CN108763604B - 一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法。该方法首先在复合材料结构参数区间域内选择一系列样本点，并使用有限元的方法求解这些样本点的结构静力学响应值。将这些数据作为径向基神经网络的训练样本。根据样本点的数目选择神经网络隐藏层中径向基函数的数量，再用K均值算法得到各个径向基函数的中心值，然后再用递归最小二乘方法得神经网络隐藏层和输出层之间的权值。将训练好的径向基神经网络作为原结构响应函数的近似响应函数。再利用遗传算法求解径向基神经网络的最大和最小值作为含区间参数的复合材料结构静力学响应的上界和下界。

Description

一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经 网络配点方法

技术领域

本发明涉及含区间不确定参数的复合材料结构静力学响应分析的技术领域，具体涉及一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点法。

背景技术

结构分析在机械工程、土木工程、车辆工程和航空航天工程中占有很重要的位置。为了保证结构能够在其经济寿命内安全、可靠地工作，在其服役之前，其应变、应力和位移等各项指标首先需要仔细地校核。结构分析在结构设计的整个环节中有着举足轻重的地位，而静力学响应分析又是结构分析中最为基本和重要的环节之一。传统的结构静力学分析往往把结构的各项参数视为确定的值，一整套分析过程之后会得到一个确定的值。

复合材料作为新型材料的典型代表，具有高的比强度和比刚度、优越的疲劳性能等优良的力学特性，其合理应用可实现结构有效减重，具有广阔的应用前景。但是由于复合材料的分散性较大，加工过程中不可控因素较多，因而复合材料结构的各项参数均存在不容忽视的不确定性的存在。这些不确定性存在可能会对分析结果造成比较大的影响。

一般描述不确定参数的方法有概率密度函数、模糊集合以及证据理论等等，但是为了得到概率密度函数曲线需要有大量的数据，一般来说很难通过实验得到如此多的数据；而利用模糊集合时需要这个领域的专家分配隶属度函数；运用证据理论时，同样也需要专家分配概率密度给各个焦元。当数据的信息量和对数据的认知较少时，区间方法在对不确定性进行表征时有较大的优势。区间方法表示不确定性时只需要知道不确定参数的上下界。

一般的求解区间不确定性传播的方法有蒙特卡洛法，摄动法，顶点法以及配点法等。运用蒙特卡洛方法进行求解时需要在不确定域内进行大量的采样，因而需要大量的有限元计算，这在实际工程中是无法实施的；摄动法为一种一阶近似方法，其只能够处理若非线性和不确定区间较小的问题；顶点法只能够处理单调问题；而配点法能够处理非线性较强的问题，并且能够得到较为精确的解，但是其处理过程较为复杂。

由于在复合材料结构静力学响应分析过程中，复合材料的参数不确定性广泛存在且不容忽视，因而建立一种精度较高，并且计算量小的含区间不确定性参数的复合材料结构的静力学分析方法有着很强的现实意义。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：本发明提供了一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法。该方法首先在复合材料结构参数区间域内选择一系列样本点，并使用有限元的方法求解这些样本点的结构静力学响应值。将这些数据作为径向基神经网络的训练样本。根据样本点的数目选择神经网络隐藏层中径向基函数的数量，再用K均值算法得到各个径向基函数的中心值，然后再用递归最小二乘方法得神经网络隐藏层和输出层之间的权值。将训练好的径向基神经网络作为原结构响应函数的近似响应函数。再利用遗传算法求解径向基神经网络的最大和最小值作为含区间参数的复合材料结构静力学响应的上界和下界。

本发明采用的技术方案为：一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法，该方法的主要步骤如下：

第一步：确定区间不确定性变量α^I以及其区间域Θ；确定各个径向基函数的方差θ。

第二步：在不确定域Θ内选择样本点α⁽¹⁾,...α^(N)(简写为α^(1):(N))；利用有限元方法计算复合材料结构的静力学响应Ku(α⁽ⁱ⁾)＝F,i＝1,...N；再根据选择的样本点的个数确定隐藏层中径向基函数的数目M。

