CN113361176B - 考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统 - Google Patents

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Abstract

本发明属于结构拓扑优化技术领域，提供了一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统。该方法包括，根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。

Description

考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统
技术领域
本发明属于结构拓扑优化技术领域，尤其涉及一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统。
背景技术
本部分的陈述仅仅是提供了与本发明相关的背景技术信息，不必然构成在先技术。
结构特征值拓扑优化是动力学优化领域的研究热点，在提升结构基频、避免共振及带隙材料设计等领域具有广泛应用。然而，现有研究大多假设材料为弹性材料，通过求解线性特征值方程获得结构的特征频率。但是，许多工程材料的弹性模量具有频率相关性，即材料的弹性模量随频率发生变化，其中最为典型的就是粘弹性材料。材料弹性模量的频率相关性使得结构的刚度矩阵表现为频率的非线性函数，求解问题为非线性特征值方程，给特征值拓扑优化带来新的挑战。
随着计算机技术的飞速发展，结构设计除了依靠传统经验外，采用结构优化设计的思想进行改进已成为高端设备研究的重点。其中，拓扑优化是目前最强大的结构优化方法之一，通过寻找材料的空间分布来获得具有卓越性能的创新构型，被公认为是一种智能和系统的设计理论和方法。在没有太多工程经验和初始设计的情况下，它可以根据需求产生优秀和创新的设计。在过去的30年里，许多研究者提出并发展了大量的拓扑优化方法，包括均匀化法、变密度法，水平集法、渐进结构优化法和移动组件法。近年来，上述方法已成功应用于许多工程结构的设计。
现有技术中提出了一种非线性特征值的求解方法，但此方法省略了频率相关项，虽然可以直接求解，但无法说明频率相关项对结果的影响程度，导致结果不精确。现有技术还提出了一种求解非线性特征值问题的渐进数值方法，虽然此方法考虑了频率相关项，但是利用该方法的求解的特征向量误差较大，应用于拓扑优化，迭代过程中会出现收敛困难的现象。另外，目前为止，关于非线性特征值的求解过程并没有在拓扑优化领域形成一套完整的方法。
发明内容
为了解决上述背景技术中存在的技术问题，本发明提供一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统。其引入了连续化渐近数值方法求解非线性特征值方程，并基于Faà di Bruno's定理推导了任意粘弹性模型对摄动系数的高阶导数，通过二分法建立了摄动参数的连续化递进策略，建立了满足优化迭代所需通用性及鲁棒性的求解方法。另外，数值计算结果表明该渐进方法可获得相对精确的特征频率，但特征向量误差较大，使得敏度分析精确低，造成优化迭代震荡。为解决此问题，本发明将求解得到的特征频率再次代入特征方程中，采用反迭代法对特征向量进行修正，大大降低了计算误差，可获得稳定的优化迭代过程。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
本发明的第一个方面提供一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法。
考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，包括：
根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。
进一步的，所述结构由弹性材料和频率相关性材料两种材料组成。
进一步的，在获得所述两种材料对应的总体刚度矩阵和所述结构的总体质量矩阵之前，包括：确定待设计结构并划分网络，定义拓扑优化的设计域和设计变量。
进一步的，所述根据实际工况添加边界条件，获得所述结构中弹性材料对应的总体刚度矩阵、频率相关性材料对应的总体刚度矩阵和所述结构的总体质量矩阵包括：根据实际工况添加边界条件，获得所述结构中弹性材料对应的单元刚度矩阵、频率相关性材料对应的单元刚度矩阵和所述结构的单元质量矩阵；采用SIMP插值格式组装建立所述两种材料对应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵。
进一步的，所述基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量包括：
基于所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法求解所述非线性特征值方程，并基于Faà di Bruno's定理推导出任意粘弹性模型对摄动系数的高阶导数，通过二分法建立摄动参数的连续化递进策略，建立满足优化迭代所需的求解方法，通过求解得到结构的特征频率与特征向量；
将求解得到的特征频率再次代入所述非线性特征方程中，采用逆迭代法对特征向量进行修正，得到结构特征频率和修正后的特征向量。
