CN109543207B - 考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，克服了现有拓扑优化方法得到的复杂几何外形单组件形式产品经济性和工艺可行性较差及现有制造约束下得到的拓扑优化结果可制造性较差的问题；方法包括：1.构造多组件环境下结构单元的材料插值模型；2.建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型；3.考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束；4.考虑可变分型线对拔模方向进行修正并得到修正后的双模铸造工艺的可铸造性约束；5.建立考虑铸造工艺中模具材料成本的成本约束；6.在模具制造成本及可铸造性约束下，建立考虑可变分型线的基于双模铸造工艺制造约束的多组件拓扑优化数学模型。

Description

考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法

技术领域

本发明涉及工程结构优化设计领域的一种设计方法，更确切地说，本发明涉及一种考虑可变分型线实现双模铸造件多组件拓扑优化的设计方法。

背景技术

近20年来，拓扑优化技术在实际工程方面的应用也越来越广泛。拓扑优化技术旨在给定的负载情况下，在设计空间中寻求最佳的材料分布方案。拓扑优化技术可以帮助工程师打破原有设计思路，甚至是已经高度工程化产品的束缚，从而获得性能更优的设计。同时在产品设计开发初期，相比较于传统的试错法设计流程，拓扑优化也会为工程师提供设计方向，在保证产品结构性能的同时满足制造成本、工艺等特性的要求，带来了可观的成本节省的同时实现产品结构的高效快速设计。

拓扑优化技术经过几十年的发展与演变，根据初始设计空间类型的不同，可分为离散域拓扑优化和连续域拓扑优化。相比于连续域拓扑优化主要是对预设的离散结构进行选取，连续域拓扑优化所得方案往往更贴近实际生产需要，所得结构也更为复杂多变。近些年由学者提出的均匀化方法使得连续域拓扑优化技术的实际工程应用成为了可能。而以SIMP为代表的各种拓扑优化方法的提出丰富了连续域拓扑优化领域的研究内容。

目前拓扑优化领域的相关研究以及商业化软件的应用大多集中于单组件的环境下进行，但具有复杂几何外形的单组件形式产品的制造过程既不具备经济性且工艺可行性也较差，因此在实际产品设计生产过程中多组件形式的结构往往扮演更为重要的角色，能否在拓扑优化过程中实现多组件形式的结构分解在其实际工程应用中具有重要意义。

其次拓扑优化的结果也往往会表现出比较差的工艺性与可制造性甚至无法制造出来，在这种情况下将拓扑优化方案转化成工艺可行性方案往往是十分困难的。同时基于工艺性的后期方案改进又可能会打破原有拓扑方案所提供的性能与成本之间的平衡(导致实际设计与初始设计偏差过大而不再是最优解)。因此在拓扑优化过程中兼顾考虑制造约束将会大大提高所得到的拓扑优化结果的工艺性。一般来说，制造约束主要包括两个方面，一方面是基于成本考虑的制造成本约束；另一方面则是基于产品结构外形考虑的几何约束。而铸造工艺作为一种传统工艺，对产品结构的几何外形有明确要求，通过研究铸造工艺的制造约束可以兼顾考虑制造成本约束和几何约束。综上所述，同时结合多组件拓扑优化技术与制造约束将会同步提高拓扑优化所带来的经济效益以及优化方案的可行性。

基于此，本发明的目的是提供一种考虑可变分型线实现双模铸造件多组件拓扑优化的设计方法。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服了现有拓扑优化方法得到的复杂几何外形单组件形式产品经济性和工艺可行性较差,以及现有制造约束下得到的拓扑优化结果可制造性较差的问题，提供了一种考虑可变分型线实现双模铸造件多组件拓扑优化的设计方法。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法包括：

1)构造多组件环境下结构单元的材料插值模型；

2)建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型；

3)多组件环境下考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束；

4)多组件环境下考虑可变分型线对拔模方向进行修正并得到修正后的双模铸造工艺的可铸造性约束:

(1)将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点

考虑将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点，通过判断数据点与分型线方程之间的关系来判断结构单元与分型线的位置关系；

经过离散后的部分设计域中L_s与L_J分别是结构单元与铰接单元的边长；

x_i是第i个结构单元中心处的横坐标；y_i是第i个结构单元中心处的纵坐标；

x_i＝n₁ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₁ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (14)

y_i＝n₂ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₂ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (15)

式中：L_s是结构单元的边长；

L_J是铰接单元的边长；取设计域左下角结构单元上一点作为坐标系原点，并建立坐标系；

n₁ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

n₂ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

离散后的设计域中每一个结构单元根据其具体位置的不同可以获得一个独有的定位坐标loc_i：

loc_i＝(x_i,y_i)^T (16)

将第i个结构单元的定位坐标loc_i代入分型线直线方程L后，当L＞0时，结构单元属于上模具；当L＜0时，结构单元属于下模具；当L＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向；

(2)针对第k个组件，建立分型线直线方程L^(k)

选择直线上一点和该直线斜率的组合来确定分型线直线方程L并考虑按照分型线的位置与方向来释放分型线：利用分型线方程上某一点的坐标值(x_l,y_l)可以实现控制分型线的位置，而利用分型线方程的斜率即可实现控制分型线的方向；

a.分型线上某一点的坐标值(x_l,y_l)的计算公式如下：

x_l ^(k)＝n₁ ^(k)×L_s+(n₁ ^(k)-0.5)×L_J (17)

y_l ^(k)＝n₂ ^(k)×L_s+(n₂ ^(k)-0.5)×L_J (18)

式中：L_s是结构单元的边长；

L_J是铰接单元的边长；

n₁ ^(k)是第k个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

n₂ ^(k)是第k个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

对于第k个组件，获得分型线直线方程L^(k)的设计变量

b.为了避免单一的设计变量，如角度或斜率，会导致与实际物理意义相悖或设计变量的取值范围不连续的问题，采用方形取值空间上的向量法表达直线方程的方向，即利用横纵坐标两个设计变量(α,β)来代表直线方程的方向；

tanθ＝β/α (19)

