CN116187073A - 基于无网格efgm的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法 - Google Patents
基于无网格efgm的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，利用变换矩阵法建立各向异性材料瞬态传热结构的无网格伽辽金法热刚度矩阵和热容矩阵，包括如下几个步骤：(1)输入节点和高斯点信息，求各计算点的动态影响域半径；(2)根据SIMP模型求各高斯点影响域内各EFGM节点的相对密度；(3)输入各向异性材料热导率、正交各向异性因子、材料方向角、材料密度和比热容，建立两种各向异性材料的导热系数张量；(4)建立几何矩阵并利用线性SIMP模型求EFGM热刚度矩阵和热容矩阵；(5)组建EFGM整体热刚度矩阵和整体热容矩阵。本发明基于无网格伽辽金法、变换矩阵法和线性SIMP模型进行各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化，瞬态效应明显，结果合理，收敛稳定。
Description
技术领域
本发明属于计算机辅助工程中的优化设计领域，具体涉及一种基于无网格伽辽金法(Element Free Galerkin Method，EFGM)的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法。
背景技术
在飞机，船舶和汽车等诸多工程领域中，复合材料的应用已经日渐广泛，复合材料能通过其优良的特定的力学性能和传热性能来满足不同场景的工程需求，在传热领域，复合材料即各向异性材料最大的特点就是各个方向上的传热性能不同，可以根据实际的热流需求来调节和控制材料的各个方向的导热系数，即表现为材料的各向异性。而如何将各向异性材料合理的效益最大化的利用到工程传热结构优化中，是当前的热点问题之一。
目前主要的结构优化方法分别为：尺寸优化、形状优化和拓扑优化；其中，拓扑优化是一种广泛使用的计算技术，旨在满足一组约束的同时搜索设计域内材料的最佳分布。拓扑优化在给定约束、载荷和边界条件下，通过改变结构的拓扑达到目标函数的最优，相较于尺寸优化和形状优化具有更高的设计自由度和更多优化方向，能得到更佳的优化效果，取得更大的经济效益，已成为当前的研究热点。
在传热拓扑优化领域，国内外学者已对稳态传热问题进行了广泛的研究，目前已经提出了各种稳态传热拓扑优化方法，包括：均质化方法，水平集方法，进化方法和最近开发的移动可变形成分方法(MMC)等。然而，许多实际的热传导问题本质上是瞬态的，在这种应用中，温度随时间而变化，所以瞬态热传导问题的拓扑优化是非常重要的，但却很少受到重视。已有的研究涉足得非常少，而且局限在基于网格的数值计算方法例如有限元法和边界元法等，这些方法由于单元网格的存在导致拓扑优化过程中经常出现数值不稳定性现象，如单元间铰接、棋盘图案以及网格依赖性等。虽然采用了灵敏度过滤法等一些方法来处理这些问题，但是往往不能从根本上杜绝这类数值问题。无网格法是一种快速发展起来的新型数值计算方法，它摆脱了繁琐的单元网格生成过程，利用离散的节点来描述计算域，只需节点信息，从而减少了因网格扭曲或畸变带来的困难，且容易构造高阶的场函数，其收敛率亦高于有限元法。到目前为止，已经有很多种无网格方法应用于拓扑优化领域，包括光滑质点流体动力学法(SPH)、无网格局部Petrov-伽辽金(MLPG)方法、有限点集方法(FPM)、无网格伽辽金法(EFGM)和再生核粒子方法(RKPM)等。其中无网格伽辽金法(EFGM)是发展得较好的一种无网格方法，但目前，EFGM常见的研究的领域主要在计算力学结构分析、数值传热学分析、结构静力学优化设计和稳态传热结构拓扑优化等线性问题中，对于瞬态传热这类具有瞬时性、周期性和多变性的特点的非线性结构拓扑优化问题的研究十分少见，尤其是基于无网格伽辽金法的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化尚且未见公开报道。
发明内容
短时的或者周期的瞬态热载荷在工程领域中是非常常见的，各向异性材料也已经广泛应用于具有瞬态效应的导热场景，为了解决不仅仅是考虑稳态导热的各向异性材料在复杂瞬态热载荷下的结构设计热工经验单一，有限元之类的数值方法数值不稳定等问题，本发明提出基于无网格伽辽金法(EFGM)的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化设计方法，以设计域中的EFGM离散节点为设计变量，通过SIMP(Solid Isotropic Material withPenalization Model，SIMP)材料插值模型使相对密度在0～1之间的EFGM离散节点的相对密度趋于0或者趋于1，以瞬态热耗散效率最小化为瞬态传热拓扑的目标函数，约束条件为体积约束，建立各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化的EFGM数学模型，并编写算法程序对不同瞬态时间以及不同的各向异性材料求出其最优的瞬态传热拓扑结构。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，在已有的拓扑优化技术中，通常有两种材料，一种代表固体材料，即拓扑优化最后保留的部分，一种为空洞材料，没有考虑空洞材料的传热特性，而在本发明提出的瞬态传热结构拓扑优化方法中，考虑两种导热性能不同的材料，即在低导热材料上铺设高导热材料，通过控制正交各向异性因子Ht和各向异性材料方向角θ同时调整高导热材料和低导热材料的各向异性，其采用变换矩阵法将各向异性材料坐标系(ζ,γ)中的热导率转换为与物理坐标系(x,y)，再将瞬态温度场的时间域进行离散，从而实现不同各向异性材料的瞬态传热结构拓扑优化，将时间域离散后的EFGM瞬态传热离散控制方程和各向异性矩阵变换如下：
