CN107391855A - 一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化技术领域，公开了一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，针对传统变密度法得到的连续变化的材料分布以及单元密度，基于后处理机制对材料区域进行划分与单元密度分组，实现对宏观结构内具有不同材料属性的区域进行定义与划分，实现对宏观结构内的多种微观结构进行定义；其次基于参数化水平集拓扑优化方法与均匀化理论建立材料结构一体化设计模型，即针对定义的多种微观结构与宏观结构进行一体化设计，实现宏观结构与多种微观结构并行化设计，在给定约束条件下，实现整体结构的性能达到最优。

Description

一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法

技术领域

本发明属于结构优化技术领域，更具体地，涉及一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法。

背景技术

机械结构设计包括对宏观结构的构建，以及对局部材料的设计；对于宏观结构的构建而言，以寻求结构设计域内材料的合理分布，在给定的约束条件下实现宏观结构性能达到最优为目的。而局部材料设计是通过改变材料的微观结构来实现材料宏观等效属性的改变，进而优化产品性能。宏观结构的构建中需要考虑局部的材料弹性属性，而在传统机械结构设计中，这个材料弹性属性值设为定值；在局部材料设计中，需要以宏观结构的边界条件与负载条件来确定材料属性的需求变化，因此如何建立材料结构一体化设计方法成为现今研究热点。

现有的材料结构一体化设计方法主要存在以下缺陷：

(1)现有的材料结构一体化设计模型只针对单种微观结构，假设在宏观结构内均匀分布单种微观结构，该类设计模型非常简单，数值实施简便，求解方便；但是假设过于局限，不能实现微观结构的局部性设计；

(2)现有的材料结构一体化设计模型采用逐点式设计，假定宏观结构内每一点对应不同的材料属性需求，该类模型带来大量计算成本；为解决该问题，通常采用数值缩减模型，或者将初始的多种微观结构与宏观结构进行解耦，即首先进行宏观结构设计，基于宏观结构设计进行微观结构逐点式设计，实现了多种微观结构与宏观结构的优化，但初始的宏微观耦合解耦设计，微观结构优化设计时，宏观结构保持不变，缩减了设计空间。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，其目的在于缩减计算成本，减少材料设计变量，并提升结构性能。

为实现上述目的，本发明提供了一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)通过带有后处理机制的变密度法对宏观结构设计域进行初始化分区，形成宏观结构的子区域，不同子区域由不同种微观结构周期性排列组成，因此每个子区域具有不同的宏观材料等效属性；

(2)针对分区域后的宏观结构与步骤(1)定义的多种微观结构，基于参数化水平集与均匀化理论构建面向多种微观结构的宏微观一体化优化模型；针对多种微观结构进行有限单元分析，定义微观结构在宏观分区域的等效材料属性，并应用于宏观结构的有限单元分析求解宏观位移场；基于得到的宏观位移场求解宏微观一体化优化模型的目标函数；基于双尺度下的灵敏度分析定义设计灵敏度，采用最优准则算法更新双尺度设计变量，确定最优的宏观结构与微观结构，使得整体的结构性能达到最优。

优选地，基于变密度法的材料分布模型为：

Find:X＝(x₁,x₂,...,x_N)

Minimize:

Subject to:

其中，X为宏观结构单元密度，包含N个结构单元，分别为：x₁,x₂,…,x_N，取值范围为x_min到1，其中x_min为预设的最小材料相对密度，取值0.001以防止计算时刚度矩阵奇异；C为结构静柔顺度，是结构优化的目标函数；F为外载荷向量，U为结构整体位移，K为结构整体刚度矩阵；N_e表示第N_e个单元，表示第N_e个单元的密度，表示第N_e个单元的位移；p表示单元密度惩罚指数；T表示矩阵的转置；K₀为单元密度为1时的单元对应的刚度矩阵；G₀为模型设计的体积约束，为定义的体积约束的最大值，V₀为单元相对密度为1时的体积。