第三步：构建径向基函数神经网络。其中

表示样本i的n个维度分别对应径向基神经网络输入层的n个输入通道。

表示隐藏层中的M个径向基函数，由输入层映射到隐藏层中第j个径向基函数可以表示为：

其中||·||表示向量的二范数。输出层为隐藏层的带权求和，设输出层的数据为y⁽ⁱ⁾，则输出层可以表示为：

其中w_j为连接第j个径向基函数和输出层的权值，记w＝[w₁,...,w_M]。该径向基神经网络中的w和c^(j),j＝1,...,M需要经过训练得到。

第四步：确定利用K均值算法计算各个径向基函数的中心c^(j),j＝1,...,M。首先随机初始化径向基函数的中心c^(j),j＝1,...,M；再计算每个样本点距离每个径向基函数中心的欧氏距离D_ij：

找到离样本点α⁽ⁱ⁾最近的径向基函数中心c^(j)，并且令指标函数如下：

z_ip＝1,p＝j,z_ip＝0,p≠j

如果在当第q个迭代步中有：

那么表示K均值算法已经收敛，此时输出径向基函数的数据中心c^(j),j＝1,...,M；否则利用以下的公式对径向基函数的中心进行更新：

直到K均值算法收敛。

第五步：利用递归最小二乘法计算隐藏层中各个径向基函数到输出层的权值w。首先定义第i个样本点映射到第j个径向基函数表示为：

为了简化符号再定义如下的向量：

φ(i)＝[φ_i1,φ_i2,...,φ_iM]^T

和定义如下的矩阵：

输出层的权值训练问题可以转换为最小二乘问题，则由该问题的法方程可以得到：

R(s+1)w(s+1)＝r(s+1)

其中w(s+1)表示用N个样本点中的(s+1)得到的权值向量。然后初始化w(0)＝0和R^-1(0)＝γ^-1I，γ为一个正的小量，I∈R^M×M表示单位矩阵。计算：

h(s+1)＝u(α^(s+1))-φ^T(s+1)w(s)

并利用谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式计算：

然后利用下式更新隐藏层到输出层的权值：

w(s+1)＝w(s)+R^-1(s+1)φ(s+1)h(s+1)

直到用完N个样本点数据。

第六步：利用遗传算法搜索训练好的神经网络的最大和最小值，并将其作为此含区间参数的复合材料结构的静力学响应的上界

和下界u(α^I)。

本发明与现有技术相比优点在于：本发明通过利用径向基神经函数网络求解含区间不确定性参数的复合材料结构的静力学响应分析问题。与蒙特卡洛方法相比，该发明精度相近，但是计算量远远小于前者；与摄动法和顶点法相比，该方法精度高，并且能处理更为复杂的问题；与配点法相比，该方法实施简单。总而言之，本发明提供了一种高精度、高效的分析含区间不确定性的复合材料结构静力学响应的方法

附图说明

图1是本发明求解含区间参数的复合材料结构的静力学响应求解的流程图。

图2是本发明构造的径向基函数神经网络。

图3是本发明应用的对象——复合材料中央翼盒结构，其中图3(a)是该中央翼盒的外观示意图，左边的矩形方块表示壁面，中央翼盒固定连接在壁面上；图3(b)为中央翼盒的俯视图，D₁～D₁₁表示响应的输出位置。

图4表示本发明应用对象——复合材料中央翼盒结构的有限元网格划分形式。

图5表示用本发明和蒙特卡洛方法得打的各个测点的纵向位移的区间图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法，包括以下的步骤：

(1)确定区间不确定性变量以及其区间；确定各个径向基函数的方差。

(2)在不确定域内选择样本点；利用有限元方法计算复合材料结构的静力学响应；再根据选择的样本点的个数确定隐藏层中径向基函数的数目。

(3)构建径向基函数神经网络。

(4)确定利用K均值算法计算各个径向基函数的中心。

(5)利用递归最小二乘法计算隐藏层中各个径向基函数到输出层的权值。

(6)利用遗传算法搜索训练好的神经网络的最大和最小值，并将其作为此含区间参数的复合材料结构的静力学响应的上界和下界。

该方法的具体步骤如下：

第一步：确定区间不确定性变量α^I以及其区间域Θ；确定各个径向基函数的方差θ。

第二步：在不确定域Θ内选择样本点α⁽¹⁾,...α^(N)(简写为α^(1):(N))；利用有限元方法计算复合材料结构的静力学响应Ku(α⁽ⁱ⁾)＝F,i＝1,...N；再根据选择的样本点的个数确定隐藏层中径向基函数的数目M。