式中：

θ是直线方程的角度；tanθ是直线方程的斜率；

考虑到在方形取值空间上使用向量法的缺陷，引入等参形函数N实现从方形取值空间(α,β)到圆形取值空间(a,b)的坐标变换，如公式(20)与公式(21):

对于第k个组件，获得第k个组件分型线直线方程L^(k)的方向设计变量(a^(k),b^(k))；

为了避免优化过程中出现极小值而影响收敛，因此对分型线方向设计变量(a,b)添加向量模长约束：

a²+b²≥γ^* (22)

c.针对第k个组件，根据新增加的分型线设计变量

和

建立分型线方程L^(k)(x,y)：

式中：L^(k)(x,y)表示第k个组件的分型线直线方程；

(a^(k),b^(k))表示分型线直线方程的方向设计变量；

表示分型线直线方程的位置设计变量；

(3)构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正

考虑到双模具环境下上下模具具有完全相反的拔模方向d，因此构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)的表达式如公式(24)所示，其值域介于-1与1之间，且当指数参数β_L很大时，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)依旧近似表现为阶梯函数：

针对第k个组件，修正后的拔模方向

取值如下：

当L^(k)(x,y)＞0时，结构单元属于上模具，可变分型线的拔模方向

当L^(k)(x,y)＜0时，结构单元属于下模具，可变分型线的拔模方向

当L^(k)(x,y)＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向，

(4)将修正后的拔模方向

代入已有的可铸造性约束表达式中，可以得到基于赫维赛德阶跃函数的考虑分型线的可铸造性约束：

式中：

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

d^(k)是第k个组件的拔模方向；

H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；

H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数；

5)建立考虑铸造工艺中的模具材料成本的成本约束；

6)在模具制造成本约束及可铸造性约束下，实现结构的高刚度目标，建立考虑可变分型线的基于双模铸造工艺制造约束的多组件拓扑优化数学模型:

式中：c为结构应变能，是评价结构刚度的标量，应变能越小，代表结构刚度越大；

Area^(k)(ρ,m^(k))为第k个组件的模具的最小包围矩形面积；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

d^(k)是第k个组件的拔模方向；

H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数；

ρ_i为第i个结构单元的单元密度；

为第i个结构单元中组件k的组件比重分数。

技术方案中所述的构造多组件环境下结构单元的材料插值模型是指：

1)构造单组件环境下结构单元的材料插值模型

SIMP理论是一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的材料密度插值模型理论，该方法以每个单元的密度作为设计变量，优化过程中每个单元对应一个设计变量，通过改变优化变量的取值，结构单元中的弹性模量发生变化，从而调节结构整体刚度矩阵的变化，使结构单元中材料布局趋于最优；

基于SIMP方法下的材料插值模型是：

式中：p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值取大于或等于3；E^(s)是结构单元的杨氏模量；

2)构造多组件环境下结构单元的材料插值模型

考虑到多组件拓扑优化设计问题，在SIMP方法的基础上引入了新的设计变量组件比重分数m_i，并与原设计变量单元密度ρ_i一同被分配至第i个结构单元，因此对于结构单元i而言，它既包含传统拓扑优化设计变量单元密度ρ_i，同时还包含新设计变量组件比重分数m_i；m_i为K×1的列向量，K表示将产品部件分解为个K个组件，列向量中的任意一个元素

与ρ_i一样均为连续设计变量，且取值范围为0-1；

代表结构单元i中组件K所占的比重，因此存在如下所示的线性等式约束，也称统一性约束：

因此在多组件环境下，提出同步考虑单元密度ρ_i以及组件比重分数m_i的新的材料插值模型为：

式中：ρ_i表示第i个结构单元的单元密度；

p_ρ是单元密度ρ_i的惩罚系数，取值大于或等于3；

p_m是组件比重分数

的惩罚系数，取值大于或等于3；借助带有双重惩罚系数的新的材料插值模型可以有助于设计变量收敛于0或1，进而促使获得0-1形式的结构方案。

技术方案中所述的建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型是指：

1)多组件环境，对连续性结构的设计域进行离散

首先要将连续体结构进行离散，划分为N个有限元网格；离散后的设计域内包含2种不同形式的铰接单元：一种为长条形单元，一种为小的正方形单元，分别命名为形式A铰接单元与形式B铰接单元；由于铰接单元并没有分配任何设计变量，因此两种铰接单元的杨氏模量需要利用与之相邻的结构单元或者铰接单元的杨氏模量计算得到；

2)确定铰接单元的形式并计算其杨氏模量E^(J)

3号形式A铰接单元的杨氏模量用E_pq表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元p与结构单元q；4号形式A铰接单元的杨氏模量用E_ab表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元b；5号形式A铰接单元的杨氏模量用E_bd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元b与结构单元d；6号形式A铰接单元的杨氏模量用E_cd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元c与结构单元d；7号形式A铰接单元的杨氏模量用E_ac表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元c；2号形式B铰接单元的杨氏模量用E_abcd表示，与其相邻的四个结构单元分别是结构单元a、结构单元b、结构单元c、结构单元d。

对于3号形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ_p是结构单元p的单元密度；m_p是结构单元p的组件比重分数列向量；ρ_q是结构单元q的单元密度；m_q是结构单元q的组件比重分数列向量；H为K×K的对称矩阵，其对角线上的各元素为结构单元的杨氏模量E^(s)，非对角线上各元素为铰接单元的杨氏模量E^(J)；

对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：指数P₁不具有任何实际意义，其具体值的大小与结构单元的杨氏模量E^(s)和铰接单元的杨氏模量E^(J)有关；

3)分别获得结构单元及两种形式铰接单元的单元刚度矩阵，并将其装配至整体刚度矩阵K

在对设计域进行离散后，该连续性结构的每个单元在数学上都由四个节点表示；按照一定的节点编号顺序，在结构单元内以节点位移u_e为未知量构造出位移插值函数，再通过所述的材料插值模型求得结构单元杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K_e；按照一定的节点编号顺序，在铰接单元内以节点位移u'_e为未知量构造出位移插值函数，将通过所述的A铰接单元与B铰接单元的杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K'_e。