进一步的，所述获得所述结构的特征频率和修正后的特征向量后，用于求解特征频率的敏度，集成到拓扑优化列式中，采用MMA算法对拓扑优化模型中的设计变量进行迭代更新，完成对结构的优化设计。
进一步的，所述拓扑优化模型的建立包括：采用“边值模型”和“鲁棒性列式”，建立考虑频率相关性材料的结构拓扑优化模型。
本发明的第二个方面提供一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统。
考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统，包括：
矩阵获取模块，其被配置为：根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
结构特征频率和修正后的特征向量获取模块，其被配置为：基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
材料用量获得模块，其被配置为：以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。
本发明的第三个方面提供一种计算机可读存储介质。
一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时实现如上述第一个方面所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法中的步骤。
本发明的第四个方面提供一种计算机设备。
一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现如上述第一个方面所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统中的步骤。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
(1)本发明的一个或多个实施方式引入连续化渐近数值方法求解非线性特征值方程，并基于Faà di Bruno's定理推导出任意粘弹性模型对摄动系数的高阶导数，通过二分法建立摄动参数的连续化递进策略，建立满足优化迭代所需通用性及鲁棒性的求解方法；
(2)本发明的一个或多个实施方式获得的设计方法，可以实现含模量频率相关性材料的结构的特征频率和特征向量的精确求解；并将敏度信息集成到结构拓扑优化模型中，实现非线性特征方程在拓扑优化过程中的稳定迭代。
(3)本发明的一个或多个实施方式可应用到含频率相关性材料的结构设计中，以促进频率相关性材料的动力学性能研究，实现高端装备的进一步升级。
本发明附加方面的优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。
附图说明
构成本发明的一部分的说明书附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。
图1是本发明根据一个或多个实施方式的流程图；
图2是本发明根据一个或多个实施方式的设计域模型示意图；
图3是本发明根据一个或多个实施方式的频率相关性材料的弹性模量曲线图；
图4(a)是本发明根据一个或多个实施方式结构无频率相关性材料的拓扑图；
图4(b)是本发明根据一个或多个实施方式结构含频率相关性材料的拓扑图；
图5(a)-图5(f)是本发明根据一个或多个实施方式结构含频率相关性材料的前六阶模态图；
图6是本发明根据一个或多个实施方式结构扫频验证结果图；
图7(a)是本发明根据一个或多个实施方式结构模态修正前的误差图；
图7(b)是本发明根据一个或多个实施方式结构模态修正后的误差图。
具体实施方式
下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。
应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本发明提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本发明所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。
需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本发明的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。
需要注意的是，附图中的流程图和框图示出了根据本公开的各种实施例的方法和系统的可能实现的体系架构、功能和操作。应当注意，流程图或框图中的每个方框可以代表一个模块、程序段、或代码的一部分，所述模块、程序段、或代码的一部分可以包括一个或多个用于实现各个实施例中所规定的逻辑功能的可执行指令。也应当注意，在有些作为备选的实现中，方框中所标注的功能也可以按照不同于附图中所标注的顺序发生。例如，两个接连地表示的方框实际上可以基本并行地执行，或者它们有时也可以按照相反的顺序执行，这取决于所涉及的功能。同样应当注意的是，流程图和/或框图中的每个方框、以及流程图和/或框图中的方框的组合，可以使用执行规定的功能或操作的专用的基于硬件的系统来实现，或者可以使用专用硬件与计算机指令的组合来实现。
频率相关性材料：是一种弹性模量随频率变化的材料。而寻常的材料，比如：45钢，其弹性模量为一个常数，固称45钢为弹性材料。本实施例的设计对象为含频率相关性材料的结构，其应用范围理论上是任何含频率相关性材料的结构，如隔声板，机床工作台。该结构由两种材料构成，一种是弹性材料，一种是频率相关性材料。
