CN113779802A - 基于无网格efgm和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，利用形函数一致性建立EFGM‑IGA耦合总体刚度矩阵，步骤为：(1)根据等几何分析方法建模，得到离散点信息；(2)根据一致性条件、无网格EFGM形函数与IGA基函数计算EFGM‑IGA耦合方法的形函数；(3)根据SIMP材料插值模型求各离散点的相对密度；(4)遍寻设计域内所有高斯点并计算其相对密度、几何矩阵、EFGM‑IGA耦合子刚度矩阵；(5)组装EFGM‑IGA耦合总体刚度矩阵；(6)建立拓扑优化数学模型，并用OC法编程求解。本发明基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法进行结构拓扑优化，结果精确，收敛稳定，计算效率高。
Description
技术领域
本发明属于计算机辅助工程中的优化设计领域，具体涉及一种基于无网格伽辽金法 (Element-free Galerkin Method，EFGM)和等几何分析(Iso-Geometric Analysis，IGA)耦合方法的结构拓扑优化技术。
背景技术
无网格方法是一种以任意分布的节点构造插值函数并离散控制方程来模拟各种复杂形状结构的物理场的数值计算方法；无网格方法的主要优点是将整个设计域离散为场节点的形式表示，而形函数构建不用考虑网格，可以避免因网格扭曲或畸变带来的计算不收敛等问题，在拓扑优化中还可有效抑制网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象，同时使得当对局部区域需要更高的计算精度时可以通过添加额外的场节点从而在计算域上更加灵活的实现局部细化，具有很强的自适应能力；目前已有很多种不同形态的无网格方法，包括：光滑质点流体动力学法(Smoothed Particle Hydro-dynamics Method，SPH)，无网格Galerkin法(Element-free Galerkin Method，EFGM)，重构核粒子法(Reproducing KernelParticle Method，RKPM)，无网格局部Petrov-Galerkin法(Meshless Local Petrov-Galerkin Method，MLPG)等；其中无网格 EFGM是众多无网格方法中相对成熟的一种，它具有其它无网格方法所不具备的计算稳定性和高精度的优势，其应用领域也更加广阔；但一方面其计算过程耗时较长，计算效率较低；另一方面在计算具有复杂曲面边界的力学问题时，其离散模型与几何模型并不完全一致，吻合程度较差，直接影响结果的计算精度。
集成计算机辅助设计和计算机辅助工程的等几何分析(IGA)方法采用非均匀有理B样条(Non-uniform rational B-spline，NURBS)基函数来精确表示几何形状和近似位移场；对于IGA 方法，可以近似为在物理空间和参数空间中处理；等几何分析方法使得CAD建模工具和数值分析方法结合起来，其几何模型与离散模型的表述相互统一，弥补了几何模型与离散模型之间的差异缺陷，计算效率与分析精度都得以大幅提高；然而，由于张量积的存在，利用NURBS 基函数很难实现局部细化；尽管Goswami S开发了t样条并将其应用于IGA方法，以提高局部细化的灵活性并解决修剪曲面问题，但具体操作过程仍然比较繁琐困难。
结构拓扑优化是结构在承受一定的外载荷与约束条件下，确定结构设计域内的材料分布情况或最佳传力路径，从而使结构的某种性能指标达到最优。在结构拓扑优化中，由于无网格EFMG只需离散节点的信息，无需满足网格的协调性要求，具有局部精细化的灵活性优点，而IGA方法具有精确的几何形状描述和高阶近似的特性，将无网格EFMG与IGA方法两种方法耦合起来，充分发挥两者的优势，既可以避免出现网格扭曲或畸变问题，又能抑制网格依赖性和棋盘格等数值不稳定现象，还可以精确描述复杂几何曲面边界，保证离散模型和几何模型的一致性，大幅提高计算效率与分析精度，因此，将无网格EFGM和等几何分析方法耦合起来具有重要的科学意义和应用价值。
发明内容
为了解决仅利用无网格EFGM进行结构拓扑优化所导致的计算效率较低和仅依靠IGA 方法进行结构拓扑优化所产生的网格依赖性问题，本发明提出一种基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，将初始设计域划分成无网格EFGM设计域、等几何分析设计域两个设计域，并构建无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域三个计算区域；根据变密度法中的各向同性材料惩罚模型(Solid Isotropic Material withPenalization Model，SIMP)引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料；为便于描述，将无网格EFGM区域的节点、等几何分析区域的控制点、EFGM-IGA耦合区域的节点/控制点三者统称为设计域内的离散点；选择离散点的相对密度作为设计变量，并构造相对密度场，以最小结构柔度作为拓扑优化的目标函数，以结构体积为约束条件，建立基于无网格EFGM 和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化数学模型，并根据耦合算法和优化方法编写计算机程序得到不同载荷和约束条件下的最优拓扑结构。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，该技术基于无网格EFGM形函数和IGA基函数的再生条件，从而计算出基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的形函数，并通过相应的形函数和位移场的求解方程计算位移场变量的耦合近似：
式中，uh(x)是位移场变量的耦合近似，φI(ξ)是基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的形函数，称为EFGM-IGA耦合方法的形函数；ψI(ξ)是无网格EFGM形函数；
是无网格EFGM修正形函数；RI(ξ)是NURBS基函数，称为IGA基函数，当使用均匀权重时，它与B样条基相同；
称为EFGM-IGA耦合形函数；NC，NP和N分别是相对应形函数的数量；在耦合分析中，将设计域构建成无网格EFGM区域、等几何分析区域、 EFGM-IGA耦合区域三个计算区域，并分别用ΩEFG、ΩIGA和ΩCP表示；为了保证计算收敛， EFGM-IGA耦合区域形函数需要满足下列一致性条件：