式中，K为整体热刚度矩阵，M为整体热容矩阵，Tt和Ft为t时刻的温度参数值列向量和整体热载荷向量，Δt为时间步长；
是不同材料随几何坐标变化的热导率系数，θ为高低导热材料的各向异性材料方向角，
和
为低导热材料在γ方向和ζ方向上的导热系数，
和
分别为高导热材料在在γ方向和ζ方向上的导热系数，瞬态传热正交各向异性因子
通过修改正交各向异性因子Ht和材料方向角θ就可更改各向异性材料的热性能。
本发明所述技术方案的具体实施步骤如下：
(1)根据实际问题中对于瞬态传热结构的要求，确定EFGM瞬态传热拓扑结构设计域、体积约束、初始节点相对密度；输入高低两种各向异性材料的热导率、正交各向异性因子、材料方向角、材料密度、比热容材料属性；导入设计域EFGM离散节点信息、设计域边界节点信息以及设计域背景积分网格信息并布置设计域高斯点，根据输入的节点坐标信息求各计算点与各节点之间的距离并从小到大进行排序，取排序为第9～12的距离作为该计算点的动态影响域半径；设定EFGM瞬态传热结构拓扑优化设计的迭代终止条件；
(2)同时设定EFGM瞬态传热结构的初始节点温度参数值、瞬态温度场的时间步长和总时间，并计算得到时间步数；根据输入的高低两种各向异性材料热导率、正交各向异性因子、材料方向角建立该两种各向异性材料的导热系数张量；
(3)基于EFGM从第一个时间步开始，依次分析计算每一个时间步下的各向异性瞬态传热结构的温度参数值；
(3.1)基于EFGM理论和SIMP材料插值模型，结合两种各向异性材料的导热系数张量、输入的材料密度和比热容建立当前时间步下的各向异性材料的EFGM热刚度矩阵和EFGM热容矩阵：(a)逐步搜索设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其EFGM形函数；(b)根据SIMP材料插值模型求各高斯点影响域内各个EFGM节点的相对密度；(c)建立各节点的几何矩阵并通过SIMP材料插值模型结合高导热和低导热材料的导热系数张量、比热容。材料密度求出当前时间步下各节点的EFGM热刚度矩阵和各节点的EFGM热容矩阵；(d)组建设计域的EFGM热刚度矩阵和整体热容矩阵；
(3.2)基于EFGM分析当前时间步下的各向异性材料瞬态传热结构的温度场：(a)根据设计域内热源分布信息求热源对设计域所产生的热载荷；(b)输入设计域边界节点信息并施加各类传热边界条件，其中采用罚函数法处理Dirichlet传热边界；(c)组装设计域的EFGM整体热刚度矩阵和整体热载荷列向量，结合整体热容矩阵建立各向异性材料瞬态传热结构的EFGM离散控制方程，并求解设计域内EFGM离散节点的温度参数值；(d)逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的EFGM形函数，结合各个节点处的温度参数值求得节点的温度值；(e)结合(c)中计算得到的当前时间步的温度参数值和上一个时间步的温度参数值求出当前时间步的温度一阶导数参数值；(f)输出当前时间步下的基于EFGM的各向异性材料设计域内EFGM离散节点的温度值、温度参数值、温度一阶导数参数值和整体热载荷列向量；(g)把(c)中计算得到的节点温度参数值回代入(3.1)中进行下一个瞬态时间步的温度场分析求解；(4)根据(3)中所求得的每一个时间步的温度场，求解瞬态热耗散效率目标函数和体积约束函数的灵敏度：
式中，Ts和
分别为第s个时间步时的节点温度参数列向量和节点温度一阶导数参数向量，m和tf分别为时间步的个数瞬态传热总时长，φi为以高斯点作为计算点所求得的EFGM形函数，
和
分别为经过SIMP材料插值模型惩罚之后的整体热容矩阵和整体热刚度矩阵，V为优化设计后设计域的总体积；
其中，EFGM热刚度矩阵和EFGM热容刚度矩阵关于设计变量的灵敏度为：
式中pk和pc分别为SIMP材料插值模型中的热导率惩罚因子和比热容惩罚因子；c2，c1和ρm分别为高导热和低导热材料的比热容和材料密度；求解的具体步骤为：(a)逐个搜索每个高斯点支撑域的所有节点并求其EFGM形函数和其偏导数、求各节点的几何矩阵；(b)根据SIMP材料插值模型求解各节点的相对密度；(c)根据设计域内高斯点的信息求得当前设计域的总体积；(d)根据节点的相对密度以及(3.2)中(f)输出的节点温度参数值、温度一阶导数参数值、整体热载荷列向量和(2)中求出的高导热和低导热系数张量以及(4)中(a)的形函数和各节点几何矩阵计算特定时间步下的节点的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度、体积约束的灵敏度，组装成瞬态热耗散效率灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；(e)根据(3.2)中(f)中输出的节点温度参数值和整体热载荷列向量计算特定时间步下的瞬态热耗散效率；(f)输出当前特定时间步下的瞬态热耗散效率、总体积、瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵和体积约束的灵敏度；(g)建立基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型；体积约束的灵敏度矩阵不变，把所有时间步的瞬态热耗散效率求和得到总体瞬态热耗散效率；把所有时间步的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵求和得到总体瞬态热耗散效率目标函数灵敏度；
(5)根据优化准则(OC)法更新设计变量：输入当前节点相对密度，根据OC准则更新EFGM节点相对密度并求更新后的设计域的总体积，并由更新前后的总体积差来设定新的插值点以判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的EFGM节点相对密度并依据OC准则继续迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的EFGM节点相对密度；