将结构单元刚度矩阵K_e和铰接单元刚度矩阵K'_e按照一定的单元编号顺序集成为总体刚度矩阵K，建立线性静态有限元方程：

KU＝P (8)

式中：P为结构节点力矩阵；U为结构节点位移矩阵。

技术方案中所述的多组件环境下考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束是指：

1)基于单组件环境下制造约束，提出多组件环境下双模铸造件的可铸造性约束

为了保证铸造件可以从模具中顺利取出，即保证铸造件的可铸造性，铸造工艺要求铸造件的几何形状需要满足一定的条件：

a.铸造件禁止出现内孔结构；

b.尽量降低铸造件中倒扣结构的角度和数量；

在拓扑优化过程中兼顾考虑可铸造性约束可以提高所得到的拓扑优化结果的工艺性,并克服将拓扑优化方案转化成工艺可行性方案的困难,因此基于工程实际需要，基于单组件环境下的双模铸造件的可铸造性约束，提出多组件环境下双模铸造件的可铸造性约束:

(1)单组件环境下，基于铸造件可铸造性的约束表达式为：

式中：d是该组件的拔模方向；

是该组件的几何外形边界内法线方向，当

时该组件的几何外形边界表现为倒扣结构，此不等式也同样适用于对于内孔结构的判断；

(2)多组件环境下，各组件间的拔模方向d^(k)各不相同，几何外形边界内法线方向

也应为每个组件的几何外形边界内法线方向；同时应将设计变量

作为权重系数引入铸造件可铸造性的约束表达式中，即多组件环境下的铸造件可铸造性的约束表达式如下式所示：

第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向

的计算方法，分为非边界处结构单元内法线方向的计算以及边界处结构单元内法线方向的计算两种情况；

对于非边界处结构单元的内法线方向，考虑在3×3网格范围内利用与结构单元i相邻的8个单元的单元密度来近似估计；对于设计域边界处的结构单元几何外形边界内法线方向，考虑假定在设计域外存在一层厚度为一个网格的空单元，基于此构造计算内法线方向所需的3×3形式单元，并计算设计域边界处结构单元的内法线方向；

具体计算方法为：预先设置4个单位向量b₁-b₄，计算每个单位向量所属方向上的单元密度差并与所对应的单位向量相乘，最后叠加求和即可得到中心单元i的几何外形边界内法线方向

2)基于倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤

由于非倒扣结构的非正性，所以在计算整体设计域内倒扣结构的过程中并不希望有非倒扣结构被考虑进去，因此借助倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤；

如公式(12)式所示即为所定义的倒扣结构赫维赛德阶跃函数，其值域介于0-1之间，且当指数参数β_u很大时，该赫维赛德阶跃函数H_u(x)近似表现为阶梯函数：

将

带入倒扣结构赫维赛德阶跃函数中：当x≤0即表现为非倒扣结构时,H_u(x)＝0，所以非倒扣结构的加权系数基本为零，H_u(x)可以作为加权系数加入原有的约束表达式(10)中：

式中:d^(k)为第k个组件的拔模方向；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

为第i个结构单元中组件k所占的比重分数。

技术方案中所述的建立考虑铸造工艺中的模具材料成本的成本约束是指：

在零件具有清晰的几何结构的前提下，采用主成分分析即PCA方法通过计算组件的最小包围矩形面积，即MABB来评估模具材料成本；由于在拓扑优化过程中几何轮廓并不清晰，因此利用ρ_i、

作为加权系数并结合已有的PCA法评估最小包围矩形面积的大小进而控制成本，即模具制造成本约束Area^(k)(ρ,m^(k))小于某一定值：

式中：α^*是设计所允许的最小包围矩形面积的最大值，近似代表模具的材料成本，对于不同的设计域需要进行一些测试以选取适当的α^*作为约束限值；Area^(k)(ρ,m^(k))是第k个组件的模具的最小包围矩形面积。

与现有技术相比本发明的有益效果是：

图11所示为本发明中考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的拓扑优化结果；与现有技术相比较，本发明中所涉及到的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件拓扑优化的设计方法能显著减少倒扣结构，提高结构的可铸造性。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

图1为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的流程图；

图2-1为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的离散后的设计域；

图2-2为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的离散后设计域中A处的局部放大图；

图3-1为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的形式A铰接单元及与其相邻的结构单元的编号的示意图；

图3-2为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的形式B铰接单元及与其相邻的形式A铰接单元的编号的示意图；

图4为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的双模铸造件示意图；

图5为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的计算内法线方向所需的3×3形式单元的示意图；

图6为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的计算内法线方向所需要的4个单位向量的示意图；

图7为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点的示意图；

图8为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的表达直线方向向量的方形取值空间的示意图；

图9为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的分型线赫维赛德阶跃函数图形；

图10为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的MBB梁的加载示意图；

图11为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的经拓扑优化后的MBB梁整体结构示意图；

图12-1为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的第一个组件的拓扑优化结构及其分型线示意图；

图12-2为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的第二个组件的拓扑优化结构及其分型线示意图；

图12-3为本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法的第三个组件的拓扑优化结构及其分型线示意图；

图中：1.1号形式A铰接单元，2.2号形式A铰接单元(1号形式A铰接单元、2号形式A铰接单元是同一种形式的铰接单元)，3.1号形式B铰接单元，4.结构单元，5.相邻结构单元p、结构单元q之间的3号形式A铰接单元，6.相邻结构单元a、结构单元b之间的4号形式A铰接单元，7.相邻结构单元b、结构单元d之间的5号形式A铰接单元，8.相邻结构单元c、结构单元d之间的6号形式A铰接单元，9.相邻结构单元a、结构单元c之间的7号形式A铰接单元，10.2号形式B铰接单元，11.内孔，12.铸造上模，13.铸造下模。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作详细的描述：