优选地，面向材料分布模型，建立后处理机制为：

所述单元密度

其中，表示第I个宏观结构子区域，X_I是指在区域内修改后的单元密度，NI表示属于该区域的单元个数，表示第N_e个单元的密度。

优选地，所述步骤(1)包括如下子步骤：

(1.1)初始化定义设计参数包括结构设计域的长宽，材料属性，以及优化设计参数；

(1.2)通过宏观结构有限单元分析来求宏观结构优化的位移场U；

(1.3)基于所述位移场U获得目标函数C：

其中，其中F为外载荷向量，U为结构整体位移，K为结构整体刚度矩阵，C为结构静柔顺度，N为结构单元总个数；

(1.4)基于伴随变量法，进行目标函数与约束函数的灵敏度分析如下：

其中，表示目标函数C对第N_e个设计变量的一阶微分，C为结构静柔顺度；表示体积约束G₀对第N_e个设计变量的一阶微分，G₀为模型设计的体积约束；第N_e个设计变量是指单元密度

(1.5)获取当前迭代的体积约束

其中，G₀为模型设计的体积约束，N_e表示第N_e个单元，表示第N_e个单元的密度，V₀为单元相对密度为1时的体积，为定义的体积约束的最大值；

(1.6)判断是否满足收敛条件，若否，则返回步骤(1.2)；若是，则输出连续的结构单元密度，采用后处理机制进行单元密度修改以及宏观结构区域分类；

(1.7)输出分类后的宏观区域，包含分类区域与每个分类区域对应的单元密度X_I。

优选地，基于参数化水平集方法与均匀化理论建立面向多种微观结构的材料结构一体化优化设计模型为：

Find:α_Ma,α_Mi(Ma＝1,2,...,MA；Mi＝1,2,...,MI)

Minimize:

Subject to:

其中α_Ma表示宏观结构设计变量，(α_Ma)^min表示α_Ma的最小值，(α_Ma)^max表示α_Ma的最大值之间，Ma表示第Ma个宏观结构设计变量，MA表示宏观设计变量的总数；α_Mi表示微观结构设计变量，(α_Mi)^min表示α_Mi的最小值，(α_Mi)^max表示α_Mi的最大值，Mi表示第Mi个微观结构设计变量，MI表示微观设计变量的总数；J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，表示宏观结构子区域的积分算子；a表示双线性能量式，l表示单线性负载式，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，U_ma表示宏观结构的位移场，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，D^h表示宏观结构不同区域的均匀化材料等效属性，Ω_ma为宏观结构设计域，表示宏观结构Ω_ma对应的动力学可允许位移空间；表示第I个微观结构的水平集函数，表示第I个微观结构的位移场，表示第I个微观结构的虚拟位移场，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的虚拟位移场；G_M表示一体化设计模型的体积约束，V_M表示整体的体积分数最大值；表示第I个微观结构的体积约束，X_I为步骤(1)中求得的第I个宏观结构设计域内的单元密度，在这作为第I个微观结构设计域的体积分数最大值。

优选地，基于虚功原理，针对宏观有限单元平衡方程进行计算，对应的弱变分形式如下：

其中a表示双线性能量式，l表示单线性负载式，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，U_ma表示宏观结构的位移场，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，D^h表示宏观结构不同区域的均匀化材料等效属性，h表示均匀化；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数；，Ω_ma为宏观结构设计域，p_ma表示结构设计域的体积力，τ_ma表示结构设计域的边界力，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，▽表示差分算子。

优选地，基于均匀化理论计算微观结构的宏观等效属性D^h，基于两个基本假设：1)复合材料由微观结构周期性重复排列；2)周期性结构的尺度远小于复合材料的尺度；基于小参数渐进性展开理论，针对微观结构的位移场进行展开，可得到复合材料宏观等效属性求解公式，如下：

其中表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，h表示均匀化；Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域；是指在pq方向下的单元测试应变场，基于扰动理论，施加在微观结构上，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向，表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数。

优选地，基于虚功原理针对微观结构内线弹性平衡方程进行计算，可求解未知位移场，如下：

其中Ω_mi表示微观结构设计域，是指在pq方向下的单元测试应变场，基于扰动理论，施加在微观结构上，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在ij方向下的微观位移场；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量；是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，是指在kl方向下微观结构的虚拟位移场，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数。

优选地，所述步骤(2)包括如下子步骤：

(2.1)初始化设计参数包括宏观、微观结构设计域的长宽，材料属性，以及优化设计参数；

(2.2)获取各微观结构优化设计域的材料属性值

其中，表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，h表示均匀化；Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域；是指在pq方向下的单元测试应变场，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向，表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场；H表示Heaviside函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；

