CN101944141A - 一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，属于现代工程优化设计技术领域。本发明的方法通过自适应径向基函数逐次构造工程设计问题涉及复杂分析模型的代理模型，针对代理模型采用模糊聚类方法对已知网格点处的代理模型函数值进行分类，搜索到可能存到全局最优点的重点区域，然后在此重点区域内进行小范围使用全局优化算法对代理模型进行优化，直至获得工程设计问题的最优解。本优化方法克服了传统的全局优化方法在工程优化设计问题时存在的计算耗时的缺点，能够有效的降低计算成本，提高优化效率，有助于缩短工程优化设计的周期；并且具有全局搜索的能力。

Description

一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法

技术领域

本发明涉及一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，属于现代工程优化设计技术领域。

背景技术

为了提高工程设计的质量，优化设计的方法与思想被越来越多的应用到工程设计中，例如飞行器优化设计、汽车优化设计等，而且现代工程设计问题也日趋复杂。一方面，为了提高分析精度和可信度，高精度分析模型被广泛用于工程设计中，例如结构分析中采用的有限元分析(FEA)模型、气动分析中使用的计算流体力学(CFD)分析模型等。高精度分析模型在提高分析精度和可信度的同时也带来了计算耗时的困难，虽然当今计算机软硬件技术已经有了长足的发展，然而，调用高精度分析模型完成一次分析仍然极其耗时，例如使用CFD模型完成一次气动仿真分析需要数小时甚至数十小时。另一方面，现代工程设计问题往往涉及多个相互耦合的学科。譬如，飞行器设计涉及气动、结构、动力、隐身、控制等学科，各学科相互影响，相互制约，飞行器的性能是各学科耦合的综合体现。由于学科之间的耦合关系，工程设计问题的系统分析表现为多学科分析。本质上，多学科分析过程是一个典型的非线性求解过程，每次多学科分析都需要进行多次迭代，计算耗时，如果各学科都采用高精度分析模型，其计算量将非常庞大。再次，工程优化设计过程中需要经过反复迭代方能收敛到局部或全局最优解，而每次迭代都需要进行多次工程设计问题的多学科分析，可见计算成本将进一步增加。

为了获得工程设计问题的全局最优解，传统的全局优化方法直接使用全局优化算法对工程问题进行优化求解，例如遗传算法(GA)、模拟退火算法(SA)等。但是，与传统的梯度算法相比，全局优化算法所需计算量更大。例如，使用遗传算法完成一次优化通常需要调用成百上千次系统分析。对于大量采用高精度学科分析模型的复杂现代工程设计问题，传统的全局优化方法的计算成本过大甚至是难以接受的。另外，目前多数高精度分析模型都采用商业CAE软件建立的黑盒模型(Black-box Model)，与优化算法(优化器)的接口相当困难。

基于代理模型的优化方法是降低现代工程设计问题的计算量、提高设计效率的有效途径。基于代理模型的优化方法就是构造分析结果与高精度模型接近，计算成本更低的代理模型并代替高精度分析模型用于优化。由于高精度分析模型计算一次所需时间的量级为小时或天，而代理模型计算一次所用时间的量级仅为秒甚至毫秒，因此与高精度分析模型的计算时间相比，代理模型以及基于代理模型优化的计算时间往往可以忽略不计。目前常用的代理模型方法包括多项式响应面、Kriging模型、径向基函数、移动最小二乘法以及神经网络等。按照代理模型在优化过程中的使用方式可以分为静态代理模型和动态代理模型。静态代理模型在优化前构造完毕，在优化过程中代理模型保持不变，而动态代理模型在优化过程中根据已知信息逐步进行更新直至优化收敛。与静态代理模型相比，动态代理模型在优化效率和结果精度方面更具有优势。

