CN109408939B - 一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种兼顾应力和位移约束的薄板加强筋分布优化的改进方法，其包括以下步骤：S1、定义设计变量单元成熟度为加强筋的高度因子，基于统一约束函数建立整体位移约束条件，基于分级求解的思想建立算法的两级优化模型；S2、采用一维搜索方法进行第一级求解，并引入单元进化调整系数处理局部最优解问题；S3、在第一级优化结果的基础上采用相对差商法进行第二级求解，并采用变量连接技术处理加强筋分布不规则问题。S4、讨论设计变量搜索步长的取值对优化结果的影响，并确定其最合理取值。算例分析表明，该方法可得到较好的加强筋布局和结构减重效果，优化效率也较高。

Description

一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进 方法

技术领域

本发明涉及一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法。

背景技术

薄板结构区别于厚板和薄膜结构，是指板面特征尺寸与板厚之比介于5至100的一类结构形式。薄板结构在航空、航天、汽车、船舶等对结构轻量化要求较高的领域应用广泛，但其存在着结构强度低、易变形等缺点。一般情况下，通过在板面上布置加强筋可以大幅提高结构性能，同时较少地增加结构重量。然而常见的加强筋设计形式多为等高度、等间距的纵横正交布局，如“二”字形、“井”字形、“米”字形等。这样的设计过于保守，虽然提高了结构性能，但容易造成加强筋材料的浪费，使结构增重较大，这与在满足结构力学性能要求的前提下实现结构最大轻量化的要求是相悖的。

薄板结构加强筋分布优化就是以最少的加强筋材料得到满足结构力学性能要求的加强筋分布形式，现有的加强筋分布优化方法主要有以下几种：

第一种是基于材料分布模型的优化方法。文献“Chung J,Lee K.Optimal designof rib structures using the topology optimization technique[J].Proceedings ofthe Institution of Mechanical Engineers,1997,211,Part C,425–437.”利用变密度法探究了筋的最优形状和最优位置问题，但是加强筋的初始位置是根据经验猜想进行确定的，缺乏严格的理论支持。文献“Lam Y.C.,Santhikumar S.Automated rib location andoptimization for plate structures[J].Structural MultidisciplinaryOptimization,2003,25(1):35-45.”用变厚度法先优化基板厚度，然后在制造工艺限制下对加强筋的宽度、高度和间距进行优化配置。基于材料分布模型的优化方法是一类发展较早的薄板结构加强筋分布优化方法，其思想来源于连续体拓扑优化，得到的只是加强筋的大致分布区域，不能得到清晰的加强筋布局，需要根据设计师经验和后续处理才能得到最终的加强筋分布形态。

第二种是基于等效正交各向异性板模型的优化方法。文献“乔惠云，周克民.多工况应力约束下的拓扑优化格栅[J].工程力学,2009,26(6):46-51”将薄板加筋结构简化为一种格栅和连续体的组合结构，采用正交异性增强复合材料模型来模拟格栅-连续体的本构关系，以梁在结点处的密度和方向作为设计变量，根据有限元分析结果，采用满应力准则法优化各单工况下的格栅结构。基于等效正交各向异性板模型的优化方法，要求加强筋的密度足够大且排列整齐；其等效过程需要经过弹性等效、塑性等效、动态等效，以求得各向异性板结构的一些参数，过程比较复杂；因此，这种等效方法具有局限性，并未得到推广。

第三种是基于板梁离散模型的优化方法。文献“章胜冬,杨军刚,张卫红.薄板结构加筋布局设计的渐进结构优化方法[J].现代制造工程,2009,04:5-9.”用渐进结构优化法对薄板结构的加筋分布问题进行了研究，用shell63单元对薄板进行网格划分，用beam188单元代表加强筋，建立板梁离散模型。将应变能灵敏度大小作为单元去留的标准，通过逐步删除灵敏度较小的单元，获得最优的加强筋分布。基于板梁离散模型的优化方法使得加强筋的添加或删除都有据可依，并且优化后可得到清晰的加强筋分布形态，因此近年来这一类方法发展迅速，逐渐成为薄板结构加强筋分布优化设计中的主流方法。

第四种是基于结构仿生模型的优化方法。文献“赵岭，陈五一，马建峰.基于王莲叶脉分布的机床横梁筋板结构仿生优化[J].高技术通讯,2008,18(8):806-810.”研究了王莲的叶脉构形规律，并将其应用于机床横梁的加强筋分布设计中。由于生物进化和自然选择的作用，生物结构是适应环境的“最优”结构。将结构仿生的思想引入薄板结构加强筋分布优化设计中能得到较好的加强筋分布形态，但这种方法存在着仿生原型的选取比较困难，得到仿生结构是生物原型的近似结构，结构复杂，不易制造等问题。因此这种方法虽然理念先进，但发展还不成熟，需要更多学者对其作深入研究。