因此，得到EFGM-IGA耦合区域的无网格EFGM修正形函数：
其中，
本发明所述技术方案的具体实施步骤如下：
(1)根据实际工程中结构的几何特征和性能要求，首先将初始设计域划分成两个设计域：无网格EFGM设计域、等几何分析设计域，给定体积约束和初始离散点的相对密度，输入材料的泊松比和弹性模量，用等几何分析方法中的NURBS样条曲面构建整个初始设计域的控制点与单元信息，并计算整个初始设计域的高斯点信息和IGA基函数信息，将无网格EFGM设计域内的控制点与单元信息作为该设计域内的无网格EFGM节点信息和积分背景网格，将等几何分析设计域内的控制点与单元信息作为该设计域内的等几何分析控制点信息和单元信息；同时分别引入无网格EFGM设计域的边界条件和等几何分析设计域的边界条件，设定结构拓扑优化设计的迭代终止条件；
(2)构建三个计算区域：无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域，为便于描述，将无网格EFGM区域的节点、等几何分析区域的控制点、EFGM-IGA耦合区域的节点/控制点三者统称为设计域内的离散点；并结合无网格EFGM理论、等几何分析方法和SIMP材料插值模型，计算和组装基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的刚度矩阵，即 EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵：(a)无网格EFGM区域计算，根据节点和高斯点坐标计算各高斯点与各节点之间的距离并按照从小到大的顺序排序，取排序为9～12之间的距离为该高斯点的动态影响域半径，影响域可以是矩形影响域也可以是圆形影响域，逐步搜索无网格EFGM 设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其无网格EFGM形函数，当高斯点影响域内的节点完全位于无网格EFGM设计域内，则这部分高斯点称为无网格EFGM区域的高斯点，同时这部分节点所对应的无网格EFGM形函数则为无网格EFGM区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(b)等几何分析区域计算，逐步搜索等几何分析设计域内各高斯点所在单元的控制点并计算其IGA基函数，当等几何分析设计域内的高斯点所在单元的控制点完全位于等几何分析设计域内，则这部分高斯点称为等几何分析区域的高斯点，同时这部分控制点所对应的等几何分析基函数作为等几何分析区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(c)EFGM-IGA耦合区域计算，根据(a)和(b)的计算结果，当无网格EFGM设计域内高斯点影响域内的节点落到等几何分析设计域内时或者当等几何分析设计域内的高斯点所在单元的控制点落到无网格 EFGM设计域内，则这部分高斯点称为EFGM-IGA耦合区域的高斯点，从而确定EFGM-IGA 耦合区域范围，并计算对应的无网格EFGM修正形函数和等几何分析基函数，从而得到对应节点/控制点的EFGM-IGA耦合形函数，同时将其作为EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(d)根据SIMP材料插值模型通过离散点的相对密度与其相对应的 EFGM-IGA耦合方法的形函数计算高斯点的相对密度；(e)根据输入的材料泊松比和弹性模量建立该材料各高斯点的弹性矩阵；(f)建立各高斯点基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的几何矩阵，称为EFGM-IGA耦合几何矩阵，并据此计算无网格EFGM区域内的无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合区域内的EFGM-IGA耦合子刚度矩阵和等几何分析区域内的IGA子刚度矩阵；(g)组建整体设计域内的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵；
(3)基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法计算结构的位移场：(a)根据初始设计域内载荷分布，求离散点的等效载荷分布矩阵；(b)输入初始设计域边界高斯点信息并采用罚函数法施加位移约束条件；(c)建立离散控制方程，并求解初始设计域内离散点的位移参数值；(d)逐步搜索无网格EFGM设计域内物理空间节点与等几何分析设计域内参数空间节点信息，并分别寻找无网格EFGM设计域内节点影响域内的节点和等几何分析设计域内的控制点所在单元的控制点，同时根据(2)中的方法计算对应离散点的EFGM-IGA耦合方法的形函数，结合各个离散点处的位移参数值计算离散点的位移值；(e)输出初始设计域的位移值、位移参数值和 EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；
(4)建立基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化数学模型，并采用伴随分析法求解结构拓扑优化模型中无网格EFGM区域、等几何分析区域和EFGM-IGA耦合区域内的结构柔度目标函数和体积约束函数的灵敏度分别为：
式中，Us为节点的位移参数值向量，ψI(x)是以节点为计算点的无网格EFGM形函数，V为优化设计后设计域的总体积，KEFG为无网格EFGM子刚度矩阵，P为惩罚因子，P的值取3，ρI为设计域物理空间内节点的密度值，其中无网格EFGM子刚度矩阵为
式中ψI(ξ)是无网格EFGM形函数；其中，U为离散点的位移向量，φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数，KCP为EFGM-IGA耦合子刚度矩阵，其中EFGM-IGA耦合子刚度矩阵为
为单元面积，Re(ξ) 是以单元中心点坐标作为计算点的IGA基函数，Ne是等几何区域的单元总数；KIGA为IGA 子刚度矩阵，其中IGA子刚度矩阵为
式中RI(ξ)是等几何分析基函数；
具体步骤为：(a)遍寻高斯点搜索影响其的离散点并计算对应离散点的EFGM-IGA耦合方法的形函数及其偏导数，根据SIMP材料插值模型计算高斯点的相对密度；(b)求解整个初始设计域的总体积、结构柔度、EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；(c)输出初始设计域的结构柔度、总体积、EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；
