CN113868928B - 一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于结构拓扑优化设计领域，公开了一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法。首先建立最小尺寸约束公式，并计算最小尺寸约束对设计变量的敏度；将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，得到满足最小长度尺寸约束的结构。本发明基于单元密度体分比计算，建立具有显示、可微等特点的最小尺寸约束数学表达列式；推导该约束的敏度，将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，实现了满足最小尺寸约束的结构拓扑优化设计。
Description
技术领域
本发明涉及结构拓扑优化设计领域，具体涉及一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法。
背景技术
近些年来，拓扑优化因其不依赖初始构型及工程师经验，可获得完全意想不到的创新构型，受到学者以及工程人员的广泛关注，已成功地应用到各种工程结构设计中。然而，多数拓扑优化问题主要以结构刚度为优化目标，所得到的优化结构不一定满足稳定性和鲁棒性要求，有可能出现较小或较细的构件，故需要对结构的最小特征尺寸进行控制以保证结构安全性。其次，增材制造工艺现在受到越来越多关注，然而诸如柔性机构拓扑优化问题中常常出现的“细铰”会因受制造设备尺寸限制而出现可制造性问题，对于这种情况最小特征尺寸控制是一种有效解决方法。
Guest开发了圆形密度滤波器，并结合Heaviside映射功能，实现了最小结构长度尺度控制。然而，Heaviside映射时，采用线性映射，结构会出现大量灰色单元；非线性映射时又会出现体积不保持和稳定问题。FengwenWang建立了一种基于腐蚀、中间和扩散映射的robust方法。但1次优化迭代中需要进行3次运算，大大增加了运算时间，且最小尺寸由3种设计隐式决定，某些情况下并不能实现最小尺寸的完全控制。张维声建立了一种借助结构骨架控制结构尺寸的方法。通过结构的边界距离骨骼的距离显式地控制结构的尺寸。在水平集方法中应用较好，变密度法下收敛较慢。
发明内容
针对工程需要和现有技术的缺陷，本发明基于单元密度体分比计算，建立具有显示、可微等特点的最小尺寸约束数学表达列式；推导该约束的敏度，将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，实现了满足最小尺寸约束的结构拓扑优化设计。
为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：
一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，包括：
建立最小尺寸约束公式，并计算最小尺寸约束对设计变量的敏度；
将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，得到满足最小长度尺寸约束的结构。
作为进一步的实现方式，首先建立所需求解的优化模型，基于加工工艺确定所要求的结构最小尺寸特征。确定待求问题的几何模型，剖分有限元网格并施加力、位移边界条件；定义单元的伪密度为设计变量，结构刚度为优化目标，考虑一定体积约束，建立待求拓扑优化模型。
作为进一步的实现方式，选定过滤直径，对密度场ρ进行过滤和映射，得到过滤密度场和物理密度场/>
作为进一步的实现方式，以所要求的最小尺寸为直径，以单元中心为坐标定义单元邻域，并求解任意单元邻域内的密度体分比。
作为进一步的实现方式，采用P范数计算所有单元的邻域内单元密度体分比的最大值。
作为进一步的实现方式，根据单元的邻域内所有单元密度体分比的最大值定义单元的最小尺寸约束。
作为进一步的实现方式，为减少约束个数，对各个单元上的最小长度尺寸约束进行凝聚，凝聚为一个尺寸约束。
作为进一步的实现方式，计算结构最小长度尺寸约束对设计变量的敏度，将最小尺寸约束及其敏度代入到优化模型中，基于梯度优化求解算法MMA求解优化模型，获得密度场ρ和物理密度场后处理输出/>获得满足最小尺寸约束的拓扑优化结构。本发明的有益效果：