(6)计算(5)中输入输出时各对应EFGM节点的相对密度差，并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的节点相对密度反馈到(3)以重新计算，若满足迭代终止条件则迭代终止；(7)输出基于EFGM的各向异性材料的最优瞬态传热拓扑结构；最优瞬态传热拓扑结构与瞬态传热总时间表现出强烈的关联性。
本发明的有益效果是：本发明采用把瞬态温度场传化为若干个时间步下的温度场的形式，便于目标函数总体瞬态热耗散效率的求解，便于分析讨论不同瞬态时间和不同瞬态载荷下的复杂工况，得到清晰可靠的瞬态传热拓扑结构；本发明避免了基于有限元法的拓扑优化技术所面临的棋盘格和网格依赖性等数值不稳定问题，能更高效更灵活地处理设计域且瞬态传热拓扑结构具有更高的可靠性；本发明选择设计域EFGM离散节点的相对密度作为设计变量，避免了采用高斯点的相对密度作为设计变量时所造成的数值不稳定性，无需灵敏度过滤技术且计算流程更简单；本发明通过正交各向异性因子和各向异性材料方向角来控制各向异性材料的瞬态传热性能，能简单方便地实施不同的各向异性材料瞬态传热结构的拓扑优化设计，可操作性强；本发明可处理非连续性各向异性材料、导热性能随空间坐标以及温度场变化的各向异性材料的瞬态传热拓扑结构优化问题，能与工程实践紧密结合，具有较好的理论研究和工程应用价值。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细说明。
图1是本发明各向异性材料的坐标变换图
图2是本发明各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化设计流程框图
图3是本发明实施例的设计域示意图
图4是本发明实施例的EFGM节点示意图
图5是发明实施例的积分背景网格示意图
图6是本实施例中瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为1、材料方向角为0°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图7是本实施例中瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为0.3、材料方向角为30°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图8是本实施例中瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为6、材料方向角为60°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图9是本实施例中瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为1、材料方向角为0°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图10是本实施例中瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为0.6、材料方向角为45°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图11是本实施例中瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为4、材料方向角为30°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图12是本实施例中瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为1、材料方向角为0°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图13是本实施例中瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为2、材料方向角为15°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
图14是本实施例中瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为6、材料方向角为45°时的EFGM最优瞬态传热拓扑结构
具体实施方式
参见图1和图2，基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法,主要包括如下步骤：
参见图2，基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法的具体步骤如下：
首先，各向异性材料的热物性方向与自然坐标系一般不相重合，其采用矩阵变换法将各向异性材料坐标系(ζ,γ)中热导率转换为与设计域几何坐标系(x,y)相一致的热导率，矩阵变换如下式所示：
式中，
是不同材料随几何坐标变化的热导率系数，θ为高低导热材料的各向异性材料方向角，
和
为低导热材料在γ方向和ζ方向上的导热系数，
和
分别为高导热材料在在γ方向和ζ方向上的导热系数。瞬态传热各向异性导热系数因子
低导热材料1和高导热材料2的各向异性保持一致，即材料方向角和瞬态传热各向异性导热系数因子相同，通过修改正交各向异性因子Ht和材料方向角θ就可更改各向异性材料的瞬态传热性能；各向异性材料方向角θ可以是固定不变的，也可以是随空间坐标位置变化的，并且各向异性材料的导热性能可随温度场变化；