(5)根据优化准则(Optimal Criteria，OC)法编写程序，并更新设计变量：输入当前离散点的相对密度，根据OC法更新离散点的相对密度并求更新后的设计域的总体积，并由更新前后的总体积差来设定新的插值点以判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的离散点的相对密度并依据OC法继续迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的离散点的相对密度；
(6)计算(5)中输入和输出时各对应离散点的相对密度差并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的离散点的相对密度反馈到(2)以重新迭代，若满足迭代终止条件则迭代终止；
(7)输出基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
本发明的有益效果是：本发明避免了单纯基于无网格EFGM的拓扑优化技术所面临的离散模型和几何模型吻合程度较差以及计算效率低的问题，也避免了单纯基于等几何分析的拓扑优化技术所面临的网格局部细化困难和网格依赖性的问题，能更高效更灵活地处理设计域且拓扑结构具有更高的可靠性；本发明选择将与等几何分析建模所生成控制点坐标相同的离散点的相对密度作为设计变量，避免了采用高斯点的相对密度作为设计变量时所造成的数值不稳定性，无需敏度过滤技术且优化流程更简单；本发明通过形函数的一致性计算 EFGM-IGA耦合方法的形函数，提高了计算精度和计算效率，保证了无网格EFGM与等几何分析耦合方法的收敛性，自适应能力强，能简单方便地对整个设计域进行拓扑优化设计，不会出现棋盘格和中间密度等数值不稳定性现象；本发明还可进一步用于处理带裂纹的结构拓扑优化问题，能与工程实践紧密结合，具有很好的理论研究和工程应用价值。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。
图1是本发明设计域参数空间内的等几何分析基函数的分布规律
图2是本发明设计域参数空间内的无网格EFGM形函数的分布规律
图3是本发明设计域参数空间内的EFGM-IGA耦合方法的形函数的分布规律
图4是本发明基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化流程框图
图5是本发明实施例的设计域示意图
图6是本发明实施例耦合方案1示意图，左侧为等几何分析区域，右侧为无网格EFGM区域，中间为EFGM-IGA耦合区域
图7是本发明实施例耦合方案2示意图，下侧为等几何分析区域，上侧为无网格EFGM区域，中间为EFGM-IGA耦合区域
图8是本发明实施例耦合方案3示意图，自左至右分别为等几何分析区域，EFGM-IGA耦合区域，无网格EFGM区域，EFGM-IGA耦合区域，等几何分析区域
图9是本发明实施例耦合方案4示意图，自左至右分别为无网格EFGM区域，EFGM-IGA耦合区域，等几何分析区域，EFGM-IGA耦合区域，无网格EFGM区域
图10是本实施例中耦合方案1下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构
图11是本实施例中耦合方案2下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构
图12是本实施例中耦合方案3下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构
图13是本实施例中耦合方案4下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构
具体实施方式
参见图1到图4，基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术主要包括如下步骤：
首先，根据等几何分析方法中的NURBS样条曲面对整个初始设计域进行建模分析，得到控制点信息与单元信息，并以此计算出初始设计域所对应的IGA基函数与物理空间内的高斯点，以求解出的高斯点作为无网格EFGM设计域的计算点，控制点作为无网格EFGM设计域的节点，计算出无网格EFGM设计域的无网格EFGM形函数；构建三个计算区域：无网格EFGM 区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域，为便于描述，将无网格EFGM区域的节点、等几何分析区域的控制点、EFGM-IGA耦合区域的节点/控制点统称为设计域内的离散点；根据形函数的一致性条件，对初始设计域内高斯点对应的EFGM-IGA耦合方法的形函数进行求解：
式中，φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数；ψI(ξ)是无网格EFGM形函数，
是无网格EFGM修正形函数；RI(ξ)是IGA基函数；
是EFGM-IGA耦合形函数；NC， NP和N分别是相对应形函数的数量，为了保证计算收敛，EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA 耦合形函数需要满足一致性条件：
从而得到EFGM-IGA耦合区域的无网格EFGM修正形函数：
其中，
式中，当
中的上标l为1时，
为ξi+1，ξ为参数空间内的任意计算点，
为权系数。
其次，结合无网格EFGM理论和等几何分析方法，并根据SIMP材料插值模型引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料，同时选择设计域中离散点的相对密度作为设计变量来构造相对密度场；SIMP材料插值模型为
式中，E(x)是插值处理后的弹性模量，E0是给定固体材料的弹性模量，P为基于SIMP模型的材料惩罚因子；ρg(x)为物理空间内的任意高斯点的相对密度，其由周围影响它的离散点的相对密度插值得到，即
式中，ρI为第I个离散点的相对密度；φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数；N为影响对应高斯点的离散点的数量。
最后，基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法计算结构的位移场，并选择结构的最小结构柔度为拓扑优化目标函数，以结构的总体积为约束条件，建立基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化数学模型为