(2.3)基于步骤(2.2)求解的不同宏观子区域的材料均匀化属性，进行宏观结构有限单元分析，如下：

其中，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；Ω_ma为宏观结构设计域，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，τ_ma表示结构设计域的边界力，δ表示Dirac函数，▽表示差分算子；

(2.4)基于步骤(2.3)中有限单元分析对一体化设计的目标函数求解，如下：

其中J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，表示宏观结构子区域的积分算子；

(2.5)基于形状微分与伴随变量法求解目标函数与约束函数针对宏微观双尺度设计变量的一阶微分；

目标函数与约束函数对宏观设计变量的一阶微分：

其中：

其中表示目标函数对宏观设计变量的一阶微分，J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；α_Ma表示宏观结构设计变量，Ω_ma为宏观结构设计域；β₁具体定义函数形式如上所示，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，▽表示差分算子，τ_ma表示结构设计域的边界力，n表示法线方向，κ表示平均曲率；φ表示紧支撑径向基函数，其中r表示影响域半径；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示模型体积约束对宏观设计变量的一阶微分，其中G_M表示一体化设计模型的体积约束，λ₀为体积约束的拉个朗日乘子，为步骤(1)中材料分布模型定义的体积分数，表示第I个微观结构的设计域，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；表示第I个微观结构的水平集函数；

目标函数与约束函数对微观设计变量的一阶微分：

其中：

其中，表示目标函数对微观设计变量的一阶微分，其中J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；α_Mi表示微观结构设计变量；Ω_ma为宏观结构设计域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示弹性张量对微观设计变量的一阶微分，具体表述形式如上式，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示微观结构的体积约束对微观设计变量的一阶微分，G_mi表示微观结构体积约束，Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域，φ表示紧支撑径向基函数，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；对应表示在ijkl方向的测试应变下弹性张量的一阶微分；表示在ij方向下的微观位移场；

(2.6)求当前迭代的宏观与微观体积约束；

其中，G_M表示一体化设计模型的总体积约束，N_Ω为宏观结构所划分出的子区域个数；为第I个宏观结构子区域；表示第I宏观结构的水平集函数，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的水平集函数，V_M表示整体的体积分数最大值；表示第I个微观结构的体积约束；

(2.7)判断是否满足收敛条件，若否，则返回到步骤(2.2)；若是，则输出最优的宏观结构和多种微观结构。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

(1)本发明提供的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，与现有的技术相比，仍然保证了宏观结构与微观结构并行化优化设计，维持了初始一体化设计的宏微观的耦合性，仍保持了初始的优化可行空间；

(2)本发明提供的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，与现有技术相比，在保证宏微观双尺度耦合优化设计的前提下，可面向多种微观结构优化设计，实现了在宏观结构域内不同部分由于边界条件的原因，对材料的属性要求不同，而进行局部性材料微观结构优化设计，大大增加了优化设计的可行空间，增强了结构优化设计性能；

(3)本发明提供的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，与现有技术相比，针对传统变密度法在无惩罚机制时，建立一种连续分布密度单元的后处理机制，实现宏观结构设计域分类为多个子区域。相比于传统的逐点式设计，本发明不仅大大缩减了计算成本，也可大幅度提升结构性能。

附图说明

图1是实施例提供的面向多种微观结构的宏微观结构一体化构建方法的流程示意图；

图2是实施例中宏观材料分布优化流程示意图；

图3a～图3c是实施例中二维宏观结构材料分布优化前、后的示意图，其中图3a是初始宏观结构设计域，图3b是基于无惩罚机制下的变密度法优化后的结构单元密度分布图，图3c是基于后处理机制实现的单元密度的修订与宏观设计域分区；

图4是多种微观结构与宏观结构一体化设计方法的流程图；

图5是实施例中宏观结构与微观结构的分布示意图；

图6是实施例中三维水平集函数与二维结构设计域水平集函数结构图；

图7a～图7c是实施例中三维宏观结构材料分布优化前后的示意图，其中图7a是初始三维宏观结构设计域，图7b是基于无惩罚机制下的变密度法优化后的结构设计单元密度分布图，图7c是基于后处理机制实现单元密度的修订与宏观设计域分区；