综合对比现有的加强筋分布优化方法可以发现，基于板梁离散模型的优化方法具有明显的优势。然而这一类方法大多来源于连续变量拓扑优化，难以求解含有应力和位移等约束的优化问题。而在工程结构优化设计中，要使所设计的结构满足各项结构性能指标，就无可避免地要处理应力和位移等约束，此时连续变量拓扑优化所仰赖的解析数学工具失效。相比之下，离散变量拓扑优化虽然存在着组合优化的问题，但其不受目标函数和约束条件种类的限制，可以求解含有多个不同种类约束的问题，工程实用价值更大。因此，尝试以离散变量拓扑优化的方法进行薄板结构加强筋分布优化设计是该领域研究的一个新思路。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明基于已有的薄板结构的加强筋分布方法，提出其改进方法。

具体地，本发明提供一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其包括以下步骤：

S1、定义设计变量单元成熟度为加强筋高度的一个因子，并对设计变量进行等距离散，基于Von mises屈服准则建立局部应力约束条件，基于统一约束函数建立整体位移约束条件，基于分级求解的思想建立算法的两级优化模型；

S2、采用一维搜索方法进行第一级求解，并引入单元进化调整系数处理局部最优解问题，

S3、采用相对差商法进行第二级求解，并采用变量连接技术处理加强筋分布不规则问题；

S4、分析设计变量搜索步长的取值对优化结果的影响规律，在满足约束要求的前提下，综合考虑求解时间和减重效果等因素，确定设计变量搜索步长的最合理取值。

优选地，步骤S1具体包括以下步骤：

S11、将加强筋宽度设为定值，以加强筋的高度作为优化对象，将设计变量定义为加强筋高度的一个因子，并命名为单元成熟度，其取值范围为一连续区间[0,1]，0代表加筋单元不存在，1代表加筋单元生长成熟，中间值代表加筋单元生长的不同程度，通过优化单元成熟度来控制加强筋高度的大小以及加筋单元的去留，单元成熟度和加强筋高度的关系可表示为：

H(k)＝H_m·X(k)(k＝1,2,…,Ne)

其中，H(k)是第k个加筋单元的高度；H_m是加强筋高度的上限；X(k)是第k个加筋单元的单元成熟度；Ne是结构中加筋单元总数；

S12、将设计变量转化为离散变量，在单元成熟度的连续取值区间[0,1]内进行等距离散，得到离散化的设计变量取值集合，设单元进化过程中的搜索步长为d，则设计变量的取值集合为：

X(k)∈{0,d,2d,…,1}(d＝1/n,n∈N⁺)

其中，搜索步长d的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量；

S13、以材料的比例极限代替Von Mises屈服准则中的材料屈服极限，使结构材料仅发生线弹性变形，并考虑设计安全系数，求得许用应力，进而构建局部应力约束条件；

S14、将结构中各节点的位移约束分为有效约束和无效约束，忽略无效约束，采用统一约束函数将多个有效约束转化为一个约束条件，即对各有效约束取二范数，构建整体位移约束条件；

S15、分级求解应力和位移两类约束，第一级先求解局部应力约束，迅速缩小设计变量的取值范围，然后在此基础上，进行第二级整体位移约束的精细求解。

优选地，步骤S3中针对结构对称和载荷对称的情况，采用变量连接技术保证对称部位的加筋单元进行同步、等量生长。

优选地，步骤S13中局部应力约束的表达式：

其中，σ_k是第k个加筋单元的等效应力，σ₁σ₂σ₃分别是第一主应力、第二主应力、第三主应力；σ_p是材料的比例极限；n是安全系数；[σ]是许用应力。

优选地，步骤S14中采用统一约束函数构建整体位移约束，具体方法如下：

S141、记结构中节点总数为Nn，各节点位移为δ_l，对应的许用位移为

然后根据各节点位移是否满足对应的许用位移将各位移约束条件分为无效约束和有效约束，若节点位移不大于许用位移，则该约束为无效约束；若节点位移大于许用位移，则该约束为有效约束；

其中，Ni是无效约束的个数；Nj是有效约束的个数；

S142、将有效约束变换成约束函数的形式如下：

S143、对约束函数取二范数，得到整体位移约束的表达式为：

满足全部位移约束的充要条件是Z(x)＝0。

优选地，步骤S2中，设计变量初始化指将设计变量的初始值置为一个大于零的极小数，以此作为优化的初始结构；

优化后的加强筋分布形态包含加筋单元截面尺寸和分布位置两个参数。

优选地，步骤S4中搜索步长的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量，通过分析搜索步长取值对优化结果的影响规律，确定搜索步长的合理取值。

