CN112131770B - 一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法。该方法首先建立RBTO‑MMWDC‑FGM模型并通过灵敏度分析确定设计参数；其次，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度两类功能梯度结构建立系统化材料模型，按照实际设计问题赋予适当材料属性并建立有限元模型；继而，建立拓扑变量对于目标函数和约束条件的显式化表达，采用Lagrange乘子法对标准优化方程进行求解并根据建立的迭代循环体系和收敛准则对优化列式进行更新；通过开发的优化程序可以实现优化结果的提取与输出。本发明遵循MWDC模型，不仅可以有效提升优化求解效率，而且更加符合工程设计问题中安全性与经济性协调统一的设计理念，对于兼具可靠性和轻量化要求的工程技术领域发展具有重要推动作用。
Description
技术领域
本发明属于面向工程结构的轻量化设计技术领域，特别涉及一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法。该方法考虑工况载荷的不确定性对于结构强度和刚度的影响以及实现了位移约束下功能梯度连续体结构轻量化设计方案的制定，为基于可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计提供了新思路。
背景技术
随着航空航天、车辆工程、机械工程等高新技术产业的飞速发展，仅通过单一材料替换的方式已经难以满足不断提升的综合技术要求，因而结构设计研究对象也从单一材料的传统模式逐步发展到具有优异特性的复合材料新阶段。然而，传统复合材料结构存在因界面处基体和增强材料性能突变而导致失效破坏的缺点。作为一种特殊的复合材料，功能梯度材料FGM(Functionally Graded Materials,FGM)的概念于1987年由日本学者Watanabe针对高速航天器材料的应力缓和问题而提出。根据结构中梯度变化模式可以分为多层梯度结构和连续梯度结构。由于机械性能与轻量化已经成为现代工业结构设计的两项重要指标，利用拓扑优化方法对FGM结构实现以机械性能为前提的轻量化构型设计也逐渐成为该领域的研究热点。
根据目标函数的物理属性，连续体结构拓扑优化模型可以分为以体积约束下柔顺度最小化MCVC(Minimum Compliance with a Volume Constraint,MCVC)为代表的结构性能指标模型和以位移约束下质量最小化MWDC(Minimum Weight with a DisplacementConstraint,MWDC)为代表的结构经济指标模型。其中，结构性能指标模型是指以结构柔顺度、位移、应力、固有频率、振幅等为优化目标的模型。而结构经济指标模型是指以质量、体积或造价等为优化目标的模型。由于结构性能指标模型通常选取体积分数作为约束条件，不仅具有求解简单的优点，而且以性能指标对结构进行全局性描述，更加有利于得到结构性能最优的拓扑构型。因此，目前针对功能梯度结构的拓扑优化理论主要集中于结构性能指标模型。
然而，对于大部分工程实际问题，包括各类国家规范，均采用性能表征指标位移提出对结构刚度的限制。此时，采用结构性能指标模型体积分数参数值难以确定，而且不同体积分数对应不同的拓扑构型，通常需要针对设计参数进行多次修正才能到满足工程要求的设计方案。因此，相比于结构性能指标模型，在工程结构轻量化设计领域，结构经济指标模型更符合工程设计问题中安全性与经济性协调统一的设计理念，同时也更加具有实际应用价值。
此外，通过传统确定性拓扑优化方法所得到的拓扑构型通常属于静定结构形式的高效设计。所保留的拓扑结构均为满足优化目标的关键单元，缺少应对不确定性工况的适当冗余。迄今为止基于可靠性的连续体结构拓扑优化研究通常基于结构性能指标模型。基于结构经济指标模型的解决方法仅针对单材料结构采用蒙特卡罗仿真法MCS(Monte CarloSimulation，MCS)的渐进结构拓扑优化方法而实现。然而，采用MCS进行可靠性分析计算成本高昂，因而不适用于实际工程应用。针对FGM结构的可靠性的拓扑优化方法相关研究还是空白，因此理论尚不完善。
