CN111368477B - 一种基于函数表示的3d模型内部挖孔式轻量化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于函数表示的3D形状内部挖孔式轻量化方法，属于计算机辅助设计领域。首先利用函数表示并探索有效的形状优化解析计算，然后在给定外部条件约束下，通过构建能量函数模型对3D模型受力结构设计，对物体质量中心、站立稳定性、不倒翁设计和悬浮问题进行建模，并给出对应的离散化形式；最后，分别对上述建模问题进行几何优化，得到给定约束条件下优化物体内部形状。本发明使得该类孔洞结构的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。本发明得到的模型内部空腔更加的平滑，不受空腔个数的限制，物体模型拥有更低的质心，同时节省了更多的材料，在设计和优化方面所消耗的时间更少。

Description

一种基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计、工程设计与制造技术领域，涉及一种基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化方法，适用于一般性的部件内部空心化的设计和优化，特别是适用于3D打印物体的空心优化。

背景技术

内部空心化是一种有效的轻量化方法，满足功能用途的同时无需更改3D对象的外部形状。该方式可以大幅减少材料使用和制造成本，被广泛用于环保、省材等领域。但是已有的方法存在局部自相交，形状表示不光滑，难以准确描述内部复杂结构等问题。如何避免出现自相交的问题，同时对3D物体的内部孔洞形状描述更准确、更光滑，以及更加便于计算，是对3D物体空心化优化方法进行改进的关键点。

发明内容

基于上述问题，本发明提出一种基于函数表示的形状空心化优化设计方案。首先，用函数表示带空腔的3D物体模型，然后利用函数的连续性和可微性等，对物体结构进行分析、建模和优化，提供一套高效的设计和优化框架。该框架直接在函数上执行，可以应用到各种形状优化问题中，如应力问题、平衡问题、浮力问题等。关键思想是充分利用函数表示，探索挖孔形状优化问题的全自动高效解析计算，从而避免耗时的网格化。具体地，首先，将给定其它形式的边界的表面(如三角网格表示)转换为函数表示，此时使用径向基函数(RBF)来构造内外表面的表示函数，其它函数表示也可以使用；通过连续函数距离场定义和表示内外表面之间的实体部分，不再需要使用曲面偏移或需要骨架等操作。

因此，本发明方法具有更大的可用设计空间，而传统的边界表示中的自交问题，可以通过合并内表面来避免。另外，优化框架的所有过程都可以直接在函数上执行，不必再网格化处理，是一个更高效、准确的表示和优化解决方案。可以将本发明的方法应用到了包括结构强度、站立稳定性、不倒翁和浮力目标等优化和优化问题。

本发明的技术方案：

一种基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化方法，具体步骤如下：

(一)具有空腔的3D模型形状函数表示

具有空腔的3D模型表示为φ^o(r)≥0，φ^o(r)是模型的表示函数：

其中，r＝(x,y,z)是模型上点的坐标，

是物体的外表面函数，

是物体的内表面函数；t(r)≥0表示厚度，是一个连续函数，表示如下：

其中，R_ij＝R(|P_i-P_j|)是径向基函数，表示P_i点与P_j之间的距离，

是在模型外表面均匀采样，n_c是控制点的个数(一般取值在[200,500])，Q(r)＝b₁x+b₂y+b₃z+b₄是一个偏置项，{a_i}是R_i(r)的权重，{b_i}是偏置项Q(r)中的权重。由于不对3D物体的外表面进行改动，在后面公式优化时只需要对采样点和权重进行一次计算即可。

(二)基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化建模及优化

给定模型受力及边界条件，通过3D物体的函数表述对给定问题进行建模，使得在给定的材料体积和边界约束情况下，尽可能的减少材料，具体步骤如下：

1.问题建模

1.1应力问题模型建立

对于给定模型受力和边界条件，应力问题模型建立如下：

其中，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，φ^o(*)为模型表示函数，f为体积力，s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，S是黎曼边界τ_s的面积，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，U_ad＝{v|v∈Sob¹(Ω_M),v＝0on τ_u}，Sob¹为一阶soblev空间，ε为二阶线性应变张量，

为四阶弹性张量，其由弹性模量和泊松分布决定；

为定义在狄利克雷边界τ_u上的位移约束，V是模型M的体积，

是体积约束值，H(x)为规则化的Heaviside函数表示为：

其中α，β是阈值参数，通常取α＝0.0001，β＝0.001。

1.2质量和中心问题模型建立

对于3D物体的质量和中心问题，模型质量m和质心c分别表示如下：

m＝M₁ (5)

其中，

φ^o(r)是模型的表示函数，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，V是模型M的体积，H(x)为规则化的Heaviside函数。

