CN109657284B - 一种面向超材料的等几何拓扑优化方法 - Google Patents

一种面向超材料的等几何拓扑优化方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于材料结构优化领域，并公开了一种面向超材料的等几何拓扑优化方法。该方法包括：(a)选取多孔材料的单胞结构作为待优化对象，构建与待优化微结构设计域对应的NURBS曲面；(b)通过渐进均匀化方法等效材料属性，以此获得多孔材料的弹性张量矩阵，建立微结构密度的优化设计模型，使得微结构在体积减小的同时具有负泊松比，即使宏观材料具有拉胀超材料属性；(c)建立微结构密度的优化准则计算优化模型，直至获得收敛的密度值，以此获得优化后的微结构的密度值，从而实现微结构的拓扑优化。通过本发明，实现拉胀超材料的微结构优化设计，消除棋盘格问题和网格依赖等数值问题，提高优化求解效率，获得新型超材料结构形式。

Description

一种面向超材料的等几何拓扑优化方法
技术领域
本发明属于材料结构优化领域，更具体地，涉及一种面向超材料的等几何拓扑优化方法。
背景技术
近几年来，超材料作为新材料技术的重要组成部分，所表现出的超常物理特性受到了广泛的关注。在声、光、热、力、电磁学领域特殊性能，使其在工业、军事等领域具有十分广阔的应用前景，人们通过设计材料微结构，可以人工调控原有材料的机械属性，从而获得自然界中不存在的机械属性。
拉胀超材料通常表现出轻质、高阻尼、吸声、隔热等物理特性，在功能材料中扮演重要角色，对航空航天、半导体器件、光学元件、精密仪器以及建筑材料等领域的发展具有重大意义，作为拉胀超材料的核心，超材料内的微结构将对整体性能起着至关重要的作用。
拓扑优化作为结构优化方法之一，对微结构设计有着特有的优势，由于设计目标越来越具有多样化、复杂化等特点，因此对优化的精度和效率等方面都有了更高的要求，而目前在材料微结构设计过程中常用的有限元方法在进行细化网格划分时，会产生大量的单元，使过程更加繁琐、耗时，因此，有限元分析法在拓扑优化设计中的网格依赖问题较突出，以致于对优化结果产生棋盘格问题、非平滑的“zig-zag”边界以及局部极小值等问题，从而严重影响微结构的优化设计，以及所获得的超材料性能。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种面向超材料的等几何拓扑优化方法，通过采用基于NURBS函数的方法构建材料密度的优化设计模型，其基于等几何分析，确保NURBS曲面的CAD模型与CAE模型一致，避免在在材料微结构设计过程中采用有限元方法进行细化网格划分，简化计算，降低计算复杂度，缩短计算时间，快速高效的实现多孔材料单胞结构向拉胀超材料的转化，计算精度高。
为实现上述目的，按照本发明，提供了一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：
(a)选取多孔材料的单胞结构作为待优化对象，其中，多孔材料作为宏观材料，单胞结构作为微结构，选择与该微结构相应的NURBS基函数和控制顶点，以此构建与待优化微结构设计域对应的NURBS曲面；
(b)通过渐进均匀化方法等效材料属性，以此获得多孔材料的弹性张量矩阵，根据该弹性张量矩阵建立微结构密度的优化设计模型，使得微结构在体积减小的同时具有负泊松比，即使宏观材料具有拉胀超材料属性；
(c)建立微结构密度的优化准则，根据该优化准则计算优化模型，直至获得收敛的密度值，以此获得优化后的微结构的密度值，从而实现多孔材料的微结构的拓扑优化。
进一步优选地，在步骤(b)中，密度的优化设计模型优选按照下列表达式进行：
Figure BDA0001881875890000021
其中，ρi，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是微结构设计域上点的坐标，n，m分别是在构建NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是微结构即设计域，u是设计域上的位移场，
Figure BDA0001881875890000022
是密度分布函数，
Figure BDA0001881875890000023
是高斯积分点处的密度
Figure BDA0001881875890000031
是在位移场和密度分布函数分别为u和
Figure BDA0001881875890000032
时对应的目标函数，
Figure BDA0001881875890000033
是优化后的设计域体积与设计域初始体积V0之差，a(u，δu)是在设计域位移场为i时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间H1(Ω)的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷，
Figure BDA0001881875890000034
是多孔材料弹性张量矩阵DH中第1212项，
Figure BDA0001881875890000035
是多孔材弹性张量矩阵DH中第1111项，
Figure BDA0001881875890000036
是多孔材料弹性张量矩阵DH中第2222项。
进一步优选地，多孔材料的弹性张量矩阵DH优选按照下列表达式进行：
Figure BDA0001881875890000037
其中，|Ω|是微结构的面积，D是弹性张量，ε(u0)是线性独立的单元测试应变场，ε(u)是微结构内的应变场。
进一步优选地，ε(u)是按照下列表达式计算获得：
Figure BDA0001881875890000038
其中，u是设计域上的位移场，v是微结构可允许的位移场空间Hper，
进一步优选地，高斯积分点处的密度
Figure BDA0001881875890000039
优选按照下列关系式进行：
Figure BDA00018818758900000310
