提供结构的力学性能参数；
第五步，形成以位移及频率为约束，结构质量最小为目标的近似连续数学优化列式；
第六步，基于给定的非设计域标识数组及单元力学性能参数，计算非设计单元对结构性能的贡献系数之和，并对结构总性能约束值进行折减，忽略优化目标中的常系数，更新近似连续数学优化模型列式；
第七步，采用数学规划算法，对优化模型进行求解；
第八步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型；
其特征在于，第三步具体为：
定义两个只有0或1的一维数组Rd和Rn，对设计域单元和非设计单元进行标识，其中，数组中基于设计域单元号数组Ed和非设计单元号数组En，通过FOR循环的方式确定设计域与非设计域标识数组Rd和Rn；采用表征设计域拓扑变量向量，/>表征非设计域拓扑变量向量，其中有/>为第i个设计域拓扑变量，/>为第i个非设计域拓扑变量；至此，拓扑优化模型改写为：
第五步具体为：
定义刚度矩阵过滤函数的倒变量xi＝1/fk(ti)为第i个中间设计变量，式中γk为刚度过滤函数的常数项，取值大于0；x＝xd+xn＝(x1,...,xi,...,xN)T为中间设计变量向量，/>为设计域中间设计变量向量，为非设计域中间设计变量向量；此时，结构的质量，关键节点位移及结构固有频率均表征为中间设计变量的函数，即/>uj(t)，ωl(t)均改写为/>uj(x)，ωl(x)；此时，基于二阶泰勒展式对单元质量进行显式化处理，即/>其中上标v表征迭代次数，/>表示在第v次迭代时的中间设计变量值，/>为单元质量在/>处的二阶导数，/>为单元质量在/>处的一阶导数，/>表示中间变量为/>时的单元质量；通过敏度分析及一阶泰勒展式对关键节点位移及结构固有频率进行显式化处理，获得关键节点位移及结构固有频率的近似一阶线性表达式为/> 其中，x(v)表示第v次迭代时的中间设计变量向量，表示第j个关键节点位移在中间设计变量/>处的一阶偏导值，/>表示第l阶频率在中间设计变量/>处的一阶偏导值；uj(x(v))和ωl(x(v))分别表示中间设计变量向量为x(v)时的第j个关键节点位移值及第l阶固有频率值；最后忽略目标中的常系数，获得标准的二次规划方程为：
ai为显式优化目标函数中第i个二次项中间设计变量的常系数项，bi为显式优化目标函数中第i个一次项中间设计变量的常系数项，为单元i的初始质量，γw为质量过滤函数的常数项，取值大于0，cij,gil分别为位移和频率显式约束方程中第i个一次项中间设计变量的常系数项，γm为质量矩阵过滤函数/>的常数项，取值大于0，Aij为单元i对第j个关键节点位移约束的贡献系数，/>为实载荷作用下，单元i的节点力向量，/>为沿uj位移方向作用单位虚载荷时，单元i的节点位移向量，ξl(x(v))＝[2πωl(x(v))]2为第v次迭代时结构的第l阶频率特征值，ωl(x(v))为第v次迭代时结构的第l阶频率值，ξ l＝[2πω l]2为频率特征值约束下限，/>为第v次迭代时单元i在l阶模态下的应变能，/>为第v次迭代时单元i在l阶模态下的动能，/>为第v次迭代时结构在l阶模态下的总动能，/>为频率约束显式化过程中的过程量，xmax＝1/fk(tmin)为中间设计变量上限；令/>则优化模型简化为：
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