图8是实施例中二维的结果分析示意图，给出不同条件下的目标函数性能变化图；

图9是二维结构内存在5种微观结构时的一体化设计的结构形式示意图；

图10是三维结构内存在5种微观结构时的一体化设计的结构形式示意图(其中一种微观结构无材料，未展示)；

图11是三维目标函数收敛曲线示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

实施例提供的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，其流程如图1所示，包括如下步骤：

(1)通过带有后处理机制的变密度法，对宏观结构设计域进行初始化分区，形成宏观结构的分区；首先初始化参数定义，进行宏观结构有限元分析；并求解目标函数，基于灵敏度分析定义设计灵敏度；基于最优准则算法来更新设计变量，直到获得最优结构形式；然后采用后处理机制得到宏观结构设计域的初始化分区；

步骤(1)的流程如图2所示，具体包括如下子步骤：

(1.1)初始化定义设计参数，主要包含结构设计域的长宽，材料属性，如杨氏模量、泊松比；实施例中，优化设计参数惩罚指数p取值为1，初始化信息如图3a所示，给出了宏观结构的几何信息；

(1.2)宏观结构有限单元分析，根据KU＝F获取宏观结构优化设计位移场U；其中F为外载荷向量，U为结构整体位移，K为结构整体刚度矩阵。

(1.3)基于位移场U确定关于结构静柔顺度的目标函数如下：

其中，C为结构静柔顺度，T表示矩阵的转置，N表示单元的总个数，N_e表示第N_e个单元，表示第N_e个单元的密度，表示第N_e个单元的位移；p表示单元密度惩罚指数，为获得连续的密度分布值，取值为1；K₀是单元密度为1的单元对应的刚度矩阵。

(1.4)基于伴随变量法进行如下目标函数与约束函数的灵敏度分析，来定义灵敏度；

其中，表示目标函数C对第N_e个设计变量(即单元密度)的一阶微分，C为结构静柔顺度；表示体积约束G₀对第N_e个设计变量的一阶微分，G₀为模型设计的体积约束；V₀为单元相对密度为1时的体积。

(1.5)根据下式获取当前迭代的体积约束G₀，并基于最优准则法(OC)更新设计变量；

其中，G₀为模型设计的体积约束，为定义的体积约束的最大值。

(1.6)判断是否满足收敛条件时，若否，则返回到步骤(1.2)；若是，则输出连续的结构单元密度；

连续分布的单元密度图如图3b所示，给出了结构设计域内每个单元的密度信息，可以看出单元密度值不断连续的变化；为减少单元密度值种类，即后续一体化设计变量，根据下式采用后处理机制，进行单元密度修改以及宏观结构区域分类；

其中，表示第I个宏观结构子区域；X_I是指在区域内修改后的单元密度，NI表示属于该区域的单元个数，即X_I值等于该区域内所有单元的密度平均值，它将作为该区域后续微观结构优化时的体积约束。

(1.7)输出分类后的宏观区域，包含分类区域与每个分类区域对应的单元密度X_I。针对图3b采用后处理机制处理后，得到图3c所示的单元密度分布，可以看出结构设计域内的单元密度分布图被分为几大块，即结构设计域被分类为几个子区域。

(2)基于参数化水平集与均匀化技术构建面向多种微观结构的宏微观一体化优化模型；首先基于步骤(1)所获得的宏观分区定义各微观结构，求解不同区域内微观结构的材料最优属性值；基于不同区域的材料属性用于宏观结构有限单元分析，求得结构全局位移场；基于得到的宏微观位移场，求解全局目标函数；基于伴随变量法和形状灵敏度分析求解目标函数与约束函数对宏微观双尺度设计变量的灵敏度；基于灵敏度信息，采用最优准则算法更新双尺度设计变量；当满足收敛条件时，可获得最优宏观结构与微观结构，使整体的结构性能达到最优，其流程如图4所示，具体包括如下步骤：

(2.1)初始化定义各类设计参数，包含宏观、微观结构设计域的长宽，材料属性，如杨氏模量、泊松比；以及优化设计参数，如水平集中的紧支撑径向基影响域；

步骤(1)将宏观结构设计域被分为多个子区域；每个子区域由一种微观结构周期性重复排列组合而成，即不同分类区域具有不同的材料属性值，如图5所示，宏观结构包括两种微观结构，每一种微观结构有其特定的材料属性以及材料分布形式，分别分布在宏观结构的不同区域内；其中，全局坐标系(x)用于描述宏观结构，局部坐标系(y)用于描述微观结构。