自适应响应面(Adaptive Response Surface Method，ARSM)全局优化方法是Gary.Wang于2001年提出的一种具有代表性的基于动态多项式响应面代理模型的高效全局优化方法。虽然该方法能够有利于降低复杂工程优化设计问题的计算量，但是仍存在下列缺陷：

a)代理模型选用的二次响应面，对未知模型的近似较差，不利于找到未知模型的真实最优点，不易收敛，效率较低。

b)ARSM在使用分割平面(Cutting Plane)缩小设计空间过程中需要使用模拟退火等全局优化算法进行2n_v次子优化，一方面，增加了计算量，尤其对于高维大规模问题子优化所需的时间将进一步增加，效率较低，另一方面，增加了ARSM的软件实现复杂度和难度，不利于工业应用；

c)ARSM使用分割平面(Cutting Plane)缩小设计空间时，很可能遗漏真正的全局最优点。

为了更好的说明本发明的技术方案，下面对所涉及的相关技术做一定介绍。

(1)改进的拉丁超立方设计方法(Efficient maximin Latin Hypercube Design，ELHD)

步骤1，建立用户在实际工程中n维设计空间的优化设计问题所对应的空间超体，预设第1个试验设计点。

为了实现用户从实际工程中的n维设计空间提取m个试验设计点的目的，将n维空间构造成为一个mⁿ的空间超体；再将此空间超体分为相邻的m个单位超体，从一端到另一端的空间顺序编为第1个，第2个，……，第m个，则每个单位超体中有m^n-1个单位正方体。

若将m个试验设计点分别放入某一个单位超体中的某一个单位正方体内，且每一个单位超体只能放一个点，则使得获取的m个试验设计点更易满足投影均匀性原则。

在第1个单位超体中的任意一个单位正方体中预设第1个试验设计点

i＝1，…，n，其中，

表示第1个试验设计点在第1个单位超体中第i维的坐标值。将得到的P₁存入设计点集合P＝{P₁}。

步骤2，对于第s个点(s＝2，3，4，5，…，m-1)，利用已得到的s-1个试验设计点，在第s个单位超体中确定第s个试验设计点。

为了更好的满足投影均匀性，设计第s个点P_s在第s个单位超体的除已被

i＝1，…，n，

占据的余下坐标值对应的单位正方体中选取。分别计算余下的单位正方体与之前确定的s-1个点之间的距离，并将同一个单位正方体分别与前s-1个点距离中的最小值，作为这个单位正方体的特征值；再找出各单位正方体特征值的最大值，将最大值对应的空间坐标值确定为第s个点将得到的P_s存入设计点集合P＝{P₁，P₂，P₃，…P_s-1，P_s}。

步骤3，重复步骤2，直到(m-1)个试验设计点被确定。

步骤4，在完成步骤3后，第m个单位超体中满足各维坐标值均不相同条件的单位正方体只剩一个，故第m个点唯一确定。

有关该方法的具体技术方案参见本发明人的申请号为201010253921.0的在先申请专利。

(2)基于径向基函数代理模型

径向函数是以未知点与数据之间的欧氏距离为自变量的一类函数。以径向函数为基函数，通过线性叠加构造出来的模型即为径向基函数模型。这是一种近20多年来得到迅速发展的代理模型方法。这种方法通过径过函数将一个多维问题转化为一维问题，从而大简化了建立模型的计算成本，并保证较高的模型精度。径向基函数的基本形式如下

式中，为径向函数，‖x-x_i‖₂为坐标点到点i的径向距离，λ_i为权系数，m为已知样本点的个数，F_i为已知样本点对应真实响应值，即

s(x_i)＝F_i                    (2)

在二维笛卡尔直角坐标系下，

${\left|\right|x-x_i\left|\right|}_2=\sqrt{{(X-X_i)}^2+{(Y-Y_i)}^2}---\left(3\right)$

方程(1)中的权系数λ_i可以通过最小化下式得到，

for k＝1，2，…，m

取最小值时对应的等式，以矩阵的形式表示如下，

[A]{a}＝{R}                  (5)

