CN108459993A - 基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，属于工程优化设计技术领域。首先在设计空间内构造工程系统复杂分析模型的代理模型，然后将每次迭代的序列样本点分为全局探索样本点和局部搜索样本点，根据代理模型近似精度和近似最优解收敛情况不断更新重点设计空间，直到获得优化设计问题的最优解。本发明提出的方法克服了标准追峰采样方法对复杂高维系统进行优化时存在的计算耗时的缺点，提高了优化效率，降低了计算成本，有助于缩短优化设计周期。

Description

基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法

技术领域

本发明涉及一种基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，属于工程优化设计技术领域。

背景技术

在工程设计问题中应用优化设计技术可以改善设计结果，缩短设计周期。为了提高设计可信度，需要计算高精度模型，例如结构有限元分析(Finite Element Analysis,FEA)、计算流体力学(Computational Fluid Dynamics,CFD)、隐身计算电磁学(Computational ElectroMagnetics,CEM)等，这些模型计算耗时极高。传统的基于梯度的局部搜索算法(如增广拉格朗日乘子法、序列二次规划、可行方向法)和基于概率的全局探索算法(如遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法)通常需要反复调用分析模型，有些可达成千上万次，进一步增大了优化设计的计算成本。为提高计算效率，基于代理模型的近似优化策略得到了广泛应用。目前常用的代理模型方法包括多项式响应面、Kriging模型、径向基函数、移动最小二乘法以及神经网络等。

基于代理模型的近似优化策略可分为静态近似优化策略和自适应近似优化策略。静态近似优化策略要求代理模型在整个设计空间都有较高的近似精度，精度达不到要求需要更新代理模型；而自适应近似优化策略着重提高可能存在全局最优点的区域的近似精度，这样在降低采样数量要求的同时仍可以引导优化过程快速收敛到全局最优解。自适应近似优化策略的代理模型更新方式主要有基于空间缩减序列采样和基于空间填充序列采样两种。

基于空间缩减序列采样方法随着迭代进行，逐渐将采样空间收敛到可能存在全局最优点的区域，只在这个较小的设计空间内进行序列采样，通常具有较高的局部搜索能力，但缺点在于可能遗漏真正的全局最优点。基于空间填充序列采样方法不改变原有的设计空间，通过构造某种指标函数，引导优化过程着重在可能存在近似最优点的区域新增样本点。

追峰采样方法(Mode Pursuing Sampling,MPS)是一种有代表性的基于空间填充序列采样方法，在处理低维问题时效率明显高于常见全局优化算法，而且基于概率分布的有偏采样在理论上保证了MPS算法在足够的迭代次数下总可以找到全局最优解。由于MPS局部搜索能力不足，处理高维问题时效率有较明显的缺陷，而真实的工程优化设计问题中设计变量至少在10个以上，所以需要提出一种将重点设计空间思想引入MPS框架的快速追峰采样方法，即基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法(Rapid Mode PursuingSampling method using Significant Design Space strategy,RMPS-SDS)。

为了更好地说明本发明的技术方案，下面对所涉及的相关数学基础做一定介绍。

径向基函数(RBF)代理模型：

径向基函数的基本形式为

式(1)中，n_v为设计变量个数。根据插值条件，权重系数矢量w可由式(2)求解：

本发明中，径向函数φ(r,c)取高斯函数

参数c根据经验公式取为

式(4)中n_s为设计点个数。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有基于空间缩减序列采样方法和基于空间填充序列采样方法存在难以在局部搜索能力和全局探索能力上取得良好平衡，进而出现容易遗漏全局最优解，或者是收敛速度慢的问题，提供一种基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法。本发明在保持原有用于复杂高维系统优化方法的全局探索能力和显著避免遗漏全局最优点优势的前提下，提高局部搜索能力，最终达到提高优化设计方法寻优能力和寻优效率的目的。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明根据提出的序列样本点分配策略，把每次迭代生成的序列样本点分为全局探索样本点和局部搜索样本点两部分。全局探索样本点仍通过标准追峰采样方法生成，局部搜索样本点通过在重点设计空间内使用基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计(Latin Hypercube Design)生成。