式中，KEFG，KCP和KIGA分别为无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合子刚度矩阵和等几何分析子刚度矩阵，Kα为EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵施加边界条件的惩罚项，U为 EFGM-IGA耦合总体位移值列向量，F为EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量，V0和V分别为优化前后设计域内材料的体积，μ为体积分数，NS为离散点的总数；采用伴随分析法求解整体结构拓扑优化模型中EFGM-IGA耦合总体结构柔度目标函数的灵敏度和EFGM-IGA耦合总体体积约束函数的灵敏度，并通过采用OC法对所描述优化问题的数学模型求解即可求得所需的基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
参见图2，基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术的具体步骤如下：
(1)根据实际工程中结构要求，运用等几何分析方法中的NURBS样条曲面建立模型，得到设计域的离散点与单元信息，划分设计域为无网格EFGM设计域和等几何分析设计域，确定体积约束与离散点的初始相对密度，导入材料属性信息与边界高斯点信息，求解物理空间高斯点信息与IGA基函数，同时设定拓扑结构优化设计的迭代终止条件；
IGA基函数的公式如下：
其中，Ni,p(u)为p阶第i节点对u坐标的一维B样条曲线值，ξ是任意计算点的坐标变量，ξi+1是参数空间内第i+1个节点的坐标变量，
为控制点Pi,j处的IGA基函数值，Nj,q(v)为q 阶第j个节点在v坐标上的一维B样条曲线值；
(2)构建三个计算区域：无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域；并结合无网格EFGM理论、等几何分析方法，根据SIMP材料插值模型建立设计域内的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵，具体步骤如下：
(2.1)对于无网格EFGM区域，根据物理空间内的节点和高斯点的坐标信息计算各高斯点与各个节点之间的距离并按照从小到大的顺序排序，取排序为9～12之间的距离为该高斯点的动态影响域半径，当高斯点影响域内的节点完全位于无网格EFGM设计域内，则称这部分高斯点为无网格EFGM区域的高斯点，同时这部分节点所对应的无网格EFGM形函数则为无网格 EFGM区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；无网格EFGM形函数的计算如下：
假设节点处的函数值已知，通过最小二乘构造则可以得到近似的场函数表达式为
pT(x)＝[1,x,y] (20)
式中pT(x)是无网格EFGM的基向量，x表示物理空间内的任意计算点，xI表示物理空间内的第I个节点，m是基向量的项数，此处取3，与真实位移的误差为
要使得误差最小，即要满足下式
由此可以求出
B(x)＝[w(x-x1)p(x1),w(x-x2)p(x2),...,w(x-xNP)p(xNP)] (24)
其中w(x-xI)是权函数，因此可以求出无网格EFGM形函数为
a(x)＝A-1(x)B(x)d (25)
Ψ(x,xI)＝pT(x)A-1(x)B(x) (26)
式中，Ψ(x,xI)＝[ψ1(ξ),ψ2(ξ),...,ψNP(ξ)]称为无网格EFGM形函数矩阵；
(2.2)当等几何分析设计域内的高斯点所在单元的控制点完全位于等几何分析设计域内，则这部分高斯点称为等几何分析区域的高斯点，同时这部分控制点所对应的等几何分析基函数作为等几何分析区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；当无网格EFGM区域内高斯点影响域内的节点落到等几何区域内时或者当等几何分析区域内的高斯点所在单元的控制点落到无网格EFGM区域内，则这部分高斯点称为EFGM-IGA耦合区域的高斯点，从而确定EFGM-IGA 耦合区域范围，并通过一致性条件计算对应的无网格EFGM修正形函数与等几何分析基函数，从而得到对应节点/控制点的EFGM-IGA耦合形函数，同时将其作为EFGM-IGA耦合区域的 EFGM-IGA耦合方法的形函数；从而计算出初始设计域内的EFGM-IGA耦合方法的形函数；
(2.3)根据SIMP材料插值模型通过EFGM-IGA耦合形函数和离散点的相对密度与其相对应的 EFGM-IGA耦合方法的形函数计算各高斯点处的相对密度；
(2.4)通过分别计算IGA基函数、无网格EFGM形函数、EFGM-IGA耦合形函数对物理坐标系的偏导，从而得到各高斯点的EFGM-IGA耦合几何矩阵；
(2.5)计算无网格EFGM区域内的无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合区域内的EFGM-IGA耦合子刚度矩阵与等几何分析区域内的IGA子刚度矩阵；
(2.6)组建设计域内的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵；
(3)基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法计算结构的位移场：物理空间内的任意计算点x 处的位移场uh(x)可由影响其值的离散点处位移dI拟合出来
式中，
是无网格EFGM修正形函数；RI(ξ)是IGA基函数；φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数；
采用罚函数法处理本质边界条件，得修正泛函数
式中，α称为罚因子，一般取10e5～10e7；经整理，得平面弹性问题的总体离散控制方程
(KEFG+KCP+KIGA+Kα)U＝F (29)
式中，KEFG，KCP和KIGA分别为无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合子刚度矩阵和等几何分析子刚度矩阵，Kα为EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵施加边界条件的惩罚项，U为 EFGM-IGA耦合总体位移值列向量，F为EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；其中EFGM-IGA 耦合总体刚度矩阵的惩罚项Kα和EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量，分别为
