CN113361045B - 基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法，属于计算机辅助设计、工程设计与制造技术领域。首先，用函数表示带有初始化的自支撑椭球空腔的3D模型；然后利用函数的连续性和可微性等，对物体结构进行分析、建模和优化；使用自支撑椭球空腔进行模型内部的轻量化，无需额外添加支撑结构，避免了材料的浪费；严格控制自支撑椭球之间的相交性，避免因为相交而产生破坏模型内部的自支撑性；最后，对上述建模问题进行几何优化，得到在给定约束条件下优化物体内部形状。本发明大大缩短该类孔洞结构的设计和优化周期，模型内部空腔实现自支撑，同时在优化结果上也优于传统方法，节省了更多的材料，在设计和优化方面所消耗的时间更少。

Description

基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计、工程设计与制造技术领域，涉及一种基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法，适用于一般性的部件内部轻量化的设计和优化。

背景技术

内部空心化是一种有效的轻量化方法，不需要改变3D模型的外部形状。该方式可以大幅减少耗材的使用，降低制造成本，被广泛用于环保、省材等领域。但在进行3D打印时，受打印材料的黏度和打印模型自身重力的影响，过长的悬空结构或某一区域表面具有较大的悬垂角时会因为材料黏度不够无法逐层打印。通常，可以通过额外增加特殊的支撑结构来解决，这样的悬空结构如果出现在模型外部，添加特殊的支撑结构可以在打印完成后通过后处理的方式拆除，但模型内部区域添加的支撑结构，是无法移除或者难以移除的，更为重要的是无论额外添加的支撑结构是否可以移除，都造成了材料的浪费，这与模型轻量化的目标相违背，而使用自支撑椭球就能很好的解决模型这种问题。

同时已有的方法存在局部自相交，形状表示不光滑，难以准确描述内部复杂结构等问题。而我们利用函数表示模型的方式可避免出现自相交的问题，同时对3D模型的内部空腔形状描述更准确、更光滑，而在目标优化时我们要求所有椭球之间保持不相交，使用函数表示模型的方法也可以更加便于计算。

发明内容

基于上述问题，本发明提出一种基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法。首先，用函数表示带空腔的3D物体模型，然后利用函数的连续性和可微性等，对物体结构进行分析、建模和优化，直接在函数上执行，更高效、准确的表示和计算，同时使用自支撑椭球保证凭借打印材料自身的黏度抵抗打印模型自身重力的影响，不再需要添加额外的支撑结构，避免了材料的浪费，实现模型轻量化的目标。

因此，本发明方法实现了模型内部的自支撑，而且通过在优化中加入椭球相交的限制条件，能保证全局和局部都不会出现自交问题。优化框架的所有过程都直接在函数上执行，不必再网格化处理，是一个更高效、准确的表示和优化解决方案。本发明的方法应用到应力分析的优化问题，在保证内部椭球结构可以实现自支撑和互不相交，不需要额外添加支撑结构的前提下，能够继续优化空腔体积，直至收敛到目标体积，得到了较大的空腔体积。

本发明的技术方案：

一种基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法，具体步骤如下：

(一)具有椭球空腔的3D模型形状函数表示：

具有椭球空腔的3D模型表示为φ^o(p)≥0，φ^o(p)是模型的表示函数：

其中，p＝(x,y,z)是模型上点的坐标，是物体的外表面函数，φ_i (p)是第i个椭球的内表面函数，n_e是椭球的个数。

上述具有椭球空腔的3D模型是用全局函数来定义的，因此具有连续性、可控性和可微性等特性，在后续对物体结构进行分析、建模和优化时，可以直接在函数上执行，更高效、准确的表示和计算。

(二)基于自支撑椭球空腔的模型的初始化和结构优化

对于初始生成的椭球空腔模型，尽可能地使其满足优化目标。即，在应力小的地方椭球空腔更大，减少内部实体空间，减少耗材的使用；在应力区域大的地方椭球空腔更小，增大内部实体空间，抵抗应力导致的形变。同时，对于初始生成的椭球空腔模型，需对其进一步优化，使其能够在保证内部椭球结构可以实现自支撑和互不相交的限制下，能够继续优化空腔体积到设定的目标体积。