其中，
Figure BDA00018818758900000311
是高斯积分点处的密度，(ξ，η)是高斯积分点的参数坐标，
Figure BDA00018818758900000312
是光滑后的控制顶点密度，
Figure BDA00018818758900000313
是双变量NURBS基函数。
进一步优选地，光滑后的控制顶点密度
Figure BDA00018818758900000314
优选按照下列表达式进行：
Figure BDA00018818758900000315
其中，ρi，j是控制顶点(i，j)处的密度，w(ρi，j)是控制顶点(i，j)处的权重，
Figure BDA00018818758900000316
Figure BDA00018818758900000317
分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数。
进一步优选地，双变量NURBS基函数
Figure BDA0001881875890000041
优选按照下列表达式进行：
Figure BDA0001881875890000042
其中，Ni，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，是第i个p次基函数，n是Ni，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ1，ξ2，…，ξn+p+1}构成；Mj，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j个q次基函数，m代表Mj，q(η)中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量
Figure BDA0001881875890000043
构成，ωij是张量积Ni，p(ξ)Mj，q(η)对应的权重。
进一步优选地，在步骤(c)中，优化准则优选按照下列表达式进行：
Figure BDA0001881875890000044
其中，
Figure BDA0001881875890000045
是第k+1步的密度值，
Figure BDA0001881875890000046
是第k步的密度值，
Figure BDA0001881875890000047
是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，Δ，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0,1)，ρmin是单元的最小密度，ρmax是单元的最大密度。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：
1、本发明提供的方法基于NURBS函数构建材料密度函数，有效避免对微结构设计过程中常见的棋盘格问题、网格依赖问题等数值不稳定问题，从而确保面向拉胀超材料结构优化设计方法的有效性；
2、本发明提供的方法基于等几何分析，确保NURBS曲面的CAD模型与CAE模型一致，对采用传统有限元方法产生的误差能够有效解决，提高了计算精度和求解效率；
3、本发明提供的方法快速高效地实现从多孔材料的单胞结构向拉胀超材料的转化，计算简单，精度高，适用于面向材料微结构优化设计问题研究，如寻找刚度最优材料微结构以及后续多相负泊松比结构优化设计问题，等等。
附图说明
图1是按照本发明的优选实施例所构建的面向超材料的等几何拓扑优化方法流程图；
图2是按照本发明的优选实施例中待优化的微结构初始设计示意图；
图3按照本发明的优选实施例中的结构优化后得到的结微构示意图；
图4按照本发明的优选实施例中的微结构优化过程的收敛结果示意图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
图1是按照本发明的优选实施例所构建的等几何材料密度场结构拓扑优化方法流程图，如图1所示，具体流程如下：
(1)给定待优化多孔材料的单胞结构作为设计域，其中，多孔材料作为宏观材料，单胞结构作为微结构；
(2)定义参数：定义NURBS基函数的多项式指数、NURBS基函数的数量、等几何分析单元、两个参数方向上的节点向量，两个参数方向上的控制点数量为，根据上述参数确定NURBS基函数和控制顶点，并以此建立与设计域对应的NURBS曲面；接着设定设计域的目标体积和惩罚因子；两个节点向量的方向即为参数方向ξ，η。
(3)用Shepard函数光滑控制顶点密度，光滑后的控制顶点密度可表示为：
Figure BDA0001881875890000061
式中，
Figure BDA0001881875890000062
是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρi，j表示控制顶点(i，j)处的密度，ω(ρi，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，
Figure BDA0001881875890000063
分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数。
(4)通过NURBS函数构造密度分布函数：
Figure BDA0001881875890000064
其中，(ξ，η)为参数坐标，
Figure BDA0001881875890000065
是根据步骤(3)中所得到的光滑后的控制顶点密度形式，
Figure BDA0001881875890000066
是定义的双变量NURBS基函数，形式如下：
Figure BDA0001881875890000067