目前拓扑优化领域的相关研究以及商业化软件的应用所得到的拓扑优化结果往往是具有复杂几何外形的单组件形式产品，其制造过程既不具备经济性且工艺可行性也较差。而能实现结构分解的多组件形式产品在实际产品设计生产过程中往往更重要。因此基于实际工程需要，本发明提供一种在多组件环境下实现拓扑优化的设计方法。

1.构造多组件环境下结构单元的材料插值模型

本发明在单组件环境下的SIMP理论的基础上，构造多组件环境下与结构单元杨氏模量E^(s)相关的材料插值模型。

1)构造单组件环境下结构单元的材料插值模型

SIMP理论是一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的材料密度插值模型理论。该方法以每个结构单元的密度作为设计变量，优化过程中每个结构单元对应一个设计变量，通过改变优化变量的取值，结构单元的弹性模量发生变化，从而调节整体结构的刚度矩阵的变化，使整体结构的材料布局趋于最优。

基于SIMP理论的单组件环境下结构单元的材料插值模型是：

式中：p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值可取大于或等于3；E^(s)是结构单元的杨氏模量；

2)构造多组件环境下结构单元的材料插值模型

考虑到多组件拓扑优化设计问题，本发明在SIMP方法的基础上引入了新的设计变量组件比重分数m_i，并与原设计变量单元密度ρ_i一同被分配至第i个结构单元。因此对于结构单元i而言，它既包含传统拓扑优化设计变量单元密度ρ_i，同时还包含新设计变量组件比重分数m_i；m_i为K×1的列向量，K表示将产品部件分解为个K个组件，列向量中的任意一个元素

与ρ_i一样均为连续设计变量，且取值范围为0-1。

代表结构单元i中组件K所占的比重，因此存在如下所示的线性等式约束，也称统一性约束：

因此在多组件环境下，本发明提出同步考虑单元密度ρ_i以及组件比重分数m_i的新的材料插值模型为：

式中：ρ_i表示第i个结构单元的单元密度；p_ρ是单元密度ρ_i的惩罚系数，数值可取大于或等于3；p_m是组件比重分数

的惩罚系数，数值可取大于或等于3；借助带有双重惩罚系数的新的材料插值模型可以有助于设计变量收敛于0或1，进而促使获得0-1形式的结构方案。

2.建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型

结构拓扑优化设计中每一次迭代都需要对结构进行有限元分析，因此要对设计结构进行有限元建模：将连续性结构划分为有限元网格，在单元内以节点位移为未知量创造出位移插值函数，根据最小势能原理推导出单元刚度矩阵，然后将单元刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，最后建立线性静态有限元方程。

1)多组件环境，对连续性结构的设计域进行离散

参阅图2-1,首先要将连续体结构按图中所示进行离散，划分为N个有限元网格；离散后的设计域内包含2种不同形式的铰接单元(一种为长条形单元，一种为较小的正方形单元)，如图2-2所示，分别命名为形式A铰接单元与形式B铰接单元；由于铰接单元并没有分配任何设计变量，因此两种铰接单元的杨氏模量需要利用与之相邻的结构单元或者铰接单元的杨氏模量计算得到；

2)确定铰接单元的形式并计算其杨氏模量E^(J)

参阅图3-1，3号形式A铰接单元5的杨氏模量用E_pq表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元p与结构单元q。参阅图3-2，4号形式A铰接单元6的杨氏模量用E_ab表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元b；5号形式A铰接单元7的杨氏模量用E_bd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元b与结构单元d；6号形式A铰接单元8的杨氏模量用E_cd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元c与结构单元d；7号形式A铰接单元9的杨氏模量用E_ac表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元c；2号形式B铰接单元10的杨氏模量用E_abcd表示，与其相邻的四个结构单元分别是结构单元a、结构单元b、结构单元c、结构单元d。

对于3号形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ_p是结构单元p的单元密度；m_p是结构单元p的组件比重分数列向量；ρ_q是结构单元q的单元密度；m_q是结构单元q的组件比重分数列向量；H为K×K的对称矩阵，其对角线上的各元素为结构单元的杨氏模量E^(s)，非对角线上各元素为铰接单元的杨氏模量E^(J)。

对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：指数P₁不具有任何实际意义，其具体值的大小与结构单元的杨氏模量E^(s)和铰接单元的杨氏模量E^(J)有关。

3)分别获得结构单元及两种形式铰接单元的单元刚度矩阵，并将其装配至整体刚度矩阵K

在对设计域进行离散后，该连续性结构的每个单元在数学上都由四个节点表示；按照一定的节点编号顺序，在结构单元内以节点位移u_e为未知量构造出位移插值函数，再通过步骤1所述的材料插值模型求得结构单元杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K_e；按照一定的节点编号顺序，在铰接单元内以节点位移u'_e为未知量构造出位移插值函数，将通过步骤2中第2)步骤所述的两种形式的铰接单元的杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K'_e。

将结构单元刚度矩阵K_e和铰接单元刚度矩阵K'_e按照一定的单元编号顺序集成为总体刚度矩阵K，建立线性静态有限元方程：

KU＝P (8)

式中：P为结构节点力矩阵；U为结构节点位移矩阵。

3.多组件环境下考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束

1)基于单组件环境下制造约束，提出多环境下双模铸造件的可铸造性约束

为了保证铸造件可以从模具中顺利取出，即保证铸造件的可铸造性，铸造工艺要求铸造件的几何形状需要满足一定的条件：a.铸造件禁止出现内孔结构；b.尽量降低铸造件中倒扣结构的角度和数量。在拓扑优化过程中兼顾考虑可铸造性约束可以提高所得到的拓扑优化结果的工艺性,并克服将拓扑优化方案转化成工艺可行性方案的困难。因此基于工程实际需要，本发明基于单组件环境下的双模铸造件的可铸造性约束，提出多组件环境下双模铸造件的可铸造性约束。