(2.2)基于均匀化理论获取不同微观结构优化设计域的材料属性值：

其中，表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，h表示均匀化；Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域；是指在pq方向下的单元测试应变场，基于扰动理论施加在微观结构上，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向，表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；

未知位移场可基于线性平衡方程求解，如下：

其中Ω_mi表示微观结构设计域，是指在kl方向下微观结构的虚拟位移场；

(2.3)基于水平集函数描述结构形式，采用高一维的水平集函数的零水平集表示结构的边界形式，水平集函数随时间的变化引起结构拓扑形式的变化，如图6所示。

基于步骤(2.2)求解的不同宏观子区域的材料均匀化属性，进行宏观结构有限单元分析；

其中，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化；表示第I宏观结构的水平集函数，为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；Ω_ma为宏观结构设计域，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，τ_ma表示结构设计域的边界力，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，▽表示差分算子；

(2.4)基于步骤(2.3)的有限单元分析确定宏观结构目标函数如下：

其中，J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，ε为应变场，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，表示宏观结构子区域的积分算子。

(2.5)基于形状微分与伴随变量法，求解宏观结构目标函数与约束函数针对宏微观双尺度设计变量的一阶微分，如下：

目标函数与约束函数对宏观设计变量的一阶微分：

其中：

其中，表示目标函数对宏观设计变量的一阶微分，J是宏观结构目标函数；α_Ma表示宏观结构设计变量，Ω_ma为宏观结构设计域；β₁具体定义函数形式，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，▽表示差分算子，τ_ma表示结构设计域的边界力，n表示法线方向，κ表示平均曲率；φ表示紧支撑径向基函数，其中r表示影响域半径；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示模型体积约束对宏观设计变量的一阶微分，其中G_M表示一体化设计模型的体积约束，λ₀为体积约束的拉个朗日乘子，为步骤(1)中材料分布模型定义的体积分数，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的水平集函数。

目标函数与约束函数对微观设计变量的一阶微分：

其中：

其中，表示目标函数对微观设计变量的一阶微分，其中J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；α_Mi表示微观结构设计变量；Ω_ma为宏观结构设计域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示弹性张量对微观设计变量的一阶微分；Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示微观结构的体积约束对微观设计变量的一阶微分，G_mi表示微观结构体积约束，Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域，φ表示紧支撑径向基函数，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；对应表示在ijkl方向的测试应变下弹性张量的一阶微分；表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，是指在pq方向下的单元测试应变场，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向；表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置，D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场，可基于线性平衡方程求解。

(2.6)求当前迭代的宏观与微观体积约束，并基于最优准则法更新设计变量；

其中，G_M表示一体化设计模型的总体积约束，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；表示第I宏观结构的水平集函数，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的水平集函数，V_M表示整体的体积分数最大值；表示第I个微观结构的体积约束，X_I为步骤(1)中求得的第I个宏观结构设计域内的单元密度，在这作为第I个微观结构设计域的体积分数最大值。

(2.7)判断是否满足收敛条件，若否，则返回到步骤(2.2)；若是，则输出最优的宏观结构形式和多种微观结构设计形式。

以下结合二维与三维下的实例来具体陈述本发明所提供的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法。实例中，基本材料的属性定义杨氏模量E＝2.1e12与泊松比μ＝0.3。

其中2D结构的初始设计域如图3a所示，宏观结构尺寸定义为60×30，有限单元网格划分60×30；3D结构，初始设计域如图7a所示，结构尺寸为20×20×15，有限单元网格划分为20×20×15。2D结构与3D结构的微观结构的结构尺寸均为1，2D结构的有限元网格尺度定义为60×60，3D结构的有限单元网格定义为15×15×15。采用无惩罚机制的变密度法优化结构设计，得到连续的单元密度分布图，2D结构如图3b所示，3D结构如图7b所示。为了减少设计变量，定义如下9种不同的分区域方案，如下表所示：

表1后处理机制参数列表

在表1中，当单元密度处于某一个定义的范围时，即认为单元的材料属性需求相同。基于第5种方案，针对图3b和图7b进行连续密度处理，可得到图3c与图7c，从这两个图中可以看出，整个结构设计域被分为5种不同的区域，每一个区域由一种单元密度构成。