然后，基于EFGM理论，并根据SIMP材料插值模型引入一种假想的材料其相对密度在0～1之间变化，并引入惩罚因子对材料的中间密度进行惩罚，使材料的中间密度趋近0或1，本发明用一种改进的线性SIMP材料插值模型来材料重新分布的效果，其数学模型为：
式中，
和
分别为给定的高、低导热各向异性材料在ζ方向上的热导率，c2和c1分别为高导热材料和低导热材料的比热容，pk和pc分别为热导率的惩罚因子和比热容的惩罚因子。EFGM离散节点的相对密度由其影响域内节点的相对密度插值得到，即
式中，ρi为第i个节点的相对密度；φi为EFGM形函数；z为影响域内的节点数；
最后，完成各向异性材料瞬态传热结构的EFGM瞬态温度场分析。在瞬态传热结构的拓扑优化设计中，由于热载荷的瞬时性，对于考虑瞬态传热的拓扑优化问题，目标函数为瞬态热耗散效率的时间积分，以结构的总体积为约束条件，以EFGM节点的相对密度为设计变量，给定瞬态传热初始温度，建立基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型为：
式中，C(ρi)为瞬态热耗散效率，
为含设计变量ρi的经过SIMP材料插值模型惩罚之后的总体热刚度矩阵,tf为瞬态传热的总时长，T为EFGM温度值列向量，
为含设计变量ρi的经过SIMP材料插值模型惩罚之后的整体热容矩阵，F为整体热载荷向量，V为优化后的体积，υ为体积分数，V0为优化前的体积，ρmin为防止矩阵奇异设定的设计变量最小值；m为时间总步数，Fs为特定时间步下的整体热载荷向量，Ts为热载荷Fs在特定时间步时产生的温度场，s为当前离散时间步，其个数与瞬态传热分析的时间步相同。分析完整个瞬态传热温度场之后，采用伴随分析法求解EFGM瞬态传热结构拓扑优化模型中总体瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度，并通过采用优化准则(OC)法对所描述优化问题的数学模型求解即可求得所需的EFGM最优瞬态传热拓扑结构。
参见图2，基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法的具体步骤如下：
(1)根据实际问题中对于瞬态传热结构的要求，确定EFGM瞬态传热拓扑结构设计域、体积约束、初始节点相对密度；输入高导热和低导热两种各向异性材料的热导率、正交各向异性因子、材料方向角、材料密度、比热容等材料属性；导入设计域EFGM离散节点信息、设计域边界节点信息以及设计域背景积分网格信息并布置设计域高斯点，根据输入的节点坐标信息求各计算点与各节点之间的距离并从小到大进行排序，取排序为第9～12的距离作为该计算点的动态影响域半径；设定EFGM瞬态传热拓扑结构优化设计的迭代终止条件；
(2)设定EFGM瞬态传热结构的初始节点温度参数值、瞬态温度场的时间步长和总时间，并计算得到时间步数；并根据输入的高导热和低导热两种各向异性材料的热导率、正交各向异性因子、材料方向角建立该两种各向异性材料的导热系数张量；
(3)基于EFGM从第一个时间步开始依次分析计算每一个时间步温度场的各向异性瞬态传热结构的温度值：任意节点x处的温度场Th(x)可由其影响域内的节点值Ti拟合出来：
式中，Tc是未知的节点温度参数向量，φi(x)为对应节点x的EFGM形函数，矩阵形式为：
ΦT(x)＝[φ1(x),φ2(x),···,φn(x)]＝pT(x)A-1(x)B(x) (8)
其中，基函数pT(x)、计算矩阵Α(x)和B(x)的表达式为：
pT(x)＝[1,x,y] (9)
B(x)＝[ω1(x)p(x1),ω2(x)p(x2),···,ωn(x)p(xn)] (11)
式中，ωi(x)为节点i处的权函数。同时，各向异性瞬态传热基本控制方程为：
式中，kij为各个方向上的热导率，
为内热源，ρ和c分别是材料密度和比热容，t为时间，T为温度。取温度的变分为检验函数，由加权残量法求得公式(12)的等效积分弱形式：
根据分部积分法，得
同时满足Dirichlet、Neumann和Robin三类传热边界，其中采用罚函数法施加Dirichlet本质边界条件，整理之后得到各向异性瞬态传热问题的EFGM离散控制方程如下：
再经过SIMP材料插值模型惩罚之后，可以得到各向异性瞬态传热结构拓扑优化问题中的EFGM离散控制方程如下：
其中，T为EFGM温度参数值列向量，
和
分别为经过SIMP材料插值模型惩罚之后的EFGM整体热刚度矩阵和EFGM整体热容矩阵，F为EFGM整体热载荷向量。其中，惩罚之后的EFGM节点的热刚度矩阵、热容矩阵和热载荷向量分别为：
式中，pk和pc分别为热导率的惩罚因子和比热容的惩罚因子，h为对流换热系数，q为热流密度，α为处理本质边界条件中的罚因子；采用隐式向后差分格式对瞬态传热结构拓扑优化过程中的时间域进行离散得：
其中，Δt为时间步长。基于EFGM的各向异性瞬态传热结构温度场分析的详细步骤如下：
(3.1)逐步搜索设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其EFGM形函数；根据SIMP材料插值模型求各高斯点影响域内各个EFGM节点的相对密度；
(3.2)建立各节点的几何矩阵并结合线性SIMP材料插值模型求各节点的EFGM热刚度矩阵，同时结合输入的材料密度和比热容求各节点的EFGM热容矩阵；
(3.3)组建设计域的EFGM热刚度矩阵和EFGM整体热容矩阵；
(3.4)根据设计域内热源分布信息求热源对设计域所产生的热载荷：当设计域内热源均匀分布时，遍寻热源所在域内的高斯点，求各高斯点影响域内节点的EFGM形函数，然后将在每个节点上的热源值和其EFGM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量，并组装为设计域的热载荷列向量；当设计域内热源以点源形式单独分布时，根据热源的位置坐标计算其影响域内节点的EFGM形函数，然后将在该节点上的热源值和其EFGM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量，并组装为设计域的热载荷列向量；
