CN109002598B - 考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构优化设计相关技术领域，其公开了一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，该方法包括以下步骤：(1)对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化；(2)对所述微结构的相对单元密度进行悬挑角和最小尺寸约束的密度投影，并获得微结构的位移场；(3)获得所述微结构的等效弹性张量，并对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，进而构建优化准则以更新微结构的相对单元密度；(4)判断当前的相对单元密度是否满足迭代收敛条件，若满足，则输出最优微结构构型；否则转至步骤(2)。本发明不依赖于工程经验，灵活性较高，且确保微结构具有自支撑性的同时还具有较优的宏观等效性能。

Description

考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化设计相关技术领域，更具体地，涉及一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法。

背景技术

增材制造技术的成型原理是“叠层制造”，即通过逐层累加材料的方式成型零件，因此可以实现高度复杂结构的加工成型。但是，在增材制造过程中，依然存在独特的制造约束，如1.结构的最小尺寸约束，增材制造过程中，不管采用熔融沉积成型工艺、选择性激光烧结工艺还是选择性激光熔化工艺，可成型的结构最小尺寸都不可避免地被喷嘴直径或者激光束的宽度所影响，因此结构的最小特征尺寸不能小于增材制造设备的制造精度，否则包含最小特征尺寸的结构无法制造成型。2.结构的悬挑角约束，在增材制造过程中，模型被软件切片处理后逐层打印，这就要求切片后的模型其每个部分下方都有材料，否则便会形成“空中楼阁”，造成打印过程中的坍塌现象；“空中楼阁”的结构用悬挑角这一物理量来描述，包含大悬挑角结构的模型在增材制造过程中需进行相关的处理，通常的处理方法是在模型的大悬挑角结构处人工添加支撑结构，这些支撑结构作为模型的一部分被加工成型，并在成型后去除，这样不仅造成了原料和时间成本的增加，同时后处理去除支撑结构也会损伤模型的表面质量。

目前，国内外学者在该方面做了相关的研究，但大多局限于自支撑宏观结构拓扑优化，对自支撑微结构拓扑优化的研究，多基于工程经验，通过设置周期性的隐函数或者样条函数，启发式地生成多孔自支撑结构，或者将微结构假定为大小各异的棱形结构或者骨状结构以实现自支撑设计。这类方法在自支撑结构的设计中加入了过多的人为约束和工程设计经验，依赖于经验，且获得自支撑微结构的宏观等效性能较差。相应地，本领域存在着发展一种宏观等效性能较好的自支撑结构拓扑优化方法的技术需求。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，其基于现有结构拓扑优化的特点，研究及设计了一种不依赖于工程经验且能够获得较优的宏观等效性能的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法。所述拓扑优化方法将增材制造的悬挑角和最小尺寸约束引入到微结构拓扑优化中，避免了微结构中出现大悬挑角结构及细小特征尺寸结构，以确保得到的微结构具有自支撑性且易于成型；同时，克服了现有自支撑微结构设计中多基于工程经验的缺陷，在自支撑微结构优化的同时保证了较优的宏观等效性能。

为实现上述目的，本发明提供了一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，该方法包括以下步骤：

(1)对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化；

(2)对所述微结构的相对单元密度进行悬挑角和最小尺寸约束的密度投影以获得满足悬挑角和最小尺寸约束的单元密度场分布；并对所述微结构进行有限元分析以获得所述微结构的位移场；

(3)基于有限元分析及所述位移场来获得所述微结构的等效弹性张量，并对微结构拓扑优化模型进行敏度分析以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息，进而构建优化准则以更新微结构的相对单元密度；

(4)判断当前的相对单元密度是否满足迭代收敛条件，若满足，则输出最优微结构构型；否则转至步骤(2)。

进一步地，步骤(1)中基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化，所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

式中，x_i为微结构的相对单元密度，下标i表示该单元在微结构设计域中的单元编号；E(x_i)为经过插值后的弹性模量；K为插值后的整体刚度矩阵；K₀为相对单元密度为“1”的实体单元所对应的刚度矩阵；E和E_min分别为相对单元密度为“1”的实体单元和相对单元密度为“0”的孔洞单元的弹性模量；p为插值模型的惩罚因子，一般取3～5；m为微结构离散为单元后的单元总数。