1.自支撑椭球空腔模型的初始化

首先，构建模型三维包围盒。然后，对该包围盒内部空间进行均匀网格剖分，整个三维空间就被划分为网格点数为K³的均匀网格。将每个网格点作为内部初始椭球球心进行筛选。根据每个内部初始椭球球心所在区域的应力值的不同，我们给每个椭球球心分配一个对应的椭球半径r_n(n＝1...K³)。为了增加初始化内部空间时的灵活度，使椭球尽可能的充满整个空间，每个球心点对应的椭球半径是在一个范围内变化。

椭球半径应满足这里：

其中，XMax，XMin，YMax，YMin，ZMax，ZMin是模型三个维度上的最值，g是密度参数，用于调节内部椭球的数量，随着g值的逐渐增大椭球的半径下降，模型内部的椭球空腔数目增加，初始空腔体积增大，μ_i是该点的应力参数，表示如下：

其中，B是应变矩阵，D_i是第i个单元的弹性矩阵，D_i＝ρ_iD₀，杨氏模量D₀取决于使用的固体材料的属性，ρ_i是第i个单元的密度；

2.问题模型建立

对于给定模型受力和边界条件，应力问题模型建立如下：

其中，是椭球三个轴长变量参数的集合，I为整体柔度，Ω_M为模型M所占的整个区域，φ^o(*)为模型表示函数，F为体积力，F_s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，S是黎曼边界τ_s的面积，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，U_ad＝{v|v∈Sob¹(Ω_M),v＝0onτ_u}，Sob¹为一阶soblev空间，ε为二阶线性应变张量，/>为四阶弹性张量，/>为定义在狄利克雷边界τ_u上的位移约束，V_M是模型M的体积，V_c是体积约束值，G(x)为规则化的Heaviside函数。

3.问题模型的离散化

对于初始化的自支撑椭球空腔模型的优化，在应力问题模型中引入防止椭球之间相交的辅助变量E_s，限制条件中引入自支撑条件后，可将应力问题的模型表示为离散形式的优化模型：

minI＝U^TKU+λ_sE_s(1.5)

s.t.KU＝F,

其中，引入辅助变量E_s的目标是使得椭球之间在优化的过程中保持不相交的状态，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，F是施加的外力，K是材料的刚度矩阵，由每个单元的刚度矩阵K_i组成，G(x)为规则化的Heaviside函数，q是惩罚参数，a(b)为椭球半轴中非打印方向的两个半轴，c为椭球半轴中打印方向的半轴，σ是打印精度，δ₀是最大可打印的悬垂水平长度，θ₀是规定的最大悬垂角。

4.建模问题优化

基于上述构建的优化问题，使用求解算法进行优化，变量参数为所有椭球的半轴n_e为内部椭球的数量，目标函数为整体柔度，限制条件为椭球的自支撑条件、空腔体积限制、外力平衡。/>

其中，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，K是材料的刚度矩阵，E_s是控制椭球相交的辅助变量，q是惩罚参数，G(x)为规则化的Heaviside函数，是带椭球空腔的模型的表示函数，t_k是变量参数的集合：/> sr_p是中间参数的集合，A_i是第i个椭球的矩阵形式中的参数矩阵。将计算得到的梯度代入求解器得出优化值/>得到最终的优化模型，即给定约束条件下优化的物体内部形状。

本发明的有益效果为所设计的自支撑椭球空腔结构具有自支撑性、较高的孔隙率和易于3D打印的特性等特性，确保了该类结构的适用性和可制造性，该类自支撑椭球空腔结构适用于常用的3D打印制造方法，打印过程的内部结构具有自支撑性，无需额外支撑，节省打印时间和打印材料。

附图说明

图1是基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化流程图。

图2是基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化结果图，(a)是模型应力分析的切面，(b)是初始模型的切面，(c)是模型应力分析，(d)是初始模型，(e)是优化后的模型。