式中，

{a}^T＝{λ₁，λ₂，…，λ_N}                    (6)

{R}^T＝{F₁，F₂，…，F_N}

a_ij为矩阵[A]的元素，有，

因此，m个方程m个未知变量λ_i，i＝1，2，…，m。常用的几个经典径向函数如表1。

表1常用的几个经典径向函数

研究发现，径向基函数对任意确定或不确定性模型都有很好的近似。由于它较好的平滑适应能力和较高的收敛特性，因此工程中已经普遍适应。

(3)模糊聚类法

在缩减设计空间时，模糊聚类法用于对样本点和响应值的隶属度进行分类，完成数据的模糊聚类划分，最终得到可能存在全局最优解的重点区域。模糊c-均值聚类方法(Fuzzy c-means Clustering Method，FCM)是由Bezkek于1981年提出的，它是目前广泛采用的一种模糊聚类算法。

考虑一个样本集合X＝[x_ij]，i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m。其中n代表所含的样本数，m代表每个样本中所含的变量数。将此集合依据一定的准则用模糊聚类的方法分成c(2≤c≤n)个模糊子集，这里c是指一给定的聚类数，所用的准则一般是优化一个用来表征聚类的性能指标的目标函数。模糊聚类的结果可用隶属矩阵U来表示：

U＝[u_ij]，i＝1，2，…，c；j＝1，2，…，n                        (8)

u_ij的值在[0，1]之间，表示样本集合中的元素x_j属于第i个聚类的程度，同时u_ij还必须满足

$\left\{\begin{array}{cc}\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{\mathrm{ij}}=1& j=\mathrm{1,2},...,n\\ 0\≤u_{\mathrm{ij}}\≤1& i=\mathrm{1,2},...,c\end{array}\right.---\left(9\right)$

FCM算法的目标函数一般为如下形式：

$J(U,\stackrel{\‾}{v})=\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{\mathrm{ik}}\right)}^d{\left|\right|x_k-v_i\left|\right|}^2---\left(10\right)$

其中，

$u_{\mathrm{ik}}=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{c}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{\left|\right|x_k-v_i\left|\right|}{\left|\right|x_k-v_j\left|\right|}\right)}^{2/(d-1)}}---\left(11\right)$

式中d为影响隶属度矩阵模糊化程度的指数权重。求(10)式的极小化问题，

$\underset{U,\stackrel{\‾}{v}}{\min }J(U,\stackrel{\‾}{v})---\left(12\right)$

得到最优解

给定一组样本点，采用模糊c-均值聚类法，得到最优解，即为分组后的聚类中心坐标

和样本点隶属于各聚类中心的隶属度矩阵U^*。

发明内容

本发明的目的为解决ARSM全局优化方法运算复杂、计算耗时、可能遗漏最优点的问题，提出了一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化(globaloptimization method using Adaptive RBF based on Fuzzy C1ustering，ARFC)方法，可用于现代复杂的工程优化设计问题，尤其对于工程设计中运算量巨大的优化领域，如含有大规模有限元分析的结构优化设计、含有高精度计算流体力学分析的气动优化设计等中，在航空航天领域或相关工程优化设计领域都可以有较为广泛的应用。

本发明所述的高效ARFC全局优化方法，其设计思想为：通过自适应径向基函数逐次构造工程设计问题涉及复杂分析模型的代理模型，针对代理模型采用模糊聚类方法对已知网格点处的代理模型函数值进行分类，搜索到可能存到全局最优点的重点区域，然后在此重点区域内进行小范围使用全局优化方法对代理模型进行优化，直至获得工程设计问题的最优解。该优化方法具有全局搜索的能力。