进一步地，步骤(2)包括以下子步骤：

(21)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影；

(22)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角的密度投影；

(23)对微结构的单元节点位移场进行分类，并根据分类后的单元节点位移场将微结构的载荷F进行对应分割，以构建及求解平衡方程(3)，进而获得微结构的位移场；平衡方程(3)为：

式中，K为微结构刚度矩阵；U为微结构单元节点位移场。

进一步地，采用公式(4)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影，所述公式(4)为：

式中，H₀和H₁分别为“扩展算子”和“侵蚀算子”，分别约束实体材料的最小尺寸和孔洞的最小尺寸；

和

分别为经过“扩张算子”和“侵蚀算子”投影后的单元密度；β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数。

进一步地，采用公式(5)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角约束的密度投影，公式(5)为：

B_(i,j)＝s max(ξ_(i-1,j-1),ξ_(i,j-1),ξ_(i+1,j-1))

i＝1,2,...,k；j＝1,2,...,l

式中，

为最小尺寸约束后的单元密度；ξ_(i,j)为悬挑角约束后的单元密度；B_(i,j)为基板密度，下标i，j表示单元在微结构设计域中的单元列数和行数编号；k和l分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数，函数smin和smax的表达式分别为：

式中，x为微结构的相对单元密度；B为基板密度；n_s为设计域的单元行数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；ξ_k(k＝1,2,...,n_s)为单元的可打印密度；Q为惩罚因子，Q的表达式为：

式中，n_e为支撑可打印单元的基板单元数目；P和ξ₀为常值，分别取40和0.5。

进一步地，步骤(23)中，微结构单元节点位移场U被分为四个部分；其中，F₂＝0，F₃+F₄＝0；微结构全局刚度矩阵K为对称矩阵，K_ij＝K_ji。

进一步地，所述微结构的等效弹性张量是采用公式(8)进行计算的，公式(8)为：

式中，|Y|为微结构单胞的面积或体积；k_e为单元刚度矩阵；N为离散后的单元总数；d为微结构优化的维度；

为每个单元在水平方向上的位移；

为每个单元竖直方向上的位移。

进一步地，所述微结构拓扑优化模型满足悬挑角及最小尺寸约束，其数学表达式为：

式中，x_e为微结构的相对单元密度；ξan为施加悬挑角约束后的单元密度；

为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对

进行密度过滤后的单元密度；x^si为施加孔洞最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对x^si进行密度过滤后的单元密度；B为基板密度；

为微结构等效弹性张量；

为关于微结构等效弹性张量的函数；K、U^A和F分别为微结构的整体刚度矩阵、位移向量和载荷向量；d为优化问题的维数；m和n分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数；Δ(e,i)为中心单元x_e到预定区域内的所有单元集合x_i的距离；r_min为过滤半径，也为最小尺寸控制参数；v_e为单元的体积；|Y|为微结构单胞的面积或体积；θ为微结构体积分数的上限；x_min为设定的最小单元密度。

进一步地，步骤(3)中，采用公式对对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息；并采用计算获得的敏度信息来构建优化准则，求解宏观性能最优的自支撑微结构拓扑优化模型，以更新微结构的相对单元密度。

进一步地，采用公式(10)及公式(11)对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，公式(10)及公式(11)分别为：

式中，n_s为设计域的单元行数；乘子向量

和

悬挑角约束的敏度向量

和最小尺寸约束的敏度向量

分别通过公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)进行计算，公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)分别为：

其中，公式(12)和公式(13)中的

项，公式(15)中的

和

项分别通过公式(16)，公式(17)及公式(18)计算得到，公式(16)，公式(17)及公式(18)分别为：

式中，β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；Q为惩罚因子；

为最小尺寸约束后的单元密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的单元密度；B_j+1为基板密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的基板密度；

和

为悬挑角约束后的单元密度，下标j，k分别表示该密度为第j行和第k行的单元密度；n_s为设计域的单元行数；

为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度，下标j表示该密度为第j行的单元密度。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

1.该拓扑优化方法引入了结构最小尺寸约束的密度投影技术，避免了微结构中出现细小特征尺寸结构，从而保证了微结构易于加工成型。

2.该拓扑优化方法引入了结构悬挑角约束的密度投影技术，避免了微结构中出现大悬挑角结构，从而避免了增材制造中支撑结构的添加，节约了材料和时间成本，提高了结构的表面质量。

3.该方法将悬挑角和最小尺寸约束的密度投影技术与微结构拓扑优化模型相结合，不依赖于工程设计经验，简单易于实施，保证了微结构具有自支撑性的同时还具有较优的宏观等效性能。