(3.5)逐一处理每条Neumann传热边界：根据输入的设计域的Neumann传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的EFGM形函数，然后将各个节点上的热流密度和其EFGM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量；
(3.6)逐一处理每条Robin传热边界：根据输入的设计域的Robin传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的EFGM形函数，然后将各个节点上的对流换热系数、周围环境温度和其EFGM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量，同时将各个节点之间的EFGM形函数乘积与对流换热系数相乘以作为Robin边界的热刚度矩阵；
(3.7)采用罚函数法逐一处理每条Dirichlet本质边界：根据输入的设计域的Dirichlet传热边界节点信息并求解边界上高斯点信息，根据每条边界上的高斯点搜索其影响域内节点并求对应节点的EFGM形函数，然后将各个节点上的温度值和其EFGM形函数、罚因子的乘积作为该节点的热载荷施加量并组装成热载荷列向量，同时将各个节点之间的EFGM形函数乘积与罚因子相乘以作为Dirichlet本质边界的惩罚热刚度矩阵；
(3.8)将(3.3)中的EFGM热刚度矩阵和(3.6)中的Robin边界的热刚度矩阵、(3.7)中的惩罚热刚度矩阵叠加以组装成设计域的EFGM整体热刚度矩阵，将(3.4)中热源的热载荷列向量与(3.5)、(3.6)和(3.7)中的热载荷列向量叠加以组装成EFGM整体热载荷列向量，结合(3.3)中的设计域EFGM整体热容矩阵，建立各向异性材料的瞬态传热结构EFGM离散控制方程，并求解当前时间步下的设计域内EFGM离散节点的温度参数值；
(3.9)逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的EFGM形函数，结合各个节点处的温度参数值求得当前时间步下的节点的温度值，并用当前时间步的温度参数值和上一个时间步的温度参数值求得当前时间步的温度一阶导数参数值；
(3.10)输出当前时间步下设计域内的各向异性材料的EFGM离散节点的温度值向量、温度参数值向量、温度一阶导数参数值向量和整体热载荷列向量；
(3.11)把(3.10)中计算得到的节点温度参数值回代入(3.1)中进行下一个时间步的瞬态传热温度场的分析求解；
(4)根据(3)中所求得的每一个时间步的温度场，建立基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型，目标函数总体瞬态热耗散效率可以表示为每一个时间步的瞬态热耗散效率求和。采用伴随分析法求解EFGM瞬态传热结构拓扑优化模型中总体瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度，分别关于EFGM节点相对密度求导，可得总体瞬态热耗散效率目标函数和体积约束函数的灵敏度：
式中，Ts和
分别为第s个时间步时的节点温度参数列向量和节点温度一阶导数参数向量，m和tf分别为时间步的个数瞬态传热总时长，φi为以高斯点作为计算点所求得的EFGM形函数，
和
分别为经过SIMP材料插值模型惩罚之后的整体热容矩阵和整体热刚度矩阵，V为优化设计后设计域的总体积。其中，EFGM热刚度矩阵和EFGM热容刚度矩阵关于设计变量的灵敏度为：
式中pk和pc分别为SIMP材料插值模型中的热导率惩罚因子和比热容惩罚因子；c2，c1和ρm分别为高导热和低导热材料的比热容和材料密度；k2和k1分别为高导热和低导热各向异性材料的导热系数张量；求解总体瞬态热耗散效率目标函数和体积约束函数的灵敏度的具体步骤如下：
(4.1)逐个搜索每个高斯点支撑域的所有节点并求其EFGM形函数和其偏导数、求各节点的几何矩阵；
(4.2)根据SIMP材料插值模型求解各节点的相对密度；
(4.3)根据设计域内高斯点的信息求得当前设计域的总体积；
(4.4)根据节点的相对密度以及(3.10)中输出的节点温度参数值、整体热载荷列向量、温度一阶导数参数值向量和(2)中得到的高导热和低导热材料的导热系数张量以及(4.1)中的形函数和各节点几何矩阵计算特定时间步下的节点的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度和体积约束的灵敏度，组装成瞬态热耗散效率灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；
(4.5)根据(3.10)中输出的节点温度参数值和整体热载荷列向量计算特定时间步下的瞬态热耗散效率；
(4.6)输出特定时间步下的瞬态热耗散效率、总体积、瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵和体积约束的灵敏度；
(4.7)建立基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型；体积约束的灵敏度矩阵不变，把所有时间步的瞬态热耗散效率求和得到总体瞬态热耗散效率；把所有时间步的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵求和得到总体瞬态热耗散效率目标函数灵敏度矩阵；
(5)根据优化准则(OC)法更新设计变量，为避免计算中出现奇异矩阵，取节点相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρ≤1，并取移动极限常数m＝0.2，具体步骤如下：