(1)单组件环境下，基于铸造件可铸造性的约束表达式为：

式中：如图3所示，d是该组件的拔模方向；

是该组件的几何外形边界内法线方向，当

时该区域表现为倒扣结构，此不等式也同样适用于对于内孔结构的判断。

(2)多组件环境下，各组件间的拔模方向d^(k)各不相同，几何外形边界内法线方向

也应为每个组件的几何外形边界内法线方向；同时应将设计变量

作为权重系数引入铸造件可铸造性的约束表达式中，即多组件环境下的铸造件可铸造性的约束表达式如下式所示：

第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向

的计算方法，分为非边界处结构单元内法线方向的计算以及边界处结构单元内法线方向的计算两种情况。

对于非边界处结构单元的内法线方向，本发明考虑在3×3网格范围内利用与结构单元i相邻的8个单元的单元密度来近似估计；对于设计域边界处的结构单元几何外形边界内法线方向，本发明考虑假定在设计域外存在一层厚度为一个网格的空单元，基于此构造计算内法线方向所需的3×3形式单元，并计算设计域边界处结构单元的内法线方向；参阅图5，构造3×3形式单元的方法，图中所示的1-8号单元只代表在3×3网格范围内对应位置的编号，并不指向该单元在刚度矩阵中的实际编号，该单元的实际编号应随着中心结构单元i的编号的变化而变化。

具体计算方法为：参阅图6，预先设置4个单位向量b₁-b₄，计算每个单位向量所属方向上的单元密度差(如在b₁方向上计算单元4与单元5的密度差)并与所对应的单位向量相乘，最后叠加求和即可得到中心单元i的几何外形边界内法线方向

2)基于倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤

由于非倒扣结构的非正性，所以在计算整体设计域内倒扣结构的过程中并不希望有非倒扣结构被考虑进去，因此本发明借助倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤。

如公式(12)式所示即为本发明所定义的倒扣结构赫维赛德阶跃函数，其值域介于0-1之间，且当指数参数β_u很大时，该赫维赛德阶跃函数H_u(x)近似表现为阶梯函数：

将

带入倒扣结构赫维赛德阶跃函数中：当x≤0即表现为非倒扣结构时,H_u(x)＝0，所以非倒扣结构的加权系数基本为零，H_u(x)可以作为加权系数加入原有的约束表达式(10)中：

式中：d^(k)为第k个组件的拔模方向；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；m_i ^(k)为第i个结构单元中组件k所占的比重分数。

4.多组件环境下考虑可变分型线对拔模方向进行修正并得到修正后的双模铸造工艺的可铸造性约束

在双模铸造工艺过程中，由于上模具与下模具具有完全相反的拔模方向d，因此在计算倒扣结构前应首先根据分型线的位置将整个设计域内的结构单元分类，然后根据其所属模具的不同选择相应的拔模方向来计算倒扣结构的多少。

1)将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点

参阅图7，本发明考虑将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点，通过判断数据点与分型线方程之间的关系来判断结构单元与分型线的位置关系。

参阅图7，图中所示为经过离散后的部分设计域，L_s与L_J分别是结构单元与铰接单元的边长；

x_i是第i个结构单元中心处的横坐标；y_i是第i个结构单元中心处的纵坐标；

x_i＝n₁ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₁ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (14)

y_i＝n₂ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₂ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (15)

式中：如图7所示，L_s是结构单元的边长；L_J是铰接单元的边长；取设计域左下角结构单元上一点作为坐标系原点，并建立如图所示坐标系；n₁ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；n₂ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

离散后的设计域中每一个结构单元根据其具体位置的不同可以获得一个独有的定位坐标loc_i：

loc_i＝(x_i,y_i)^T (16)

将第i个结构单元的定位坐标loc_i代入分型线直线方程L后，当L＞0时，结构单元属于上模具；当L＜0时，结构单元属于下模具；当L＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向；

2)针对第k个组件，建立分型线直线方程L^(k)

本发明选择直线上一点和该直线斜率的组合来确定分型线直线方程L并考虑按照分型线的位置与方向来释放分型线：利用分型线方程上某一点的坐标值(x_l,y_l)可以实现控制分型线的位置，而利用分型线方程的斜率即可实现控制分型线的方向；

(1)分型线上某一点的坐标值(x_l,y_l)的计算公式如下：

x_l ^(k)＝n₁ ^(k)×L_s+(n₁ ^(k)-0.5)×L_J (17)

y_l ^(k)＝n₂ ^(k)×L_s+(n₂ ^(k)-0.5)×L_J (18)

式中：L_s是结构单元的边长；L_J是铰接单元的边长；n₁ ^(k)是第k个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；n₂ ^(k)是第k个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

对于第k个组件，获得分型线直线方程L^(k)的设计变量

(2)参阅图8，为了避免单一的设计变量(角度或斜率)会导致与实际物理意义相悖或设计变量的取值范围不连续的问题，一般采用方形取值空间上的向量法表达直线方程的方向，即利用横纵坐标两个设计变量(α,β)来代表直线方程的方向；

tanθ＝β/α (19)

式中：

θ是直线方程的角度；tanθ是直线方程的斜率。

本发明考虑到在方形取值空间上使用向量法的缺陷，引入等参形函数N实现从方形取值空间(α,β)到圆形取值空间(a,b)的坐标变换，如公式(20)与公式(21):

对于第k个组件，获得第k个组件分型线直线方程L^(k)的方向设计变量(a^(k),b^(k))；

为了避免优化过程中出现极小值而影响收敛，因此对分型线方向设计变量(a,b)添加向量模长约束：

a²+b²≥γ^* (22)

(3)针对第k个组件，根据新增加的分型线设计变量

和(a^(k),b^(k))建立分型线方程L^(k)(x,y)：

式中：L^(k)(x,y)表示第k个组件的分型线直线方程，(a^(k),b^(k))表示分型线直线方程的方向设计变量，

表示分型线直线方程的位置设计变量。

3)构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正

本发明考虑到双模具环境下上下模具具有完全相反的拔模方向d，因此构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)的表达式如公式(24)所示，函数图形如图8所示，其值域介于-1与1之间，且当指数参数β_L很大时，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)依旧可近似表现为阶梯函数：