具体实施方式

以下结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

本发明实施具体可分为椭球空腔结构函数表示，自支撑椭球空腔模型的初始化，建立应力问题优化模型及其离散化，优化流程等几个主要步骤：

(一)椭球空腔结构表示方法

首先，用径向基函数对模型的外表面进行描述，表示如下：

其中，是模型的外表面函数，R_i(p)＝R(|P_i-P_j|)是径向基核函数，表示P_i点与P_j之间的距离，/>是在模型外表面均匀采样，n_c是控制点的个数，取值范围为[200,500]，Q(p)＝b₁x+b₂y+b₃z+b₄是一个偏置项，a_i是R_i(p)的权重，b_i是偏置项Q(p)中的权重。

用椭球函数对模型内部的椭球空腔进行直接描述，表示如下：

其中，φ_i (p)表示第i个椭球空腔的内表面函数，是第i个椭球的中心点坐标，(a_i,b_i,c_i)分别是第i个椭球的三个半轴。

对模型的内外表面进行布尔运算，得到的具有椭球空腔的3D模型表示为φ^o(p)≥0，φ^o(p)是模型的表示函数：

其中，p＝(x,y,z)是模型上点的坐标，φ^o(p)是模型的表示函数，是物体的外表面函数，φ_i (p)是第i个椭球的内表面函数，n_e是椭球的数量，为了克服布尔运算引起的非连续性改写公式(2.3)，表示如下：

(二)基于自支撑椭球空腔的模型的初始化和结构优化

1.自支撑椭球空腔模型的初始化

1.1椭球自支撑的条件

自支撑结构是指不添加额外支撑就能逐层打印的几何形状。当模型表面的悬垂角小于规定的最大悬垂角时实现自支撑，而使用椭球结构良好的控制角度的变化，满足自支撑的条件。

对于椭球来说，首先确定模型的打印方向，以沿z轴方向打印为例，则椭球的自支撑条件为：

其中，c是打印方向对应的半轴，a,b是非打印方向对应的半轴，σ是增材打印时每层材料的厚度，通常数值范围在[0.1mm,0.5mm]之间，δ₀是最大进行打印的悬垂水平长度，由打印材料的密度和黏性决定，通常数值范围在[1mm,5mm]之间，常用的PLA材料的最大可打印的悬垂水平长度为5mm，θ₀是规定的最大悬垂角，由打印材料的性质决定，通常角度范围在[45°,60°]之间，PLA材料的θ₀＝60°，当椭球的非打印方向对应的半轴与打印方向对应的半轴满足上述自支撑的条件时，该椭球为自支撑椭球。

1.2椭球不相交的条件

任意两个椭球的矩阵形式表示为：X^TA₁X＝0,X^TA₂X＝0，其中，X是坐标向量矩阵，A₁和A₂是相对应的对角矩阵，则两个椭球不相交的条件为函数的值等于零时有两个不等正根。f(λ)可以等价的表示为一个最高次项的系数为1的四次多项式：

f(λ)＝λ⁴+αλ³+βλ²+γ+δ(2.6)

其中，系数{α,β,γ,δ}由椭球的参数矩阵A₁,A₂确定。

则两椭球不相交的条件等价的表示为：sr₂₂>0,sr₁₁>0,sr₀>0或者/>sr₂₂>0,sr₁₁>0,sr₁₀>0,sr₀＝0，表示为：

其中，表示{1,α,β,γ,δ}正负符号变化的次数，参数sr₂₂,sr₁₁,sr₁₀,sr₀取决于椭球的参数矩阵A₁,A₂。

1.3自支撑椭球空腔模型的初始化

对于给定模型受力和边界条件，应力问题模型建立如下：

其中，是椭球三个轴长变量参数的集合，I为整体柔度，Ω_M为模型M所占的整个区域，φ^o(*)为模型表示函数，F为体积力，F_s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，S是黎曼边界τ_s的面积，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，U_ad＝{v|v∈Sob¹(Ω_M),v＝0onτ_u}，Sob¹为一阶soblev空间，ε为二阶线性应变张量，/>为四阶弹性张量，/>为定义在狄利克雷边界τ_u上的位移约束，V_M是模型M的体积，V_c是体积约束值，G(x)为规则化的Heaviside函数表示为：