(5.1)输入当前节点相对密度，根据OC准则结合拉格朗日乘子得更新后的节点相对密度并求更新后的设计域的总体积；
(5.2)求节点相对密度更新前后的设计域的总体积差，以设定新的插值点；
(5.3)根据新插值点的信息判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的相对密度回代(5.1)重新迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的节点相对密度；
(6)计算(5)中输入输出时各对应EFGM节点相对密度差，并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的节点相对密度反馈到(2)以重新计算，若满足迭代终止条件则迭代终止；
(7)输出基于EFGM的各向异性材料的最优瞬态传热拓扑结构。
下面是本发明方法应用于各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的一个实例：
参见图3和至图5，给定的正方形结构设计域的尺寸为0.1m×0.1m，无网格伽辽金法结构优化设计域内的EFGM离散节点数3721个，设计域积分背景网格为3600个规则化背景单元组成；结构包含高低两种导热材料，材料密度ρm均为1kg/m3，高导热材料的比热容c为1×106J/(kg·℃)，ζ方向的导热系数为10W/(kg·℃)；低导热材料的比热容c为5×105J/(kg·℃)，ζ方向的热导率为0.1W/(kg·℃)；拓扑优化的体积约束为设计域的20％，目标函数为总体瞬态热耗散效率最小。在方板的中心五角星处施加不随时间变化的瞬态热载荷F＝0.1W，瞬态传热结束的时间为tf。
利用本发明提出的方法对各向异性方板单元进行瞬态传热结构拓扑优化设计，具体实施步骤如下：
(a)导入设计域尺寸大小、体积约束、初始节点相对密度和材料属性(包括热导率、正交各向异性因子、材料方向角、材料密度和比热容)、设计域节点信息和边界节点信息(坐标、节点编号、节点数)、积分背景网格信息(选择四边形单元)、SIMP材料插值模型中的热导率和比热容材料惩罚因子，并根据积分背景网格信息求设计域内的高斯点(网格单元数目、位置、编号，每个单元内布置4×4个高斯点，求雅克比、权重系数、高斯点坐标)，设定迭代终止条件(当节点相对密度更新前后最大改变值小于0.01时迭代自动收敛)；
(b)根据(a)中输入的节点和高斯点的信息计算各个节点之间的间距并从小到大排序，取排在第9位置的距离大小为对应计算点的影响域半径大小；
(c)通过输入的边界节点信息，求各边界上高斯点的信息(坐标、雅克比、权重系数)；
(e)根据实际瞬态传热结构温度场的需要，设定EFGM瞬态传热结构的初始节点温度参数值、瞬态温度场的时间步长和总时间，并计算得到时间步数；
(f)结合输入的正交各向异性因子(取0.3、0.6、1、2、4或6)、材料方向角(取0°、15°、30°45°或60°)、热导率建立各节点的两种高低导热各向异性材料的导热系数二阶张量，并从第一个时间步开始，依次分析计算每一个时间步下的各向异性瞬态传热结构的温度场；
(g)依据各高斯点影响域的节点信息和SIMP材料插值模型求各个高斯点影响域内EFGM节点的相对密度；
(h)逐步搜索域内各个高斯点影响域的节点并计算其EFGM形函数，组装几何矩阵；
(i)结合(f)中的导热系数二阶张量和输入的比热容、材料密度、(g)中的EFGM节点的相对密度、(h)中的EFGM形函数和几何矩阵求得设计域内各节点的EFGM热刚度矩阵和热容矩阵，并组建为EFGM热刚度矩阵和整体热容矩阵；
(j)根据热源的位置坐标计算其影响域内节点的EFGM形函数，然后将在该节点上的热源值和其EFGM形函数的乘积作为该节点的热载荷施加量，并组装为设计域的热载荷列向量；
(k)本实施例中没有Dirichlet和Robin边界条件，将(i)中的热刚度矩阵作为设计域的EFGM整体热刚度矩阵，(j)中的热载荷列向量以作为EFGM整体热载荷列向量；
(l)结合整体热容矩阵，基于EFGM瞬态传热离散控制方程求当前时间步下设计域内EFGM离散节点的温度参数值，并用当前时间步的温度参数值和上一个时间步的温度参数值求得当前时间步的温度一阶导数参数值；
(m)逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的EFGM形函数，结合各个节点处的温度参数值求得节点的温度值；
(n)输出当前时间步下的基于EFGM的各向异性瞬态传热结构设计域内EFGM离散节点的温度值、温度参数值、温度一阶导数参数值和整体热载荷列向量；
(o)遍寻高斯点搜索其影响域内的节点并求其EFGM形函数及偏导数，并根据SIMP材料插值模型求其节点相对密度及设计域总体积，并根据(n)所输出的设计域的整体热载荷列向量和温度参数值求当前时间步下设计域的瞬态热耗散效率；
(p)遍寻当前时间步下设计域内的高斯点和节点，求各自影响域内的EFGM形函数及偏导数，并根据(n)中输出的温度参数值和温度一阶导数参数值求得当前时间步下各个节点的瞬态热耗散效率目标函数和体积约束函数的灵敏度，组装成当前时间步下的瞬态热耗散效率灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；
(q)输出当前特定时间步下的瞬态热耗散效率、总体积、瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵和体积约束的灵敏度矩阵；
(r)将输出的当前时间步下的节点温度参数值当做下一个时间步的初始节点温度参数值带回(g)进行下一个时间步温度场的计算，直到计算完所有时间步为止；