本发明针对功能梯度结构拓扑优化轻量化设计问题，提出了以质量作为轻量化评价指标的FGM连续体结构轻量化设计方法。遵循MWDC模型，建立了考虑可靠性的以结构质量为优化目标、以位移为约束条件的FGM结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM(Reliability-basedTopology Optimization of Modified Minimum Weight with a DisplacementConstraint for Functionally Graded Materials,RBTO-MMWDC-FGM)模型，并分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度两种FGM结构建立了系统化材料模型并实现了轻量化设计。这种FGM连续体结构轻量化设计方法不仅可以实现满足结构力学性能的轻量化设计需求，而且还考虑了实际工况载荷存在不确定性的影响因素，为考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化问题提供了新思路，对于航空航天、车辆工程等兼具高可靠性和轻量化要求的工程技术领域发展具有重要推动作用。
发明内容
本发明克服现有技术的不足，针对FGM结构拓扑优化轻量化设计问题，提供了一种面向工程应用的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化轻量化设计方法。该方法以位移为约束，确保FGM结构满足工程实际中的强度和刚度要求。通过整合多层变刚度和连续梯度刚度两种FGM结构建立了系统化的材料模型并对其实现了轻量化设计。除轻量化优化目标外，所提出的经济指标还可以根据实际应用需求拓展至结构体积或造价。完善并拓展了结构经济指标模型的应用领域，填补了针对FGM结构可靠性拓扑优化方法的研究空白。此外，由于本发明方法在设计过程中考虑了实际载荷工况的不确定性因素，因此所得到的拓扑构型具有更强的工程适用性。目前，相关研究尚不充分，现有相关技术存在计算成本高昂、结构安全可靠性低等不足，造成不必要的时间成本损耗与严重的结构失效破环等技术问题。
本发明采用的技术方案：一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，实现步骤如下：
步骤一：基于改进的经济指标MMWDC(Modified Minimum Weight with aDisplacement Constraint,MMWDC)模型，采用FORM(First Order Reliability Method,FORM)可靠性分析方法，建立包括目标函数、位移约束条件、可靠性约束条件和收敛准则的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM模型如下：
式中，En为n维欧几里得空间，W为结构质量，t为设计变量，为载荷工况条件l作用下第i号单元的固有质量，fw(t)为质量过滤函数，fk(t)为刚度过滤函数，β与β0分别为可靠性指标与目标可靠性指标，sil和/>为单元i在工况条件l下的最大位移和约束上限值，tmin为设计变量的下限值(为避免计算过程中的单元刚度矩阵奇异，将拓扑变量下限值定义为一个很小的数tmin＝0.01)，N为结构单元拓扑设计变量值，L为工况数量值。
采用多循环迭代方法实现优化问题中设计变量的求解，建立迭代计算收敛准则为：
式中，t(n+1)为第(n+1)次迭代得到的设计变量值，t(n)为第n次迭代所得到的设计变量值。
步骤二：针对FGM结构拓扑优化轻量化设计的具体问题，确定结构设计参数：包括设计域基结构尺寸、位移边界条件、载荷边界条件、目标可靠度指标、过滤半径和惩罚因子。根据结构设计参数的属性，采用正态分布模型对其进行描述。基于FORM可靠性分析理论，首先针对优化设计目标进行结构设计参数的灵敏度分析，选取对于优化目标影响较大的设计变量。其次，将正态变量X转化为标准正态变量Y，得到结构功能函数G(Y)。预设验算点初值Y*并计算梯度向量和灵敏系数αi，可以求得新的设计验算点Y*，继而得到可靠性指标β。判断可靠性指标β相比于预设目标可靠性指标β0是否满足精度要求，否则更新梯度向量重新计算直至满足收敛条件，最终得到设计验算点和符合预设可靠性指标要求的结构设计参数。
步骤三：通过引入Lagrange插值多项式和二元指数形式梯度系数函数，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度的两类FGM结构建立系统化材料模型。其中，针对由M种实体材料组成的多层变刚度结构，根据Lagrange插值多项式引入材料差值系数：
