CN111241738A - 一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种考虑破损‑安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，根据连续体基结构建立有限元模型；确定破损工况数，并输入初始破损区域中心坐标值和破损区域参数；输入位移与频率约束优化参数，形成优化模型；依次对包含破损工况的破损‑安全结构进行静力分析，构建位移约束的显式化表达；对破损‑安全结构进行模态分析，构建频率约束的显式表达式；建立考虑破损‑安全条件下位移与频率约束的拓扑优化模型的近似连续数学优化列式，并对优化模型进行求解；对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型，以及各结构破损状况的位移和基频。本发明为静力学结合动力学领域考虑破损‑安全的拓扑优化问题提供一个参考。

Description

一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化 设计方法

技术领域

本发明属于工程结构设计技术领域，尤其涉及考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法。

背景技术

拓扑优化是在给定的外荷载和边界条件下，以材料分布为优化对象，寻求结构的最佳传力路径，该优化方法是伴随着有限元理论和计算机软件技术的高速发展逐渐发展起来的。与尺寸优化和形状优化相比，结构拓扑优化能确定的设计参数更多，能更显著的节省材料，取得更大的经济效益，同时能在结构设计的初始阶段为工程设计人员提供一个综合性的概念性设计，把最优方案应用在结构的布局上，对工程设计人员具有很大的吸引力。

经过拓扑优化所得的传统拓扑结构通常是在外力作用下的最佳传力路径，材料的性能得到充分发挥，但是该最优构型倾向于静定结构，所带来的弊端就是结构缺少冗余，在这种情况下结构的局部破损很容易导致整体的破坏。在安全性要求较高如航天航空、船舶、高速列车、桥梁和超高建筑等领域，拓扑结构对局部破损的高度敏感性会使其经济效果有余而安全保障不足，在安全性较高的工程领域常被认为经济但缺乏安全保障，因此考虑破损-安全的扑优化受到重视。

工程结构普遍需要考虑结构刚度和振动问题。在实际工程应用中，人们会要求结构满足一定的刚度条件，即限制某些节点的位移在一定的许用范围内，保证结构位移变形不超过规定的约束数值，这就是结构拓扑优化中的位移约束问题。同时结构在动力载荷下的响应同结构的固有频率及外载频率有关，极端情况下，当外载频率与结构的某阶固有频率非常接近时，结构会发生共振现象，因此在进行结构动力设计时，需要对结构的固有频率进行限制，例如火箭、导弹这类飞行器的设计对结构的固有频率就有严格的要求。所以约束位移和频率对结构的拓扑优化设计具有重要意义。

本发明针对传统的连续体结构位移与频率约束拓扑优化设计问题，考虑了破损-安全的理念设计，提出了考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法。这种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，结合结构的静力和模态有限元分析技术，在位移和频率约束拓扑优化中考虑结构内部存在破损的条件，能够有效解决传统位移与频率优化结构部件过于“高效”的问题。这种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法能够同时兼顾最优结构的刚度和固有频率特性，降低最优结构整体刚度和基频对局部破损的敏感性，提高最优结构的冗余度。这对于航空、航天、汽车、桥梁、土木等许多领域的结构静力和动力优化方面具有重要的理论意义和广泛的工程应用价值。

发明内容

本发明针对传统的连续体结构位移与频率约束拓扑优化设计问题，考虑了破损-安全的设计理念，采用了层级铺设的策略来近似随机、无限的破损工况，首次将破损-安全的设计理念与位移及频率约束拓扑优化结合起来。这种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法可以明显提高最优结构的冗余度，显著降低最优结构整体刚度和频率对局部破损的敏感性，在结构拓扑优化领域具有极强的理论意义和应用价值。为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法包括以下步骤：