优选地，步骤S3具体包括以下步骤：

S31、将各加筋单元设计变量X_i(k)代入优化模型，提取相应的单元等效应力，检查各单元等效应力是否满足局部应力约束条件，若满足，则X_i(k)即为该单元设计变量的最优值；若不满足，则设计变量取下一值X_i+1(k)，再次代入优化模型求解验证，直到满足局部应力约束条件为止，最终得到算法第一级的优化解为：

X^#＝{X^#(1),X^#(2),…,X^#(Ne)}；

S32、在第一级优化过程中，单元进化与否取决于单元等效应力与许用应力的大小，即仅当时加筋单元进化，这会导致在应力比较集中的结构中，优化结果出现局部最优解现象。为了解决这种问题，引入单元进化调整系数α，以降低单元进化的“门槛”，加筋单元的进化条件变为：

σ_k＞α·[σ](0＜α≤1)

S33、以第一级的优化结果作为第二级优化中设计变量的取值下限，在第一级优化后加强筋分布形态的基础上，采用相对差商法，进行算法的第二级优化求解。

优选地，算法第一级求解的主要步骤为：

a板梁离散模型中梁单元总数记为Ne，设计变量搜索步长设为d，各梁单元设计变量的初始值X_i(k)均置为1e-5；

b对板梁离散模型施加载荷和自由度约束；

c静力分析，提取每个梁单元的等效应力σ_k；

d检查每个加筋单元的等效应力是否满足应力约束，若σ_k大于许用应力，且X_i(k)小于1，则设计变量取下一值X_i+1(k)；否则，设计变量保持不变；

e重复步骤c-d，进行下一轮迭代；

f当所有加筋单元的等效应力均小于等于许用应力或加筋单元的等效应力的最大值大于许用应力且对应的该单元的单元成熟度大于1时，迭代终止；

g若整体结构中等效应力最大值大于许用应力，则将各加筋单元单元成熟度重置为1e-5，单元进化调整系数α取下一值，重复步骤c-f，否则计算结束。

算法第二级求解的主要步骤为：

a计算第一级优化后的整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

b选取初始生长点，个数记为Nc；

c选择第t个初始生长点；

d选择生长点周围的加筋单元，单元个数记为Et；

e让周围各个加筋单元分别进化，计算相应的整体位移约束Z2。若Z2＝0，则计算结束，否则，计算对应的相对差商值；

f使相对差商值为负且最小的单元进行生长，随后再次计算整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

g以生长后加筋单元的另一端节点为生长点，若当前生长点与之前某一生长点重合则停止生长，否则重复步骤d-f进行下一单元的生长；

h重复步骤c-g，从下一初始生长点开始生长，若所有初始生长点都进行了一轮生长过程，则继续从第一个到最后一个初始生长点循环往复进行生长。

优选地，步骤S4中搜索步长的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量，通过分析搜索步长取值对优化结果的影响规律，确定搜索步长的合理取值。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明不仅能求解含有应力约束和位移约束的加强筋分布优化问题，实现对加强筋分布形式和加强筋尺寸的双重优化，而且改进了加筋单元的进化条件，减少了设计变量个数，提高了优化求解效率，使最终得到的加强筋分布形态更加合理规范。通过分析搜索步长取值对优化结果的影响规律，为搜索步长的合理取值提供了理论依据，使优化结果更加逼近理想的最优解。基于ANSYS APDL语言的算法程序，具有模块化程度高、修改简单等特点，便于针对不同结构和载荷工况的问题进行求解，具有较广泛的适用性。另外，该算法的思想能为拓扑优化和薄板结构加强筋分布优化这两个研究领域的发展提供一定的理论支持。

附图说明

图1是一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法的流程示意图；

图2是设计变量单元成熟度与薄板加筋结构的尺寸关系图；

图3是shell63壳单元与beam188梁单元的连接过程示意图；

图4是露顶式平面直升钢闸门工作原理示意图；

图5是闸门的受力分析示意图；

图6a是单独对闸门平板作静力分析的结构应力图；

图6b是单独对闸门平板作静力分析的位移云图；

图7a是第一级优化后闸门的结构应力图；

图7b是第一级优化后闸门的位移云图；

图8是第二级优化过程中初始生长点的位置分布图；

图9是优化后加强筋质量和优化迭代次数随搜索步长取值的变化规律；

图10a是闸门最终优化结果的结构应力图；

图10b是闸门最终优化结果的位移云图。

具体实施方式

以下将参考附图详细说明本发明的示例性实施例、特征和方面。附图中相同的附图标记表示功能相同或相似的元件。尽管在附图中示出了实施例的各种方面，但是除非特别指出，不必按比例绘制附图。