基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，包括如下步骤。

步骤一、用基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计进行初始采样，在给定的设计空间内生成(n_v+1)(n_v+2)/2-1+n_v个高精度样本点，将(n_v+1)(n_v+2)/2-1+n_v个高精度样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y。其中n_v为设计变量个数。用f(x)表示样本点x处的真实模型响应值。将目标函数持续未改善迭代次数χ初始化为0。

步骤二、用高精度样本点集Y中所有点构造径向基函数代理模型。用表示样本点x处的径向基函数代理模型响应值。

步骤三、设计空间内随机生成N个简单样本点，将简单样本点及其径向基函数响应值加入简单样本点集X。用简单样本点集X中的简单样本点的径向基函数响应值生成概率分布模型进行追峰采样，每次迭代从X中选出n_G个样本点，将n_G个样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y；当迭代次数k＝1时，取n_G＝n_v；当迭代次数k＞1时，n_G取值由步骤八确定。

步骤四、构造重点设计空间，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点。重点设计空间是由中心和边长确定的一个超立方体。当第1次迭代时，n_L＝0，重点设计空间与步骤一所述设计空间相同；当进行第2次迭代时，边长为由逐一交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation,LOO-CV)确定的近似误差最大的点与上一次迭代得到的近似最优点之间的欧氏距离。当进行第k次迭代(k＞2)时，选择第k-1次和第k-2次迭代得到的近似最优点中目标函数值较小的点作为当前重点设计空间的中心，两个近似最优点之间的欧氏距离作为边长。如果第k-1次的近似最优点处径向基函数模型相对近似误差

小于第k-2次近似最优点处径向基函数模型相对近似误差，则增大边长以提高全局探索性，反之则减小边长以提高局部搜索性。为避免某一维边长过小导致遗漏全局最优点，各维边长不应小于步骤一所述设计空间边长的σ倍，一般取σ≤0.1。从第2次迭代(k＝2)开始，n_L＝n_v-n_G，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点，将n_L个新增样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y。

步骤五、构造二次响应面和子区域。从高精度样本点集Y中选择最小的真实模型响应值对应的样本点作为中心点；将高精度样本点集Y中其他样本点与中心点的距离进行排序，选取距离中心点较近的前(n_v+1)(n_v+2)/2个样本点，通过中心点与(n_v+1)(n_v+2)/2个样本点构造二次响应面；取所有选中点各维坐标值的最小值和最大值作为子区域的上下界。所述子区域将所有选中点包含其中。

步骤六、检查二次响应面近似精度，如果二次响应面的R²＞0.9，则在子区域内新增[n_v/2]个样本点，用子区域中所有的点，即(n_v+1)(n_v+2)/2+[n_v/2]个点，重新构造二次响应面并计算复相关系数R²和局部近似精度Diff，如果R²＞0.9999且Diff≤0.01，在子区域内用序列二次规划方法优化二次响应面，将得到的近似最优点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y中，执行步骤七；如果R²≤0.9999或Diff＞0.01，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七。如果二次响应面的R²≤0.9，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七。

步骤七、检查算法终止条件。当迭代次数k＝1时，如果则算法终止；如果则执行步骤八。N_fe是真实模型调用次数，等于当前高精度样本点集Y中样本点个数；是算法指定的最大模型调用次数。当迭代次数k＞1时，如果满足真实模型调用次数算法终止；如果真实模型调用次数则执行步骤八。

步骤八、判断目标函数持续未改善迭代次数χ。当迭代次数k＝1时，χ＝1。当迭代次数k＞1时，将第k-1次迭代时目标函数持续未改善迭代次数记为χ₀，如果连续两次迭代目标函数的改善程度很小，即则χ＝χ₀+1；如果则χ＝0。

步骤九、根据如下所述的高精度样本点分配策略，将n_s个高精度样本点分为n_G个全局探索样本点和n_L个局部搜索样本点，其中n_s＝n_v。分配依据包括设计变量个数n_v、目标函数持续未改善迭代次数χ、当前径向基函数模型复相关系数R²、局部搜索样本点数基准值n_L0。当迭代次数k＝1时，n_L0＝0；当迭代次数k＞1时，n_L0是第k-1次迭代时的局部搜索样本点数。高精度样本点分配策略包括如下3个步骤。