采用本方法可以求解非线性特征方程，得到特征频率和特征向量，带入拓扑优化列式中，以基频最大作为目标，通过分配两种材料的布局，找出符合要求的最佳材料分布，这种被优化后的结构相较于之前的结构(只含弹性材料的结构)，其基频明显提升，可以避开实际工作中的加工频率，从而避免产生结构共振，提高结构的服役寿命。即本实施例的目的是为了如何找到符合要求的最佳材料分布，也就是弹性材料和频率相关性材料在某个结构中的占比，从而改善结构性能。
实施例一
正如背景技术所述，现有技术公开的非线性方程的求解方法大多省略了频率相关项，或者利用传统渐进数值方法求解的特征向量误差较大，导致应用于拓扑优化后迭代过程中会出现收敛困难的现象。因此，本发明提供了一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法及系统。
如图1所示，本实施例提供了一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，本实施例以该方法应用于服务器进行举例说明，可以理解的是，该方法也可以应用于终端，还可以应用于包括终端和服务器和系统，并通过终端和服务器的交互实现。服务器可以是独立的物理服务器，也可以是多个物理服务器构成的服务器集群或者分布式系统，还可以是提供云服务、云数据库、云计算、云函数、云存储、网络服务器、云通信、中间件服务、域名服务、安全服务CDN、以及大数据和人工智能平台等基础云计算服务的云服务器。终端可以是智能手机、平板电脑、笔记本电脑、台式计算机、智能音箱、智能手表等，但并不局限于此。终端以及服务器可以通过有线或无线通信方式进行直接或间接地连接，本申请在此不做限制。本实施例中，该方法包括以下步骤：
根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。
具体的，为了说明本实施例的技术方案，具体对步骤进行阐述。
步骤1：确定待设计结构并划分网格，定义拓扑优化的设计域，设计域内的单元密度ρe(e＝1,…,Ne)为设计变量，Ne为设计域内单元数目。
步骤2：根据实际工况添加边界条件，计算弹性材料对应的单元刚度矩阵Ke(e＝1,…,Ne)，频率相关性材料对应的单元刚度矩阵Kv(v＝1,…,Ne)，单元质量矩阵Me(e＝1,…,Ne)。采用拓扑优化领域常用的SIMP插值格式组装建立弹性材料对应的总体刚度阵K(0)，频率相关性材料对应的总体刚度阵Kn，和总体质量阵M，其中SIMP插值中的刚度惩罚系数为pK、质量惩罚系数为pM。
进一步的，所述刚度惩罚系数为pK取值为1；所述质量惩罚系数为pM取值为1。
步骤3：根据步骤2得到的总体刚度阵K(0)，Kn和总体质量阵M，求解结构特征值ω2和特征向量U，计算步骤为：
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构造非线性特征方程：
(K(0)+E(ω)Kn-ω2M)U＝0 (1)
利用连续化渐进数值方法引入一个小量ε进行连续化处理，得到摄动特征方程：
Figure BDA0003124447840000091
其中，ε0是初始值，Δε为摄动变量，E(ω)为频率相关性材料的弹性模量。
采用摄动展开理论，将特征向量U，特征频率ω与特征值p＝ω2以截断幂级数的形式展开可得：
Figure BDA0003124447840000101
其中，(U0,ω0,p0)分别是上一步ε＝ε0时得到的特征向量、特征频率与特征值的初始解，(Uj,ωj,pj)代表下一步待求的未知解；N是摄动展开阶数，一般取20；
同理，利用相同的方法摄动展开频率相关性材料的弹性模量：
Figure BDA0003124447840000102
其中，E0＝E(ω0)，Ej是摄动展开的第j项。
将公式(3)和(4)带入公式(2)，依据同阶幂级数Δεj前的系数对应相等可得：
(1)(Δε)0阶问题(j＝0)：
Figure BDA0003124447840000103
(2)(Δε)j阶问题(j≥1)：
Figure BDA0003124447840000104
为保证公式(6)有解，需满足：
(Fj)TU0＝0 (7)
联立公式(6)与公式(7)可得：
Figure BDA0003124447840000111
欲求pj，需知Ej,将E(ω(Δε))在Δε＝0处n阶泰勒展开可得：
Figure BDA0003124447840000112
其中，
Figure BDA0003124447840000113
表示E(ω)对Δε的j阶导数，并且可以根据Faàdi Bruno's定理写成如下形式：
Figure BDA0003124447840000114
其中，
Figure BDA0003124447840000115
代表E(ω)对ω的k阶导数，Bj,i代表部分贝尔多项式，其表达式如下所示：
Figure BDA0003124447840000116
其中，
Figure BDA0003124447840000117
代表ω对Δε的i阶导数，其表达式为：
Figure BDA0003124447840000118
结合公式(4)与公式(9)，依据同阶幂级数(Δε)j前的系数对应相等可得：
Figure BDA0003124447840000119