具体地，本发明提供一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，如图1所示，其包括以下步骤：

步骤1：

薄板结构主要承受面上法向载荷，以矩形截面的加强筋为例，将加强筋宽度设为定值，以加强筋的高度作为优化对象，将设计变量定义为加强筋高度的一个因子，并命名为“单元成熟度”，其取值范围为一连续区间[0,1]。同时把加强筋的分布优化过程看成是每一个加筋单元从无到有、从小到大的“逐步生长”过程，0代表加筋单元不存在，1代表加筋单元生长成熟，中间值代表加筋单元生长的不同程度，通过优化单元成熟度来控制加强筋高度的大小以及加筋单元的去留。单元成熟度和加强筋高度的关系可表示为：

H(k)＝H_m·X(k)(k＝1,2,…,Ne) (1)

其中，H(k)是第k个加筋单元的高度；H_m是加强筋高度的上限；X(k)是第k个加筋单元的单元成熟度；Ne是结构中加筋单元总数。

单元成熟度作为加强筋高度的一个因子，本身属于连续变量。为了借助离散变量结构优化设计中的序列两级算法来处理多约束问题，需要将设计变量转化为离散变量。即在单元成熟度的连续取值区间[0,1]内进行等距离散，得到离散化的设计变量取值集合，从而将加强筋的分布优化问题转化为离散变量的组合寻优问题。设单元进化过程中的搜索步长为d，则设计变量的取值集合为：

X(k)∈{0,d,2d,…,1}(d＝1/n,n∈N⁺) (2)

搜索步长d的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量，会直接影响算法优化求解精度、求解时间和优化后加强筋的分布形态。理论上来讲，d取值越小，则算法求解精度越高，求解时间越长，优化后加强筋的分布形态也最接近于理想中的“最优”形态。

应力约束属于局部性约束，可以通过改变加筋单元的几何尺寸来改变单元的应力，从而使每一个加筋单元的应力都满足应力约束条件。局部应力约束条件的表达式为：

σ_k≤[σ]_k(k＝1,2,…,Ne) (3)

其中，σ_k是第k个加筋单元的应力，[σ]_k是第k个加筋单元的许用应力(一般情况下各加筋单元的许用应力是相同的)。

在结构优化中，通常应力约束条件是为了保证结构材料不发生强度失效(塑性屈服或脆性断裂)，因此可通过强度理论建立应力约束条件。本发明在Von Mises屈服准则的基础上，用材料的比例极限代替Von Mises屈服准则中的材料屈服极限，保证结构材料仅发生线弹性变形，并考虑设计安全系数，留出一定的应力余量，得到最终局部应力约束的表达式：

其中，σ_k是第k个加筋单元的等效应力，σ₁σ₂σ₃分别是第一、二、三主应力；σ_p是材料的比例极限；n是安全系数；[σ]是许用应力。

位移约束属于整体性约束(全局约束)，需要将结构中各节点的单个位移约束整合在一起，实现各节点位移约束的综合求解。结构中每个节点的位移都对应一个位移约束条件，属于多约束优化问题。采用统一约束函数构建整体位移约束，具体方法如下：

记结构中节点总数为Nn，各节点位移为δ_l，对应的许用位移为

然后根据各节点位移是否满足对应的许用位移将各位移约束条件分为无效约束和有效约束。若节点位移不大于许用位移，则该约束为无效约束；反之若节点位移大于许用位移，则该约束为有效约束。

其中，Ni是无效约束的个数；Nj是有效约束的个数。

将有效约束变换成约束函数的形式如下：

再对约束函数取二范数，得到整体位移约束的表达式为：

满足全部位移约束的充要条件是Z(x)＝0。整体位移约束条件的实质就是从可行集外一点出发，逐步搜索迭代，使每个大于许用位移的节点位移逐渐趋近于许用位移。

以结构中加强筋质量最小为目标建立一种改进的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化方法的数学模型，其原理就是在各加筋单元单元成熟度的取值集合内寻找一组数值，使结构在满足局部应力约束和整体位移约束的前提下，加强筋的总质量最轻，这一组单元成熟度数值就是最终的优化解，所对应的加强筋尺寸和分布形式就是优化后的加强筋分布形态。

基于约束条件的单调性假设和分级求解思想对上述数学模型进行求解。第一级先求解应力约束，再以其优化解作为第二级优化中设计变量的取值下限。由于应力约束函数关于设计变量是单调递减的，因此在第二级的求解过程中，应力约束始终是满足的，只需单独求解位移约束即可，第二级所得的优化解也即是满足全部约束的最优解，图2是设计变量单元成熟度与薄板加筋结构的尺寸关系图。

步骤2：

选用ANSYS中的shell63壳单元和beam188梁单元进行有限元板梁离散模型的建立，即用壳单元对基板进行网格划分，壳单元节点两两之间用梁单元进行连接，形成呈“米”字形的加强分布形式，图3是shell63壳单元与beam188梁单元的连接过程示意图。