式中，t'为初始化时赋予每个单元一个伪设计变量。
建立多层变刚度结构通用材料差值公式：
Eim (M)＝N1(t)Ei1+N2(t)Ei2+...+NM(t)EiM
式中，Ei1为材料1的弹性模量，Ei2为材料2的弹性模量，EiM为材料M的弹性模量。
可以得到多层变刚度FGM结构拓扑优化材料模型如下：
即当t'取t1时，对应单元选用材料1，其弹性模量为Ei1；当取t'取t2时，对应单元选用材料2，其弹性模量为Ei2；类似地，当取t'取tM时，对应单元选用材料M，其弹性模量为EiM。
针对连续梯度刚度FGM结构，引入二元指数形式梯度系数函数并调整其自变量系数以实现材料弹性模量沿一定方向上的变化：
EH＝fk(t)E0eax+by
式中，x和y为设计域基结构内任意点的坐标；EH是平均弹性模量，其数值随着梯度系数a和b的改变而实现在设计域中几何位置的变化；E0是基础弹性模量。
基于MMWDC拓扑优化模型，采用复合指数形式过滤函数：
为了确保有限元离散后单元间材料性能的连续性，将每个单元中各节点弹性模量平均值作为该单元的弹性模量。建立采用四节点单元离散的连续梯度刚度FGM结构拓扑优化材料模型如下：
式中，ti为单元i的设计变量；EiH为单元i的弹性模量；xi j和yi j分别是编号为i的单元第j个节点的坐标位置。
步骤四：根据步骤二中得到的结构设计参数，并按照实际设计问题从步骤三中选取适当的FGM结构材料模型，并将对应的材料属性赋予结构，以建立FGM连续体结构的有限元模型。本发明结构力学性能分析基于有限元理论，可以根据实际设计要求确定单元尺寸，并以单元尺寸表征结构的最小设计单元。采用平衡方程对结构性能表征指标位移进行分析。
步骤五：基于步骤一中建立的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化模型，采用莫尔定理和虚功原理对优化模型进行标准化转换，建立拓扑变量对于目标函数和约束条件的显式化表达。
步骤六：本发明方法作为一种凸集优化模型，采用Lagrange乘子法对步骤五中所得到的标准优化方程进行求解。根据步骤一中所建立的迭代计算收敛准则，对优化列式进行更新。根据迭代循环体系：如果设计变量值满足收敛准则，则将其输出，否则修改设计变量，更新优化模型并返回步骤四进行新一轮迭代计算。
步骤七：通过基于本发明理论所开发的优化程序可以实现步骤六中得到的FGM连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出。
本发明与现有技术相比优点在于：
(1)本发明针对考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化轻量化设计问题，遵循面向工程应用的MWDC模型，建立了以结构质量作为其轻量化评价指标的RBTO-MMWDC-FGM模型，并制定了位移约束下FGM连续体结构轻量化设计方案。该模型基于MMWDC高效模型提出，通过引入复合指数形式过滤函数，并利用其在[0,1]区间中函数值迅速趋近于1的优异特性，解决了现有技术存在计算成本高昂的弊端，可以有效避免不必要的时间成本损耗，缩短结构设计周期，提升经济效益。此外，该方法除轻量化优化目标外，所提出的经济指标还可以根据实际应用需求拓展至结构体积或造价。不仅完善并拓展了结构经济指标模型的应用领域，而且填补了针对FGM结构可靠性拓扑优化方法的研究空白；
(2)本发明方法在FGM结构设计过程中以位移边界条件和采用正态分布模型描述结构载荷不确定性。不仅可以实现满足结构力学性能的轻量化设计需求，而且还考虑了实际工况载荷存在不确定性的影响因素。因此所得到的拓扑构型更加符合工程设计问题中安全性与经济性协调统一的设计理念，具有更强的工程适用性；
(3)本发明方法根据FGM结构中梯度变化模式，通过引入Lagrange插值多项式和二元指数形式梯度系数函数，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度的两类FGM结构建立了系统化材料模型。
(4)本发明基于RBTO-MMWDC-FGM模型开发了优化程序，可以实现FGM连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出。
附图说明
图1是本发明考虑可靠性的FGM连续体结构轻量化设计方法流程图；