①当目标函数持续未改善迭代次数χ≥2，且径向基函数复相关系数R²＞0.9时，局部搜索样本点数n_L＞0，执行步骤②；否则n_L＝0，则执行步骤③；

②如果局部探索样本点个数n_L＞0，则取n_L＝n_s/2+2×(χ-2)，执行步骤③。

③全局探索样本点个数n_G＝n_s-n_L，如果n_G≤2，则取n_G＝2，且n_L＝n_s-2，样本点分配策略结束；如果n_G≥2，则不修改n_G和n_L的数值，样本点分配策略结束。

步骤十、重复步骤二到步骤九，直至满足步骤七的算法终止条件，则算法结束，完成复杂高维系统的优化设计。

有益效果

1、本发明公开的基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，本发明中基于重点设计空间的快速追峰采样方法通过引入一种样本点分配策略，将基于空间缩减序列采样方法和基于空间填充序列采样方法的优势结合起来，在全局探索性和局部搜索性之间取得平衡，能够有效降低复杂高维系统优化过程中的计算成本，同时尽可能避免遗漏全局最优解，提高设计结果的可靠性。

2、本发明公开的基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，本发明适合应用到设计变量个数多、分析模型计算耗时高的复杂高维系统优化设计领域，如含有大规模有限元分析的结构优化设计、含有高精度计算流体力学分析的气动优化设计等航空航天领域或相关工程设计领域。通过减少找到全局最优解所需的复杂分析模型的调用次数，明显缩短了复杂高维系统的优化设计周期。

附图说明

图1为一种基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法流程图；

图2为RMPS-SDS与MPS求解F16问题的目标函数迭代过程对比。

具体实施方式

为了进一步说明本发明的目的和优点，下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步的说明，并通过与标准追峰采样方法(MPS)和遗传算法(Genetic Algorithm,GA)两种典型全局优化算法的结果进行比较，对本发明的综合性能进行验证分析。

下面通过机翼重量优化设计实例作为实施例说明具体实施过程。机翼重量的经验求解公式如下：

其中x₁,…,x₁₀对应的物理含义及取值范围如表1所示。

表110维机翼重量优化问题参数表

表1中的基准值来自经典的塞斯纳C172“天鹰”小型飞机，相应的各设计变量取值在基准量上下浮动适当范围作为设计空间上下界。本实施例中取设计变量n_v＝10，最大模型调用次数具体实施步骤如下。

步骤一、用基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计进行初始采样，根据设计变量个数n_v＝10，在设计空间内生成75个高精度样本点，将75个高精度样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y。用f(x)表示样本点x处的真实模型响应值，即机翼重量。将目标函数持续未改善迭代次数χ初始化为0。

步骤二、用高精度样本点集Y中所有点构造径向基函数代理模型。用表示样本点x处的径向基函数代理模型响应值。

步骤三、设计空间内随机生成10000个简单样本点，将简单样本点及其径向基函数响应值加入简单样本点集X。用简单样本点集X中的简单样本点的径向基函数响应值生成概率分布模型进行追峰采样，每次迭代从X中选出n_G个样本点，将n_G个样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y；当迭代次数k＝1时，取n_G＝10；当迭代次数k＞1时，n_G取值由步骤八确定。

步骤四、构造重点设计空间，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点。重点设计空间是由中心和边长确定的一个超立方体。当第1次迭代时，n_L＝0，重点设计空间与步骤一所述设计空间相同；当进行第2次迭代时，边长为由逐一交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation,LOO-CV)确定的近似误差最大的点与上一次迭代得到的近似最优点之间的欧氏距离。当进行第k次迭代(k＞2)时，选择第k-1次和第k-2次迭代得到的近似最优点中目标函数值较小的点作为当前重点设计空间的中心，两个近似最优点之间的欧氏距离作为边长。如果第k-1次的近似最优点处径向基函数模型相对近似误差

小于第k-2次近似最优点处径向基函数模型相对近似误差，则增大边长以提高全局探索性，反之则减小边长以提高局部搜索性。为避免某一维边长过小导致遗漏全局最优点，各维边长不应小于步骤一所述设计空间边长的σ倍，一般取σ≤0.1。从第2次迭代(k＝2)开始，n_L＝10-n_G，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点，将n_L个新增样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y。