Ni，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，表示第i个p次基函数，n代表Ni，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ1，ξ2，…，ξn+p+1}构成；Mj，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j个q次基函数，m代表Mj，q(η)中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量
Figure BDA0001881875890000068
构成。ωij是张量积Ni，p(ξ)Mj，q(η)对应的权重。
(5)通过渐近均匀化方法等效材料属性：
Figure BDA0001881875890000069
|Ω|代表微结构的面积，D是弹性张量，
Figure BDA00018818758900000610
是线性独立的单元测试应变场，ε(u)表示微结构内未知的应变场,是通过下式中的线弹性平衡方程得到：
Figure BDA0001881875890000071
υ表示微结构可允许的位移场空间Hper。
(6)基于密度分布函数构建结构优化设计模型：
Figure BDA0001881875890000072
其中，ρi，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是待优化微结构设计域上点的坐标，n，m分别是在构建NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是微结构设计域，u中设计域上的位移场，
Figure BDA0001881875890000073
是密度分布函数，
Figure BDA0001881875890000074
是目标函数，
Figure BDA0001881875890000075
是优化后的设计域体积与设计域初始体积V0之差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷。
具体地，平衡方程是通过虚功原理建立的，定义为：
Figure BDA0001881875890000076
a是双线性能量函数，l是线性载荷函数。u是在结构设计域Ω的位移场，δu是在Sobolev空间H1(Ω)的虚位移场。D表示弹性张量矩阵。
(7)对目标函数和约束条件进行敏度分析求解，即目标函数和约束条件分别对设计变量进行求导，求导公式如下：
Figure BDA0001881875890000081
Figure BDA0001881875890000082
是从宏观弹性张量矩阵DH中第
Figure BDA0001881875890000083
的项，ρi，j为点(i，j)处的密度，|Ω|代表微结构的面积，u是在结构Ω中的位移场，γ是惩罚因子，
Figure BDA0001881875890000084
是密度分布函数，D0是实体密度的弹性张量矩阵，
Figure BDA0001881875890000085
代表双变量NURBS基函数，ψ(ρi，j)表示在当前控制点(i，j)处的Shepard函数，G是体积约束。
(8)通过优化准则更新设计变量，得到更新后的密度值。优化准则表达形式为：
Figure BDA0001881875890000086
其中，
Figure BDA0001881875890000087
是第k+1步的密度值，
Figure BDA0001881875890000088
是第k步的密度值，
Figure BDA0001881875890000089
是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，Δ，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0,1)，ρmin是单元的最小密度，ρmax是单元的最大密度。
(9)判断收敛条件是否满足：若满足，则输出当前设计结果作为最优结构，否则，返回步骤(5)继续进行优化，直到满足条件。
收敛条件定义为：
Figure BDA00018818758900000810
其中，
Figure BDA00018818758900000811
表示第k+1步设计变量的最大变化值，
Figure BDA00018818758900000812
表示第k步设计变量的最大变化值，ε是允许的收敛误差。即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于等于1％时，优化完成。
下面结合图2～4所示的一个具体实施例来对本发明的上述步骤进行详细说明：
如图2所示：
(1)待优化微结构设计域为1×1的正方形，
(2)定义参数如下：NURBS基函数的多项式指数为2、NURBS基函数的数量为102*102、等几何分析单元数100*100、两个参数方向上的节点向量Ξ＝{0，0，0，0.01，…，0.99，1，1，1}、
Figure BDA0001881875890000091
两个参数方向上的控制点数量为102*102，根据上述参数确定NURBS基函数和控制顶点，并以此建立与设计域对应的NURBS曲面；目标体积30％、惩罚因子为3；两个节点向量的方向即为参数方向ξ，η。
(3)用Shepard函数光滑控制顶点密度，光滑后的控制顶点密度可表示为：
Figure BDA0001881875890000092
式中，
Figure BDA0001881875890000093
是控制顶点(i，j)光滑后的密度，ρi，j表示控制顶点(i，j)处的密度，w(ρi，j)表示控制顶点(i，j)处的权重，
Figure BDA0001881875890000094
分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数。
(4)通过NURBS函数构造密度分布函数：
Figure BDA0001881875890000095
其中，(ξ，η)为参数坐标，
Figure BDA0001881875890000096