针对第k个组件，修正后的拔模方向取值如下H_L(L)·d^(k)：

当L^(k)(x,y)＞0时，结构单元属于上模具，可变分型线的拔模方向H_L(L)·d^(k)＝+d^(k)；

当L^(k)(x,y)＜0时，结构单元属于下模具，可变分型线的拔模方向H_L(L)·d^(k)＝-d^(k)；

当L^(k)(x,y)＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向，H_L(L)·d^(k)＝0。

4)将修正后的拔模方向H_L(L)·d^(k)代入已有的可铸造性约束表达式中，可以得到基于赫维赛德阶跃函数的考虑分型线的可铸造性约束：

式中：

为第i个结构单元中底k个组件的几何外形边界内法线方向；d^(k)是第k个组件的拔模方向；H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数。

5.建立考虑铸造工艺中的模具材料成本的成本约束

在零件具有清晰的几何结构的前提下，一般采用主成分分析(PCA方法)通过计算组件的最小包围矩形面积，即MABB来评估模具材料成本。由于在拓扑优化过程中几何轮廓并不清晰，因此利用ρ_i、

作为加权系数并结合已有的PCA法评估最小包围矩形面积的大小进而控制成本，即模具制造成本约束Area^(k)(ρ,m^(k))小于某一定值：

式中：α^*是设计所允许的最小包围矩形面积的最大值(近似代表模具的材料成本)，对于不同的设计域需要进行一些测试以选取适当的α^*作为约束限值；Area^(k)(ρ,m^(k))是第k个组件的模具的最小包围矩形面积。

6.在模具制造成本约束及可铸造性约束下，实现结构的高刚度目标，考虑可变分型线的基于双模铸造工艺制造约束的多组件拓扑优化数学模型是：

式中：c为结构应变能，是评价结构刚度的标量，应变能越小，代表结构刚度越大；Area^(k)(ρ,m^(k))为第k个组件的模具的最小包围矩形面积；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；d^(k)是第k个组件的拔模方向；H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数；ρ_i为第i个结构单元的单元密度；

为第i个结构单元中组件k的组件比重分数。

实施例

以下给出一个算例验证本方法的有效性：

基于说明书所叙设计方法，本发明已在MATLAB中编写了可以考虑可变分型线来实现双模铸造件多组件拓扑优化问题的程序代码。参阅图10，采用本发明所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法求解图中所示悬臂梁结构的多组件拓扑优化问题。

首先，将悬臂梁结构沿水平和竖直方向用20×20个四边形结构单元划分预设组件个数K＝3。单元相对密度ρ_i与组件比重分数

的初值分别为0.5与1/K，在针对分型线方向设计变量(a^(k),b^(k))的向量模长约束，即公式(22)中约束限值γ^*为1e^-6。考虑图3-1及图3-2所示的两种形式的铰接单元，将E^(J)/E^(S)＝0.2带入公式(7)得到P₁＝2.1947。同时在几何尺寸方面，在离散的设计域中铰接单元与结构单元边长的比值为L_J/L_s＝0.2。图11给出了悬臂梁结构下端载荷工况条件下的最终拓扑优化结果。

拓扑结果显示，优化后的悬臂梁结构由三个组件构成。图12所示分别显示第一个组件、第二个组件和第三个组件的结构及各组件的分型线示意图。从整体上看，所得结果中各组件表现出了良好的可铸造性，组件并无孔洞结构且仅仅在分型线及边界附近表现出少量倒扣结构，这是由于结构单元定位坐标是基于结构单元中心位置进行计算，分型线上的结构单元在划分属于上模具还是下模具时存在误差，但并不影响优化收敛。

本发明为解决基于双模铸造工艺的多组件拓扑优化问题提出了同步考虑单元密度以及组件比重分数的材料插值模型。在求解多组件拓扑优化问题中同时考虑了双模铸造过程中的铸造件的可铸造性，提出了使用可变分型线赫维赛德阶跃函数修正的可铸造性约束。本发明所给的实施例表明，该方法能够有效解决双模铸造工艺的多组件拓扑优化问题，并且相较于基于冲压片状金属模具制造成本的拓扑优化结果，当前结果的可铸造性已有显著提高。

以上所述仅为本发明的优选实例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。反对本发明所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，其特征在于，所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法包括：

1)构造多组件环境下结构单元的材料插值模型；

2)建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型；

3)多组件环境下考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束；

4)多组件环境下考虑可变分型线对拔模方向进行修正并得到修正后的双模铸造工艺的可铸造性约束:

(1)将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点

考虑将包含设计变量的结构单元转化为由定位坐标表示的独立的数据点，通过判断数据点与分型线方程之间的关系来判断结构单元与分型线的位置关系；

经过离散后的部分设计域中L_s与L_J分别是结构单元与铰接单元的边长；

x_i是第i个结构单元中心处的横坐标；y_i是第i个结构单元中心处的纵坐标；

x_i＝n₁ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₁ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (14)

y_i＝n₂ ⁽ⁱ⁾×L_s+[n₂ ⁽ⁱ⁾-0.5]×L_J (15)

式中：L_s是结构单元的边长；

L_J是铰接单元的边长；取设计域左下角结构单元上一点作为坐标系原点，并建立坐标系；

n₁ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

n₂ ⁽ⁱ⁾是第i个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

离散后的设计域中每一个结构单元根据其具体位置的不同可以获得一个独有的定位坐标loc_i：

loc_i＝(x_i,y_i)^T (16)

将第i个结构单元的定位坐标loc_i代入分型线直线方程L后，当L＞0时，结构单元属于上模具；当L＜0时，结构单元属于下模具；当L＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向；

(2)针对第k个组件，建立分型线直线方程L^(k)