其中，ΦI＝[φ1(ξ),φ2(ξ),...,φN(ξ)]为EFGM-IGA耦合方法的形函数矩阵；
基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法计算结构位移场的详细步骤如下：
(3.1)根据设计域内的受外力情况：当受均布力作用时，找到均布力所施加的区域内的高斯点，求影响高斯点的离散点所对应的EFGM-IGA耦合方法的形函数，通过EFGM-IGA耦合方法的形函数将力分配施加在每个离散点上，并组装为设计域EFGM-IGA耦合均布力载荷列向量；当受到集中力时，根据力施加的坐标计算影响其的离散点EFGM-IGA耦合方法的形函数，从而将力通过EFGM-IGA耦合形函数分配到周围离散点上，并组装为设计域EFGM-IGA耦合集中力载荷列向量；
(3.2)采用罚函数法施加位移约束的本质边界：输入设计域需要施加约束条件的边界离散点信息并求解其上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索影响其的离散点，并根据形函数一致性条件计算其EFGM-IGA耦合方法的形函数，然后将各个离散点上的位移值和其对应离散点的EFGM-IGA耦合方法的形函数、罚因子的乘积作为该离散点的力载荷施加量并组装成 EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量的惩罚项，同时将各个离散点之间的EFGM-IGA耦合形函数乘积与罚因子相乘以作为本质边界的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵的惩罚项；
(3.3)将(3.1)中力的EFGM-IGA耦合均布力载荷列向量、EFGM-IGA耦合集中力载荷列向量与(3.2)中的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量惩罚项叠加以组装成EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量，并根据(2.6)中计算的离散点EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵和(3.2)中计算的 EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵的惩罚项建立结构的总体控制方程，从而求解设计域内离散点的位移参数值；
(3.4)逐步搜索无网格EFGM设计域内物理空间节点与IGA设计域内参数空间控制点信息，并寻找影响其的离散点求对应离散点的EFGM-IGA耦合方法的形函数，结合各个离散点处的位移参数值求离散点的位移值；
(3.5)输出基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的离散点位移值、位移参数值和整体 EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；
(4)建立基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化数学模型，并采用伴随分析法分别求解无网格EFGM区域结构拓扑优化模型、等几何分析区域结构拓扑优化模型和 EFGM-IGA耦合区域结构拓扑优化模型中结构柔度目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度，分别关于离散点相对密度求导，可得无网格EFGM区域、等几何分析区域和EFGM-IGA 耦合区域内的结构柔度目标函数和体积约束函数的灵敏度分别为
式中，Us为离散点位移参数值向量，ψI(ξ)是无网格EFGM形函数，ψI(x)是以节点为计算点的无网格EFGM形函数，Re(ξ)是以单元中心点坐标作为计算点的IGA基函数，φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数，RI(ξ)是等几何分析基函数，V为优化设计后设计域的总体积，Ne是等几何区域的单元总数，其中，无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合子刚度矩阵和等几何分析子刚度矩阵分别为
求解结构柔度目标函数和体积约束函数的灵敏度的具体步骤如下：
(4.1)循环设计域内所有高斯点，搜索影响每个高斯点的离散点并求其对应的EFGM-IGA耦合方法的形函数及其偏导数，并根据SIMP材料插值模型求其离散点的相对密度，等几何分析基函数偏导的计算公式如下：
(4.2)根据离散点的相对密度的大小和设计域内的高斯点信息计算当前设计域的总体积，并结合(3.5)所输出的设计域的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量和位移参数值计算设计域的结构柔度；
(4.3)根据(3.5)中输出的位移参数值和公式(32)和公式(33)分别计算无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域的离散点的结构柔度目标函数和体积约束函数的灵敏度，并将其组装成EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；
(4.4)输出整体设计域的结构柔度、总体积、EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和 EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；
(5)根据OC法更新设计变量，为避免计算中出现奇异矩阵，取离散点的相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρmax＝1，并取移动极限常数mov＝0.02，数值阻尼系数η＝0.5，具体步骤如下：
(5.1)输入初始离散点的相对密度，根据OC法更新离散点的相对密度并求更新后的设计域的总体积；
(5.2)判断离散点的相对密度更新前后的设计域的总体积差是否大于零，从而通过二分法设定新的插值计算点；
(5.3)根据新的插值计算点的信息判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的相对密度回代 (5.1)重新迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的离散点的相对密度；