是根据步骤(3)中所得到的光滑后的控制顶点密度形式，
Figure BDA0001881875890000097
是定义的双变量NURBS基函数，形式如下：
Figure BDA0001881875890000098
Ni，p(ξ)是在参数方向上定义的一个B样条基函数，表示第i个p次基函数，n代表Ni，p(ξ)中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量Ξ＝{ξ1，ξ2，…，ξn+p+1}构成；Mj，q(η)是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j个q次基函数，m代表Mj，q(η)中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量
Figure BDA0001881875890000101
构成。wij是张量积Ni，p(ξ)Mj，q(η）对应的权重。
(5)通过渐近均匀化方法等效材料属性：
Figure BDA0001881875890000102
|Ω|代表微结构的面积，D是弹性张量，
Figure BDA0001881875890000103
是线性独立的单元测试应变场，ε(u)表示微结构内未知的应变场，是通过下式中的线弹性平衡方程得到：
Figure BDA0001881875890000104
v表示微结构可允许的位移场空间Hper。
(6)基于密度分布函数构建结构优化设计模型：
Figure BDA0001881875890000105
其中，ρi，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是待优化微结构设计域上点的坐标，n，m分别是在构建NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是微结构设计域，u中设计域上的位移场，
Figure BDA0001881875890000106
是密度分布函数，
Figure BDA0001881875890000107
是在位移场和密度分布函数分别为u和
Figure BDA0001881875890000108
时对应的目标函数，
Figure BDA0001881875890000109
是优化后的设计域体积与设计域初始体积V0之差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷。
具体地，平衡方程是通过虚功原理建立的，定义为：
Figure BDA0001881875890000111
a是双线性能量函数，l是线性载荷函数。u是在结构设计域Ω的位移场，δu是在Sobolev空间H1(Ω)的虚位移场。D表示弹性张量矩阵。
(7)对目标函数和约束条件进行敏度分析求解,即目标函数和约束条件分别对设计变量进行求导，求导公式如下：
Figure BDA0001881875890000112
Figure BDA0001881875890000113
是宏观弹性张量矩阵DH中第
Figure BDA0001881875890000114
项，ρi，j为点(i，j)处的密度，|Ω|代表微结构设计域的面积，u是在设计域Ω中的位移场，γ是惩罚因子，
Figure BDA0001881875890000115
是密度分布函数，D0是实体密度的弹性张量矩阵，
Figure BDA0001881875890000116
代表双变量NURBS基函数，ψ(ρi，j)表示在当前控制点(i，j)处的Shepard函数，G是体积约束。
(8)通过优化准则更新设计变量，得到更新后的密度值。优化准则表达形式为：
Figure BDA0001881875890000117
其中，
Figure BDA0001881875890000118
是第k+1步的密度值，
Figure BDA0001881875890000119
是第k步的密度值，
Figure BDA00018818758900001110
是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，Δ，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0,1)，ρmin是单元的最小密度，ρmax是单元的最大密度。
(9)判断收敛条件是否满足：若满足，则输出当前设计结果作为最优结构，否则，返回步骤(5)继续进行优化，直到满足条件。
收敛条件定义为：
Figure BDA0001881875890000121
其中，
Figure BDA0001881875890000122
表示第k+1步设计变量的最大变化值，
Figure BDA0001881875890000123
表示第k步设计变量的最大变化值，ε是允许的收敛误差。即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于等于1％时，优化完成。
优化后的微结构如图3所示。其优化过程可简述为，通过构造Shepard方程，光滑控制点密度，用以构造密度分布函数，通过渐近均匀化方法等效材料属性，进而对单元刚度矩阵进行求解，以构造密度分布函数构建的结构优化设计模型。通过优化设计模型，对目标函数和约束条件进行灵敏度分析，得到设计变量，再通过优化准则对设计变量进行更新，得到优化的结构，进而判断是否满足收敛条件，即相邻两次迭代的设计变量的最大变化值小于0.01，若满足则输出优化结构，若不满足，则返回步骤求解单元刚度矩阵，继续进行优化，直到满足收敛条件，输出最优结果。
图4为目标函数的迭代曲线，从曲线可以看出，初始时由于体积分数未达到约束时，目标函数有波动。当体积分数达到约束值，目标函数开始稳定变化，逐渐收敛，在迭代37次后完成优化。表明了该设计方法能够快速的收敛并达到稳定值，且最终的结构边界光滑，效果显著。