由于结构中存在两种不同类型的单元，因此需要考虑不同单元之间的连接，即实现单元节点自由度的耦合，保证结构各点位移协调。板梁离散模型中梁单元节点和壳单元节点是不重合的，但两种单元的连接方式属于梁包含在壳面内的情况，因此只需将梁单元节点偏置一定距离，与壳单元节点重合，即共用节点，不用建立节点处的位移协调方程。

利用ANSYS参数化设计语言APDL(ANSYS Parameter Design Language)进行编程，实现板梁离散模型的参数化建模。主要步骤如下：

薄板建模，并用shell63对薄板划分网格，记板壳单元节点总数为N；

选取第i个节点，称为中心节点，由节点生成关键点Ki；

选取节点i周围呈“米”字形分布的节点，总数记为n；

周围节点按编号从小到大排序，并依次分别生成对应的关键点Kj；

由关键点Ki和Kj建立直线；

将各加筋单元设计变量初始值置为1e-5，建立beam188的梁截面ID，对上述直线划分网格；

重复步骤(5)(6)，当j大于n时，停止迭代；

重复步骤(2)～(7)，当i大于N时，程序终止。

通过调整步骤(1)中网格划分个数，可以得到不同形态的板梁离散模型。

步骤3：

一维搜索方法其基本思想是，从设计变量的第一个取值开始，依次将设计变量代入约束条件，若约束条件不满足，则设计变量取下一值，直到满足约束条件为止。具体到算法第一级求解过程中，就是将各加筋单元设计变量X_i(k)代入优化模型，提取相应的单元等效应力，检查各单元等效应力是否满足局部应力约束条件。若满足，则X_i(k)即为该单元设计变量的最优值；若不满足，则设计变量取下一值X_i+1(k)，再次代入优化模型求解验证，直到满足局部应力约束条件为止。最终得到算法第一级的优化解为：

X^#＝{X^#(1),X^#(2),…,X^#(Ne)} (8)

其实质就是各加筋单元满足局部应力约束时单元成熟度的最优值所组成的集合。

在第一级优化过程中，单元进化与否取决于单元等效应力与许用应力的大小，即仅当σ_k＞[σ]时加筋单元进化，这会导致在应力比较集中的结构中，优化结果出现局部最优解现象，为了解决这种问题，引入单元进化调整系数α，以降低单元进化的“门槛”，加筋单元的进化条件变为：

σ_k＞α·[σ](0＜α≤1) (9)

其物理意义就是使部分单元等效应力小于许用应力的加筋单元仍然拥有“生长”的机会，也就是说让更多的加强筋参与到分担集中应力的任务中，从而使结构中应力分布更加均匀，优化结果更为合理。

算法第一级求解的主要步骤为：

板梁离散模型中梁单元总数记为Ne，设计变量搜索步长设为d，单元进化调整系数α取初始值1，α寻优精度为n，各加筋单元设计变量的初始值X_i(k)均置为1e-5；

对板梁离散模型施加载荷和自由度约束；

静力分析，提取每个梁单元的等效应力σ_k；

检查每个加筋单元的等效应力是否满足应力约束，若σ_k大于许用应力，且X_i(k)小于1，则设计变量取下一值X_i+1(k)；否则，设计变量保持不变；

重复步骤(3)(4)，进行下一轮迭代；

当所有加筋单元的等效应力均小于等于许用应力或加筋单元的等效应力的最大值大于许用应力且对应的该单元的单元成熟度大于1时，迭代终止。

(7)若整体结构中等效应力最大值大于许用应力，则将各加筋单元单元成熟度重置为1e-5，单元进化调整系数α取下一值，重复步骤(3)～(6)，否则计算结束。

以第一级的优化结果作为第二级优化中设计变量的取值下限，在第一级优化后加强筋分布形态的基础上，采用相对差商法，进行算法的第二级优化求解。

相对差商定义为当设计变量x_i由当前值x_i,k变化到下一离散值x_i,k+1时，约束函数的差商与目标函数的差商的比值。

相对差商值的物理意义就是当目标函数有单位增量时约束函数的增量。在以极小化为目标的优化设计中，一般要在满足约束条件的同时使目标函数值最小，这就要求当设计变量x_i由当前值x_i,k变化到下一离散值x_i,k+1时，目标函数增加最少，同时约束函数减小最多，即以相对差商值最小的方向作为搜索方向，对设计变量的离散点进行逐个搜索，寻找每一设计变量的最优取值，最终得到整个优化问题的最优解。

将算法优化模型中的目标函数和整体位移约束函数代入相对差商公式可得：

即以相对差商值的大小决定加筋单元的进化和“生长”。当单元成熟度x_i由当前值x_i,k变化到下一离

散值x_i,k+1时，若其相对差商值为负值，则说明该单元的“生长”能减小结构的整体位移；若相对差商值为非负值，则说明该单元的“生长”不能减小甚至是增加了结构的整体位移，这样的单元需要禁止其“生长”。因此，在一组待“生长”的单元中，相对差商值为负且最小的单元对结构整体位移贡献最大，也即增大该单元的单元成熟度能最大化地减小结构整体位移，这样的单元需要优先“生长”。