其中，α，β是阈值参数，取α＝0.01，β＝0.001。

对于初始生成的椭球空腔模型，使其满足优化目标。即，在应力小的地方椭球空腔更大，减少内部实体空间，减少耗材的使用；在应力区域大的地方椭球空腔更小，增大内部实体空间，抵抗应力导致的形变。同时，对于初始生成的椭球空腔模型，需对其进一步优化，使其能够在保证内部椭球结构可以实现自支撑和互不相交的限制下，能够继续优化空腔体积到设定的目标体积。

首先，构建模型三维包围盒。然后，对该包围盒内部空间进行均匀网格剖分，整个三维空间就被划分为网格点数为K³的均匀网格。将每个网格点作为内部初始椭球球心进行筛选。根据每个内部初始椭球球心所在区域的应力值的不同，我们给每个内部初始椭球球心分配一个对应的椭球半径r_n(n＝1...K³)。为了增加初始化内部空间时的灵活度，使椭球充满整个空间，每个球心点对应的椭球半径是在一个范围内变化。

椭球半径满足这里：

其中，XMax，XMin，YMax，YMin，ZMax，ZMin是模型三个维度上的最值，g是密度参数，用于调节内部椭球的数量，随着g值的逐渐增大椭球的半径下降，模型内部的椭球空腔数目增加，初始空腔体积增大，μ_i是该点的应力参数，表示如下：

其中，B是应变矩阵，D_i是第i个单元的弹性矩阵，D_i＝ρ_iD₀，杨氏模量D₀取决于使用的固体材料的属性，ρ_i是第i个单元的密度。

其中，G(x)为规则化的Heaviside函数，为第i个单元的j个顶点的模型函数值，q是一个惩罚参数，对G(*)进行正则化，保证问题的稳定性和最优解的存在性，一般取q＝2。

2自支撑椭球空腔模型结构的优化

2.1应力问题的优化模型

在初始化的自支撑椭球空腔模型的优化问题中，通过在目标函数中引入辅助变量E_s，限制条件中引入自支撑条件后，可将应力问题的模型表示为离散形式的优化模型：

minI＝U^TKU+λ_sE_s(2.13)

s.t.KU＝F，

其中，引入辅助变量E_s的目标是使得椭球之间在优化的过程中保持不相交的状态，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，F是施加的外力，K是材料的刚度矩阵，由每个单元的刚度矩阵K_i组成，K_i表示为：

其中，B是应变矩阵，B^T是应变矩阵的逆矩阵，Ω_i是第i个单元所占的区域，D_i是第i个单元的弹性矩阵。

在优化过程中，椭球之间不应该相交，此目标可表达为：

其中，表示{1,α,β,γ,δ}正负符号变化的次数，参数sr₂₂,sr₁₁,sr₁₀,sr₀取决于椭球的参数矩阵A₁,A₂。

2.2解析计算与优化

基于上述构建的优化问题，使用求解算法进行优化，变量参数为所有椭球的半轴n_e为内部椭球的数量，目标函数为整体柔度I，限制条件为椭球的自支撑条件、空腔体积限制、外力平衡，相对于参数变量的梯度计算如下：

其中，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，K是材料的刚度矩阵，E_s是控制椭球相交的辅助变量，q是惩罚参数，G(x)为规则化的Heaviside函数，是带椭球空腔的模型的表示函数，t_k是变量参数的集合：/> sr_p是中间参数的集合，A_i是第i个椭球的矩阵形式中的参数矩阵。

将计算得到的梯度代入求解器得出优化值得到最终的优化模型，即给定约束条件下优化的物体内部形状。

Claims (1)