第一步，确定连续体基结构，并建立有限元模型；

第二步，确定破损工况数，并输入初始破损区域中心坐标值和破损区域参数；

第三步，输入位移和频率约束优化参数，形成考虑破损-安全条件下的位移与频率约束优化模型；

第四步，对包含破损工况的破损-安全结构进行静力分析，建立位移约束的显式化表达；

第五步，对破损-安全结构进行模态分析，建立频率约束的显式化表达；

第六步，建立考虑破损-安全条件下位移和频率约束的拓扑优化模型的近似连续数学优化列式，采用数学规划算法求解；

第七步，对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型以及各结构破损状况的位移和基频。

本发明相比现有技术的优点在于：

传统结构位移与频率拓扑优化的结果类似于离散的桁架结构，当最优构型发生由碰撞、爆炸、腐蚀等引起的局部破损时，传统的最优构型会发生完全破坏。相比于传统的结构位移与频率拓扑优化设计，本发明充分考虑了结构破损-安全的设计理念，在优化设计中添加破损工况，得到的最优结构在发生局部破损后仍能够同时满足结构频率和位移的约束要求，正常承受外载而不会失效。本发明得到的最优拓扑结构可以明显提高最优结构的冗余度，显著降低最优结构整体刚度和频率对局部破损的敏感性，在结构拓扑优化领域具有极强的理论意义和应用价值。

附图说明

图1是考虑破损-安全条件下连续体位移与频率约束拓扑优化设计流程图。

图2是考虑破损-安全条件的基结构及最优拓扑图。

图3是考虑破损-安全条件的拓扑优化过程图。

图4是迭代曲线图，(a)为结构总体积迭代曲线，(b)为各结构破损状况的基频迭代曲线。

具体实施方式

如图1所示，本发明中提供一种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，具体解决方案如下：

第一步，确定连续体基结构，并建立有限元模型：

首先基于设计需求，确定所要优化连续体结构的最大设计边界，即确定基结构，并依据某些性能需求，确定破损设计域及非破损设计域；其次，基于MSC.Patran软件平台，建立基结构几何模型，并划分有限元网格；最后定义材料，赋予单元属性，施加边界条件，设置静力分析工况和模态分析两种不同工况；最后，分别设定经理分析和模态分析输出选项。

第二步，确定破损工况数，并输入初始破损区域中心坐标值和破损区域参数：在基于MSC.Patran软件内置语言PCL(Patran Command Language)编写的主程序内，首先设置破损工况数，破损工况数可以根据实际问题确定；然后输入初始破损区域中心二维坐标值；然后输入破损区域参数：损伤区对角线一半的平方、损伤区边长一半的平方，这样正方形的初始破损区域就可以确定下来。

第三步，输入频率与位移约束优化参数，形成考虑破损-安全条件下的位移与频率约束优化模型：

依据结构刚度和固有频率性能设计需求，输入频率与位移约束参数，包括约束位移的大小、方向、作用节点号以及约束基频的大小、收敛精度、过滤半径等；这样破损区域大小、形状以及位移与频率约束就确定下来，可以建立考虑破损-安全的以位移与基频为约束、结构重量最小为优化目标的拓扑优化模型：

式中：t表示拓扑变量向量，t_i为第i号单元的拓扑变量，表征单元的有或无；t∈E^N表示拓扑变量t是属于n维欧式空间的向量；W表示结构中重量，

为第i号单元的初始重量；u_l第l号结构破损状况的位移值，

是第l号结构破损状况的位移约束值；f_w(t_i)、f_k(t_i)、f_m(t_i)分别是ICM(Independent,Continuous,Mapping)方法中提出的重量过滤函数、刚度矩阵过滤函数以及质量矩阵过滤函数；λ_l表示第l号结构破损状况的基频对应的特征值，

表示第l号结构破损状况的基频对应的特征值约束值；L表示的是破损工况的个数；N表示的是单元总数

第四步，对包含破损工况的破损-安全结构进行静力分析，建立位移约束的显式化表达：

通常称含有一个结构局部破损区域的基结构为一个结构破损状况，可以在PCL主程序中实现从初始破损区域开始，根据破损工况数依次对结构进行破损，并对每一个结构破损状况进行静力分析和模态分析。依次提取每一个结构破损状况下单元i在外载荷作用下的单元节点力向量F_i ^R；建立相应的虚载荷工况，提取单位力作用下单元i的位移向量，那么就可以得到单元i对位移的贡献系数