在第二级优化过程中，加强筋的“生长”是按初始生长点的先后生长顺序进行的，先进行优化的部分必然会对后续的优化过程产生一定的影响，因此初始生长点的生长顺序不同，优化后加强筋的分布形态也有所差别，而且先进行生长的初始生长点附近加强筋分布一般较为密集或是加强筋高度较大。由此导致在处理对称结构且对称加载的问题时，第二级优化后的加强筋分布依然是不规则，这是不切合实际的。

因此在算法第二级优化过程中，根据结构和载荷的对称情况，采用变量连接技术来保证对称部位(包括轴对称和中心对称，每组对称的单元数不超过8个)的加筋单元进行同步、等量“生长”，这样优化后加强筋的分布形式和尺寸都是对称的，并可大大减少设计变量和初始生长点的个数，提高算法的求解效率。

算法第二级求解的主要步骤为：

(1)计算第一级优化后的整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

(2)按对称关系选取初始生长点，个数记为Nc；

(3)选择第t个初始生长点；

(4)选择生长点周围的加筋单元，单元个数记为Et；

(5)让周围各个加筋单元分别进化，计算相应的整体位移约束Z2。若Z2＝0，则计算结束，否则，计算对应的相对差商值；

(6)使相对差商值为负且最小的单元及其对称部位的单元同时进行“生长”，单元“生长”后再次计算整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

(7)以“生长”后加筋单元的另一端节点为生长点，若当前生长点与之前某一生长点重合(形成闭环)，则停止“生长”，否则重复步骤(4)～(6)进行下一单元的“生长”；

(8)重复步骤(3)～(7)，从下一初始生长点开始“生长”。若所有初始生长点都进行了一轮“生长”过程，则继续从第一个到最后一个初始生长点循环往复进行“生长”。

步骤4：

在设计变量搜索步长取不同值时，对优化后结构中的最大等效应力、最大位移、加强筋质量和优化迭代次数等几个参数进行对比分析，在保证满足应力和位移约束要求的前提下，选出设计变量搜索步长的最合理取值，使加强筋质量较小同时优化迭代次数不至过多。

至此，本发明所涉及的一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法其基本原理介绍完毕，下面结合具体实例说明本发明如何在实际中应用。

例：某水坝闸门为露顶式平面直升钢闸门，闸门高13m，宽11m，闸门材料为Q235，弹性模量E＝206Gpa，泊松比为0.3，密度为7850kg/m3，屈服强度为235Mpa，比例极限为200Mpa；闸门原始设计中平板结构质量为223.48t，加筋板部分质量为30.55t，结构总质量为254.03t；分析发现结构存在材料冗余利用率低等问题，需要对该闸门进行加强筋的分布优化设计，以减轻闸门结构的整体质量。设安全系数为2，要求在极限水位(水位与闸门顶端平齐)情况下闸门结构性能既要满足材料应力要求又要满足最大挠度要求，即闸门中最大应力不超过许用应力，最大变形(位移)不超过许用挠度。

对闸门进行受力分析，闸门左右两侧可以在门槽内上下移动，以此来实现闸门的启闭。当闸门闭合时，闸门底端卡在底部门槽内，此时闸门三边相当于受全约束，所承受的水压最大；当闸门开启时，底端从底部门槽内抽出，在刚离开底部门槽的瞬间，闸门仅左右两边受全约束，而此时闸门所受水压并未减小，故此处为闸门的最危险位置。

闸门迎水面受法向梯度面载荷，随水深的增加而呈线性增加，闸门迎水面各处的载荷大小与水深的关系为：

q＝ρgh (12)

其中，q为不同水深处的水压；ρ为水的密度，取1000kg/m³；g为重力加速度，取10m/s²；h为水深。由此可得，闸门底端处水压最大为130000pa，闸门顶端处水压为0。

根据闸门的初始结构，确定闸门平板的厚度为0.15m。由于要保证闸门的变形必须为弹性变形，因此以材料比例极限为基准，考虑设计安全系数，得到结构中的许用应力为100Mpa。另外，水工闸门设计中主梁的最大挠度计算公式为：

其中B为闸门主梁跨度，一般情况下主梁跨度与闸门宽度相同，因此B取11000mm，考虑设计安全系数，得到结构中的许用挠度为7mm。

其中，图4是露顶式平面直升钢闸门工作原理示意图；图5是闸门的受力分析示意图。

表1初始参数汇总表

首先单独对闸门平板进行静力分析，得到结构中最大等效应力为274Mpa，垂直于板面方向的最大挠度为71.782mm，应力和挠度均远未达到设计要求，而平板质量为168.38t，与原始结构相比，有很大的优化设计余量，可以在平板背水面上布置一些加强筋以增强结构性能。图6是单独对闸门平板作静力分析的应力云图，图7为单独对闸门平板作静力分析的位移云图。