4.采用该方法所设计的微结构在增材制造过程中，不需要人为额外添加额外支撑及去除额外支撑，实现了自支撑，降低了人力耗费，缩短了制造周期，由此降低了成本。

附图说明

图1是本发明较佳实施方式提供的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法的流程示意图。

图2是图1中的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法涉及的微结构单胞的节点分类示意图。

图3是采用图1中的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法得到的具有最大体积模量的微结构单胞、周期性微结构及等效弹性张量的示意图。

图4是采用现有微结构拓扑优化方法得到的具有最大体积模量的微结构单胞、周期性微结构及等效弹性张量的示意图。

图5是图3中的微结构单胞、周期性微结构的增材制造结果示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

请参阅图1及图2，本发明较佳实施方式提供的考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法主要包括以下步骤：

步骤一，基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化。

具体地，所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

式中，x_i为微结构的第i个单元的相对单元密度；E(x_i)为经过插值后的弹性模量；K为插值后的整体刚度矩阵；K₀为相对单元密度为“1”的实体单元所对应的刚度矩阵；E和E_min分别为相对单元密度为“1”的实体单元和相对单元密度为“0”的孔洞单元的弹性模量；p为插值模型的惩罚因子，一般取3～5；m为微结构离散为单元后的单元总数。

步骤二，对所述微结构的相对单元密度进行悬挑角和最小尺寸约束的密度投影以获得满足悬挑角和最小尺寸约束的单元密度场分布；并对所述微结构进行有限元分析以获得所述微结构的位移场。

具体地，首先，采用公式(3)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影。

式中，H₀和H₁分别为“扩展算子”和“侵蚀算子”，分别约束实体材料的最小尺寸和孔洞的最小尺寸；

和

分别为经过“扩张算子”和“侵蚀算子”投影后的单元密度；β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数。

接着，采用公式(4)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角约束的密度投影。

式中，

为最小尺寸约束后的单元密度，ξ_(i,j)为悬挑角约束后的单元可打印密度；B_(i,j)为基板密度，下标i，j表示单元在微结构设计域中的单元列数和行数编号；k和l分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数，函数smin和smax的表达式如下：

式中，x为微结构的相对单元密度；B为基板密度；n_s为设计域的单元行数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数，一般分别取为0.0001和40；ξ_k(k＝1,2,...,n_s)为单元的可打印密度；Q为惩罚因子，目的是消除局部中间密度单元过大的区域，Q的表达式为：

式中，n_e为支撑可打印单元的基板单元数目，对于二维微结构拓扑优化问题，n_e取3；对于三维微结构拓扑优化问题，n_e取5；P和ξ₀为常值，分别取40和0.5。

之后，对微结构的单元节点位移场进行分类，微结构单元节点位移场U分为四个部分：U₁为预定义的位移场，U₂为内部单元的位移场，U₃和U₄为边界上的位移场，如图2所示。

根据分类的单元节点位移场，将微结构的载荷F对应分成四个部分，构建并求解如下的平衡方程，以获得微结构的位移场。

其中，由于微结构离散后，其内部节点处于平衡状态，因此F₂＝0；由于周期性边界条件，因此F₃+F₄＝0；由于微结构全局刚度矩阵K为对称阵，因此K_ij＝K_ji。

步骤三，基于有限元分析及所述位移场来获得所述微结构的等效弹性张量，并对微结构拓扑优化模型进行敏度分析以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息，进而构建优化准则以更新微结构的相对单元密度。

具体地，首先，基于有限元分析和微结构的位移场获取单元应变能，并对单元应变能求和以获得微结构的等效弹性张量。其中，采用公式(8)来计算微结构的等效弹性张量。

式中，|Y|为微结构单胞的面积或体积；k_e为单元刚度矩阵；N为离散后的单元总数；d为微结构优化的维度；

为每个单元在水平方向上的位移；

为每个单元竖直方向上的位移。

接着，采用公式(10)及公式(11)对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，以获得微结构拓扑优化问题的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息。

其中，满足悬挑角及最小尺寸约束的材料宏观等效性能最优的自支撑微结构拓扑优化模型采用公式(9)进行表达。

式中，x_e为微结构的相对单元密度；ξ^an为施加悬挑角约束后的单元密度；

为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对

进行密度过滤后的单元密度；x^si为施加孔洞最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对x^si进行密度过滤后的单元密度；B为基板密度；