基于上述9种分类方案，采用本发明实施例所提供的方法对2D结构与3D结构进行宏微观结构一体化设计；数值结果如图8所示，其中，纵坐标表示结构静柔度，横坐标表示微观结构种类的个数；图8给出了不同体积分数组合下的变化形式，其中V_M表示总体体积分数，表示微观体积分数，分别表示每一种组合体积分数下对应的最优目标函数值；从该图可以看出随着微观结构种类的增加，目标函数值减小，即静柔度不断减小，则结构的刚度性能不断增加；目标函数即结构性能随着分区域个数的增加，性能不断变优，但当分区域达到一定数量时，结构性能趋于稳定，表明本发明的方法在达到最优性能的同时了减少计算成本。

针对二维结构，构建的结果如图9所示，宏观结构与5种微观结构同时优化并得到最优结构形式，宏观结构被分为5种子区域，每一种子区域均由一种微观结构周期性重复排列组合而成；针对三维结构，最优一体化结构如图10所示，宏观结构是由5种微观结构在不同区域分别周期性组合排列而成。图11所示，是三维目标函数的迭代曲线，从曲线中可以看出，初始时由于结构设计体积分数未达到约束值，目标函数波动较大。当体积分数达到约束值，目标函数开始稳定变化，逐渐收敛，在迭代20步以后，目标函数稳定，表明该方法设计方法能够快速的收敛并达到稳定值。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)通过带有后处理机制的变密度法对宏观结构设计域进行初始化分区，形成宏观结构的子区域，不同子区域由不同种微观结构周期性排列组成，因此每个子区域具有不同的宏观材料等效属性；

(2)针对分区域后的宏观结构与步骤(1)定义的多种微观结构，基于参数化水平集与均匀化理论构建面向多种微观结构的宏微观一体化优化模型；针对多种微观结构进行有限单元分析，定义微观结构在宏观分区域的等效材料属性，并应用于宏观结构的有限单元分析求解宏观位移场；基于得到的宏观位移场求解宏微观一体化优化模型的目标函数；基于双尺度下的灵敏度分析定义设计灵敏度，采用最优准则算法更新双尺度设计变量，确定最优的宏观结构与微观结构，使得整体的结构性能达到最优。

2.如权利要求1所述的材料结构一体化构建方法，其特征在于，基于变密度法的材料分布模型为：

Find:X＝(x₁,x₂,...,x_N)

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>z</mi> <mi>e</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>F</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>U</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>K</mi> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>K</mi> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，X为宏观结构单元密度，包含N个结构单元，分别为：x₁,x₂,…,x_N，取值范围为x_min到1，其中x_min为预设的最小材料相对密度，取值0.001以防止计算时刚度矩阵奇异；C为结构静柔顺度，是结构优化的目标函数；F为外载荷向量，U为结构整体位移，K为结构整体刚度矩阵；N_e表示第N_e个单元，表示第N_e个单元的密度，表示第N_e个单元的位移；p表示单元密度惩罚指数；T表示矩阵的转置；K₀为单元密度为1时的单元对应的刚度矩阵；G₀为模型设计的体积约束，为定义的体积约束的最大值，V₀为单元相对密度为1时的体积。

3.如权利要求1所述的材料结构一体化构建方法，其特征在于，面向权利要求2所述的材料分布模型，建立后处理机制为：

所述单元密度

其中，表示第I个宏观结构子区域，X_I是指在区域内修改后的单元密度，NI表示属于该区域的单元个数，表示第N_e个单元的密度。

4.如权利要求2或3所述的带有后处理机制的材料分布模型，其特征在于，所述步骤(1)包括如下子步骤：

(1.1)初始化定义设计参数包括结构设计域的长宽，材料属性，以及优化设计参数；

(1.2)通过宏观结构有限单元分析来求宏观结构优化的位移场U；

(1.3)基于所述位移场U获得目标函数C：

<mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>F</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>U</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>K</mi> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> </mrow>

其中，其中F为外载荷向量，U为结构整体位移，K为结构整体刚度矩阵，C为结构静柔顺度，N为结构单元总个数；

(1.4)基于伴随变量法，进行目标函数与约束函数的灵敏度分析如下：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>p</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>K</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>U</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <msub> <mi>N</mi> <mi>e</mi> </msub> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，表示目标函数C对第N_e个设计变量的一阶微分，C为结构静柔顺度；表示体积约束G₀对第N_e个设计变量的一阶微分，G₀为模型设计的体积约束；第N_e个设计变量是指单元密度