本发明的ARFC全局优化方法具体包括如下步骤：

步骤1，为了方便进行工程优化，根据用户给出的工程优化的具体要求，转化为如下的数学模型：

在n_v维设计空间

中，对于其中任意一个设计变量x_i，i∈[1，n_v]，在初始设计空间

(

和

分别为设计变量x_i的上下界)中，满足在约束条件g_j(x)≤0，(j＝1，...，k)下，工程优化目标f(x)最小。

步骤2，在初始设计空间

内生成初始样本点。

为了保证试验设计样本点的空间均布性和投影均匀性，在步骤1得到的初始设计空间内使用改进的拉丁超方设计方法(ELHD)生成初始样本点。初始采样点的个数取为二次响应面所需的最少样本点个数，即由下式确定：

m＝(n_v+1)(n_v+2)/2

其中，n_v表示维数，即设计变量个数，m表示初次采样个数。

步骤3，获取初始样本点的真实响应值。

调用步骤1建立的工程优化问题的数学模型，获取步骤2得到的初始样本点处的真实响应值，并将初始样本点及其相应真实响应值存入设计数据库，用于构造或更新径向基代理模型。

步骤4，构造径向基代理模型。

使用设计数据库中的全部样本点及其真实响应值，在原始设计空间内构造或更新径向基代理模型。

步骤5，生成正交网格点，并计算其近似响应值。

在原始设计空间内，每维上均分取m个点，连接各维上的均分点形成

个正交网格点，用步骤4得到的径向基代理模型计算所有网格点处的近似响应值。

步骤6，用模糊聚类方法划分多个重点区域。

把步骤5得到的每个网格点的近似响应值作为该网格点的第n_v+1维坐标值，则网格点坐标空间更新为n_v+1维。对此含有n_v+1维坐标值的新网格点集合，采用模糊聚类方法进行搜索和分类：得到分组后的聚类中心坐标

以及网格点隶属于各聚类中心的隶属度矩阵U^*。

根据隶属度矩阵U^*，新网格点集合被分为若干组；将每组网格点中的前n_v维坐标值组成局部优化空间，得到多个可能存在全局最优点的重点区域。

步骤7，在重点区域内对代理模型寻优。

采用具有全局搜索能力的全局优化方法，对步骤6得到的各重点区域用径向基代理模型进行全局优化，分别得到各重点区域的最优点，并将各重点区域的最优点中的最小值作为此次寻优过程的当前全局近似最优解。

步骤8，获取当前全局近似最优解的真实响应值。

调用步骤1建立的工程优化设计问题的数学模型，利用步骤7得到的全局近似最优解，计算得到该全局近似最优解的真实响应值，并将此全局近似最优解及其真实响应值添加到设计数据库中。

步骤9，判断全局近似最优解的真实响应值是否满足收敛准则，如果满足则停止优化，并将步骤8中的全局近似最优解作为原工程设计问题的全局最优解输出；否则跳转步骤4，重新构造新的径向基代理模型，重复步骤5至步骤9，直到找到工程设计的全局最优解。

收敛准则为连续两次优化迭代所得的全局近似最优解的相对误差小于预设值，如下式所示。通常ε取[0.001-0.01]区间中的值。

$\left|\frac{x^{*\left(k\right)}-x^{*(k-1)}}{x^{*(k-1)}}\right|<\mathrm{\&epsiv;}$

其中，x^*(k)和x^*(k-1)分别表示第k次和第k-1次优化迭代所得的全局近似最优解。

有益效果

本发明克服了传统的全局优化方法在工程优化设计问题时存在的计算耗时的缺点，能够有效的降低计算成本，提高优化效率，有助于缩短工程优化设计的周期。

ARFC全局优化方法继承了ARSM的高效性和全局寻优能力优点。高效性体现在通过一系列基于基代理模型的优化获得原工程设计问题的最优解，调用高精度分析模型的次数远小于直接基于高精度分析模型的全局优化方法，而且调用高精度分析模型求解样本点处响应值的过程可以并行进行，从而能够进一步提高ARFC全局优化方法的效率。与ARSM类似，ARFC全局优化方法能够保证收敛到原工程优化问题的局部最优解，更具较强的全局寻优能力。