这样静位移与设计变量间的关系就可以用显式表达为

第五步，对破损-安全结构进行模态分析，建立频率约束的显式化表达：

依次提取每一个结构破损状况单元的模态分析结果，分别是U_il和V_il，

表示第l个破损状况下单元i的基频模态应变能，

表示第l个破损状况下单元i的基频模态动能。这样，通过提取模态分析中计算出来的某个破损状况下单元模态应变能及模态动能，就可以计算对应的基频特征值对各设计变量的导数即敏度分析结果，为建立显式优化方程提供结构单元的力学性能参数。

第六步，建立考虑破损-安全条件下位移和频率约束的拓扑优化模型的近似连续数学优化列式，采用数学规划算法求解：

将设计变量取为

γ_k是单元刚度的过滤函数的幂指数，这里取γ_k＝5；并基于灵敏度分析及泰勒展式等方法，对优化模型进行显式化处理，获得对应的二次规划显式方程为：

其中α＝γ_w/γ_k，γ_w＝2是重量过滤函数的幂指数，γ_k＝5是单元刚度过滤函数的幂指数；c_il和b_l是位移显式约束不等式的常系数，d_il和e_l是频率显式约束不等式的常系数；ν是迭代次数；S_il是第l号结构破损状况、第i号单元对位移的贡献系数，δ_i ^V是单位虚载荷作用下的单元i节点位移向量，F_i ^R为实载荷作用下的单元i节点力向量；

是第ν次迭代下第l号结构破损状况、第i号单元的模态应变能与模态动能之差；当

或

时，D＝1，当u_l≥u_l 或λ_l≥λ_l 时，D＝-1；

是设计变量上限。

为使拓扑变量t尽量取0或1，加入离散性条件并与原目标按线性加权组成单目标，对目标二次近似后略去常数项得：

这样更新近似连续数学优化列式为：

考虑到优化模型(4)中的设计变量数目远大于约束数目，因此，基于库恩-塔克条件将其转化成对偶模型，之后采用序列二次规划算法求解。如果得到的解，满足收敛精度条件，则输出最优解，进行第七步；如果不满足收敛精度条件，则修改拓扑变量，返回第四步，进行下一轮的破损状况有限元分析及优化模型处理，直到满足收敛精度条件。

第七步，对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型以及各结构破损状况的位移和基频：

根据拓扑优化结果的拓扑变量云图，选择合适的阈值对拓扑变量进行反演，实现拓扑优化变量从连续到离散0/1的映射，获得最优拓扑构型以及各结构破损状况的位移和基频。

本发明公开一种考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)确定连续体基结构，并建立有限元模型；(2)确定破损工况数，并输入初始破损区域中心坐标值和破损区域参数；(3)输入位移与频率约束优化参数，形成考虑破损-安全条件下的位移和频率约束优化模型；(4)对包含破损工况的破损-安全结构进行静力分析，建立位移约束的显式化表达；(5)对破损-安全结构进行模态分析，建立频率约束的显式化表达；(6)建立考虑破损-安全条件下位移与频率约束的拓扑优化模型的近似连续数学优化列式，采用数学规划算法求解；(7)对最优拓扑构型进行反演处理，获得最优拓扑构型以及各结构破损状况的位移和基频。本发明可以有效解决考虑破损-安全条件下的连续体位移与频率约束的拓扑优化设计问题，相比较于传统的位移与频率拓扑优化，可以明显提高结构的冗余度，为结构静力和动力学领域考虑破损-安全的拓扑优化问题提供一个参考。

实施算例：

下面结合一个考虑破损-安全条件的位移与频率拓扑优化算例对本发明的具体实施步骤进行详细说明。

第一步，首先基于MSC.Patran建立尺寸如图2(a)所示的基结构，基结构为200mm×100mm×9mm的矩形板，一端固定，另一端中间位置施加竖直向下的力；大小15600N；材料弹性模量为68890MPa，泊松比为0.3，密度为1.0×10^-9Mg/mm³；划分为20×40个矩形单元，左边界全部采用固定约束；基结构的第一阶频率是1247Hz，频率约束为第一阶频率大于800Hz；有限元模型如图2(b)所示。考虑8个破损工况，其破损区域为边长50mm×50mm的正方形均匀的分布在基结构中，如图2(c)所示。最后设置静力分析工况和模态分析工况，同时在静力分析设置中选择输出单元节点力，在模态分析设置选项中选择输出单元应变能；