其中，Ej在公式(8)里是未知的，由公式(13)可知Ej与ωj线性相关，而pj与ωj的关系式为：
Figure BDA0003124447840000121
显然，pj与ωj线性相关，因此Ej与pj线性相关，其关系式为：
Ej＝apj+b (15)
将公式(15)代入公式(8)可得：
Figure BDA0003124447840000122
其中，参数a和b的关系式为：
Figure BDA0003124447840000123
至此，pj便可求解。
为保证公式(6)解的唯一性，我们定义:
(Uj)TU0＝0 (18)
因此，公式(6)可以写为如下矩阵形式：
Figure BDA0003124447840000124
其中，k为拉格朗日乘子。
最终，我们得到非线性特征方程(2)的解为：
Figure BDA0003124447840000131
将公式(20)的代入相对误差评价公式：
Figure BDA0003124447840000132
采用二分法建立摄动参数的连续化递进策略，当R(Δε)<10-3时认为已经获得精确解。
将获得的特征频率带入非线性特征方程(1)：
(K(0)+E(ωj)Kn-ω2M)U＝0 (22)
采用逆迭代法修正特征向量，最终获得结构的特征频率ω与修正后的特征向量U。
步骤4：使用求解得到的结构特征频率及修正后的特征向量求解频率的敏度为：
Figure BDA0003124447840000133
将求解得到的频率敏度放入优化列式中，在对应的拓扑优化问题中定义结构的基频最大化，约束条件是满足体积约束，建立拓扑优化模型如下：
Figure BDA0003124447840000141
其中，λ和ρe是设计变量，
Figure BDA0003124447840000142
分别为扩散场、中间场、腐蚀场的单元密度；ve为对应单元的体积，V是设计域体积；Vd *为结构在扩散场下的体分比，J0是频率数目。
采用MMA算法对所述设计变量进行迭代更新，完成对结构的优化设计。
为了方便比较，本实施例做了对比算例(附图的图4(a)与(b))，两种算例都采用双材料设计，两种算例给的初始结构(图2)中的材料1都是弹性材料，其中一个算例(图4(a))的材料2也是弹性材料，即该算例全部材料弹性材料，只是两种材料的弹性模量不同；另一个算例(图4(b))的材料2是频率相关性材料，因此该结构我们称之为含频率相关性材料的结构。通过采用我们的方法完成求解后，通过扫频分析发现，含频率相关性材料的结构的基频明显大于不含频率相关性材料的结构(图6)。
实施例二
本实施例提供了一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法在结构设计中的应用。
考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，包括：
根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。
下面介绍一种实施方式，具体的，以两端中间夹紧梁为例，其材料分为材料1(弹性模量E＝1*1011)和材料2(当其为弹性材料时弹性模量E＝2.5*1010；当其为频率相关性材料时，弹性模量如图3所示)。设计后材料1的材料用量为30％，左右两端面中间点固定，图2是隔声板的结构示意图，通过该方法求解出特征频率与特征向量，带入拓扑优化列式中，以基频最大作为目标，最终提高隔声板的基频，避免发生共振。
步骤1：定义拓扑优化的设计域为a＝4m、b＝1m的长方体，网格数量为240*60，定义单元密度ρe(e＝1,…,14400)为设计变量。
步骤2：根据实际工况添加边界条件，计算弹性材料对应的单元刚度矩阵Ke(e＝1,…,14400)，频率相关性材料对应的单元刚度矩阵Kv(v＝1,…,14400)和单元质量矩阵Me(e＝1,…,14400)。采用拓扑优化领域常用的SIMP插值格式组装建立弹性材料对应的总体刚度阵K(0)，弹性模量频率相关性材料对应的总体刚度阵Kn和总体质量阵M，其中SIMP插值中的刚度惩罚系数为pK＝1、质量惩罚系数为pM＝1。
步骤3：根据步骤2得到的弹性材料对应的总体刚度阵K(0)，频率相关性材料对应的总体刚度阵Kn和总体质量阵M，利用连续化渐进数值方法求解非线性特征方程，并结合Faàdi Bruno's定理、二分法及逆迭代法求解得到结构特征频率ω和修正后的特征向量U。
步骤4：使用求解得到的结构特征频率及修正后的特征向量求解频率的敏度为：
Figure BDA0003124447840000161
将求解得到的频率敏度放入优化列式中，在对应的拓扑优化问题中定义结构的基频最大化，约束条件是满足体积约束，建立拓扑优化模型如下：
Figure BDA0003124447840000162
采用MMA算法对所述设计变量进行迭代更新，完成对结构密度的优化设计。得到结构无频率相关性材料的拓扑图如图4(a)所示，其中材料1为弹性材料，材料2为弹性材料；结构含频率相关性材料的拓扑图如图4(b)所示，其中材料1为弹性材料，材料2为频率相关性材料；结构含频率相关性材料的前六阶模态图如图5(a)-图5(f)所示；得到结构扫频验证结果图，如图6所示，其中实线表示结构的两种材料都是弹性材料时，基频的频响曲线，虚线表示结构的材料1为弹性材料，材料2为频率相关性材料时，基频的频响曲线；可以看出，实线表示两种材料都是弹性材料的结构的基频，其值为741rad/s，虚线表示含频率相关性材料的结构的基频806rad/s，很明显含频率相关性材料的基频大于不含频率相关性材料的基频。结构特征向量修正前的误差图如图7(a)所示；结构特征向量修正后的误差图如图7(b)所示。