(6)计算(5)中输入和输出时各对应离散点的最大相对密度差，将其的大小与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的离散点的相对密度反馈到(2)以重新计算，若满足迭代终止条件则迭代终止；
(7)输出基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
下面是本发明方法应用于工程实践的一个实例：
参见图5，本实施例是长度L为48m，宽度D为10m的悬臂梁，材料的弹性模量为 E＝0.75×1011Pa，泊松比为ν＝0.3；悬臂梁的左侧为全约束，右侧中心受向下的集中力作用 P＝1.2×103N；体积约束为50％，材料惩罚因子取3，罚函数法中的罚因子取1e6；整个拓扑结构优化设计域通过等几何分析方法由9541个控制点和9045个单元离散；分别计算了四种耦合方案下的最佳优化结构，分别时如图6所示的耦合方案1，如图7所示的耦合方案2，如图8所示的耦合方案3以及如图9所示的耦合方案4；本发明针对该实例的具体实施步骤如下：
(a)导入离散点坐标与节点向量，运用等几何分析中的NURBS样条曲面细化计算出控制点信息，包括坐标、控制点编号、控制点数，和单元信息，并将其信息作为离散点的信息，导入体积约束、初始离散点的相对密度和材料属性，包括弹性模量和泊松比、材料插值模型中的材料惩罚因子和本质边界施加中罚函数法的罚因子、无网格EFGM中的影响域内节点数，当 x与y的节点向量均为2次时则取9、影响域尺寸因子，通常取1.5、力载荷坐标，根据控制点确定边界高斯点与整体设计域内的高斯点信息，包括等几何分析设计域的高斯点参数空间坐标，无网格EFGM设计域的高斯点物理空间坐标，高斯点对应的权重，高斯点对应的雅可比值；等几何分析设计域内对应高斯点的等几何分析基函数与基函数偏导，当等几何分析设计域内的高斯点所在单元的离散点完全位于等几何分析设计域内，则将这部分离散点所对应的等几何分析基函数作为等几何分析区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；设定迭代终止条件，即当离散点的相对密度更新前后最大改变值小于0.01时迭代自动收敛；
(b)根据(a)中输入的离散点与高斯点坐标、影响域内节点数以及影响域尺寸因子，将无网格 EFGM设计域的离散点坐标作为无网格EFGM设计域的节点坐标，通过离散点与高斯点距离排序筛选，找到影响高斯点的离散点，当这部分离散点完全位于无网格EFGM设计域内，则将这部分离散点所对应的无网格EFGM形函数及其偏导作为无网格EFGM区域的EFGM-IGA 耦合方法的形函数及其偏导；
(c)根据(a)中求得的等几何分析基函数及其偏导与(b)中求得的无网格EFGM形函数及其偏导，当无网格EFGM区域内高斯点影响域内的节点落到等几何区域内时或者当等几何分析区域内的高斯点所在单元的控制点落到无网格EFGM区域内，则称这部分高斯点为EFGM-IGA 耦合区域的高斯点，从而确定EFGM-IGA耦合区域范围，并计算对应的无网格EFGM修正形函数与等几何分析基函数，从而得到对应节点/控制点的EFGM-IGA耦合形函数，同时将其作为EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数，并求出其对应的EFGM-IGA 耦合方法的形函数及其偏导；
(d)根据SIMP材料插值模型，通过(a)输入的离散点的相对密度与(c)中求得的EFGM-IGA耦合方法的形函数插值处理可得到高斯点的相对密度；
(e)通过(c)和(d)计算无网格EFGM区域内的无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合区域内的EFGM-IGA耦合子刚度矩阵与等几何分析区域内的IGA子刚度矩阵，并组建设计域内的EFGM-IGA总体刚度矩阵；
(f)通过(a)中得到的位移边界高斯点信息及离散点信息，可找到影响对应高斯点的离散点编号，并计算其对应的EFGM-IGA耦合方法的形函数，将其与罚因子相乘作为EFGM-IGA耦合力载荷列向量的惩罚项，各个离散点之间的EFGM-IGA耦合方法的形函数乘积与罚因子相乘以作为EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵的本质边界惩罚项；
(g)通过(a)中输入的集中力载荷坐标，找到影响其的离散点并计算对应EFGM-IGA耦合方法的形函数，将其与力载荷大小相乘作为EFGM-IGA耦合集中力载荷列向量；
(h)将(f)中的EFGM-IGA耦合集中力载荷列向量的惩罚项、(g)中的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量组装成整体EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；输出(e)中的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵、(f)中的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵的本质边界惩罚项；
(i)根据无网格EFGM与等几何分析耦合方法和离散控制方程计算整体设计域内离散点的位移参数值；
(j)逐步搜索无网格EFGM设计域内物理空间节点与等几何分析设计域内参数空间控制点信息，并寻找影响其的离散点求对应离散点的EFGM-IGA耦合方法的形函数，结合各个离散点处的位移参数值求离散点的位移值；
(k)输出整个设计域内离散点的位移值、位移参数值和EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；
(l)建立基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化问题的数学模型，并根据(c) 中求得的EFGM-IGA耦合方法的形函数及其偏导与SIMP材料插值模型求得其离散点的相对密度及设计域总体积，并根据(k)所输出的设计域的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量、位移参数值分别求得等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域、无网格EFGM区域的结构柔度和设计域总体积；