1.2.1物体站立稳定性模型

对于物体站立稳定性，模型建立如下：

s.t.(c_x+c_y)²-(r-ε)²≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，S(t)是目标函数，最小化S(t)使物体的质心尽可能低，c_x,c_y,c_z分别是物体在x,y,z方向上的质心，r是接触点凸包的最大内切圆的半径，ε是安全系数(通常ε＝0.1)。

1.2.2不倒翁模型

对于3D不倒翁问题，模型问题建立如下：

s.t.c_x＝0

c_y＝0

c_z-r+ε≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，R(t)是目标函数，最小化R(t)使物体在z轴方向上的质心尽可能低，c_x,c_y,c_z分别是物体在x,y,z方向上的质心，r是接触点凸包的最大内切圆的半径，ε是安全系数(默认ε＝0.1)。

1.2.3浮力模型

对于3D模型浮力问题，模型建立如下：

min_t(r)B(t)＝(ρ_lV_l-ρ_mV_m)² (9)

s.t.c_x-c_buoy,x＝0

c_y-c_buoy,y＝0

c_z-c_buoy,z≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，B(t)是目标函数，B(t)＝0表示物体悬浮于水中，c_x,c_y,c_z分别是物体在x,y,z方向上的质心，ρ_l是液体的密度，V_l是物体沉在给定液体下的体积，ρ_m是物体的密度，V_m是物体的体积，c_buoy,x,c_buoy,y,c_buoy,z分别是对应液体被浸占空间在x,y,z方向上的质心。

2.问题优化

针对上述建模问题，一种改进的有限元方法可以用于对该类问题进行求解。只需用有限个单元作为积分单位即可。为了提升效率，本发明采用粗细单元策略，即，每个粗单元内部再进一步划分更多细单元(例如，每个粗网格内部有27个细单元)。进而，通过对上述问题进行离散化计算，得到变量的敏感度分析(见公式(11))，最终代入求解器(例如，Method of Moving Asymptotes)得出优化结果。

具体地，基于上述模型表示和问题建模，只需计算厚度函数t(r)在控制点处对应参数值

即可，厚度函数t(r)表示为：

其中，N_i(r)＝[RQ]U^-1，R_i,j＝R(|P_i-P_j|)是径向基函数，表示P_i点与P_j之间的距离，Q是对应偏执项的偏执矩阵，

n_c是控制点的个数。进而，上述模型优化问题就转换为了对参数

的优化问题。因此，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，N_b为细积分单元个数。

将公式(11)的计算代入求解器得出优化

得到最终的优化模型，即给定约束条件下优化的物体内部形状。

本发明的有益效果：

面向3D打印的3D物体的空心化轻量化，可以用于优化应力结构、物体站立稳定性，不倒翁的设计，液体中浮力等实际应用。本发明提出一种用函数表示空心物体的方法，在函数表示的基础上，对模型进行问题建模和优化。本发明使得带空腔的物体的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。本发明设计的带空腔的物体在满足约束条件下，能够得到更加节省材料，具有更大的空腔体积的模型。另外，由于本发明直接在函数上操作避免了传统有限元优化方法中耗时的网格化，分析和优化效率更加高效。这些优良性质确保了所设计优化的3D物体的适用性和可制造性。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是采用本发明方法轻量化结果图(深色部分为空心部分)；其中，(a)应力优化结果；(b)站立稳定性优化结果；(c)不倒翁优化结果；(d)浮力问题结果。

具体实施方式

以下结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

如图1所示，为本发明的流程示意图，本实施例以站立稳定性为例说明本发明具体实施，可分为带孔洞的3D模型函数表示，问题模型建立，以及优化求解三个主要步骤：

(一)3D模型函数表示

为了得到表示模型内外曲面的插值函数，需要求出公式(2)中插值函数中的权重{a_i}和{b_i}的值。取外部控制点的函数值f＝1，内部控制点的函数值f＝-1，在模型表面的控制点的函数值f＝0。使用RBF径向基函数，算出控制点之间的距离值R_ij＝R(|P_i-P_j|)，将控制点坐标，控制点之间距离值和控制点对应函数值f代入到插值函数：

由此，得到权重{a_i}和{b_i}的值。均匀取模型外表面的控制点的子集

(n_c＝500，t_i为控制点处函数值)，由公式(10)得到连续厚度控制函数：

模型外表面函数

内表面函数

进而，3D模型的函数表示为：

(二)3D模型的建模及优化

1.问题建模：

对于给定模型受力和边界条件，以结构能量最小化为目标，以模型体积、受力及边界条件为约束，应力问题模型带入公式(5)、(6)和(7)得到如下建模：

(c_x+c_y)²-(r-ε)²≤0

2.优化求解

使用有限元分析法划分粗细网格之后，上述模型优化问题就转换为了对参数

的优化问题。因此，通过对目标函数

和约束条件s.t.(c_x+c_y)²-(r-ε)²≤0)关于优化变量进行求导可得到：

将上述求导公式代入MMA求解器得出优化

得到最终的优化模型。

轻量化结果如图2所示。

使用上述方法在不同3D模型上进行计算，实验均可以达到理想效果。从结果来看，本发明使得该类孔洞结构的设计和优化周期大大缩短，并能给出理论上最优结果。本发明得到的模型内部空腔更加的平滑，不受空腔个数的限制，物体模型拥有更低的质心，同时节省了更多的材料，在设计和优化方面所消耗的时间更少。