实施例三
本实施例提供了一种考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统。
考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统，包括：
矩阵获取模块，其被配置为：根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
结构特征频率和修正后的特征向量获取模块，其被配置为：基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
材料用量获得模块，其被配置为：以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量。
以上实施例三中涉及的各步骤与方法实施例一或实施例二相对应，具体实施方式可参见实施例一或实施例二的相关说明部分。
实施例四
本实施例提供了一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，该程序被处理器执行时实现如上述实施例一或实施二所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统中的步骤。
实施例五
本实施例提供了一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，所述处理器执行所述程序时实现如上述实施例一或实施二所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统中的步骤。
本领域内的技术人员应明白，本发明的实施例可提供为方法、系统、或计算机程序产品。因此，本发明可采用硬件实施例、软件实施例、或结合软件和硬件方面的实施例的形式。而且，本发明可采用在一个或多个其中包含有计算机可用程序代码的计算机可用存储介质(包括但不限于磁盘存储器和光学存储器等)上实施的计算机程序产品的形式。
本发明是参照根据本发明实施例的方法、设备(系统)、和计算机程序产品的流程图和/或方框图来描述的。应理解可由计算机程序指令实现流程图和/或方框图中的每一流程和/或方框、以及流程图和/或方框图中的流程和/或方框的结合。可提供这些计算机程序指令到通用计算机、专用计算机、嵌入式处理机或其他可编程数据处理设备的处理器以产生一个机器，使得通过计算机或其他可编程数据处理设备的处理器执行的指令产生用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的装置。
这些计算机程序指令也可存储在能引导计算机或其他可编程数据处理设备以特定方式工作的计算机可读存储器中，使得存储在该计算机可读存储器中的指令产生包括指令装置的制造品，该指令装置实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能。
这些计算机程序指令也可装载到计算机或其他可编程数据处理设备上，使得在计算机或其他可编程设备上执行一系列操作步骤以产生计算机实现的处理，从而在计算机或其他可编程设备上执行的指令提供用于实现在流程图一个流程或多个流程和/或方框图一个方框或多个方框中指定的功能的步骤。
本领域普通技术人员可以理解实现上述实施例方法中的全部或部分流程，是可以通过计算机程序来指令相关的硬件来完成，所述的程序可存储于一计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，可包括如上述各方法的实施例的流程。其中，所述的存储介质可为磁碟、光盘、只读存储记忆体(Read-Only Memory，ROM)或随机存储记忆体(RandomAccessMemory，RAM)等。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，包括：
根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量；
根据得到的总体刚度阵K(0)，Kn和总体质量阵M，求解结构特征值ω2和特征向量U，计算步骤为：
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构造非线性特征方程：
(K(0)+E(ω)Kn-ω2M)U＝0 (1)
利用连续化渐进数值方法引入一个小量ε进行连续化处理，得到摄动特征方程：
Figure FDA0003719592100000011
其中，ε0是初始值，Δε为摄动变量，E(ω)为频率相关性材料的弹性模量；
采用摄动展开理论，将特征向量U，特征频率ω与特征值p＝ω2以截断幂级数的形式展开可得：
Figure FDA0003719592100000021
其中，(U0,ω0,p0)分别是上一步ε＝ε0时得到的特征向量、特征频率与特征值的初始解，(Uj,ωj,pj)代表下一步待求的未知解；N是摄动展开阶数；
同理，利用相同的方法摄动展开频率相关性材料的弹性模量：
Figure FDA0003719592100000022
其中，E0＝E(ω0)，Ej是摄动展开的第j项；