图2是本发明实施算例中变刚度MBB简支梁基结构示意图；
图3是本发明实施算例中确定性MMWDC模型与RBTO-MMWDC-FGM模型的最优拓扑构型。其中，图3(a)为确定性MMWDC模型的最优拓扑构型，图3(b)为RBTO-MMWDC-FGM模型的最优拓扑构型；
图4是本发明实施算例中位移约束影响下RBTO-MMWDC-FGM模型的拓扑构型。其中，图4(a)位移约束为127.30mm，图4(b)位移约束为117.30mm，图4(c)位移约束为107.30mm，图4(d)位移约束为97.30mm，图4(e)位移约束为86.30mm，图4(f)位移约束为77.30mm；
图5是本发明实施算例中基于RBTO-MMWDC-FGM模型的迭代曲线。其中，图5(a)为质量迭代曲线，图5(b)为位移迭代曲线；
图6是本发明实施算例中连续梯度刚度夹层板基结构示意图；
图7是本发明实施算例中连续梯度刚度夹层板芯体部分材料模型曲线；
图8是本发明实施算例中连续梯度刚度夹层板芯体部分拓扑构型。其中，图8(a)为均质芯体结构拓扑构型(β＝3.5)，图8(b)为二次对称芯体结构拓扑构型(β＝3.8)。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。
如图1所示，本发明提出了一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，包括以下步骤：
步骤一：基于改进的经济指标MMWDC(Modified Minimum Weight with aDisplacement Constraint,MMWDC)模型和FORM(First Order Reliability Method,FORM)可靠性分析方法，建立包括目标函数、位移约束条件、可靠性约束条件和收敛准则的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM模型如下：
式中，En为n维欧几里得空间，W为结构质量，t为设计变量，为载荷工况条件l作用下第i号单元的固有质量，fw(t)为质量过滤函数，fk(t)为刚度过滤函数，β与β0分别为可靠性指标与目标可靠性指标，sil和/>为单元i在工况条件l下的最大位移和约束上限值，tmin为设计变量的下限值(为避免计算过程中的单元刚度矩阵奇异，将拓扑变量下限值定义为一个很小的数tmin＝0.01)，N为结构单元拓扑设计变量值，L为工况数量值。
采用多循环迭代方法实现优化问题中设计变量的求解，建立迭代计算收敛准则为：
式中，t(n+1)为第(n+1)次迭代得到的设计变量值，t(n)为第n次迭代所得到的设计变量值。
步骤二：针对FGM结构拓扑优化轻量化设计的具体问题，确定结构设计参数：包括设计域基结构尺寸、位移边界条件、载荷边界条件、目标可靠性指标、过滤半径和惩罚因子。根据结构设计参数的属性，采用正态分布模型对其进行描述。基于FORM可靠性分析理论，首先针对优化设计目标进行结构设计参数的灵敏度分析，选取对于优化目标影响较大的设计变量X＝(X1,X2,X3,X4)。
式中，X1为载荷，X2为设计域基结构沿x轴方向尺寸，X3为设计域基结构沿y方向尺寸，X4为位移。
其次，将正态变量X＝(X1,X2,X3,X4)转化为标准正态变量Y＝(Y1,Y2,Y3,Y4)，得到结构功能函数预设验算点初值Y*＝(mY1,mY2,mY3,mY4)并计算梯度向量和灵敏系数/> 可以求得新的设计验算点/>继而可以得到可靠性指标/>判断可靠性指标β相比于预设目标可靠性指标β0是否满足精度要求，否则更新梯度向量重新计算直至满足收敛条件，最终得到设计验算点和符合预设可靠性指标要求的结构设计参数。
步骤三：分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度两种FGM结构建立系统化材料模型。其中，针对由M种实体材料组成的多层变刚度结构，根据Lagrange插值多项式引入材料差值系数：
式中，t'为初始化时赋予每个单元一个伪设计变量。
建立多层变刚度结构通用材料差值公式：
Eim (M)＝N1(t)Ei1+N2(t)Ei2+...+NM(t)EiM
式中，Ei1为材料1的弹性模量，Ei2为材料2的弹性模量，EiM为材料M的弹性模量。
可以得到多层变刚度FGM结构拓扑优化材料模型如下：
即当t'取t1时，对应单元选用材料1，其弹性模量为Ei1；当取t'取t2时，对应单元选用材料2，其弹性模量为Ei2；类似地，当取t'取tM时，对应单元选用材料M，其弹性模量为EiM。