(1.5)获取当前迭代的体积约束

其中，G₀为模型设计的体积约束，N_e表示第N_e个单元，表示第N_e个单元的密度，V₀为单元相对密度为1时的体积，为定义的体积约束的最大值；

(1.6)判断是否满足收敛条件，若否，则返回步骤(1.2)；若是，则输出连续的结构单元密度，采用后处理机制进行单元密度修改以及宏观结构区域分类；

(1.7)输出分类后的宏观区域，包含分类区域与每个分类区域对应的单元密度X_I。

5.如权利要求1所述的材料结构一体化构建方法，其特征在于，基于参数化水平集方法与均匀化理论建立面向多种微观结构的材料结构一体化优化设计模型为：

Find:α_Ma,α_Mi(Ma＝1,2,...,MA；Mi＝1,2,...,MI)

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>z</mi> <mi>e</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> </msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mo>:</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msup> <mi>D</mi> <mi>h</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mover> <mi>U</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mover> <mi>U</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 2

其中α_Ma表示宏观结构设计变量，(α_Ma)^min表示α_Ma的最小值，(α_Ma)^max表示α_Ma的最大值之间，Ma表示第Ma个宏观结构设计变量，MA表示宏观设计变量的总数；α_Mi表示微观结构设计变量，(α_Mi)^min表示α_Mi的最小值，(α_Mi)^max表示α_Mi的最大值，Mi表示第Mi个微观结构设计变量，MI表示微观设计变量的总数；J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，表示宏观结构子区域的积分算子；a表示双线性能量式，l表示单线性负载式，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，U_ma表示宏观结构的位移场，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，D^h表示宏观结构不同区域的均匀化材料等效属性，Ω_ma为宏观结构设计域，表示宏观结构Ω_ma对应的动力学可允许位移空间；表示第I个微观结构的水平集函数，表示第I个微观结构的位移场，表示第I个微观结构的虚拟位移场，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的虚拟位移场；G_M表示一体化设计模型的体积约束，V_M表示整体的体积分数最大值；表示第I个微观结构的体积约束，X_I为步骤(1)中求得的第I个宏观结构设计域内的单元密度，在这作为第I个微观结构设计域的体积分数最大值。

6.如权利要求5所述的材料结构一体化构建方法，其特征在于，基于虚功原理，针对宏观有限单元平衡方程进行计算，对应的弱变分形式如下：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msup> <mi>D</mi> <mi>h</mi> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mstyle> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> </msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>l</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mstyle> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> <mo>+</mo> <mstyle> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中a表示双线性能量式，l表示单线性负载式，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，U_ma表示宏观结构的位移场，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，D^h表示宏观结构不同区域的均匀化材料等效属性，h表示均匀化；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数；，Ω_ma为宏观结构设计域，p_ma表示结构设计域的体积力，τ_ma表示结构设计域的边界力，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，表示差分算子。

7.如权利要求6所述的平衡方程计算方法，其特征在于，基于均匀化理论计算微观结构的宏观等效属性D^h，基于两个基本假设：1)复合材料由微观结构周期性重复排列；2)周期性结构的尺度远小于复合材料的尺度；基于小参数渐进性展开理论，针对微观结构的位移场进行展开，可得到复合材料宏观等效属性求解公式，如下：

<mrow> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mi>h</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow>

其中表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，h表示均匀化；Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域；是指在pq方向下的单元测试应变场，基于扰动理论，施加在微观结构上，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向，表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场；H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数。

8.如权利要求7所述的均匀化理论计算，其特征在于，基于虚功原理针对微观结构内线弹性平衡方程进行计算，可求解未知位移场，如下：

<mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>

其中Ω_mi表示微观结构设计域，是指在pq方向下的单元测试应变场，基于扰动理论，施加在微观结构上，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在ij方向下的微观位移场；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量；是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，是指在kl方向下微观结构的虚拟位移场，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数。

9.如权利要求5～8中任一权利要求所述的面向多种微观结构的材料结构一体化构建方法，其特征在于，所述步骤(2)包括如下子步骤：

(2.1)初始化设计参数包括宏观、微观结构设计域的长宽，材料属性，以及优化设计参数；

(2.2)获取各微观结构优化设计域的材料属性值

<mrow> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mi>h</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow>