(s)建立基于EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型；体积约束的灵敏度矩阵不变，把所有时间步的瞬态热耗散效率求和得到总体瞬态热耗散效率；把所有时间步的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵求和得到总体瞬态热耗散效率目标函数灵敏度；
(t)根据优化准则(OC)法更新设计变量(节点相对密度)，其中，取节点相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρ≤1，移动极限常数m＝0.2；
(u)计算(t)中节点相对密度更新前后的绝对差，判断最大绝对值是否小于0.01，若大于0.01则将(t)中更新后的节点相对密度返回(b)以重新迭代，若小于0.01则迭代终止；
(v)输出基于EFGM的各向异性材料的最优瞬态传热拓扑结构；最优瞬态传热拓扑结构与瞬态传热总时间tf表现出强烈的关联性，tf直接影响最优瞬态传热拓扑结构。
图6-图14是本实施例的EFGM最优瞬态传热拓扑结构，其中图6为瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为1且材料方向角为0°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图7为瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为0.3且材料方向角为30°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图8为瞬态总时间为100s，正交各向异性因子为6且材料方向角为60°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图9为瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为1且材料方向角为0°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图10为瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为0.6且材料方向角为45°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图11为瞬态总时间为500s，正交各向异性因子为4且材料方向角为30°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图12为瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为1且材料方向角为0°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图13为瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为2且材料方向角为15°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构；图14为瞬态总时间为1000s，正交各向异性因子为6且材料方向角为45°的EFGM最优瞬态传热拓扑结构。
虽然参考本实施例对本发明进行了详细描述，但以上所述并不限定本发明的保护范围，任何依据本发明思路下的修改和改进等，均视为本发明保护范围。
Claims (7)
1.基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于包括以下步骤：
(1)根据实际工程中瞬态散热结构要求，确定EFGM瞬态传热拓扑结构设计域、体积约束和初始节点相对密度，输入高导热和低导热两种各向异性材料的热导率、正交各向异性因子Ht和材料方向角θ材料属性，导入设计域EFGM离散节点信息、设计域边界条件、设计域积分背景网格并求得设计域高斯点信息，同时还设定EFGM瞬态传热结构拓扑优化设计的迭代终止条件；
(2)设定无网格EFGM瞬态传热结构的初始节点温度参数值、瞬态温度场的时间步长和总时间，并计算得到时间步数；根据输入的高导热和低导热两种各向异性材料热导率、正交各向异性因子、材料方向角建立两种各向异性材料的导热系数张量；
(3)基于EFGM从第一个时间步开始，依次分析计算每一个时间步下的各向异性瞬态传热结构的温度参数值；
(3.1)根据无网格EFGM理论、变换矩阵
两种各向异性材料的导热系数张量、热容、材料密度及线性SIMP材料插值模型建立各向异性材料的EFGM热刚度矩阵和整体热容矩阵；
(3.2)基于无网格EFGM分析当前时间步下的各向异性材料瞬态传热结构的温度场：(a)根据设计域内热源分布信息求热源对设计域所产生的热载荷；(b)输入设计域边界节点信息并施加各类传热边界条件，其中采用罚函数法处理Dirichlet传热边界；(c)组装设计域的EFGM整体热刚度矩阵和整体热载荷列向量，结合整体热容矩阵建立各向异性材料瞬态传热结构的EFGM离散控制方程，并求解设计域内EFGM离散节点的温度参数值；(d)逐步搜索设计域内各节点影响域内的节点并求对应节点的EFGM形函数，结合各个节点处的温度参数值求得节点的温度值；(e)结合(c)中计算得到的当前时间步的温度参数值和上一个时间步的温度参数值求出当前时间步的温度一阶导数参数值；(f)输出当前时间步下的基于EFGM的各向异性材料设计域内EFGM离散节点的温度值、温度参数值、温度一阶导数参数值和整体热载荷列向量；(g)把(c)中计算得到的节点温度参数值回代入(3.1)中进行下一个瞬态时间步的温度场分析求解；