(1)本发明的一个或多个实施方式基于单元密度体分比计算，建立具有显示、可微等特点的最小尺寸约束数学表达列式；推导该约束的敏度，将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，实现了满足最小尺寸约束的结构拓扑优化设计；
(2)本发明的一个或多个实施方式获得的设计结构，其尺寸完全满足最小尺寸限制，不会出现不满足约束的情况；
(3)本发明的一个或多个实施方式不依赖于特定优化问题，适用于变密度法、水平集法等各种拓扑优化框架，具有良好的通用性。
附图说明
图1是本发明根据一个或多个实施方式的流程图；
图2是本发明根据一个或多个实施方式的MBB梁设计域模型示意图；
图3(a)是本发明根据一个或多个实施方式MBB梁结构无最小尺寸约束的拓扑优化结果图；
图3(b)是本发明根据一个或多个实施方式MBB梁结构无最小尺寸约束的3D打印实物图；
图4(a)是本发明根据一个或多个实施方式MBB梁结构施加最小尺寸约束的拓扑优化结果图；
图4(b)是本发明根据一个或多个实施方式MBB梁结构施加最小尺寸约束的3D打印实物图。
图5是本发明根据一个或多个实施方式的微夹钳设计域模型示意图；
图6是本发明根据一个或多个实施方式微夹钳结构无最小尺寸约束的拓扑优化结果图；
图7是本发明根据一个或多个实施方式微夹钳结构施加最小尺寸约束的拓扑优化结果图；
具体实施方式
本发明提出了一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，集成到结构拓扑优化设计模型中实现结构最小尺寸的完美控制。该发明不依赖于特定优化问题，且适用于变密度法、水平集法等各种拓扑优化框架中，具有良好的通用性。
实施例1：
本实施例提供了一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，如图1所示。
具体实施步骤如下：
步骤1：建立所需求解的优化模型，基于加工工艺确定所要求的结构最小尺寸特征d1。确定待求问题的几何模型，剖分有限元网格并施加力、位移边界条件；定义单元的伪密度ρi为设计变量，结构刚度为优化目标，考虑一定体积约束，建立待求拓扑优化模型：
其中，ρ代表设计变量向量，N为单元数目，v表示单元体积向量；F为目标函数，V*为材料体分比上限，g0为材料用量约束函数，g1为最小长度尺寸约束函数。
步骤2：以尺寸d0为过滤直径，对密度场ρ进行过滤和映射，得到过滤密度场和物理密度场/>
式中β和μ分别代表映射过程中的陡度和截断阈值，D1是过滤权重矩阵，其第i行j列的数值为：
其中，Φ表示结构设计域内所有单元，vj代表j单元的体积或面积，权重ωi,j为：
其中，xi和xj表示单元i和j的中心点位置。
步骤3：以d1为直径，以单元中心为坐标定义单元邻域并求解任意单元邻域内的密度体分比：
其中，代表第j个单元的邻域内密度体分比，D2由公式(7)计算求得，为求解任意单元邻域内的密度体分比的一个矩阵，矩阵D2第i行j列的数值为：
其中，H代表heaviside阶跃函数。
步骤4：计算全体单元的邻域内所有单元的最大值：
其中，P1是P范数指数因子，取值100，D3由公式(10)计算求得，为计算全体单元的邻域内所有单元的最大值的一个矩阵，Vsum为后续计算敏度时所需的一个矩阵。上式中向量的幂运算代表向量内元素的幂运算，矩阵D3第i行j列的数值为：
步骤5：定义结构第i个单元的最小尺寸约束为：
其中，ξ为极小值，取0.05。
步骤6：为减少约束个数，式(11)最小长度尺寸约束进行凝聚：
其中，P2是P范数指数因子，取100。N为单元数目。
步骤7：采用链式法则，计算结构最小长度尺寸约束g1对设计变量的敏度：
其中，和/>是约束施加中一些运算的雅克比矩阵，具体值分别为：
其中，diag(*)表示以括号内数据为对角线元素构建矩阵。
步骤8：基于梯度优化求解算法MMA求解优化模型(1)，获得密度场ρ和物理密度场后处理输出/>获得拓扑优化结构。
实施例2：
本实施例提供了一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法在MBB梁设计中的应用。由于结构的对称，取一半MBB梁进行优化设计，材料为Em＝1，ν＝0.3的各向同性材料，为避免有限元分析中出现数值奇异问题，空白材料弹性模量Emin＝10-6。设计时材料用量上限为40％，设计域左边界约束水平方向位移，右下角节点约束水平竖直两个方向位移；左上角节点施加F＝1的载荷，设计域及边界条件如图2所示。