针对连续梯度刚度FGM结构，引入二元指数形式梯度系数函数并调整其自变量系数以实现材料弹性模量沿一定方向上的变化：
EH＝fk(t)E0eax+by
式中，x和y为设计域基结构内任意点的坐标；EH是平均弹性模量，其数值随着梯度系数a和b的改变而实现在设计域中几何位置的变化；E0是基础弹性模量。
基于MMWDC拓扑优化模型，采用复合指数形式过滤函数：
为了确保有限元离散后单元间材料性能的连续性，将每个单元中各节点弹性模量平均值作为该单元的弹性模量。建立采用四节点单元离散的连续梯度刚度FGM结构拓扑优化材料模型如下：
式中，ti为单元i的设计变量；EiH为单元i的弹性模量；xi j和yi j分别是编号为i的单元第j个节点的坐标位置。
步骤四：根据步骤二中得到的结构设计参数，并按照实际设计需要从步骤三中选取适当的FGM结构材料模型，并将对应的材料属性赋予结构，以建立FGM连续体结构的有限元模型。本发明方法结构力学性能分析基于有限元理论，可以根据实际设计要求确定单元尺寸，并以单元尺寸表征结构的最小设计单元。采用平衡方程对结构性能表征指标位移进行分析：
Ks＝P
式中，K为结构整体刚度矩阵，s为节点位移列向量，P为载荷列向量。
步骤五：基于步骤一中建立的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化模型，采用莫尔定理和虚功原理对优化模型进行标准化转换，建立拓扑变量对于目标函数和约束条件的显式化表达。首先，根据莫尔定理，结构任意节点在某一方向上的广义位移为：
式中，sil为第i个单元在工况条件l下对于目标点位移的影响值，σR为实载荷下的单元应力向量；εv为虚载荷下的单元应变向量。
根据虚功原理可以得到目标点总位移为：
式中，Pil R为实载荷下单元i的节点力向量；为虚载荷下单元i的节点位移向量。
根据有限元平衡方程：
Kisi v＝Pi v
式中，Ki为单元i的刚度矩阵，Pi v为虚载荷下的单元节点载荷向量。
将单元刚度代入目标点总位移表达式，可以得到目标点总位移为：
引入复合指数型刚度过滤函数，可以得到目标点位移的标准化显式表达：
其中，由于静定结构的位移不依赖于节点力，因此，单元对目标位移点的作用分量常系数不依赖于实载荷下单元节点力向量Pi R和虚载荷下单元节点力向量Pi v。
步骤六：本发明作为一种凸集优化模型，采用Lagrange乘子法对步骤五中所得到的标准优化方程进行求解。引入Lagrange乘子λ，得到Lagrange函数如下：
可以得到Lagrange函数的一阶导数为：
消去Lagrange乘子λ可以进行迭代求解。根据步骤一中所建立的迭代计算收敛准则，对优化列式进行更新。根据迭代循环体系：如果设计变量值满足收敛准则，则将其输出，否则修改设计变量，更新优化模型并返回步骤四进行新一轮迭代计算。
步骤七：通过基于本发明理论所开发的优化程序可以实现步骤六中得到的FGM连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出。
实施算例：
为了更加充分地了解该发明的特点及其对实际工程的适用性，下面分别针对多层变刚度和连续梯度刚度两类FGM结构进行拓扑优化设计。其中，针对多层变刚度FGM结构，选取如图2所示的由2种实体材料组成的变刚度MBB简支梁基结构进行拓扑优化轻量化设计。基结构尺寸为60mm×20mm×1mm，结构左下节点处设置为固定铰约束，右下节点处设置为滑动铰约束。服从正态分布的垂向压力载荷F作用于简支梁结构跨度中间节点处。强材料2位于弱材料1上部，且两种材料各占设计区域的50％。其中，材料1和材料2的弹性模量分别为E1＝1.0MPa，E2＝2.0MPa，材料密度分别为ρ1＝1kg/mm3，ρ2＝2kg/mm3，泊松比μ＝0.3。可靠性指标为β＝3.5，变异系数值为0.1。
当位移约束设置为77.30mm时，基于确定性MMWDC模型与RBTO-MMWDC-FGM模型所得到的的最终拓扑构型分别如图3(a)和(b)所示。根据优化结果，确定性拓扑优化模型和可靠性拓扑优化模型所得到的最终拓扑构型存在较大区别，显然确定性优化结果不足以应对不确定性载荷工况的影响。相比于确定性拓扑优化结果，考虑可靠性的拓扑优化结构中材料布局更加合理，结构更为稳定。位移约束影响下基于RBTO-MMWDC-FGM模型得到的拓扑构型如图4(a)–(f)所示。根据优化结果，随着位移约束的减小，拓扑构型中材料用量和支撑结构逐渐增加。与该结构相对应的基于RBTO-MMWDC-FGM模型的拓扑优化质量迭代曲线和位移迭代曲线分别如图5(a)和(b)所示。