为微结构等效弹性张量；

为关于微结构等效弹性张量的函数；K、U^A和F分别为微结构的整体刚度矩阵、位移向量和载荷向量；d为优化问题的维数；m和n分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数；Δ(e,i)为中心单元x_e到一定区域内的所有单元集合x_i的距离；r_min为过滤半径，也为最小尺寸控制参数；v_e为单元的面积或体积；|Y|为微结构单胞的面积或体积；θ为微结构体积分数的上限；x_min为人为假定的最小单元密度，一般取0.001，目的是避免刚度矩阵奇异。

公式(10)及公式(11)如下所示：

式中，n_s为设计域的单元行数；乘子向量

和

悬挑角约束的敏度向量

和最小尺寸约束的敏度向量

分别通过公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)进行计算，公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)分别如下：

其中，公式(12)和公式(13)中的

项，公式(15)中的

和

项分别通过公式(16)，公式(17)及公式(18)计算得到，公式(16)，公式(17)及公式(18)分别如下：

之后，采用计算获得的敏度信息来构建优化准则，并求解宏观性能最优的自支撑微结构拓扑优化模型，以更新微结构的相对单元密度。

步骤四，判断当前的相对单元密度是否满足迭代收敛条件，若满足，则输出最优微结构构型；否则转至步骤二。

请参阅图3、图4及图5，以下以最大体积模量的自支撑结构设计来对本发明进行进一步的详细说明。优化目标为微结构的体积模量最大化，体积约束为50％，微结构被离散为100×100的网格单元，所有单元均为一阶正方形单元；设置材料的弹性模量为1，泊松比为0.3，惩罚系数为5，结构的最大悬挑角不超过45°，最小尺寸不小于2倍的微结构单元尺寸。

体积模量最大化的自支撑微结构拓扑优化结果如图3所示，对比图4中现有方法获得的微结构拓扑优化结果可以看出，考虑增材制造约束的微结构拓扑优化结果满足悬挑角和最小尺寸约束，因此具有自支撑性；而现有方法获得的微结构拓扑优化结果具有大悬挑角结构，因此在增材制造过程中需要添加支撑结构。同时，对比两种微结构的宏观等效性能，考虑悬挑角和最小尺寸约束的自支撑微结构的体积模量为0.6213，而现有方法制得的微结构的体积模量为0.6540，可以看出，自支撑微结构依然具有较优的宏观等效性能。自图5可以看出，微结构直接被打印成型，不需要添加额外的支撑结构，进一步证明了考虑悬挑角和最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法可以实现微结构的自支撑设计。

本发明提供的考虑悬挑角和最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，该方法通过引入结构最小尺寸约束的密度投影技术及结构悬挑角约束的密度投影技术，避免了微结构中出现细小特征尺寸结构及材制造中支撑结构的添加，从而保证了微结构易于加工成型，节约了材料和时间成本，提高了结构的表面质量。此外，该方法不依赖于工程设计经验，保证了微结构具有自支撑性的同时具有较优的宏观等效性能。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种考虑悬挑角及最小尺寸约束的自支撑微结构拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化；

(2)对所述微结构的相对单元密度进行悬挑角和最小尺寸约束的密度投影以获得满足悬挑角和最小尺寸约束的单元密度场分布；并对所述微结构进行有限元分析以获得所述微结构的位移场；

(3)基于有限元分析及所述位移场来获得所述微结构的等效弹性张量，并对微结构拓扑优化模型进行敏度分析以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息，进而构建优化准则以更新微结构的相对单元密度；

(4)判断当前的相对单元密度是否满足迭代收敛条件，若满足，则输出最优微结构构型；否则转至步骤(2)；

其中，步骤(1)中基于SIMP材料密度-刚度插值模型，对微结构的相对单元密度、材料体积分数、材料属性参数及优化算法参数进行初始化，所述SIMP材料密度-刚度插值模型的数学表达式为：

式中，x_i为微结构的相对单元密度，下标i表示该单元在微结构设计域中的单元编号；E(x_i)为经过插值后的弹性模量；K为插值后的整体刚度矩阵；K₀为相对单元密度为“1”的实体单元所对应的刚度矩阵；E和E_min分别为相对单元密度为“1”的实体单元和相对单元密度为“0”的孔洞单元的弹性模量；p为插值模型的惩罚因子，取3～5；m为微结构离散为单元后的单元总数；