将公式(3)和(4)带入公式(2)，依据同阶幂级数Δεj前的系数对应相等可得：
(1)(Δε)0阶问题(j＝0)：
Figure FDA0003719592100000023
(2)(Δε)j阶问题(j≥1)：
Figure FDA0003719592100000024
为保证公式(6)有解，需满足：
(Fj)TU0＝0 (7)
联立公式(6)与公式(7)可得：
Figure FDA0003719592100000031
欲求pj，需知Ej,将E(ω(Δε))在Δε＝0处n阶泰勒展开可得：
Figure FDA0003719592100000032
其中，
Figure FDA0003719592100000033
表示E(ω)对Δε的j阶导数，并且可以根据Faàdi Bruno's定理写成如下形式：
Figure FDA0003719592100000034
其中，
Figure FDA0003719592100000035
代表E(ω)对ω的k阶导数，Bj,i代表部分贝尔多项式，其表达式如下所示：
Figure FDA0003719592100000036
其中，
Figure FDA0003719592100000037
代表ω对Δε的i阶导数，其表达式为：
Figure FDA0003719592100000038
结合公式(4)与公式(9)，依据同阶幂级数(Δε)j前的系数对应相等可得：
Figure FDA0003719592100000039
其中，Ej在公式(8)里是未知的，由公式(13)可知Ej与ωj线性相关，而pj与ωj的关系式为：
Figure FDA0003719592100000041
显然，pj与ωj线性相关，因此Ej与pj线性相关，其关系式为：
Ej＝apj+b (15)
将公式(15)代入公式(8)可得：
Figure FDA0003719592100000042
其中，参数a和b的关系式为：
Figure FDA0003719592100000043
至此，pj便可求解；
为保证公式(6)解的唯一性，我们定义:
(Uj)TU0＝0 (18)
因此，公式(6)可以写为如下矩阵形式：
Figure FDA0003719592100000044
其中，k为拉格朗日乘子；
最终，我们得到非线性特征方程(2)的解为：
Figure FDA0003719592100000051
将公式(20)的代入相对误差评价公式：
Figure FDA0003719592100000052
采用二分法建立摄动参数的连续化递进策略，当R(Δε)＜10-3时认为已经获得精确解；
将获得的特征频率带入非线性特征方程(1)：
(K(0)+E(ωj)Kn-ω2M)U＝0 (22)
采用逆迭代法修正特征向量，最终获得结构的特征频率ω与修正后的特征向量U。
2.根据权利要求1所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，所述结构由弹性材料和频率相关性材料两种材料组成。
3.根据权利要求2所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，在获得所述两种材料对应的总体刚度矩阵和所述结构的总体质量矩阵之前，包括：确定待设计结构并划分网络，定义拓扑优化的设计域和设计变量。
4.根据权利要求1所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，所述根据实际工况添加边界条件，获得所述结构中弹性材料对应的总体刚度矩阵、频率相关性材料对应的总体刚度矩阵和所述结构的总体质量矩阵包括：根据实际工况添加边界条件，获得所述结构中弹性材料对应的单元刚度矩阵、频率相关性材料对应的单元刚度矩阵和所述结构的单元质量矩阵；采用SIMP插值格式组装建立所述两种材料对应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵。
5.根据权利要求1所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，所述基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量包括：
基于所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法求解所述非线性特征值方程，并基于Faàdi Bruno's定理推导出任意粘弹性模型对摄动系数的高阶导数，通过二分法建立摄动参数的连续化递进策略，建立满足优化迭代所需的求解方法，通过求解得到结构的特征频率与特征向量；
将求解得到的特征频率再次代入所述非线性特征方程中，采用逆迭代法对特征向量进行修正，得到结构特征频率和修正后的特征向量。
6.根据权利要求1所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，所述获得所述结构的特征频率和修正后的特征向量后，用于求解特征频率的敏度，集成到拓扑优化列式中，采用MMA算法对拓扑优化模型中的设计变量进行迭代更新，完成对结构的优化设计。
7.根据权利要求1所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法，其特征在于，所述拓扑优化模型的建立包括：采用“边值模型”和“鲁棒性列式”，建立考虑频率相关性材料的结构拓扑优化模型。