第三步：构建径向基函数神经网络。其中

表示样本i的n个维度分别对应径向基神经网络输入层的n个输入通道。

表示隐藏层中的M个径向基函数，由输入层映射到隐藏层中第j个径向基函数可以表示为：

其中||·||表示向量的二范数。输出层为隐藏层的带权求和，设输出层的数据为y⁽ⁱ⁾，则输出层可以表示为：

其中w_j为连接第j个径向基函数和输出层的权值，记w＝[w₁,...,w_M]。该径向基神经网络中的w和c^(j),j＝1,...,M需要经过训练得到。

第四步：确定利用K均值算法计算各个径向基函数的中心c^(j),j＝1,...,M。首先随机初始化径向基函数的中心c^(j),j＝1,...,M；再计算每个样本点距离每个径向基函数中心的欧氏距离D_ij：

找到离样本点α⁽ⁱ⁾最近的径向基函数中心c^(j)，并且令指标函数如下：

z_ip＝1,p＝j,z_ip＝0,p≠j

如果在当第q个迭代步中有：

那么表示K均值算法已经收敛，此时输出径向基函数的数据中心c^(j),j＝1,...,M；否则利用以下的公式对径向基函数的中心进行更新：

直到K均值算法收敛。

第五步：利用递归最小二乘法计算隐藏层中各个径向基函数到输出层的权值w。首先定义第i个样本点映射到第j个径向基函数表示为：

为了简化符号再定义如下的向量：

φ(i)＝[φ_i1,φ_i2,...,φ_iM]^T

和定义如下的矩阵：

输出层的权值训练问题可以转换为最小二乘问题，则由该问题的法方程可以得到：

R(s+1)w(s+1)＝r(s+1)

其中w(s+1)表示用N个样本点中的(s+1)得到的权值向量。然后初始化w(0)＝0和R^-1(0)＝γ^-1I，γ为一个正的小量，I∈R^M×M表示单位矩阵。计算：

h(s+1)＝u(α^(s+1))-φ^T(s+1)w(s)

并利用谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式计算：

然后利用下式更新隐藏层到输出层的权值：

w(s+1)＝w(s)+R^-1(s+1)φ(s+1)h(s+1)

直到用完N个样本点数据。

第六步：利用遗传算法搜索训练好的神经网络的最大和最小值，并将其作为此含区间参数的复合材料结构的静力学响应的上界

和下界u(α^I)。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对图3所示的空天飞机的碳纤维复合材料中央翼盒结构的静力学响应分析进行求解。中央翼盒的尺寸为900mm×710mm×250mm，这个中央翼盒包含5个部分：上下翼面，翼肋，翼梁，机翼前缘和机翼后缘。整个中央翼盒都由MT300碳纤维复合材料构成，各个部分的铺层如表1所示。

表1

该复合材料中央翼盒的有限元网格如图4所示，其包含12361个单元和8723个节点。集中载荷施加在中央翼盒尖部，其大小为P＝7200N。复合材料的杨氏模量和泊松比为区间变量，其范围如下：

图3(b)中的测点D₁～D₁₁的纵向位移为响应输出量。纵向位移的精确区间可由蒙特卡洛方法得到。利用基于径向基函数的方法和蒙特卡洛方法得到的位移区间如图5所示。蒙特卡洛方法共采用了100000个样本点，本发明在每一个维度上取了5个样本点。图5表面，在使用较少样本点的条件下，本发明能够得到很精确的位移响应区间。