(m)根据(c)中求得的EFGM-IGA耦合方法的形函数及其偏导、(k)所求得的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量、位移参数值与位移值，并结合伴随矩阵法可分别求得等几何分析区域、 EFGM-IGA耦合区域、无网格EFGM区域的EFGM-IGA耦合结构柔度灵敏度和EFGM-IGA耦合体积灵敏度；
(n)输出设计域的结构柔度、总体积、EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA 耦合总体体积灵敏度矩阵；
(o)根据OC法更新设计变量，即离散点的相对密度，其中，取离散点的相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρ＝1，移动极限常数mov＝0.02，数值阻尼系数η＝0.5；
(p)计算(o)中离散点的相对密度更新前后的绝对差，判断最大绝对值是否小于0.01，若大于 0.01则将(o)中更新后的离散点的的相对密度返回(d)以重新迭代，若小于0.01则迭代终止；
(q)输出基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
图10-图13是本实施例的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构，其中图10为耦合方案1下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构，图11为耦合方案2下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构，图12为耦合方案3下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构，图13为耦合方案4 下的基于无网格EFGM与等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
虽然参考本实施例对本发明进行了详细描述，但以上所述并不限定本发明的保护范围，任何依据本发明思路下的修改和改进等，均视为本发明保护范围。
Claims (4)
1.基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，其特征在于包括以下步骤：
(1)根据实际工程的结构要求，通常将复杂曲面边界的部分划分为等几何分析设计域，充分发挥等几何分析离散模型与几何模型相一致的优势，内部需要精确计算的部分划分为无网格EFGM设计域；采用等几何分析方法构建模型，得到控制点与单元信息，确定无网格EFGM结构设计域和等几何分析结构设计域；将无网格EFGM设计域的控制点坐标作为无网格EFGM设计域的节点坐标；给定体积约束与初始离散点的相对密度，导入材料属性信息与边界高斯点信息，求解物理空间高斯点信息与等几何分析基函数，同时设定拓扑结构优化设计的迭代终止条件；
(2)构建三个计算区域：无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域，为便于描述，将无网格EFGM区域的节点、等几何分析区域的控制点、EFGM-IGA耦合区域的节点/控制点三者统称为设计域内的离散点；并根据无网格EFGM理论、等几何分析方法与形函数一致性要求，分别求取无网格EFGM区域的无网格EFGM形函数、等几何分析区域的等几何分析基函数、EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA耦合形函数，这三者统称为EFGM-IGA耦合方法的形函数，其计算公式为
其中：ΩEFG、ΩIGA和ΩCP分别表示无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域；φI(ξ)是EFGM-IGA耦合方法的形函数，ψI(ξ)是无网格EFGM形函数，Ψ(x,xI)＝[ψ1(ξ),ψ2(ξ),...,ψNP(ξ)]，Ψ(x,xI)称为无网格EFGM形函数矩阵，它的计算公式为Ψ(x,xI)＝pT(x)A-1(x)B(x)，NP是影响域内无网格EFGM形函数的数量，A(x)和B(x)是系数矩阵，计算公式分别可以表示为
B(x)＝[w(x-x1)p(x1),w(x-x2)p(x2),...,w(x-xNP)p(xNP)]，w(x-xI)是权函数，pT(x)是无网格EFGM的基向量，其中x是物理空间内的任意计算点，xI是物理空间内的第I个节点；RI(ξ)是IGA基函数，当取控制点Pi,j，参数空间内的任意计算点ξ坐标为(u,v)时，其计算公式为
其中Ni,p(u)为p阶第i个节点在u坐标上的一维B样条曲线值，
ωij为非均匀B样条曲线的控制点Pi,j处的权重，式中ξ是任意计算点的坐标变量，ξi+1是参数空间内第i+1个节点的坐标变量，
为控制点Pi,j处的IGA基函数值，Nj,q(v)为q阶第j个节点在v坐标上的一维B样条曲线值；
是无网格EFGM修正形函数，计算公式为
其中
式中
的上标l取1，
即为ξi+1，
为无网格EFGM物理空间内的节点基向量，q(ξ)为等几何分析方法参数空间内的节点基向量，NC是一个单元内的控制点数量，
为权系数，
为EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA耦合形函数；根据SIMP材料插值模型，分别建立各个区域对应的无网格EFGM子刚度矩阵，等几何分析子刚度矩阵和EFGM-IGA耦合子刚度矩阵，并将其组装为设计域的EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵；
(3)计算基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的位移场：(a)根据设计域内的力载荷分布，计算对应的EFGM-IGA耦合集中力载荷列向量和EFGM-IGA耦合均布力载荷列向量；(b)通过输入的设计域边界高斯点与离散点信息，采用罚函数法施加位移约束的本质边界条件，计算对应的EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量惩罚项和EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵的惩罚项；(c)组装整体设计域的EFGM-IGA耦合总体力载荷向量与EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵，并根据离散方程，计算离散点的位移参数值；(d)计算离散点对应的EFGM-IGA耦合方法的形函数，从而得到设计域内各离散点的位移值；(e)输出整体设计域的位移参数值、位移值与EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量；