步骤五、构造二次响应面和子区域。从高精度样本点集Y中选择最小的真实模型响应值对应的样本点作为中心点；将高精度样本点集Y中其他样本点与中心点的距离进行排序，选取距离中心点较近的前66个样本点，通过中心点与66个样本点构造二次响应面；取所有选中点各维坐标值的最小值和最大值作为子区域的上下界。所述子区域将所有选中点包含其中。

步骤六、检查二次响应面近似精度，如果二次响应面的R²＞0.9，则在子区域内新增5个样本点，用子区域中所有的点，即71个点，重新构造二次响应面并计算复相关系数R²和局部近似精度Diff，如果R²＞0.9999且Diff≤0.01，在子区域内用序列二次规划方法优化二次响应面，将得到的近似最优点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y中，执行步骤七；如果R²≤0.9999或Diff＞0.01，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七。如果二次响应面的R²≤0.9，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七。

步骤七、检查算法终止条件。当迭代次数k＝1时，如果则算法终止；如果则执行步骤八。N_fe是真实模型调用次数，等于当前高精度样本点集Y中样本点个数；是算法指定的最大模型调用次数，本实施例中当迭代次数k＞1时，如果满足真实模型调用次数N_fe≥380，算法终止；如果真实模型调用次数N_fe＜380，则执行步骤八。

步骤八、判断目标函数持续未改善迭代次数χ。当迭代次数k＝1时，χ＝1。当迭代次数k＞1时，将第k-1次迭代时目标函数持续未改善迭代次数记为χ₀，如果连续两次迭代目标函数的改善程度很小，即则χ＝χ₀+1；如果则χ＝0。

步骤九、根据如下所述的高精度样本点分配策略，将10个高精度样本点分为n_G个全局探索样本点和n_L个局部搜索样本点。分配依据包括设计变量个数n_v、目标函数持续未改善迭代次数χ、当前径向基函数模型复相关系数R²、局部搜索样本点数基准值n_L0。当迭代次数k＝1时，n_L0＝0；当迭代次数k＞1时，n_L0是第k-1次迭代时的局部搜索样本点数。高精度样本点分配策略包括如下3个步骤。

④当目标函数持续未改善迭代次数χ≥2，且径向基函数复相关系数R²＞0.9时，局部搜索样本点数n_L＞0，执行步骤②；否则n_L＝0，则执行步骤③；

⑤如果局部探索样本点个数n_L＞0，则取n_L＝5+2×(χ-2)，执行步骤③。

⑥全局探索样本点个数n_G＝10-n_L，如果n_G≤2，则取n_G＝2，且n_L＝n_s-2，样本点分配策略结束；如果n_G≥2，则不修改n_G和n_L的数值，样本点分配策略结束。

步骤十、重复步骤二到步骤九，直至满足步骤七的算法终止条件，则算法结束，完成复杂高维系统的优化设计。

采用本发明提出的基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法(RMPS-SDS)对机翼重量进行优化，并将结果与标准追峰采样方法(MPS)和经典优化算法遗传算法(GA)对比。为排除随机因素影响，每种算法分别对机翼重量优化设计问题进行10次优化，统计10次优化所得近似最优解平均值、标准差，以及目标函数调用次数的平均值。结果如表2所示。

表2 RMPS-SDS、MPS、GA对机翼重量优化设计问题优化结果

由表中数据可知，在基本相同的目标函数调用次数下，本发明提出的RMPS-SDS能获得最优性更好的近似最优解，说明RMPS-SDS有较好的优化效率；同时，在基本相同的目标函数调用次数下，本发明提出的RMPS-SDS的近似最优解标准差明显小于MPS和GA，说明RMPS-SDS的鲁棒性明显优于MPS和GA。

为了更好地说明RMPS-SDS的优势，进一步选取10个数值测试问题进行优化。数值测试问题包括HN、F16、R10、R20、SUR10、SUR20、ZF10、ZF20、GR10、GR20。对于上述10个测试问题，通过比较迭代终止时得到的近似最优解的大小来衡量算法效率。为排除偶然因素影响，每种算法对各测试测试问题分别连续优化10次。10个测试问题的数学模型如式(8)～(14)所示。