本领域的技术人员容易理解，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：
(a)选取多孔材料的单胞结构作为待优化对象，其中，多孔材料作为宏观材料，单胞结构作为微结构，选择与该微结构相应的NURBS基函数和控制顶点，以此构建与待优化微结构设计域对应的NURBS曲面；
(b)通过渐进均匀化方法等效材料属性，以此获得多孔材料的弹性张量矩阵，根据该弹性张量矩阵建立微结构密度的优化设计模型，使得微结构在体积减小的同时具有负泊松比，即使宏观材料具有拉胀超材料属性；
密度的优化设计模型按照下列表达式进行：
Figure FDA0002767797630000011
其中，ρi，j是点(i，j)处的密度，(i，j)是微结构设计域上点的坐标，n，m分别是在构建NURBS曲面的过程中建立的两个参数方向上的控制顶点的总数量，Ω是微结构即设计域，u是设计域上的位移场，
Figure FDA0002767797630000012
是密度分布函数，
Figure FDA0002767797630000013
是高斯积分点处的密度，
Figure FDA0002767797630000014
是在位移场和密度分布函数分别为u和
Figure FDA0002767797630000015
时对应的目标函数，
Figure FDA0002767797630000016
是优化后的设计域体积与设计域初始体积V0之差，a(u，δu)是在设计域位移场为u时对应的双线性能量，δu是在Sobolev空间H1(Ω)的虚位移场，l(δu)是虚位移场为δu时对应的线性载荷，
Figure FDA0002767797630000017
是多孔材料弹性张量矩阵DH中第1212项，
Figure FDA0002767797630000018
是多孔材弹性张量矩阵DH中第1111项，
Figure FDA0002767797630000019
是多孔材料弹性张量矩阵DH中第2222项；
高斯积分点处的密度
Figure FDA00027677976300000110
按照下列关系式进行：
Figure FDA0002767797630000021
其中，
Figure FDA0002767797630000022
是高斯积分点处的密度，(ξ，η)是高斯积分点的参数坐标，
Figure FDA0002767797630000023
是光滑后的控制顶点密度，
Figure FDA0002767797630000024
是双变量NURBS基函数；
光滑后的控制顶点密度
Figure FDA0002767797630000025
按照下列表达式进行：
Figure FDA0002767797630000026
其中，ρi，j是控制顶点(i，j)处的密度，w(ρi，j)是控制顶点(i，j)处的权重，
Figure FDA0002767797630000027
Figure FDA0002767797630000028
分别为当前节点的局部支撑域在两个参数方向上对应的控制顶点的个数；
(c)建立微结构密度的优化准则，根据该优化准则计算优化模型，直至获得收敛的密度值，以此获得优化后的微结构的密度值，从而实现多孔材料的微结构的拓扑优化。
2.如权利要求1所述的一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，多孔材料的弹性张量矩阵DH按照下列表达式进行：
Figure FDA0002767797630000029
其中，|Ω|是微结构的面积，D是弹性张量，ε(u0)是线性独立的单元测试应变场，ε(u)是微结构内的应变场。
3.如权利要求2所述的一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，ε(u)是按照下列表达式计算获得：
Figure FDA00027677976300000210
其中，u是设计域上的位移场，v是微结构可允许的位移场空间Hper。
4.如权利要求1所述的一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，双变量NURBS基函数
Figure FDA00027677976300000211
按照下列表达式进行：
Figure FDA0002767797630000031
其中，
Figure FDA0002767797630000032
是在参数方向上定义的一个B样条基函数，是第i0个p次基函数，n0是
Figure FDA0002767797630000033
中基函数的个数，p为基函数的次数，由节点向量
Figure FDA0002767797630000034
构成；
Figure FDA0002767797630000035
是在另一个参数方向上定义的B样条基函数，表示第j0个q次基函数，m0代表
Figure FDA0002767797630000036
中基函数的个数，q为基函数的次数，由节点向量
Figure FDA0002767797630000037
构成，
Figure FDA0002767797630000038
是张量积
Figure FDA0002767797630000039
对应的权重。
5.如权利要求1所述的一种面向拉胀超材料的等几何拓扑优化方法，其特征在于，在步骤(c)中，优化准则按照下列表达式进行：
Figure FDA00027677976300000310
其中，
Figure FDA00027677976300000311
是第k+1步的密度值，
Figure FDA00027677976300000312
是第k步的密度值，
Figure FDA00027677976300000313
是点(i，j)的设计变量在第k步循环的更新因子，Δ，ζ分别是步长限制和阻尼系数，取值范围均为(0,1)，ρmin是单元的最小密度，ρmax是单元的最大密度。
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