8.考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化系统，其特征在于，包括：
矩阵获取模块，其被配置为：根据实际工况对结构划分网格并添加边界条件，通过有限元分析，获得所述结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵；
结构特征频率和修正后的特征向量获取模块，其被配置为：基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构建非线性特征值方程，采用连续化渐近数值方法和逆迭代法求解非线性特征值方程，获得结构特征频率和修正后的特征向量；
材料用量获得模块，其被配置为：以结构的基频最大化为目标，满足体积约束为约束条件，结合结构特征频率和修正后的特征向量，建立拓扑优化模型，将含频率相关性材料结构的材料组分输入模型，通过拓扑优化，得到符合要求的材料用量；
根据得到的总体刚度阵K(0)，Kn和总体质量阵M，求解结构特征值ω2和特征向量U，计算步骤为：
基于结构中相应的总体刚度矩阵和总体质量矩阵构造非线性特征方程：
(K(0)+E(ω)Kn-ω2M)U＝0 (1)
利用连续化渐进数值方法引入一个小量ε进行连续化处理，得到摄动特征方程：
Figure FDA0003719592100000071
其中，ε0是初始值，Δε为摄动变量，E(ω)为频率相关性材料的弹性模量；
采用摄动展开理论，将特征向量U，特征频率ω与特征值p＝ω2以截断幂级数的形式展开可得：
Figure FDA0003719592100000081
其中，(U0,ω0,p0)分别是上一步ε＝ε0时得到的特征向量、特征频率与特征值的初始解，(Uj,ωj,pj)代表下一步待求的未知解；N是摄动展开阶数；
同理，利用相同的方法摄动展开频率相关性材料的弹性模量：
Figure FDA0003719592100000082
其中，E0＝E(ω0)，Ej是摄动展开的第j项；
将公式(3)和(4)带入公式(2)，依据同阶幂级数Δεj前的系数对应相等可得：
(1)(Δε)0阶问题(j＝0)：
Figure FDA0003719592100000083
(2)(Δε)j阶问题(j≥1)：
Figure FDA0003719592100000084
为保证公式(6)有解，需满足：
(Fj)TU0＝0 (7)
联立公式(6)与公式(7)可得：
Figure FDA0003719592100000091
欲求pj，需知Ej,将E(ω(Δε))在Δε＝0处n阶泰勒展开可得：
Figure FDA0003719592100000092
其中，
Figure FDA0003719592100000093
表示E(ω)对Δε的j阶导数，并且可以根据Faàdi Bruno's定理写成如下形式：
Figure FDA0003719592100000094
其中，
Figure FDA0003719592100000095
代表E(ω)对ω的k阶导数，Bj,i代表部分贝尔多项式，其表达式如下所示：
Figure FDA0003719592100000096
其中，
Figure FDA0003719592100000097
代表ω对Δε的i阶导数，其表达式为：
Figure FDA0003719592100000098
结合公式(4)与公式(9)，依据同阶幂级数(Δε)j前的系数对应相等可得：
Figure FDA0003719592100000099
其中，Ej在公式(8)里是未知的，由公式(13)可知Ej与ωj线性相关，而pj与ωj的关系式为：
Figure FDA0003719592100000101
显然，pj与ωj线性相关，因此Ej与pj线性相关，其关系式为：
Ej＝apj+b (15)
将公式(15)代入公式(8)可得：
Figure FDA0003719592100000102
其中，参数a和b的关系式为：
Figure FDA0003719592100000103
至此，pj便可求解；
为保证公式(6)解的唯一性，我们定义:
(Uj)TU0＝0 (18)
因此，公式(6)可以写为如下矩阵形式：
Figure FDA0003719592100000104
其中，k为拉格朗日乘子；
最终，我们得到非线性特征方程(2)的解为：
Figure FDA0003719592100000111
将公式(20)的代入相对误差评价公式：
Figure FDA0003719592100000112
采用二分法建立摄动参数的连续化递进策略，当R(Δε)＜10-3时认为已经获得精确解；
将获得的特征频率带入非线性特征方程(1)：
(K(0)+E(ωj)Kn-ω2M)U＝0 (22)
采用逆迭代法修正特征向量，最终获得结构的特征频率ω与修正后的特征向量U。
9.一种计算机可读存储介质，其上存储有计算机程序，其特征在于，该程序被处理器执行时实现如权利要求1-7中任一项所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法中的步骤。
10.一种计算机设备，包括存储器、处理器及存储在存储器上并可在处理器上运行的计算机程序，其特征在于，所述处理器执行所述程序时实现如权利要求1-7中任一项所述的考虑频率相关性材料的非线性特征值拓扑优化方法中的步骤。
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