(4)建立基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化问题的数学模型，并采用伴随分析法求解EFGM瞬态传热结构拓扑优化模型中瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度和体积约束函数的灵敏度：(a)逐个搜索每个高斯点支撑域的所有节点并求其EFGM形函数和其偏导数、求各节点的几何矩阵；(b)根据SIMP材料插值模型求解各节点的相对密度；(c)根据设计域内高斯点的信息求得当前设计域的总体积；(d)根据节点的相对密度以及(3.2)中(f)输出的节点温度参数值、温度一阶导数参数值、整体热载荷列向量和(2)中求出的高低导热系数张量以及(4)中(a)的形函数和各节点几何矩阵计算特定时间步下的节点的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度、体积约束的灵敏度，组装成瞬态热耗散效率灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵，计算公式分别为：
式中，Ts和
分别为第s个时间步时的节点温度参数列向量和节点温度一阶导数参数向量，m和tf分别为时间步的个数瞬态传热总时长，φi为以高斯点作为计算点所求得的EFGM形函数，
和
分别为经过SIMP材料插值模型惩罚之后的整体热容矩阵和整体热刚度矩阵，V为优化设计后设计域的总体积；(e)根据(3.2)中(f)中输出的节点温度参数值和整体热载荷列向量计算特定时间步下的瞬态热耗散效率；(f)输出当前特定时间步下的瞬态热耗散效率、总体积、瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵和体积约束的灵敏度；(g)体积约束的灵敏度矩阵不变，把所有时间步的瞬态热耗散效率求和得到总体瞬态热耗散效率；把所有时间步的瞬态热耗散效率目标函数的灵敏度矩阵求和得到总体瞬态热耗散效率目标函数灵敏度；(h)输出设计域的瞬态热耗散效率、总体积、总体瞬态热耗散效率灵敏度矩阵和体积灵敏度矩阵；
(5)根据优化准则OC法更新设计变量：输入当前节点相对密度，根据OC准则更新EFGM节点相对密度并求更新后的设计域的总体积，并由更新前后的总体积差来设定新的插值点以判断是否迭代终止，若不终止则采用更新后的EFGM节点相对密度并依据OC准则继续迭代，若迭代终止则停止计算并输出更新的EFGM节点相对密度；
(6)计算(5)中输入输出时各对应EFGM节点的相对密度差，并求最大相对密度改变值，将最大改变值与(1)中所设定的总循环迭代终止条件对比，判断是否满足终止条件，若不满足终止条件则将(5)中输出的EFGM节点相对密度反馈到(2)以重新迭代，若满足迭代终止条件则迭代终止；
(7)输出基于无网格EFGM的各向异性材料的最优瞬态传热拓扑结构。
2.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于步骤(3.1)包括如下具体步骤：(a)根据输入节点和高斯点坐标求各计算点与各节点之间的距离并从小到大排序，取排序为第9～12之间的距离为该计算点的动态影响域半径；(b)逐步搜索设计域内各高斯点影响域内的节点并计算其EFGM形函数；(c)根据SIMP材料插值模型求各高斯点影响域内各个EFGM节点的相对密度；(d)建立各节点的几何矩阵并通过SIMP材料插值模型结合高低导热材料的导热系数张量
和
求出当前时间步下各节点的EFGM热刚度矩阵且结合材料比热容和材料密度求出各节点的EFGM热容矩阵，式中，
是不同材料随设计域几何坐标变化的热导率系数；(e)组建设计域的EFGM热刚度矩阵和整体热容矩阵。
3.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于选择设计域EFGM离散节点的相对密度作为设计变量，并根据SIMP材料插值模型求各计算点影响域内EFGM节点的相对密度值。
4.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于步骤(5)中，为避免计算中出现矩阵奇异性所取EFGM节点相对密度下限ρmin＝0.001且上限为ρ≤1，并取移动极限常数m＝0.02。
5.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于，各向异性材料的瞬态传热性能通过正交各向异性因子Ht和各向异性材料方向角θ来控制，并可以通过控制正交各向异性因子Ht和各向异性材料方向角θ来分析不同的各向异性材料瞬态传热结构的拓扑优化设计结果。
6.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于，各向异性材料方向角θ可以是固定不变的，也可以是随空间坐标位置变化的，并且各向异性材料的导热性能可随温度场变化。
7.根据权利要求1所述基于无网格EFGM的各向异性材料瞬态传热结构拓扑优化方法，其特征在于，最优瞬态传热拓扑结构与瞬态传热总时间tf表现出强烈的关联性，tf直接影响最优瞬态传热拓扑结构。
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2023
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| CN117236144A (zh) * | 2023-11-15 | 2023-12-15 | 中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所 | 基于安装型面的正交各向异性防热材料导热主轴确定方法 |
| CN117236144B (zh) * | 2023-11-15 | 2024-01-26 | 中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所 | 基于安装型面的正交各向异性防热材料导热主轴确定方法 |
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