针对连续梯度刚度FGM结构，选取如图6所示夹层板结构的芯体基结构进行拓扑优化轻量化设计。其中，芯体部分的材料模型采用如图7所示的均质材料芯体HC(HomogeneousCore,HC)和二次对称材料芯体QSC(Quadratic Symmetry Core,QSC)。基结构尺寸为60mm×30mm×1mm。结构左端和右端节点设置为固定铰链约束，服从正态分布的均布载荷q作用于结构上表面。基础弱材料弹性模量E0＝1.0MPa，泊松比为μ＝0.3，基础强材料的弹性模量Eh＝1.2E0。位移约束设置为302.00mm。
通过如图8所示的优化结果，由于HC夹层结构的平均弹性模量小于QSC夹层结构的平均弹性模量。因此在相同边界条件和载荷工况下，对HC夹层结构选取较低可靠性指标时可以得到与QSC夹层结构相似的拓扑构型。
综上所述，本发明建立了一种基于可靠性的以结构经济指标质量为优化目标，且所提出的经济指标还可以根据实际应用需求拓展至结构体积或造价、以位移为约束条件的FGM结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM模型。提供了一种面向工程应用的考虑可靠性的FGM连续体结构拓扑优化轻量化设计方法。该方法以位移为约束，确保FGM结构满足工程实际中的强度和刚度要求。通过引入Lagrange插值多项式和二元指数形式梯度系数函数，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度两类FGM结构建立系统化材料模型。利用莫尔定理和虚功原理对优化模型进行标准化转换，推导得到拓扑变量对于目标函数和约束条件的显式化表达。本发明作为一种凸集优化模型，采用Lagrange乘子法对标准优化方程进行迭代求解，直至设计变量满足预设收敛准则。通过基于本发明理论所开发的优化程序实现FGM连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出，最终得到满足可靠度约束的最优设计方案。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制。其可扩展应用于例如泊松比、密度等多种不同材料组分属性指标呈梯度变化的FGM连续体结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替代而形成的技术方案均属于本发明权利保护范围之内。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。
Claims (5)
1.一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，其特征在于实现步骤如下：步骤一：基于改进的经济指标MMWDC模型，采用FORM可靠性分析方法，建立包括目标函数、位移约束条件、可靠性约束条件和收敛准则的考虑可靠性的功能梯度连续体结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM模型如下：
式中，En为n维欧几里得空间，W为结构质量，t为设计变量，为载荷工况条件l作用下第i号单元的固有质量，fw(t)为质量过滤函数，fk(t)为刚度过滤函数，β与β0分别为可靠性指标与目标可靠性指标，sil和/>为单元i在工况条件l下的最大位移和约束上限值，tmin为设计变量的下限值，为避免计算过程中的单元刚度矩阵奇异，将拓扑变量下限值定义为一个很小的数tmin＝0.01，N为结构单元拓扑设计变量值，L为工况数量值；
采用多循环迭代方法实现优化问题中设计变量的求解，建立迭代计算收敛准则为：
式中，t(n+1)为第(n+1)次迭代得到的设计变量值，t(n)为第n次迭代所得到的设计变量值；
步骤二：针对FGM结构拓扑优化轻量化设计的具体问题，确定结构设计参数：包括设计域基结构尺寸、位移边界条件、载荷边界条件、目标可靠性指标、过滤半径和惩罚因子，根据结构设计参数的属性，采用正态分布模型对其进行描述；基于FORM可靠性分析理论，首先针对优化设计目标进行结构设计参数的灵敏度分析，选取对于优化目标影响较大的设计变量；其次，将正态变量X转化为标准正态变量Y，得到结构功能函数G(Y)；预设验算点初值Y*并计算梯度向量和灵敏系数αi，可以求得新的设计验算点Y*，继而得到可靠性指标β；判断可靠性指标β相比于预设目标可靠性指标β0是否满足精度要求，否则更新梯度向量重新计算直至满足收敛条件，得到最终设计验算点和符合预设可靠性指标要求的结构设计参数；