ARFC全局优化方法采用的模糊聚类方法得到重点优化区域，避免了ARSM每次迭代中缩小设计空间所必需的2n_v次子优化，也无需人为指定门限值，优化效率更高，算法复杂度以及软件实现难度更低。此外，ARFC全局优化方法每次重新构造代理模型都在原始空间内进行，降低了遗漏原工程设计问题全局最优解的风险，全局寻优的能力强于ARSM。

ARFC全局优化方法更好的全局寻优能力和优化效率，该方法能较好的适用于工程优化设计或任何其他计算模型耗时的优化设计，为工程应用节省大量的计算时间。

附图说明

图1为本发明的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法的流程图；

图2为具体实施方式中结构桁架系统的有限元模型。

具体实施方式

为了进一步说明本发明的目的和优点，下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的说明。

本发明提出并实现了一种基于模糊聚类的自适应径向基全局优化方法，尤其适用于复杂的工程优化设计问题，有助于提高优化效率，进而压缩设计周期和成本。下面通过几个标准的解析测试函数的优化实例进行进一步说明，并通过与ARSM方法的结果比较，对本发明的综合性能进行验证。

(一)解析函数优化实例

通过解析的Six-hump Camel-back(SC)函数如式(13)所示优化实例验证ARFC的性能，实例中假设SC函数为工程设计中计算耗时的高精度的分析模型，为了减低计算量提高优化设计效率，要求尽可能少的BR函数的分析次数。

$f_{\mathrm{sc}}\left(x\right)=4x_1^2-2.1x_1^4+\frac{1}{3}{x}_1^6+x_1{x}_2-4x_2^2+4x_2^4---\left(13\right)$

目标函数f_SC(x)在设计空间x_1，2∈[-2，2]内其全局最优目标函数值为

$f_{\mathrm{SC}}^{*}\left(x\right)=-1.0316.$

为了获得全局最优解应该使用具有全局寻优能力的优化方法，在此使用ARFC、ARSM以及传统的遗传算法分别对优化设计问题进行求解以便于比较分析。

ARFC全局优化方法的具体实施步骤如下：

第一步：建立BR函数的优化数学模型如式(14)所示。

min  y＝f_SC(x)

                                                             (14)

s.t.-5≤x₁，x₂≤5

第二步：使用Maximin-LHD计算实验设计方法在初始设计空间x_1，2∈[-2，2]内产生m＝(2+1)(2+2)/2＝6个样本点。

第三步：调用SC函数进行分析获取样本点处的目标函数的真实响应值，并将其存入设计数据库。

第四步：使用设计数据库中的样本点信息，在原始设计空间内构造径向基代理模型。

第五步：在原始设计空间内，生成一些数量为4倍初始采样点的正交网格点(24*24)，用得到的代理模型函数计算所有网格点处的近似响应。

第六步：对所有网格点及其相应的近似响应值，采用模糊聚类方法(这里模糊子集个数c取2)进行搜索和分类，得到两个可能存在全局最优点的重点区域。

第七步：采用遗传算法分别在两个重点区域对代理模型进行全局优化，得到两个重点区域的最优点，其中较小值作为此次寻优过程的全局近似最优解。

第八步：利用第七步得到的全局近似最优点，调用SC函数获取此全局近似最优点的真实响应值，并将此真实响应值添加到设计数据库。

第九步：判断是否满足收敛准则，如果满足则停止优化并将第八步中的近似最优解x^*(k)作为原工程设计问题的全局最优解输出，否则跳转第四步，重新构造新的径向基代理模型，重复第五步至第九步直到收敛。