Claims (1)

1.一种基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化方法，其特征在于，具体步骤如下：

(一)具有空腔的3D模型形状函数表示

具有空腔的3D模型表示为φ^o(r)≥0，φ^o(r)是模型的表示函数：

其中，r＝(x，y，z)是模型上点的坐标，

是物体的外表面函数，

是物体的内表面函数；t(r)≥0表示厚度，是一个连续函数，表示如下：

其中，R_ij＝R(|P_i-P_j|)是径向基函数，表示P_i点与P_j之间的距离，

是在模型外表面均匀采样，n_c是控制点的个数，Q(r)＝b₁x+b₂y+b₃z+b₄是一个偏置项，{a_i}是R_i(r)的权重，{b_i}是偏置项Q(r)中的权重；

(二)基于函数表示的3D模型内部挖孔式轻量化建模及优化

给定模型受力及边界条件，通过3D物体的函数表述对给定问题进行建模，使得在给定的材料体积和边界约束情况下，尽可能的减少材料，具体步骤如下：

1.问题建模

1.1应力问题模型建立

对于给定模型受力和边界条件，应力问题模型建立如下：

其中，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，φ^o(*)为模型表示函数，f为体积力，s为定义在黎曼边界τ_s上的表面力，S是黎曼边界τ_s的面积，u是位移场，v是定义在区域Ω_M上的测试函数，U_ad＝{v|v∈Sob¹(Ω_M)，v＝0 on τ_u}，Sob¹为一阶soblev空间，ε为二阶线性应变张量，

为四阶弹性张量，其由弹性模量和泊松分布决定；

为定义在狄利克雷边界τ_u上的位移约束，V是模型M的体积，

是体积约束值，H(x)为规则化的Heaviside函数表示为：

其中α，β是阈值参数；

1.2质量和中心问题模型建立

对于3D物体的质量和中心问题，模型质量m和质心c分别表示如下：

m＝M₁ (5)

其中，

φ^o(r)是模型的表示函数，Ω_M为给定模型M所占的整个区域，V是模型M的体积，H(x)为规则化的Heaviside函数；

1.2.1物体站立稳定性模型

对于物体站立稳定性，模型建立如下：

s.t.(c_x+c_y)²-(r-ε)²≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，S(t)是目标函数，最小化S(t)使物体的质心尽可能低，c_x，c_y，c_z分别是物体在x，y，z方向上的质心，r是接触点凸包的最大内切圆的半径，ε是安全系数；

1.2.2不倒翁模型

对于3D不倒翁问题，模型问题建立如下：

s.t.c_x＝0

cy＝0

c_z-r+ε≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，R(t)是目标函数，最小化R(t)使物体在z轴方向上的质心尽可能低，c_x，c_y，c_z分别是物体在x，y，z方向上的质心，r是接触点凸包的最大内切圆的半径，ε是安全系数；

1.2.3浮力模型

对于3D模型浮力问题，模型建立如下：

s.t.c_x-c_buoy，x＝0

c_y-c_buoy，y＝0

c_z-c_buoy，z≤0

其中，t(r)≥0表示待求厚度函数，B(t)是目标函数，B(t)＝0表示物体悬浮于水中，c_x，c_y，c_z分别是物体在x，y，z方向上的质心，ρ_l是液体的密度，V_l是物体沉在给定液体下的体积，ρ_m是物体的密度，V_m是物体的体积，c_buoy，x，c_buoy，y，c_buoy，z分别是对应液体被浸占空间在x，y，z方向上的质心；

2.问题优化

采用粗细单元策略对问题模型进行求解，即，每个粗单元内部再进一步划分更多细单元；通过对问题进行离散化计算，得到变量的敏感度分析，最终代入求解器得出优化结果；具体如下：

对于问题建模，需计算厚度函数t(r)在控制点处对应参数值

厚度函数t(r)表示为：

其中，N_i(r)＝[RQ]U^-1，R_i，j＝R(|P_i-P_j|)是径向基函数，表示P_i点与P_j之间的距离，Q是对应偏执项的偏执矩阵，

n_c是控制点的个数；模型优化问题就转换为对参数

的优化问题，通过对目标函数和约束函数关于优化变量进行求导，如下：

其中，N_b为细积分单元个数；

将公式(11)的计算代入求解器得出优化

得到最终的优化模型，即给定约束条件下优化的物体内部形状。

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