步骤(2)包括以下子步骤：

(21)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影；

(22)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角的密度投影；

(23)对微结构的单元节点位移场进行分类，并根据分类后的单元节点位移场将微结构的载荷F进行对应分割，以构建及求解平衡方程(3)，进而获得微结构的位移场；平衡方程(3)为：

式中，K为微结构刚度矩阵；U为微结构单元节点位移场；采用公式(4)对所述微结构的相对单元密度进行最小尺寸约束的密度投影，所述公式(4)为：

式中，H₀和H₁分别为“扩展算子”和“侵蚀算子”，分别约束实体材料的最小尺寸和孔洞的最小尺寸；

和

分别为经过“扩张算子”和“侵蚀算子”投影后的单元密度；β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数；采用公式(5)对最小尺寸约束后的相对单元密度进行悬挑角约束的密度投影，公式(5)为：

B_(i,j)＝smax(ξ_(i-1,j-1),ξ_(i,j-1),ξ_(i+1,j-1))

i＝1,2,...,k；j＝1,2,...,l

式中，

为最小尺寸约束后的单元密度；ξ_(i,j)为悬挑角约束后的单元密度；B_(i,j)为基板密度，下标i，j表示单元在微结构设计域中的单元列数和行数编号；k和l分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数，函数smin和smax的表达式分别为：

式中，x为微结构的相对单元密度；B为基板密度；n_s为设计域的单元行数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；ξ_k(k＝1,2,...,n_s)为单元的可打印密度；Q为惩罚因子，Q的表达式为：

式中，n_e为支撑可打印单元的基板单元数目；P和ξ₀为常值，分别取40和0.5；步骤(23)中，微结构单元节点位移场U被分为四个部分；其中，F₂＝0，F₃+F₄＝0；微结构全局刚度矩阵K为对称矩阵，K_ij＝K_ji；

所述微结构的等效弹性张量是采用公式(8)进行计算的，公式(8)为：

式中，|Y|为微结构单胞的面积或体积；k_e为单元刚度矩阵；N为离散后的单元总数；d为微结构优化的维度；

为每个单元水平方向上的位移；

为每个单元竖直方向上的位移；所述微结构拓扑优化模型满足悬挑角及最小尺寸约束，其数学表达式为：

式中，x_e为微结构的相对单元密度；ξ^an为施加悬挑角约束后的单元密度；

为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对

进行密度过滤后的单元密度；x^si为施加孔洞最小尺寸约束后的单元密度；

为敏度分析时对x^si进行密度过滤后的单元密度；B为基板密度；

为微结构等效弹性张量；

为关于微结构等效弹性张量的函数；K、U^A和F分别为微结构的整体刚度矩阵、位移向量和载荷向量；d为优化问题的维数；m和n分别为微结构离散为单元后的单元列数和行数；Δ(e,i)为中心单元x_e到预定区域内的所有单元集合x_i的距离；r_min为过滤半径，也为最小尺寸控制参数；v_e为单元的体积；|Y|为微结构单胞的面积或体积；θ为微结构体积分数的上限；x_min为设定的最小单元密度；步骤(3)中，采用公式对对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，以获得微结构拓扑优化的目标函数及约束条件对相对单元密度的敏度信息；并采用计算获得的敏度信息来构建优化准则，求解宏观性能最优的自支撑微结构拓扑优化模型，以更新微结构的相对单元密度；采用公式(10)及公式(11)对微结构拓扑优化模型进行敏度分析，公式(10)及公式(11)分别为：

式中，n_s为设计域的单元行数；乘子向量

和

悬挑角约束的敏度向量

和最小尺寸约束的敏度向量

分别通过公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)进行计算，公式(12)，公式(13)，公式(14)及公式(15)分别为：

其中，公式(12)和公式(13)中的

项，公式(15)中的

和

项分别通过公式(16)，公式(17)及公式(18)计算得到，公式(16)，公式(17)及公式(18)分别为：

式中，β为控制最小尺寸约束的密度投影的光滑程度参数；ε和p为控制近似函数精度和光滑度的参数；Q为惩罚因子；

为最小尺寸约束后的单元密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的单元密度；B_j+1为基板密度，下标j+1表示该密度为第j+1行的基板密度；

和

为悬挑角约束后的单元密度，下标j、k分别表示该密度为第j行和第k行的单元密度；n_s为设计域的单元行数；

为施加实体材料最小尺寸约束后的单元密度，下标j表示该密度为第j行的单元密度。

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