选择直线上一点和该直线斜率的组合来确定分型线直线方程L并考虑按照分型线的位置与方向来释放分型线：利用分型线方程上某一点的坐标值(x_l,y_l)可以实现控制分型线的位置，而利用分型线方程的斜率即可实现控制分型线的方向；

a.分型线上某一点的坐标值(x_l,y_l)的计算公式如下：

x_l ^(k)＝n₁ ^(k)×L_s+(n₁ ^(k)-0.5)×L_J (17)

y_l ^(k)＝n₂ ^(k)×L_s+(n₂ ^(k)-0.5)×L_J (18)

式中：L_s是结构单元的边长；

L_J是铰接单元的边长；

n₁ ^(k)是第k个结构单元在x轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

n₂ ^(k)是第k个结构单元在y轴上与原点之间间隔的结构单元数目；

对于第k个组件，获得分型线直线方程L^(k)的设计变量(x_l ^(k),y_l ^(k))；

b.为了避免单一的设计变量，如角度或斜率，会导致与实际物理意义相悖或设计变量的取值范围不连续的问题，采用方形取值空间上的向量法表达直线方程的方向，即利用横纵坐标两个设计变量(α,β)来代表直线方程的方向；

tanθ＝β/α (19)

式中：

θ是直线方程的角度；tanθ是直线方程的斜率；

考虑到在方形取值空间上使用向量法的缺陷，引入等参形函数N实现从方形取值空间(α,β)到圆形取值空间(a,b)的坐标变换，如公式(20)与公式(21):

对于第k个组件，获得第k个组件分型线直线方程L^(k)的方向设计变量(a^(k),b^(k))；

为了避免优化过程中出现极小值而影响收敛，因此对分型线方向设计变量(a,b)添加向量模长约束：

a²+b²≥γ^* (22)

c.针对第k个组件，根据新增加的分型线设计变量

和(a^(k),b^(k))建立分型线方程L^(k)(x,y)：

式中：L^(k)(x,y)表示第k个组件的分型线直线方程；

(a^(k),b^(k))表示分型线直线方程的方向设计变量；

表示分型线直线方程的位置设计变量；

(3)构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正

考虑到双模具环境下上下模具具有完全相反的拔模方向d，因此构建分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)对拔模方向进行修正，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)的表达式如公式(24)所示，其值域介于-1与1之间，且当指数参数β_L很大时，分型线赫维赛德阶跃函数H_L(L)依旧近似表现为阶梯函数：

针对第k个组件，修正后的拔模方向

取值如下：

当L^(k)(x,y)＞0时，结构单元属于上模具，可变分型线的拔模方向

当L^(k)(x,y)＜0时，结构单元属于下模具，可变分型线的拔模方向

当L^(k)(x,y)＝0时，结构单元位于分型线上，无拔模方向，

(4)将修正后的拔模方向

代入已有的可铸造性约束表达式中，可以得到基于赫维赛德阶跃函数的考虑分型线的可铸造性约束：

式中：

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

d^(k)是第k个组件的拔模方向；

H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；

H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数；

5)建立考虑铸造工艺中的模具材料成本的成本约束；

6)在模具制造成本约束及可铸造性约束下，实现结构的高刚度目标，建立考虑可变分型线的基于双模铸造工艺制造约束的多组件拓扑优化数学模型:

式中：c为结构应变能，是评价结构刚度的标量，应变能越小，代表结构刚度越大；

Area^(k)(ρ,m^(k))为第k个组件的模具的最小包围矩形面积；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

d^(k)是第k个组件的拔模方向；

H_L(L)为分型线赫维赛德阶跃函数；H_u(x)为倒扣结构赫维赛德阶跃函数；

ρ_i为第i个结构单元的单元密度；

为第i个结构单元中组件k的组件比重分数。

2.按照权利要求1所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，其特征在于，所述的构造多组件环境下结构单元的材料插值模型是指：

1)构造单组件环境下结构单元的材料插值模型

SIMP理论是一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的材料密度插值模型理论，该方法以每个单元的密度作为设计变量，优化过程中每个单元对应一个设计变量，通过改变优化变量的取值，结构单元中的弹性模量发生变化，从而调节结构整体刚度矩阵的变化，使结构单元中材料布局趋于最优；

基于SIMP方法下的材料插值模型是：

式中：p_ρ为单元密度ρ_i的惩罚系数，数值取大于或等于3；E^(s)是结构单元的杨氏模量；

2)构造多组件环境下结构单元的材料插值模型

考虑到多组件拓扑优化设计问题，在SIMP方法的基础上引入了新的设计变量组件比重分数m_i，并与原设计变量单元密度ρ_i一同被分配至第i个结构单元，因此对于结构单元i而言，它既包含传统拓扑优化设计变量单元密度ρ_i，同时还包含新设计变量组件比重分数m_i；m_i为K×1的列向量，K表示将产品部件分解为个K个组件，列向量中的任意一个元素

与ρ_i一样均为连续设计变量，且取值范围为0-1；

代表结构单元i中组件K所占的比重，因此存在如下所示的线性等式约束，也称统一性约束：

因此在多组件环境下，提出同步考虑单元密度ρ_i以及组件比重分数m_i的新的材料插值模型为：

式中：ρ_i表示第i个结构单元的单元密度；

p_ρ是单元密度ρ_i的惩罚系数，取值大于或等于3；

p_m是组件比重分数

的惩罚系数，取值大于或等于3；借助带有双重惩罚系数的新的材料插值模型可以有助于设计变量收敛于0或1，进而促使获得0-1形式的结构方案。

3.按照权利要求1所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，其特征在于，所述的建立多组件环境下设计结构的参数化有限元模型是指：

1)多组件环境，对连续性结构的设计域进行离散

首先要将连续体结构进行离散，划分为N个有限元网格；离散后的设计域内包含2种不同形式的铰接单元：一种为长条形单元，一种为小的正方形单元，分别命名为形式A铰接单元与形式B铰接单元；由于铰接单元并没有分配任何设计变量，因此两种铰接单元的杨氏模量需要利用与之相邻的结构单元或者铰接单元的杨氏模量计算得到；

2)确定铰接单元的形式并计算其杨氏模量E^(J)