步骤1：定义拓扑优化的设计域为a＝60mm、b＝20mm的长方形，网格数量为600*200，定义单元密度ρi(i＝1,2,…120000)为设计变量。确定结构最小尺寸特征d1＝1.3mm。以结构刚度为优化目标，考虑一定体积约束，建立待求拓扑优化模型：
步骤2：以尺寸d0＝1.3mm为过滤直径，对密度场ρ进行过滤和映射，得到过滤密度场和物理密度场/>
式中β初始值取1，每隔40步翻1.5倍，μ＝0.5，D1第i行j列的数值为：
其中，Φ表示结构设计域内所有单元，vj代表j单元的体积或面积，权重ωi,j为：
步骤3：以d1为直径，以单元中心为坐标定义单元邻域并求解任意单元邻域内的密度体分比：
其中，代表第j个单元的邻域内密度体分比，D2由公式(22)计算求得，为求解任意单元邻域内的密度体分比的一个矩阵，矩阵D2第i行j列的数值为：
步骤4：计算全体单元的邻域内所有单元的最大值：
Vsum＝D3(Vm)100 (23)
D3由公式(25)计算求得，为计算全体单元的邻域内所有单元的最大值的一个矩阵，Vsum为后续计算敏度时所需的一个矩阵。需要注意的是，上式中向量的幂运算代表向量内元素的幂运算，并非向量乘积。矩阵D3第i行j列的数值为：
步骤5：定义结构第i个单元的最小尺寸约束为：
步骤6：为减少约束个数，对上式最小长度尺寸约束进行凝聚：
步骤7：采用链式法则，计算结构最小长度尺寸约束g1对设计变量的敏度：
其中，和/>是约束施加中一些运算的雅克比矩阵，具体值分别为：
其中，diag(*)表示以括号内数据为对角线元素构建矩阵。
步骤8：基于梯度优化求解算法MMA求解优化模型(16)，获得密度场ρ和物理密度场后处理输出/>获得满足最小尺寸约束的拓扑优化结构。得到结构无最小尺寸约束的拓扑优化结果图如图3所示，最终得到结构无最小尺寸约束的3D打印实物；得到结构施加最小尺寸约束的拓扑优化结果图如图4所示，最终得到结构施加最小尺寸约束的3D打印实物。结果显示，无最小尺寸约束的拓扑优化结构最细处结构尺寸仅为0.3mm，在3D打印中该细杆未能打印成功；施加最小尺寸约束的拓扑优化结构所有结构尺寸均大于1.3mm，均可以打印成功。
实施例3
本实施例提供了一个考虑显式最小尺寸约束方法在柔性结构微夹钳设计中的应用。柔性结构微夹钳通过具有柔性的构件组成,可以通过机构本身的弹性变形来传递运动、力和能量。本实施例设计具有结构简单、输出力和输出变形大、与制造工艺兼容等优点。
结构由材料为Em＝1，ν＝0.3的各向同性材料组成，为避免有限元分析中出现数值奇异问题，空白材料弹性模量Emin＝10-9。设计时材料用量上限为20％，设计域左上角、右上角约束水平竖直两个方向位移，左边界中心处施加F＝1的载荷，右边界上下四分之一处输出位移用于夹持，优化目标即为输出位移最大化。设计域为L＝30mm的正方形结构，最小尺寸特征d1＝1.1mm，具体设计域及边界条件如图5所示。本实施例涉及的各步骤与方法实施例1相对应，具体实施方式可参见实施例1的相关说明部分。
以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。
Claims (3)
1.一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，其特征在于，包括：
建立最小尺寸约束公式，并计算最小尺寸约束对设计变量的敏度；
将最小尺寸约束及其敏度集成到拓扑优化模型中，得到满足最小长度尺寸约束的结构；
具体步骤如下：
步骤1：建立所需求解的优化模型，基于加工工艺确定所要求的结构最小尺寸特征d1；确定待求问题的几何模型，剖分有限元网格并施加力、位移边界条件；定义单元的伪密度ρi为设计变量，结构刚度为优化目标，考虑一定体积约束，建立待求拓扑优化模型：
其中，ρ代表设计变量向量，N为单元数目，v表示单元体积向量；F为目标函数，V*为材料体分比上限，g0为材料用量约束函数，g1为最小长度尺寸约束函数；
步骤2：以尺寸d0为过滤直径，对密度场ρ进行过滤和映射，得到过滤密度场和物理密度场/>
式中β和μ分别代表映射过程中的陡度和截断阈值，D1是过滤权重矩阵，其第i行j列的数值为：