其中，表示在施加ijkl方向下的测试应变时的均匀化弹性张量属性值，h表示均匀化；Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域；是指在pq方向下的单元测试应变场，是由pq方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，i,j,k,l与p,q,r,s均是指施加单元测试应变的方向，均对应横坐标方向与纵方向以及竖坐标方向，表示在ij方向下的微观位移场，T表示矩阵转置；D_pqrs表示微观设计域内任意一点的弹性模量，是指在rs方向下的单元测试应变场，是由rs方向下的单元测试应变场引起的未知应变场，表示在kl方向下的微观位移场，表示对应的设计域内位移场；H表示Heaviside函数，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；

(2.3)基于步骤(2.2)求解的不同宏观子区域的材料均匀化属性，进行宏观结构有限单元分析，如下：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> </msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；Ω_ma为宏观结构设计域，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数，τ_ma表示结构设计域的边界力，δ表示Dirac函数，表示差分算子；

(2.4)基于步骤(2.3)中有限单元分析对一体化设计的目标函数求解，如下：

<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> </msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow>

其中J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域，也为步骤(1)中的第I个宏观结构子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，表示第I宏观结构的水平集函数，表示宏观结构子区域的积分算子；

(2.5)基于形状微分与伴随变量法求解目标函数与约束函数针对宏微观双尺度设计变量的一阶微分；

目标函数与约束函数对宏观设计变量的一阶微分：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>0</mn> </msub> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mstyle> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <mrow> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>D</mi> <mi>I</mi> <mi>h</mi> </msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mrow> </mstyle> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;kappa;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>max</mi> </msubsup> <mo>&amp;ap;</mo> <mstyle> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> </mstyle> <mstyle> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> </mstyle> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中表示目标函数对宏观设计变量的一阶微分，J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；α_Ma表示宏观结构设计变量，Ω_ma为宏观结构设计域；β₁具体定义函数形式如上所示，N_Ω为步骤(1)中的宏观结构共分为N_Ω个子区域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示第I个宏观结构子区域对应的均匀化材料等效属性，h表示均匀化，p_ma表示结构设计域的体积力，V_ma表示宏观结构的虚拟位移场，表示差分算子，τ_ma表示结构设计域的边界力，n表示法线方向，κ表示平均曲率；φ表示紧支撑径向基函数，其中r表示影响域半径；δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分；Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示模型体积约束对宏观设计变量的一阶微分，其中G_M表示一体化设计模型的体积约束，λ₀为体积约束的拉个朗日乘子，为步骤(1)中材料分布模型定义的体积分数，表示第I个微观结构的设计域，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数；表示第I个微观结构的水平集函数；

目标函数与约束函数对微观设计变量的一阶微分：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </msub> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>T</mi> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>D</mi> <mi>h</mi> </msup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中：

<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mi>h</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mo>*</mo> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow>

其中，表示目标函数对微观设计变量的一阶微分，其中J是宏观结构目标函数，定义为结构的静柔度；α_Mi表示微观结构设计变量；Ω_ma为宏观结构设计域；ε应变场，T表示矩阵的转置，表示弹性张量对微观设计变量的一阶微分，具体表述形式如上式，h表示均匀化，H表示Heaviside函数，用于表述结构形式的特征函数，Φ_ma表示宏观结构设计域的水平集函数；表示微观结构的体积约束对微观设计变量的一阶微分，G_mi表示微观结构体积约束，Y_mi表示微观结构设计域的面积，Ω_mi表述微观结构设计域，φ表示紧支撑径向基函数，δ表示Dirac函数，为Heaviside函数的一阶微分，Φ_mi表示微观结构设计域的水平集函数；对应表示在ijkl方向的测试应变下弹性张量的一阶微分；表示在ij方向下的微观位移场；

(2.6)求当前迭代的宏观与微观体积约束；

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </msub> </munderover> <mo>(</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>d&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> </msub> <mi>H</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;Phi;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mi>I</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>I</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，G_M表示一体化设计模型的总体积约束，N_Ω为宏观结构所划分出的子区域个数；为第I个宏观结构子区域；表示第I宏观结构的水平集函数，表示第I个微观结构的设计域，表示第I个微观结构的水平集函数，V_M表示整体的体积分数最大值；表示第I个微观结构的体积约束；

(2.7)判断是否满足收敛条件，若否，则返回到步骤(2.2)；若是，则输出最优的宏观结构和多种微观结构。