建立加强筋呈“米”字形分布的板梁离散模型，将各加筋单元单元成熟度的初始值置为1e-5，作为优化的初始结构。

在第一级优化过程中，通过单元进化调整系数α的寻优，得到其最合理取值为0.625，对应优化后的结构中最大等效应力为98.0Mpa，垂直于板面方向的最大挠度为9.899mm，加强筋质量为23.56t。第一级优化结果虽然满足应力设计要求，但不满足许用挠度要求，因此需要进行算法的第二级求解。

由于闸门结构及其所受载荷均是关于纵向轴线对称的，根据第一级优化后的加强筋分布形态，选取闸门左右任一边界上靠近底端的11个节点作为第二级优化中加强筋的初始生长点。在搜索步长d分别取1/2，1/4，1/5，1/8，1/10，1/16，1/20，1/25，1/32等值时，进行算法的第二级求解。其中，图7a是第一级优化后闸门的结构应力云图，图7b是第一级优化后闸门的结构位移云图；图8是第二级优化过程中初始生长点的位置分布图。

表2搜索步长取不同值时优化结果及迭代次数对比

由表2可以看出，搜索步长取不同值时优化结果均满足设计要求。随着搜索步长逐渐减小，加强筋的质量也呈逐渐减小的趋势变化，即加强筋的材料利用率逐渐增大，减重效果越来越好，但当插值间距取值过小时，加强筋质量的变化逐渐趋于平稳；在另一方面，随着插值间距取值逐渐减小，优化过程中的迭代次数迅速增加，算法的求解时间也越来越长。因此，在考虑优化结果的同时兼顾求解效率，以搜索步长为1/16时的优化结果为算例的最终结果。其中，图9是优化后加强筋质量和优化迭代次数随搜索步长取值的变化规律。

图10a和图10b分别是闸门最终优化结果的结构应力和位移云图。最终的优化结果为：结构中最大等效应力为75.4Mpa，最大挠度为7.021mm(相对于许用挠度，误差值为0.3％，可以认为满足许用挠度要求)，加强筋质量为28.29t，相对于原始设计减幅为7.40％，闸门总质量为196.67t，相对于原始设计减幅为22.58％。优化结果表明，本发明所提供的算法可有效地对该闸门进行加强筋分布优化设计，并实现其结构的轻量化。

最后应说明的是：以上所述的各实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或全部技术特征进行等同替换；而这些修改或替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (6)

1.一种兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：其包括以下步骤：

S1、定义设计变量单元成熟度为加强筋高度的一个因子，并对设计变量进行等距离散，基于Von mises屈服准则建立局部应力约束条件，基于统一约束函数建立整体位移约束条件，基于分级求解的思想建立算法的两级优化模型；建立加强筋呈米字形分布的有限元板梁离散模型，将各加筋单元设计变量初始化，作为优化的初始结构；

S11、将加强筋宽度设为定值，以加强筋的高度作为优化对象，将设计变量定义为加强筋高度的一个因子，并命名为单元成熟度，其取值范围为一连续区间[0,1]，0代表加筋单元不存在，1代表加筋单元生长成熟，中间值代表加筋单元生长的不同程度，通过优化单元成熟度来控制加强筋高度的大小以及加筋单元的去留，单元成熟度和加强筋高度的关系可表示为：

H(k)＝H_m·X(k)；k＝1,2,…,Ne

其中，H(k)是第k个加筋单元的高度；H_m是加强筋高度的上限；X(k)是第k个加筋单元的单元成熟度；Ne是结构中加筋单元总数；

S12、将设计变量转化为离散变量，在单元成熟度的连续取值区间[0,1]内进行等距离散，得到离散化的设计变量取值集合，设单元进化过程中的搜索步长为d，则设计变量的取值集合为：

X(k)∈{0,d,2d,…,1}；d＝1/n,n∈N⁺

其中，搜索步长d的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量；

S13、以材料的比例极限代替Von Mises屈服准则中的材料屈服极限，使结构材料仅发生线弹性变形，并考虑设计安全系数，求得许用应力，进而构建局部应力约束条件；

局部应力约束的表达式：

其中，σ_k是第k个加筋单元的等效应力，σ₁ σ₂ σ₃分别是第一主应力、第二主应力、第三主应力；σ_p是材料的比例极限；n是安全系数；[σ]是许用应力；

S14、将结构中各节点的位移约束分为有效约束和无效约束，忽略无效约束，采用统一约束函数将多个有效约束转化为一个约束条件，即对各有效约束取二范数，构建整体位移约束条件；