综上所述，本发明提出了一种基于径向基神经网络的求解含区间参数复合材料结构静力学响应的方法。该方法首先在复合材料结构参数区间域内选择一系列样本点，并使用有限元的方法求解这些样本点的结构静力学响应值。将这些数据作为径向基神经网络的训练样本。根据样本点的数目选择神经网络隐藏层中径向基函数的数量，再用K均值算法得到各个径向基函数的中心值，然后再用递归最小二乘方法得神经网络隐藏层和输出层之间的权值。将训练好的径向基神经网络作为原结构响应函数的近似响应函数。再利用遗传算法求解径向基神经网络的最大和最小值作为含区间参数的复合材料结构静力学响应的上界和下界。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含区间参数的其它结构形式的复合材料结构静力学响应求解领，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种求解含区间参数复合材料结构静力学响应的径向基神经网络配点方法，其特征在于：首先在复合材料结构参数区间域内选择一系列样本点，并使用有限元的方法求解这些样本点的结构静力学响应值；将这些数据作为径向基神经网络的训练样本；根据样本点的数目选择神经网络隐藏层中径向基函数的数量，再用K均值算法得到各个径向基函数的中心值，然后再用递归最小二乘方法得神经网络隐藏层和输出层之间的权值；再利用遗传算法求解径向基神经网络的最大和最小值作为含区间参数的复合材料结构静力学响应的上界和下界；该方法的实现步骤如下：

第一步：确定区间不确定性变量α^I以及其区间域Θ；确定各个径向基函数的方差θ；

第二步：在区间域Θ内选择样本点α⁽¹⁾,...α^(N)(简写为α^(1):(N))；利用有限元方法计算复合材料结构的静力学响应Ku(α⁽ⁱ⁾)＝F,i＝1,...N；再根据选择的样本点的个数确定隐藏层中径向基函数的数目M；

第三步：构建径向基函数神经网络，其中

表示样本i的n个维度分别对应径向基神经网络输入层的n个输入通道，

表示隐藏层中的M个径向基函数，由输入层映射到隐藏层中第j个径向基函数表示为：

其中，||.||表示向量的二范数，输出层为隐藏层的带权求和，设输出层的数据为y⁽ⁱ⁾，则输出层表示为：

其中，w_j为连接第j个径向基函数和输出层的权值，记w＝[w₁,...,w_M]，该径向基神经网络中的w和c^(j)需要经过训练得到，其中，j＝1,...,M；

第四步：确定利用K均值算法计算各个径向基函数的数据中心c^(j),j＝1,...,M，首先随机初始化径向基函数的数据中心c^(j),j＝1,...,M；再计算每个样本点距离每个径向基函数的数据中心的欧氏距离D_ij：

找到离样本点α⁽ⁱ⁾最近的径向基函数的数据中心c^(j)，并且令指标函数如下：

z_ip＝1,p＝j,z_ip＝0,p≠j

如果在当第q个迭代步中有：

那么表示K均值算法已经收敛，此时输出径向基函数的数据中心c^(j),j＝1,...,M；否则利用以下的公式对径向基函数的中心进行更新：

直到K均值算法收敛；

第五步：利用递归最小二乘法计算隐藏层中各个径向基函数到输出层的权值w，首先定义第i个样本点映射到第j个径向基函数表示为：

为了简化符号再定义如下的向量：

φ(i)＝[φ_i1,φ_i2,...,φ_iM]^T

和定义如下的矩阵：

输出层的权值训练问题转换为最小二乘问题，则由该问题的法方程得到：

R(s+1)w(s+1)＝r(s+1)

其中w(s+1)表示用N个样本点中的(s+1)得到的权值向量，然后初始化w(0)＝0和R^-1(0)＝γ^-1I，γ为一个正的小量，I∈R^M×M表示单位矩阵，计算：

h(s+1)＝u(α^(s+1))-φ^T(s+1)w(s)

并利用谢尔曼-莫里森-伍德伯里公式计算：

然后利用下式更新隐藏层到输出层的权值：

w(s+1)＝w(s)+R^-1(s+1)φ(s+1)h(s+1)

直到用完N个样本点数据；

第六步：利用遗传算法搜索训练好的神经网络的最大和最小值，并将其作为此含区间参数的复合材料结构的静力学响应的上界

和下界u(α^I)。

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