第二步，在基于PCL语言编写的主程序内，设置破损工况参数。首先设置破损工况数，令破损工况数等于8；然后输入初始破损区域中心二维坐标值(25,25)；然后输入破损区域参数：损伤区对角线一半的平方是225、损伤区边长一半的平方是225，这样正方形的初始破损区域就可以确定下来；

第三步，在优化主程序中输入位移和频率约束优化参数。位移优化参数：位移约束方向是Ty及y方向，约束不等号是≥，约束值是-0.6mm，被约束节点号是441号节点。频率优化参数：频率约束不等式方向≥，约束值是800Hz；收敛精度是0.001，过滤半径是7.5。这样破损区域大小、形状以及位移和频率约束就确定下来；

第四步，采用MSC.Nastran对初始结构破损状况进行静力分析，并通过FOR循环依次对结构破损状况进行静力分析和模态分析，并通过程序实现静力工况分析中单元节点力的自动提取，为建立位移约束显式优化方程提供结构单元的力学性能参数；

第五步，对初始结构破损状况进行模态分析，并通过程序实现模态工况分析中单元模态动能和模态应变能的自动提取，为建立频率约束显式优化方程提供结构单元的力学性能参数；

第六步，基于灵敏度分析及泰勒展式等方法，建立考虑破损-安全条件下位移与频率约束的拓扑优化模型的近似连续数学优化列式；采用数学规划算法，对优化模型进行求解。如果满足给定的收敛条件，则输出优化结果，如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新有限元模型，返回到第四步，进行下一轮的破损状况有限元分析及优化模型处理，直到满足收敛条件；

第七步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型。

考虑破损-安全条件的位移与频率拓扑优化算例最优拓扑图如图2的(e)所示，阈值选取0.6724，反演后的最优结构如图2的(f)所示，最优拓扑结构的结果具体值如表1和表2所示。相比于图2的(d)的传统频率优化最优拓扑结构，可以明显提高结构的冗余度，显著降低最优结构对局部破损的敏感性。从图3的拓扑优化迭代历史可以看出，传力路径和承受频率响应的路径被保留下来；同时从图3目标体积迭代曲线可以看到，考虑破损条件下的结构总体积经过38次迭代后最终稳定收敛到66292mm³。从图3的各结构破损状况基频的迭代曲线可以看到，各结构破损状况的基频经过迭代后都趋于收敛。通过分析表2可以得出，绝大多数破损工况发生最优结构都能够满足位移约束，第4、6号工况发生破损时结构位移是-6.36，稍微超出约束值0.36mm，可以视为满足位移约束要求。因此，本发明提出的方法可以实现考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计。

表1考虑破损-安全条件的频率约束工况最优拓扑结果

表2考虑破损-安全条件的位移约束工况最优拓扑结果

Claims (7)

1.一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，确定连续体结构的破损设计域和非破损设计域，并建立有限元模型，与一般的有限元建模过程相同，建立单元网格、单元属性、材料、工况及结果输出；

第二步，向有限元模型中输入破损工况数、初始破损区域中心坐标值，同时输入破损区域参数，这样初始破损区域的位置和形状完全确定；

第三步，输入位移和频率约束优化参数，包括约束位移的大小、方向、力作用节点号以及约束基频的大小、收敛精度、过滤半径；形成考虑破损-安全条件下的位移与频率约束优化模型；

第四步，含有一个结构局部破损区域的基结构称为一个结构破损状况；从初始破损区域开始，根据破损工况数依次对结构进行破损。每一个结构破损状况对应着一个静力工况，对结构静力工况进行静力分析，建立相应的虚载荷工况，通过位移敏度分析的伴随法可以得到位移约束的显示化表达。

第五步，同时对每一个结构破损状况进行模态分析，并提取每一个结构破损状况单元的模态分析结果，可以得到频率约束的显示化表达；

第六步，形成考虑破损-安全的以位移与频率为约束、结构重量最小为目标的近似连续数学优化列式，采用数学规划算法对其求解；

第七步，对拓扑变量进行反演，获得最优拓扑构型及对应结构破损状况的位移和基频。

2.根据权利要求1所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第一步具体为：

首先基于设计需求，确定所要优化连续体结构的最大设计边界，确定破损设计域及非破损设计域；其次，基于MSC.Patran软件平台，建立基结构几何模型，并划分有限元网格；最后定义材料，赋予单元属性，施加边界条件，设置静力分析工况和模态分析两种不同工况；最后，设定静力分析和模态分析输出选项。