最终即可得到由ARFC全局优化方法优化SC函数的结果，最优点及调用SC函数的次数见表3。ARSM方法与GA算法不是本发明的内容，其具体实施步骤不再赘述。

同时也对几个其他的标准解析测试函数进行优化，测试函数如下，测试结果见表3。

Goldstein and Price(GP)函数

$f_{\mathrm{GP}}=[1+{(x_1+x_2+1)}^2(19-14x_1+3x_1^2-14x_2+6x_1{x}_2+3x_2^2)]*$ (15)

$[30+{(2x_1-3x_2)}^2(18-32x_1+12x_1^2+48x_2-36x_1{x}_2+27x_2^2)]$

x_1，2∈[-2，2]

Brain function(BR)函数

f_BR＝(x₂-5.1(x₁/2π)²+(5/π)x₁-6)²+10(1-(1/8π)cos(x₂)+10        (16)

x₁∈[-5，10]，x₂∈[0，15]

Generalized polynomial function(GF)函数

$f_{\mathrm{GF}}=u_1^2+u_2^2+u_3^2---\left(17\right)$

$u_i=c_i-x_1(1-x_2^i),$ i＝1，2，3. x_1，2∈[-5，5]

c₁＝1.5，c₂＝2.25，c₃＝2.625

Hartman function(HN)(n＝6)函数

$f_{\mathrm{HN}}=-\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i\exp [-\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ij}}{(x_i-p_{\mathrm{ij}})}^2],$ x_i∈[0，1]，i＝1，2，…，n                (18)

其中，α_ij，c_i，及p_ij如表1和表2所示。

表1系数α_ij，c_i，的取值

表2系数p_ij的取值

表3标准测试函数的优化结果对比

在优化效果方面，由表3可知，本发明的ARFC全局优化方法能够收敛到优化设计问题的理论最优解，表明ARFC全局优化方法具有良好的全局寻优能力。ARSM方法的并未真正收敛到优化设计问题的理论最优解，这是由于ARSM方法使用分割平面缩小区间导致遗漏了全局最优解。虽然遗传算法也收敛到优化设计问题的理论最优解，但是计算量远大于ARFC全局优化方法。

在效率方面，由表3可知，本发明的ARFC全局优化方法调用SC函数分析21次仅为遗传算法的所需分析次数(1040)的2％，与ARSM方法相比，ARFC全局优化方法所需SC函数分析次数减少了约80％。可见ARFC全局优化方法的效率最高。另外，由表3中的数据表明，各标准测试函数优化过程ARFC全局优化方法调用分析模型次数仅为ARSM的9％～61％。尤其对于高维问题(HN函数)，效率最高，调用分析模型的次数仅为ARSM方法的9％。

本发明在上述解析函数优化实例的具体实施表明，ARFC全局优化方法在处理工程优化设计问题时，有利于减少高精度模型的分析次数，从而达到提高效率的目的，而且ARFC全局优化方法还具有良好的全局寻优能力。

(二)工程优化设计实例

以一个用于工程建筑的简化的结构桁架系统为例，说明ARFC全局优化方法工程优化设计的应用。该工程设计问题的目标是在两种载荷工况下，满足给定的横截面积和刚度约束条件，使系统的总结构质量最小，如图2所示。结构桁架系统中材料的的基本参数是：

杨氏模量为E＝7×10¹⁰Pa

密度为ρ＝2.7×10³kg/m³

三个杆的长度分别为

l₂＝0.25，

两种工况作用下的力载荷为

case1：F_x＝7.1187e5N，F_y＝-5.339e6N

case2：F_x＝-7.1187e5N，F_y＝-5.339e6N

根据设计参数，可将该工程优化问题数学描述为下式，即通过优化杆的横截面面积，保证两种工况(case1和case2)下4号节点的位移都小于2.0e-4米的同时，使整个桁架系统结构质量最小化。