3号形式A铰接单元的杨氏模量用E_pq表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元p与结构单元q；4号形式A铰接单元的杨氏模量用E_ab表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元b；5号形式A铰接单元的杨氏模量用E_bd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元b与结构单元d；6号形式A铰接单元的杨氏模量用E_cd表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元c与结构单元d；7号形式A铰接单元的杨氏模量用E_ac表示，与其相邻的两个结构单元分别是结构单元a与结构单元c；2号形式B铰接单元的杨氏模量用E_abcd表示，与其相邻的四个结构单元分别是结构单元a、结构单元b、结构单元c、结构单元d；

对于3号形式A铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：ρ_p是结构单元p的单元密度；m_p是结构单元p的组件比重分数列向量；ρ_q是结构单元q的单元密度；m_q是结构单元q的组件比重分数列向量；H为K×K的对称矩阵，其对角线上的各元素为结构单元的杨氏模量E^(s)，非对角线上各元素为铰接单元的杨氏模量E^(J)；

对于形式B铰接单元，其杨氏模量计算表达式为：

式中：指数P₁不具有任何实际意义，其具体值的大小与结构单元的杨氏模量E^(s)和铰接单元的杨氏模量E^(J)有关；

3)分别获得结构单元及两种形式铰接单元的单元刚度矩阵，并将其装配至整体刚度矩阵K

在对设计域进行离散后，该连续性结构的每个单元在数学上都由四个节点表示；按照一定的节点编号顺序，在结构单元内以节点位移u_e为未知量构造出位移插值函数，再通过所述的材料插值模型求得结构单元杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K_e；按照一定的节点编号顺序，在铰接单元内以节点位移u'_e为未知量构造出位移插值函数，将通过所述的A铰接单元与B铰接单元的杨氏模量，最后根据最小势能原理导出结构单元刚度矩阵K'_e；

将结构单元刚度矩阵K_e和铰接单元刚度矩阵K'_e按照一定的单元编号顺序集成为总体刚度矩阵K，建立线性静态有限元方程：

KU＝P (8)

式中：P为结构节点力矩阵；U为结构节点位移矩阵。

4.按照权利要求1所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，其特征在于，所述的多组件环境下考虑非倒扣结构的过滤建立基于赫维赛德阶跃函数的双模铸造工艺的可铸造性约束是指：

1)基于单组件环境下制造约束，提出多组件环境下双模铸造件的可铸造性约束

为了保证铸造件可以从模具中顺利取出，即保证铸造件的可铸造性，铸造工艺要求铸造件的几何形状需要满足一定的条件：

a.铸造件禁止出现内孔结构；

b.尽量降低铸造件中倒扣结构的角度和数量；

在拓扑优化过程中兼顾考虑可铸造性约束可以提高所得到的拓扑优化结果的工艺性,并克服将拓扑优化方案转化成工艺可行性方案的困难,因此基于工程实际需要，基于单组件环境下的双模铸造件的可铸造性约束，提出多组件环境下双模铸造件的可铸造性约束:

(1)单组件环境下，基于铸造件可铸造性的约束表达式为：

式中：d是该组件的拔模方向；

是该组件的几何外形边界内法线方向，当

时该组件的几何外形边界表现为倒扣结构，此不等式也同样适用于对于内孔结构的判断；

(2)多组件环境下，各组件间的拔模方向d^(k)各不相同，几何外形边界内法线方向

也应为每个组件的几何外形边界内法线方向；同时应将设计变量

作为权重系数引入铸造件可铸造性的约束表达式中，即多组件环境下的铸造件可铸造性的约束表达式如下式所示：

第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向

的计算方法，分为非边界处结构单元内法线方向的计算以及边界处结构单元内法线方向的计算两种情况；

对于非边界处结构单元的内法线方向，考虑在3×3网格范围内利用与结构单元i相邻的8个单元的单元密度来近似估计；对于设计域边界处的结构单元几何外形边界内法线方向，考虑假定在设计域外存在一层厚度为一个网格的空单元，基于此构造计算内法线方向所需的3×3形式单元，并计算设计域边界处结构单元的内法线方向；

具体计算方法为：预先设置4个单位向量b₁-b₄，计算每个单位向量所属方向上的单元密度差并与所对应的单位向量相乘，最后叠加求和即可得到中心单元i的几何外形边界内法线方向

2)基于倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤

由于非倒扣结构的非正性，所以在计算整体设计域内倒扣结构的过程中并不希望有非倒扣结构被考虑进去，因此借助倒扣结构赫维赛德阶跃函数来实现对于非倒扣结构的过滤；

如公式(12)式所示即为所定义的倒扣结构赫维赛德阶跃函数，其值域介于0-1之间，且当指数参数β_u很大时，该赫维赛德阶跃函数H_u(x)近似表现为阶梯函数：

将

带入倒扣结构赫维赛德阶跃函数中：当x≤0即表现为非倒扣结构时,H_u(x)＝0，所以非倒扣结构的加权系数基本为零，H_u(x)可以作为加权系数加入原有的约束表达式(10)中：

式中:d^(k)为第k个组件的拔模方向；

为第i个结构单元中组件k的几何外形边界内法线方向；

为第i个结构单元中组件k所占的比重分数。

5.按照权利要求1所述的考虑可变分型线实现双模铸造件多组件设计的方法，其特征在于，所述的建立考虑铸造工艺中的模具材料成本的成本约束是指：

在零件具有清晰的几何结构的前提下，采用主成分分析即PCA方法通过计算组件的最小包围矩形面积，即MABB来评估模具材料成本；由于在拓扑优化过程中几何轮廓并不清晰，因此利用ρ_i、

作为加权系数并结合已有的PCA法评估最小包围矩形面积的大小进而控制成本，即模具制造成本约束Area^(k)(ρ,m^(k))小于某一定值：

式中：α^*是设计所允许的最小包围矩形面积的最大值，近似代表模具的材料成本，对于不同的设计域需要进行一些测试以选取适当的α^*作为约束限值；Area^(k)(ρ,m^(k))是第k个组件的模具的最小包围矩形面积。

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