采用统一约束函数构建整体位移约束，具体方法如下：

S141、记结构中节点总数为Nn，各节点位移为δ_l，对应的许用位移为

l＝1,2,…,Nn，然后根据各节点位移是否满足对应的许用位移将各位移约束条件分为无效约束和有效约束，若节点位移不大于许用位移，则该约束为无效约束；若节点位移大于许用位移，则该约束为有效约束；

其中，Ni是无效约束的个数；Nj是有效约束的个数；

S142、将有效约束变换成约束函数的形式如下：

S143、对约束函数取二范数，得到整体位移约束的表达式为：

满足全部位移约束的充要条件是Z(x)＝0；

S15、分级求解应力和位移两类约束，第一级先求解局部应力约束，迅速缩小设计变量的取值范围，然后在此基础上，进行第二级整体位移约束的精细求解；

S2、采用一维搜索方法进行第一级求解，并引入单元进化调整系数处理局部最优解问题；

S3、采用相对差商法进行第二级求解，并采用变量连接技术处理加强筋分布不规则问题；

S4、分析设计变量搜索步长的取值对优化结果的影响规律，在满足约束要求的前提下，考虑求解时间和减重效果的因素，确定设计变量搜索步长的最合理取值。

2.根据权利要求1所述的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：步骤S3中针对结构对称和载荷对称的情况，采用变量连接技术保证对称部位的加筋单元进行同步、等量生长。

3.根据权利要求1所述的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：步骤S2中设计变量初始化指将设计变量的初始值置为一个大于零的极小数，以此作为优化的初始结构；

优化后的加强筋分布形态包含加筋单元截面尺寸和分布位置两个参数。

4.根据权利要求1所述的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：步骤S3具体包括以下步骤：

S31、将各加筋单元设计变量X_i(k)代入优化模型，提取相应的单元等效应力，检查各单元等效应力是否满足局部应力约束条件，若满足，则X_i(k)即为该单元设计变量的最优值；若不满足，则设计变量取下一值X_i+1(k)，再次代入优化模型求解验证，直到满足局部应力约束条件为止，最终得到算法第一级的优化解为：

X^#＝{X^#(1),X^#(2),…,X^#(Ne)}；

S32、在第一级优化过程中，单元进化与否取决于单元效应力与许用应力的大小，引入单元进化调整系数α，以降低单元进化的门槛，加筋单元的进化条件变为：

σ_k＞α·[σ]；0＜α≤1；

S33、以第一级的优化结果作为第二级优化中设计变量的取值下限，在第一级优化后加强筋分布形态的基础上，采用相对差商法，进行算法的第二级优化求解，

相对差商定义为当设计变量x_i由当前值x_i,k变化到下一离散值x_i,k+1时，约束函数的差商与目标函数的差商的比值，表达式如下：

5.根据权利要求1所述的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：算法第一级求解的主要步骤为：

a板梁离散模型中梁单元总数记为Ne，设计变量搜索步长设为d，各梁单元设计变量的初始值X_i(k)均置为1e-5；

b对板梁离散模型施加载荷和自由度约束；

c静力分析，提取每个梁单元的等效应力σ_k；

d检查每个加筋单元的等效应力是否满足应力约束，若σ_k大于许用应力，且X_i(k)小于1，则设计变量取下一值X_i+1(k)；否则，设计变量保持不变；

e重复步骤c-d，进行下一轮迭代；

f当所有加筋单元的等效应力均小于等于许用应力或加筋单元的等效应力的最大值大于许用应力且对应的该单元的单元成熟度大于1时，迭代终止；

g若整体结构中等效应力最大值大于许用应力，则将各加筋单元单元成熟度重置为1e-5，单元进化调整系数α取下一值，重复步骤c-f，否则计算结束；

算法第二级求解的主要步骤为：

a计算第一级优化后的整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

b选取初始生长点，个数记为Nc；

c选择第t个初始生长点；

d选择生长点周围的加筋单元，单元个数记为Et；

e让周围各个加筋单元分别进化，计算相应的整体位移约束Z2，若Z2＝0，则计算结束，否则，计算对应的相对差商值；

f使相对差商值为负且最小的单元进行生长，随后再次计算整体位移约束Z1，若Z1＝0，则计算结束；

g以生长后加筋单元的另一端节点为生长点，若当前生长点与之前某一生长点重合则停止生长，否则重复步骤d-f进行下一单元的生长；

h重复步骤c-g，从下一初始生长点开始生长，若所有初始生长点都进行了一轮生长过程，则继续从第一个到最后一个初始生长点循环往复进行生长。

6.根据权利要求4所述的兼顾应力和位移约束的薄板结构加强筋分布优化的改进方法，其特征在于：步骤S4中搜索步长的取值代表着每次迭代过程中设计变量的增量，通过分析搜索步长取值对优化结果的影响规律，确定搜索步长的合理取值。

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