min  mass＝(l₁*A₁+l₂*A₂+l₃*A₃)*ρ

s.t.case1 and case2：d_node4＜＝2.0e-4m

0.001≤A₁≤0.1，0.001≤A₂≤0.1，0.001≤A₃≤0.1

其中，mass为桁架系统的结构总质量，d_node 4为4号节点的总位移，A₁，A₂，A₃分别为长度为l₁，l₂，l₃的杆横截面面积。

上述问题为一个结构有限元计算实例，该问题可以认为是一个大规模有限元模型计算的简化实例。现采用本发明对该问题进行优化求解，对目标函数采用ARFC全局优化方法进行优化，约束条件采用有限元模型；同时选用matlab自带的遗传算法进行求解，并比较两种算法的结果。ARFC全局优化方法求解该结构桁架系统优化问题的具体实施步骤如下。计算结果如表4所示。

第一步：建立该工程设计优化数学模型如式(19)所示。

min  mass＝(l₁*A₁+l₂*A₂+l₃*A₃)*ρ

s.t.d_node 4＜＝2.0e-4m                            (19)

0.001≤A₁≤0.1，0.001≤A₂≤0.1，0.001≤A₃≤0.1

第二步：因为设计变量为3个，故n_v＝3。使用ELHD计算实验设计方法在初始设计空间A_1，2，3∈[0.001，0.1]内产生m＝(3+1)(3+2)/2＝10个样本点。

第三步：调用目标函数进行分析获取样本点处的10个样本点的真实响应值，并将其存入设计数据库。

第四步：使用设计数据库中的样本点信息，在原始设计空间内构造径向基代理模型。本实施例选用的径向函数为高斯函数(Gaussian function)。

第五步：在原始设计空间内，生成一些数量为4倍初始采样点的正交网格点(40*40)，用第四步得到的代理模型函数计算网格点处的近似响应值。

第六步：对网格点及其相应的响应值，采用模糊聚类方法(这里模糊子集个数c取2)进行搜索和分类，得到两个可能存在全局最优点的重点区域(0.001～0.1，0.0258～0.1，0.0258～0.1)和(0.001～0.1，0.0505～0.1，0.001～0.0505)。

第七步：采用遗传算法分别在第六步得到的两个重点区域对第三步得到的代理模型进行全局优化，得到两个重点区域的最优点(0.0310，0.0952，0.0310)和(0.0421，0.0757，0.0420)对应的代理模型的响应分别为112.0566和120.0690，其中较小值112.0566作为此次优化过程的全局近似最优解。

第八步：利用第七步得到的近似全局近似最优解，调用结构桁架有限元系统，获取此近似最优解(0.0310，0.0952，0.0310)的真实响应值123.3553。并将此近似最优解和真实响应值添加到设计数据库。

第九步：跳转第四步，重新构造新的径向基代理模型，重复五至九步。判断是否满足收敛准则，本工程算例ε取0.01。如果满足则停止优化并将第八步中的可能最优解x^*(k)作为原工程设计问题的全局最优解输出，否则再跳转第四步，重新构造新的径向基代理模型，再重复五至九步直到收敛。

表3结构有限元模型各优化方法结果对比

由表3的数据表明，本发明所提出的ARFC全局优化方法所求得的最优结果为123.3033，并且同时满足两种工况下的位移约束，其优化结果与序列二次规划(SQP)和matlab自带的遗传算法(GA)相比，优化结果几乎相同。在优化效率方面，ARFC全局优化方法调用分析模型的次数仅为遗传算法的0.35％，优化效率是远远高于遗传算法。虽然效率方面，ARFC全局优化方法调用分析模型的次数仅为序列二次规划的57％，但序列二次规划不具有全局寻优的能力，很容易就陷入局部最优点。ARFC全局优化方法能够在大量的降低计算量的前提下，同时能够获取原工程优化问题的最优解。