Hartmann测试问题(HN，n_v＝6)

其中α_ij，c_i，p_ij取值见表3、表4。

表3α_ij和c_i取值

表4p_ij取值

理论最优值为-3.322。

16维测试问题(F16，n_v＝16)

理论最优值为25.875。

10维、20维Rosenbrock测试问题(R10/R20，n_v＝10/n_v＝20)

理论最优值为0。

10维、20维SUR-T1-14测试问题(SUR10/SUR20，n_v＝10/n_v＝20)

理论最优值为0。

10维、20维Zakharov测试问题(ZF10/ZF20，n_v＝10/n_v＝20)

理论最优值为0。

10维、20维Griewank测试问题(GR10/GR20，n_v＝10/n_v＝20)

理论最优值为0。

对于MPS，根据RMPS-SDS求解结果，R10/R20、SUR10/SUR20、ZF10/ZF20等测试问题取HN、F16、GR10、GR20分别取值为240、1050、150、390。GA使用Matlab的全局优化工具包(Global Optimization Toolbox)中的ga函数实现。交叉概率(crossoverfraction)设为0.6，种群规模(population size)设为100。最大代数(generation limit)对于R10/R20、SUR10/SUR20、ZF10/ZF20等测试问题设为49，HN、F16、GR10、GR20分别设为2、10、1、3，以限制目标函数调用次数。

表5MPS，RMPS-SDS，GA的测试问题优化结果

从表5中可以看出，在给定的基本相同的目标函数调用次数下，对于各数值测试问题；RMPS-SDS普遍能得到明显较小的近似最优解均值，说明RMPS-SDS更接近理论最优解，在求解的最优性超过MPS和GA；RMPS-SDS的近似最优解标准差也普遍小于MPS和GA得到的结果，说明RMPS-SDS在求解的一致性方面也具有优势。

图2为RMPS-SDS和MPS求解F16问题时目标函数值随迭代过程的变化情况的对比。从图中可以看出，RMPS-SDS的优化结果虽然在开始迭代的几步很差，但不再表现出类似MPS的很长的“平台期”，特别是第19次迭代后，每一次迭代都能使目标函数值有效下降，同时能够避免MPS过早收敛的现象。则说明RMPS-SDS能够有效地提升MPS的局部搜索性能。

通过上述比较可以很容易地看出，RMPS-SDS在解决复杂高维系统的优化设计过程中，在保证概率意义上不会遗漏全局最优解的前提下，大大提高了局部搜索性能，提高了优化设计方法的寻优能力和优化效率，同时可以增强优化设计方法的鲁棒性。RMPS-SDS方法适用于各种运算量巨大的工程设计优化领域，如含有大规模有限元分析的工程结构优化设计，含有高精度计算流体力学的气动优化设计，以及飞行器、汽车、船舶等复杂工程系统的多学科设计优化。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于快速追峰采样的复杂高维系统优化方法，其特征在于包括如下步骤：

步骤一、用基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计进行初始采样，在给定的设计空间内生成(n_v+1)(n_v+2)/2-1+n_v个高精度样本点，将(n_v+1)(n_v+2)/2-1+n_v个高精度样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y；其中n_v为设计变量个数；用f(x)表示样本点x处的真实模型响应值；将目标函数持续未改善迭代次数χ初始化为0；

步骤二、用高精度样本点集Y中所有点构造径向基函数代理模型；用表示样本点x处的径向基函数代理模型响应值；

步骤三、设计空间内随机生成N个简单样本点，将简单样本点及其径向基函数响应值加入简单样本点集X；用简单样本点集X中的简单样本点的径向基函数响应值生成概率分布模型进行追峰采样，每次迭代从X中选出n_G个样本点，将n_G个样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y；当迭代次数k＝1时，取n_G＝n_v；当迭代次数k＞1时，n_G取值由步骤八确定；