其中，Φ表示结构设计域内所有单元，vj代表j单元的体积，权重ωi,j为：
其中，xi和xj表示单元i和j的中心点位置；
步骤3：以d1为直径，以单元中心为坐标定义单元邻域并求解任意单元邻域内的密度体分比：
其中，代表第j个单元的邻域内密度体分比，D2由公式(7)计算求得，为求解任意单元邻域内的密度体分比的一个矩阵，矩阵D2第i行j列的数值为：
其中，H代表heaviside阶跃函数；
步骤4：计算全体单元的邻域内所有单元的最大值：
其中，P1是P范数指数因子，取值100，D3由公式(10)计算求得，为计算全体单元的邻域内所有单元的最大值的一个矩阵，Vsum为后续计算敏度时所需的一个矩阵；上式中向量的幂运算代表向量内元素的幂运算，矩阵D3第i行j列的数值为：
步骤5：定义结构第i个单元的最小尺寸约束为：
其中，ξ为极小值，取0.05；
步骤6：为减少约束个数，式(11)最小长度尺寸约束进行凝聚：
其中，P2是P范数指数因子，取100；N为单元数目；
步骤7：采用链式法则，计算结构最小长度尺寸约束g1对设计变量的敏度：
其中，和/>是约束施加中一些运算的雅克比矩阵，具体值分别为：
其中，diag(*)表示以括号内数据为对角线元素构建矩阵；
步骤8：基于梯度优化求解算法MMA求解优化模型(1)，获得密度场ρ和物理密度场后处理输出/>获得拓扑优化结构。
2.根据权利要求1所述的一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，其特征在于，MBB梁设计中的应用，具体如下：
取一半MBB梁进行优化设计，材料为Em＝1，ν＝0.3的各向同性材料；
空白材料弹性模量Emin＝10-6；设计时材料用量上限为40％，设计域左边界约束水平方向位移，右下角节点约束水平竖直两个方向位移；左上角节点施加F＝1的载荷，设计域及边界条件；
步骤1：定义拓扑优化的设计域为a＝60mm、b＝20mm的长方形，网格数量为600*200，定义单元密度ρi(i＝1,2,…120000)为设计变量；确定结构最小尺寸特征d1＝1.3mm；以结构刚度为优化目标，考虑一定体积约束，建立待求拓扑优化模型：
步骤2：以尺寸d0＝1.3mm为过滤直径，对密度场ρ进行过滤和映射，得到过滤密度场和物理密度场/>
式中β初始值取1，每隔40步翻1.5倍，μ＝0.5，D1第i行j列的数值为：
其中，Φ表示结构设计域内所有单元，vj代表j单元的体积或面积，权重ωi,j为：
步骤3：以d1为直径，以单元中心为坐标定义单元邻域并求解任意单元邻域内的密度体分比：
其中，代表第j个单元的邻域内密度体分比，D2由公式(22)计算求得，为求解任意单元邻域内的密度体分比的一个矩阵，矩阵D2第i行j列的数值为：
步骤4：计算全体单元的邻域内所有单元的最大值：
Vsum＝D3(Vm)100 (23)
D3由公式(25)计算求得，为计算全体单元的邻域内所有单元的最大值的一个矩阵，Vsum为后续计算敏度时所需的一个矩阵；需要注意的是，上式中向量的幂运算代表向量内元素的幂运算，并非向量乘积；矩阵D3第i行j列的数值为：
步骤5：定义结构第i个单元的最小尺寸约束为：
步骤6：为减少约束个数，对上式最小长度尺寸约束进行凝聚：
步骤7：采用链式法则，计算结构最小长度尺寸约束g1对设计变量的敏度：
其中，和/>是约束施加中一些运算的雅克比矩阵，具体值分别为：
其中，diag(*)表示以括号内数据为对角线元素构建矩阵；
步骤8：基于梯度优化求解算法MMA求解优化模型(16)，获得密度场ρ和物理密度场后处理输出/>获得满足最小尺寸约束的拓扑优化结构。
3.根据权利要求1所述的一种面向结构拓扑优化的显式最小尺寸控制方法，其特征在于，在柔性结构微夹钳设计中的应用，具体如下：
结构由材料为Em＝1，ν＝0.3的各向同性材料组成；空白材料弹性模量Emin＝10-9；设计时材料用量上限为20％，设计域左上角、右上角约束水平竖直两个方向位移，左边界中心处施加F＝1的载荷，右边界上下四分之一处输出位移用于夹持，优化目标即为输出位移最大化；设计域为L＝30mm的正方形结构，最小尺寸特征d1＝1.1mm。
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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