由此可见，本发明基本实现了预期的发明目的，在能获取优化问题最优解的前提下，其优化效率得到了大大的提高。所以，ARFC全局优化方法一方面能够有效的降低计算成本，提高优化效率，有助于缩短工程设计的周期；另一方面，本发明具有很强的全局寻优能力，提高了工程优化设计问题中的全局优化的能力，有利于提高工程设计的质量。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1，为了方便进行工程优化，根据用户给出的工程优化的具体要求，转化为数学模型，得到初始设计空间；

步骤2，在步骤1得到的初始设计空间内使用改进的拉丁超方设计方法生成m个初始样本点；

步骤3，获取初始样本点的真实响应值；

调用步骤1建立的工程优化设计问题的数学模型，获取步骤2得到的初始样本点处的真实响应值，并将初始样本点及其真实响应值存入设计数据库，用于构造或更新径向基代理模型；

步骤4，构造径向基代理模型；

使用设计数据库中的全部样本点及其真实响应值，在原始设计空间内构造或更新径向基代理模型；

步骤5，生成正交网格点，并计算其近似响应值；

在原始设计空间内，每维上均分取m个点，连接各维上的均分点形成

个正交网格点，用步骤4得到的径向基代理模型函数计算所有网格点处的近似响应值；

步骤6，用模糊聚类方法划分多个重点区域；

把步骤5得到的每个网格点的近似响应值作为该网格点的第n_v+1维坐标值，则网格点坐标空间更新为n_v+1维；对此含有n_v+1维坐标值的新网格点集合，采用模糊聚类方法进行搜索和分类：得到分组后的聚类中心坐标

以及网格点隶属于各聚类中心的隶属度矩阵U^*；

根据隶属度矩阵U^*，新网格点集合被分为若干组；将每组网格点中的前n_v维坐标值组成局部优化空间，得到多个可能存在全局最优点的重点区域；

步骤7，在重点区域内对代理模型寻优；

采用具有全局搜索能力的全局优化方法，对步骤6得到的各重点区域用径向基代理模型进行全局优化，分别得到各重点区域的最优点，并将各重点区域的最优点中的最小值作为此次寻优过程的当前全局近似最优解；

步骤8，获取当前全局近似最优解的真实响应值；

调用步骤1建立的工程优化设计问题的数学模型，利用步骤7得到的全局近似最优解，计算得到该全局近似最优解的真实响应值，并将此全局近似最优解及其真实响应值添加到设计数据库；

步骤9，判断全局近似最优解的真实响应值是否满足收敛准则，如果满足则停止优化，并将步骤8中的全局近似最优解作为原工程设计问题的全局最优解输出；否则跳转步骤4，重新构造新的径向基代理模型，重复步骤5至步骤9，直到找到工程设计的全局最优解。

2.根据权利要求1所述的一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，其特征在于：所述的步骤1中的工程优化设计问题的数学模型为：在n_v维设计空间中，对于其中任意一个设计变量x_i，i∈[1，n_v]，在初始设计空间

(和

分别为设计变量x_i的上下界)中，满足在约束条件g_j(x)≤0，(j＝1，...，k)下，工程优化目标f(x)最小。

3.根据权利要求1所述的一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，其特征在于：所述的步骤2中初始采样点的个数取为二次响应面所需的最少样本点个数，即由下式确定：

m＝(n_v+1)(n_v+2)/2

其中，n_v表示维数，即设计变量个数，m表示初次采样个数。

4.根据权利要求1所述的一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，其特征在于：所述的步骤9中的收敛准则为连续两次优化迭代所得的全局近似最优解的相对误差小于预设值ε：

$\left|\frac{x^{*\left(k\right)}-x^{*(k-1)}}{x^{*(k-1)}}\right|<\mathrm{\&epsiv;}$

其中，x^*(k)和x^*(k-1)分别表示第k次和第k-1次优化迭代所得的全局近似最优解。

5.根据权利要求4所述的一种高效的基于模糊聚类自适应径向基全局优化方法，其特征在于：所述的预设值ε取[0.001-0.01]区间中的值。

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