步骤四、构造重点设计空间，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点；重点设计空间是由中心和边长确定的一个超立方体；当第1次迭代时，n_L＝0，重点设计空间与步骤一所述设计空间相同；当进行第2次迭代时，边长为由逐一交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation,LOO-CV)确定的近似误差最大的点与上一次迭代得到的近似最优点之间的欧氏距离；当进行第k次迭代(k＞2)时，选择第k-1次和第k-2次迭代得到的近似最优点中目标函数值较小的点作为当前重点设计空间的中心，两个近似最优点之间的欧氏距离作为边长；如果第k-1次的近似最优点处径向基函数模型相对近似误差

小于第k-2次近似最优点处径向基函数模型相对近似误差，则增大边长以提高全局探索性，反之则减小边长以提高局部搜索性；为避免某一维边长过小导致遗漏全局最优点，各维边长不应小于步骤一所述设计空间边长的σ倍，一般取σ≤0.1；从第2次迭代(k＝2)开始，n_L＝n_v-n_G，在重点设计空间内通过基于“最小距离最大”准则的拉丁超方设计新增n_L个样本点，将n_L个新增样本点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y；

步骤五、构造二次响应面和子区域；从高精度样本点集Y中选择最小的真实模型响应值对应的样本点作为中心点；将高精度样本点集Y中其他样本点与中心点的距离进行排序，选取距离中心点较近的前(n_v+1)(n_v+2)/2个样本点，通过中心点与(n_v+1)(n_v+2)/2个样本点构造二次响应面；取所有选中点各维坐标值的最小值和最大值作为子区域的上下界；所述子区域将所有选中点包含其中；

步骤六、检查二次响应面近似精度，如果二次响应面的R²＞0.9，则在子区域内新增[n_v/2]个样本点，用子区域中所有的点，即(n_v+1)(n_v+2)/2+[n_v/2]个点，重新构造二次响应面并计算复相关系数R²和局部近似精度Diff，如果R²＞0.9999且Diff≤0.01，在子区域内用序列二次规划方法优化二次响应面，将得到的近似最优点及其真实模型响应值加入高精度样本点集Y中，执行步骤七；如果R²≤0.9999或Diff＞0.01，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七；如果二次响应面的R²≤0.9，则将当前高精度样本点集Y中最小的真实模型响应值对应的样本点作为第k次迭代的近似最优点执行步骤七；

步骤七、检查算法终止条件；当迭代次数k＝1时，如果则算法终止；如果则执行步骤八；N_fe是真实模型调用次数，等于当前高精度样本点集Y中样本点个数；是算法指定的最大模型调用次数；当迭代次数k＞1时，如果满足真实模型调用次数算法终止；如果真实模型调用次数则执行步骤八；

步骤八、判断目标函数持续未改善迭代次数χ；当迭代次数k＝1时，χ＝1；当迭代次数k＞1时，将第k-1次迭代时目标函数持续未改善迭代次数记为χ₀，如果连续两次迭代目标函数的改善程度很小，即则χ＝χ₀+1；如果则χ＝0；

步骤九、根据如下所述的高精度样本点分配策略，将n_s个高精度样本点分为n_G个全局探索样本点和n_L个局部搜索样本点，其中n_s＝n_v；分配依据包括设计变量个数n_v、目标函数持续未改善迭代次数χ、当前径向基函数模型复相关系数R²、局部搜索样本点数基准值n_L0；当迭代次数k＝1时，n_L0＝0；当迭代次数k＞1时，n_L0是第k-1次迭代时的局部搜索样本点数；高精度样本点分配策略包括如下3个步骤；

①当目标函数持续未改善迭代次数χ≥2，且径向基函数复相关系数R²＞0.9时，局部搜索样本点数n_L＞0，执行步骤②；否则n_L＝0，则执行步骤③；

②如果局部探索样本点个数n_L＞0，则取n_L＝n_s/2+2×(χ-2)，执行步骤③；

③全局探索样本点个数n_G＝n_s-n_L，如果n_G≤2，则取n_G＝2，且n_L＝n_s-2，样本点分配策略结束；如果n_G≥2，则不修改n_G和n_L的数值，样本点分配策略结束；

步骤十、重复步骤二到步骤九，直至满足步骤七的算法终止条件，则算法结束，完成复杂高维系统的优化设计。