(4)建立基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的拓扑优化问题数学模型：
式中，Ω表示设计域，KEFG，KCP和KIGA分别为无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合子刚度矩阵和等几何分析子刚度矩阵，Kα为EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵施加边界条件的惩罚项，计算公式为
α称为罚因子，Γu和Γ分别表示位移边界和积分边界，NS是设计域内离散点的总数；ΦI＝[φ1(ξ),φ2(ξ),...,φN(ξ)]为EFGM-IGA耦合方法的形函数矩阵，N是第I个节点受影响的EFGM-IGA耦合方法的形函数的数量；U为总体EFGM-IGA耦合总体位移值列向量；F为总体EFGM-IGA耦合总体力载荷列向量，V0和V分别为优化前后设计域内材料的体积，μ为体积分数，ρI和ρg分别为离散点和高斯点的相对密度，ρmin为最小相对密度，为避免出现奇异矩阵，通常取0.001，C为优化的目标函数，即结构柔度；采用伴随矩阵法分别求解等几何分析区域与无网格EFGM区域的EFGM-IGA耦合结构柔度灵敏度与EFGM-IGA耦合体积灵敏度：(a)根据EFGM-IGA耦合方法的形函数计算EFGM-IGA耦合方法的形函数的偏导，通过SIMP插值方法计算高斯点的相对密度；(b)通过无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域的结构柔度和体积灵敏度计算公式
分别计算无网格EFGM区域、等几何分析区域、EFGM-IGA耦合区域内离散点的结构柔度目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度；Ne是等几何区域的单元总数；其中Us为离散点位移参数值向量，ψI(x)是以节点为计算点的无网格EFGM形函数，V为优化设计后设计域的总体积，KEFG为无网格EFGM子刚度矩阵，P为惩罚因子，通常取3，其计算公式为
KCP为EFGM-IGA耦合子刚度矩阵，其计算公式为
为单元面积，Re(ξ)是以单元中心点坐标作为计算点的IGA基函数，KIGA为IGA子刚度矩阵，其计算公式为
并组装成EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；(c)输出设计域的结构柔度、总体积、EFGM-IGA耦合总体结构柔度灵敏度矩阵和EFGM-IGA耦合总体体积灵敏度矩阵；
(5)根据优化准则法编写程序，并更新设计变量：输入当前离散点的相对密度，根据优化准则法更新离散点的相对密度并求更新后的设计域的总体积，并由更新前后的总体积差来设定新的插值点以判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的离散点的相对密度并依据优化准则法继续迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的离散点的相对密度；
(6)计算(5)中输入和输出时各对应离散点的相对密度差并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的离散点的相对密度反馈到(2)以重新迭代，若满足迭代终止条件则迭代终止；
(7)输出基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的最优拓扑结构。
2.根据权利要求1所述基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，其特征在于步骤(2)包括如下具体步骤：(a)无网格EFGM区域计算，根据节点和高斯点坐标计算无网格EFGM区域高斯点的影响域半径，当高斯点影响域内的离散点完全位于无网格EFGM设计域内，则这部分高斯点称为无网格EFGM区域的高斯点，同时这部分离散点所对应的无网格EFGM形函数则为无网格EFGM区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(b)等几何分析区域计算，逐步搜索等几何分析设计域内各高斯点所在单元的离散点当这部分离散点完全位于等几何分析设计域内，则这部分高斯点称为等几何分析区域的高斯点，同时这部分离散点所对应的等几何分析基函数作为等几何分析区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(c)EFGM-IGA耦合区域计算，当无网格EFGM区域内高斯点影响域内的节点落到等几何区域内时或者当等几何分析区域内的高斯点所在单元的控制点落到无网格EFGM区域内，则这部分高斯点称为EFGM-IGA耦合区域的高斯点，从而确定EFGM-IGA耦合区域范围，并通过一致性条件计算对应的无网格EFGM修正形函数与等几何分析基函数，从而得到对应节点/控制点的EFGM-IGA耦合形函数，同时将其作为EFGM-IGA耦合区域的EFGM-IGA耦合方法的形函数；(c)根据SIMP材料插值模型通过EFGM-IGA耦合方法的形函数和离散点的相对密度计算各高斯点处的相对密度；(d)通过等几何分析基函数与无网格EFGM形函数对物理坐标系的偏导计算，从而得到各高斯点的EFGM-IGA耦合几何矩阵；(e)计算无网格EFGM区域内的无网格EFGM子刚度矩阵，EFGM-IGA耦合区域内的EFGM-IGA耦合子刚度矩阵与等几何分析区域内的IGA子刚度矩阵；(f)组建设计域内EFGM-IGA耦合总体刚度矩阵。
3.根据权利要求1所述基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，其特征在于选择将离散点的相对密度作为设计变量，并根据SIMP材料插值模型与EFGM-IGA耦合方法的形函数求整体设计域中各高斯点的相对密度。
4.根据权利要求1所述基于无网格EFGM和等几何分析耦合方法的结构拓扑优化技术，其特征在于步骤(4)中，为避免计算中出现奇异矩阵所取离散点的相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρ＝1，并取移动极限常数mov＝0.02，数值阻尼系数η＝0.5。
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