1.一种基于自支撑椭球空腔结构的设计和优化方法，其特征在于，具体步骤如下：

(1)具有椭球空腔的3D模型形状函数表示：

具有椭球空腔的3D模型表示为φ^o(p)≥0，φ^o(p)是模型的表示函数：

其中，p＝(x,y,z)是模型上点的坐标，是物体的外表面函数，φ_i (p)是第i个椭球的内表面函数，n_e是椭球的个数；

(2)基于自支撑椭球空腔模型的初始化和结构优化

(2.1)自支撑椭球空腔模型的初始化

首先，构建模型三维包围盒；然后，对该三维包围盒内部空间进行均匀网格剖分，整个三维空间划分为网格点数为K³的均匀网格；将每个网格点作为内部初始椭球球心进行筛选；根据每个内部初始椭球球心所在区域的应力值的不同，给每个内部初始椭球球心分配一个对应的椭球半径r_n，n＝1...K³；为了增加初始化内部空间时的灵活度，使椭球充满整个空间，每个球心点对应的椭球半径是在一个范围内变化；

第i个球心点所对应的椭球半径为在实际使用中，椭球半径的取值从大到小进行判定，/>的表示如下：

其中，XMax、XMin、YMax、YMin、ZMax、ZMin是模型三个维度上的最值；g是密度参数，用于调节内部椭球的数量；μ_i是该点的应力参数，表示如下：

其中，B是应变矩阵；D_i是第i个单元的弹性矩阵；D_i＝ρ_iD₀，杨氏模量D₀取决于使用的固体材料的属性；ρ_i是第i个单元的密度；

(2.2)问题模型建立

对于给定模型受力和边界条件，应力问题模型建立如下：

其中，是椭球三个轴长变量参数的集合，I为整体柔度，Ω_M为模型M所占的整个区域，φ^o(*)为模型表示函数，F为体积力，F_s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，S是黎曼边界τ_s的面积，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，U_ad＝{v|v∈Sob¹(Ω_M),v＝0onτ_u}，Sob¹为一阶soblev空间，ε为二阶线性应变张量，f为作用于模型上的体积力，s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，/>为四阶弹性张量，/>为定义在狄利克雷边界τ_u上的位移约束，V_M是模型M的体积，V_c是体积约束值，G(x)为规则化的Heaviside函数；

(2.3)问题模型的离散化

对于初始化的自支撑椭球空腔模型的优化，在应力问题模型中引入防止椭球之间相交的辅助变量E_s，限制条件中引入自支撑条件后，将应力问题的模型表示为离散形式的优化模型；

minI＝U^TKU+λ_sE_s(1.5)

s.t.KU＝F,

其中，引入辅助变量E_s的目标是使得椭球之间在优化的过程中保持不相交的状态，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，F是施加的外力，K是材料的刚度矩阵，由每个单元的刚度矩阵K_i组成，a_i,b_i,c_i分别为椭球三个半轴的变量参数，G(x)为规则化的Heaviside函数，q是惩罚参数，V_M是模型M的体积，V_c是体积约束值，a(b)为椭球半轴中非打印方向的两个半轴，c为椭球半轴中打印方向的半轴，σ是增材打印时每层材料的厚度，δ₀是最大进行打印的悬垂水平长度，θ₀是规定的最大悬垂角；

(2.4)建模问题优化

基于上述构建的优化问题，使用求解算法进行优化，变量参数为所有椭球的半轴n_e为椭球的数量，目标函数为整体柔度I，限制条件为椭球的自支撑条件、空腔体积限制、外力平衡，相对于参数变量的梯度计算如下：

and

其中，λ_s是目标权重，U是位移矩阵，U^T是位移矩阵的转置，K是材料的刚度矩阵，E_s是辅助变量，是带椭球空腔的模型的表示函数，t_k是变量参数的集合：

n_e是模型内部椭球的数量，q是惩罚参数，G(x)为规则化的Heaviside函数，n是内部元素的数量，sr_p是中间参数的集合，A_i是第i个椭球的矩阵形式中的参数矩阵；将计算得到的梯度代入求解器得出优化值/>得到最终的优化模型，即给定约束条件下优化的物体内部形状。