3.根据权利要求2所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第二步具体为：

在基于MSC.Patran软件内置语言PCL编写的主程序内，首先设置破损工况数，破损工况数根据实际问题确定；然后输入初始破损区域中心二维坐标值；然后输入破损区域参数：损伤区对角线一半的平方、损伤区边长一半的平方，确定正方形的初始破损区域。

4.根据权利要求3所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第三步具体为：

首先依据结构刚度和固有频率性能设计需求，输入频率与位移约束参数，包括约束位移的大小、方向、作用节点号以及约束基频的大小、收敛精度、过滤半径；这样破损区域大小、形状以及位移与频率约束就确定下来，建立考虑破损-安全的以位移与基频为约束、结构重量最小为优化目标的拓扑优化模型：

式中：t表示拓扑变量向量，t_i为第i号单元的拓扑变量，表征单元的有或无；t∈E^N表示拓扑变量t是属于n维欧式空间的向量；W表示结构中重量，

为第i号单元的初始重量；u_l第l号结构破损状况的位移值，

是第l号结构破损状况的位移约束值；f_w(t_i)、f_k(t_i)、f_m(t_i)分别是ICM方法中提出的重量过滤函数、刚度矩阵过滤函数以及质量矩阵过滤函数；λ_l表示第l号结构破损状况的基频对应的特征值，

表示第l号结构破损状况的基频对应的特征值约束值；L表示的是破损工况的个数；N表示的是单元总数。

5.根据权利要求4所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第四步具体为：

在PCL主程序中，从初始破损区域开始，根据破损工况数依次对结构进行破损，并对每一个结构破损状况进行静力分析；依次提取每一个结构破损状况下单元i在外载荷作用下的单元节点力向量F_i ^R；建立相应的虚载荷工况，提取单位力作用下单元i的位移向量，得到单元i对位移的贡献系数

这样静位移与设计变量间的关系就用显式表达为

6.根据权利要求5所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第五步具体为：

从初始破损区域开始，根据破损工况数依次对结构进行破损，并对每一个结构破损状况进行模态分析；依次提取每一个结构破损状况单元的模态分析结果，分别是U_il和V_il，

表示第l个破损状况下单元i的基频模态应变能，

表示第l个破损状况下单元i的基频模态动能；这样，通过提取模态分析中计算出来的某个破损状况下单元模态应变能及模态动能，计算对应的基频特征值对各设计变量的导数即敏度分析结果，为建立显式约束方程提供结构单元的力学性能参数。

7.根据权利要求6所述的一种考虑破损-安全条件的连续体位移与频率约束拓扑优化设计方法，其特征在于，第六步具体为：

将设计变量取为

γ_k是单元刚度的过滤函数的幂指数，这里取γ_k＝5；并基于灵敏度系及泰勒展式等方法，对优化模型进行显式化处理，获得对应的二次规划显式方程为：

其中α＝γ_w/γ_k，γ_w＝2是重量过滤函数的幂指数，γ_k＝5是单元刚度过滤函数的幂指数；c_il和b_l是位移显式约束不等式的常系数，d_il和e_l是频率显式约束不等式的常系数；ν是迭代次数；S_il是第l号结构破损状况、第i号单元对位移的贡献系数，

是单位虚载荷作用下的单元i节点位移向量，F_i ^R为实载荷作用下的单元i节点力向量；

是第ν次迭代下第l号结构破损状况、第i号单元的模态应变能与模态动能之差；当

或

时，D＝1，当u_l≥u_l 或λ_l≥λ_l 时，D＝-1；

是设计变量上限；

为使拓扑变量t尽量取0或1，加入离散性条件并与原目标按线性加权组成单目标，对目标二次近似后略去常数项得：

这样更新近似连续数学优化列式为：

考虑到优化模型(4)中的设计变量数目远大于约束数目，因此，基于库恩-塔克条件将其转化成对偶模型，之后采用序列二次规划算法求解。

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