步骤三：通过引入Lagrange插值多项式和二元指数形式梯度系数函数，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度的两类功能梯度结构建立系统化材料模型；其中，针对由M种实体材料组成的多层变刚度结构，根据Lagrange插值多项式引入材料差值系数：
式中，t'为初始化时赋予每个单元一个伪设计变量；
建立多层变刚度结构通用材料差值公式：
Eim (M)＝N1(t)Ei1+N2(t)Ei2+...+NM(t)EiM
式中，Ei1为材料1的弹性模量，Ei2为材料2的弹性模量，EiM为材料M的弹性模量；
可以得到多层变刚度FGM结构拓扑优化材料模型如下：
即当t'取t1时，对应单元选用材料1，其弹性模量为Ei1；当取t'取t2时，对应单元选用材料2，其弹性模量为Ei2；类似地，当取t'取tM时，对应单元选用材料M，其弹性模量为EiM；
针对连续梯度刚度结构，引入二元指数形式梯度系数函数并调整其自变量系数以实现材料弹性模量沿一定方向上的变化：
EH＝fk(t)E0eax+by
式中，x和y为设计域基结构内任意点的坐标；EH是平均弹性模量，其数值随着梯度系数a和b的改变而实现在设计域中几何位置的变化；E0是基础弹性模量；
基于MMWDC拓扑优化模型，采用复合指数形式过滤函数：
为了确保有限元离散后单元间材料性能的连续性，将每个单元中各节点弹性模量平均值作为该单元的弹性模量；建立采用四节点单元离散的连续梯度刚度结构拓扑优化材料模型如下：
式中，ti为单元i的设计变量；EiH为单元i的弹性模量；xi j和yi j分别是编号为i的单元第j个节点的坐标位置；
步骤四：根据步骤二中预设的结构设计参数，并按照实际设计问题从步骤三中选取适当的功能梯度结构材料模型，并将对应的材料属性赋予结构，以建立功能梯度连续体结构的有限元模型；结构力学性能分析基于有限元理论，根据实际设计要求确定单元尺寸，并以单元尺寸表征结构的最小设计单元；采用平衡方程对结构性能表征指标位移进行分析；
步骤五：基于步骤一中建立的考虑可靠性的功能梯度连续体结构拓扑优化模型，采用莫尔定理和虚功原理对优化模型进行标准化转换，建立拓扑变量对于目标函数和约束条件的显式化表达；
步骤六：作为一种凸集优化模型，采用Lagrange乘子法对步骤五中所得到的标准优化方程进行求解；根据步骤一中所建立的迭代计算收敛准则，对优化列式进行更新；根据迭代循环体系：如果设计变量值满足收敛准则，则将其输出，否则修改设计变量，更新优化模型并返回步骤四进行新一轮迭代计算；
步骤七：通过基于上述的优化程序实现步骤六中得到的功能梯度连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出。
2.根据权利要求1所述的一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，其特征在于：所述步骤一遵循面向工程应用的MWDC模型，建立了考虑可靠性的以结构质量为优化目标、以位移为约束条件的功能梯度结构拓扑优化RBTO-MMWDC-FGM模型。
3.根据权利要求1所述的一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，其特征在于：所述步骤二中以位移边界条件和采用正态分布模型描述结构载荷不确定性。
4.根据权利要求1所述的一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，其特征在于：所述步骤三中根据功能梯度结构中梯度变化模式，通过引入Lagrange插值多项式和二元指数形式梯度系数函数，分别针对包括多层变刚度和连续梯度刚度的两类功能梯度结构建立系统化材料模型。
5.根据权利要求1所述的一种考虑可靠性的功能梯度连续体结构轻量化设计方法，其特征在于：所述步骤七中基于RBTO-MMWDC-FGM模型开发了优化程序，实现功能梯度连续体结构最终拓扑构型、质量迭代曲线以及位移迭代曲线的提取与输出。
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