CN110222356B - 综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法，包括以下步骤：(1)确定设计域、临界屈曲载荷约束阶数及限值、固有频率约束阶数及限值、收敛条件；(2)确定结构力学性能分析方法；(3)优化目标的标准化及约束的显式化处理；(4)优化模型的求解；(5)优化结果的输出。对板/壳结构进行拓扑优化设计时，本发明综合考虑了稳定性能和振动特性，可为轻薄板/壳结构的初始概念设计提供参考。

Description

综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设 计方法

技术领域

本发明属于工程结构设计技术领域，尤其涉及综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法。

背景技术

在航空航天、车辆、土木工程等领域，为了减轻结构重量，或降低结构成本，通常采用具有轻薄特性的板/壳结构。由于板/壳结构在厚度方向的尺寸远小于长度和宽度方向的尺寸，易于在面外方向发生失稳。并且，当外载荷和结构本身的固有频率比较接近时，容易引发共振，产生较大的噪音，并且较大幅度的振动也容易使结构产生破坏。因此对板/壳结构进行轻量化设计时，应该保证结构稳定性能满足需求，并且固有频率远离外载荷的激励频率。

结构拓扑优化设计是结构优化设计研究领域的热点和难点问题之一，拓扑优化设计在工程结构设计初始阶段可提供一个概念性设计，因其不依赖初始构型及工程师经验，可获得完全意想不到的创新构型，实现结构轻量化、功能特殊化、性能集成化，满足服役环境要求，受到广大设计人员的广泛关注。因此，在航空航天、重大装备制造等向“高精尖”发展的工程领域，研究结构拓扑优化设计方法，对实现结构的智能化设计，具有重要的理论意义和工程应用价值。

目前，关于结构性能的拓扑优化设计通常以结构的性能指标为优化目标，结构的经济指标参数为约束。这样的拓扑优化设计思路，通常与工程结构中的“安全第一”的设计理念不匹配，通常需要多次试算矫正，才能找到满足工程实际的拓扑优化设计方案。此外，关于结构稳定性的拓扑优化设计方法通常是以结构的临界屈曲载荷因子表征结构的稳定性能，不能非常直观的描述结构的屈曲承载力。

本发明针对板/壳结构稳定性和振动性能同时优化的问题，提出以结构的体积作为轻量化评价指标，以结构的临界屈曲载荷作为结构稳定性的评价指标，以结构的固有频率作为结构振动特性的评价指标。并提出采用多性能约束拓扑优化模型对板/壳结构进行轻量化设计。这种板/壳结构的拓扑优化设计思路，可以保证结构安全性的前提下，尽可能的降低结构的经济性能指标，这对于推动航空航天等重要领域的快速发展具有重要意义。

发明内容

本发明针对稳定性和振动特性同时优化的板/壳结构设计问题，提供了一种更具通用性的拓扑优化设计方法。通过约束结构的临界屈曲载荷限值，以保证板/壳结构不发生失稳破坏，通过约束结构的固有频率，以保证结构不与外界动载荷发生共振。本发明中提出的板/壳结构拓扑优化设计方法可根据实际情况，快速提炼出相应的板/壳拓扑优化设计问题，有效提高工作效率，节省设计成本。

为实现上述目的，本发明采用如下的技术方案：

一种综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法主要包括以下步骤：

第一步，确定设计域尺寸、优化目标、临界屈曲载荷约束阶数、屈曲约束限值、固有频率约束阶数、频率约束限值及收敛条件；

第二步，本发明的结构力学性能分析是基于有限元分析理论，因此，通过设定有限元网格的尺寸，来表征结构的最小设计单元，采用线性屈曲特征值分析计算结构的临界屈曲承载性能，采用模态分析计算结构的固有振动特性；

第三步，引入单元性能过滤函数对相应的单元物理属性进行识别；采用二阶泰勒展式对优化目标进行显式化处理，并忽略常数项，获得优化目标的标准格式；基于敏度分析方法，对屈曲特征值方程和频率特征方程进行灵敏度分析，并借助于泰勒展式，获得临界屈曲载荷和固有频率的一阶泰勒展式。至此，可得综合考虑临界屈曲载荷和固有频率的板/壳结构轻量化拓扑优化模型的近似显式化方程；

第四步，考虑到本发明中的拓扑优化设计问题为凸规划问题，并且，约束的数目远小于设计变量数，因此，采用对偶理论，对优化模型进行对偶处理，获得其对偶二次规划模型，并采用序列二次规划算法，对优化模型进行求解。如果满足收敛条件，则输出对应的拓扑变量；如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代；

第五步，首先，基于优化模型输出的拓扑变量值，获得最优拓扑变量分布图及离散度。然后，对拓扑变量进行离散化处理，获得最优离散拓扑构型，及其优化目标值、临界屈曲载荷值及固有频率值。

本发明相比现有技术的优点在于：

(1)针对板/壳结构拓扑优化设计问题，提出以结构的临界屈曲载荷作为结构稳定性能的评价指标，以结构的固有频率作为防止板/壳结构发生共振的评价指标，可有效避免最优板/壳结构发生失效；

(2)以板/壳结构的经济指标体积作为优化目标，更符合工程实际中轻量化的设计理念，可有效缩短板/壳结构概念设计的周期。

附图说明

图1是综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构拓扑优化流程图。

图2是综合考虑稳定性与振动特性的平板基结构。

图3是综合考虑屈曲与频率约束的板结构的最优拓扑图。

具体实施方式

如图1所示，本发明中提供一种综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法，具体解决方案如下：

第一步，确定板/壳结构拓扑优化参数；

本发明方法以结构的临界屈曲载荷性能表征结构的稳定特性，以结构的固有频率表征结构的振动特性，以结构的体积作为结构轻量化评价指标。因此，首先要给定性能约束条件，包括屈曲约束阶数、临界屈曲载荷约束限值、固有频率约束阶数、固有频率约束限值、基结构几何尺寸、单元号、材料属性、工况及收敛条件。其中，优化模型为：

t＝(t₁,...,t_i,...,t_N)^T为拓扑变量向量，t_i为单元i的拓扑变量，N为单元总个数，V为结构总体积，v_i为单元i的体积，P_crj为结构第j阶临界屈曲载荷值，P _crj为结构第j阶屈曲载荷约束下限，J为结构临界屈曲载荷总阶数，ω_l为结构第l阶固有频率，ω _l为结构第l阶固有频率约束下限，L为固有频率约束总阶数，t_min＝0.01为拓扑变量下限。

综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化采用迭代逼近的方式进行求解，因此给定如下收敛条件：

|(V^(υ+1)-V^(υ))/V^(υ)|≤ε. (2)

其中上标υ表示迭代次数，V^(υ+1)为第υ+1次迭代时的结构体积，V^(υ)为第υ次迭代时的结构体积，ε为优化目标所要满足的收敛精度，取值通常小于0.01。

第二步，确定结构力学性能分析方法；

本发明基于有限元分析方法对结构进行性能分析，以有限元网格表征结构设计的最小单元。此外，在结构有限元建模方面，包括材料参数的定义及单元属性的赋予，以及边界条件的施加。在结构性能分析方面，采用线性屈曲特征值分析，获取结构的稳定性能，采用模态分析，获得结构的固有振动特性。其对应的屈曲和频率特征方程分别为：

(K+λ_jG)u_j＝0,P_crj＝λ_jP；(K－ξ_lM)q_l＝0,ξ_l＝(2πω_l)². (3)

K为结构刚度矩阵，G为结构几何刚度矩阵，λ_j为第j阶临界屈曲载荷特征值，u_j为第j阶屈曲模态向量，P为结构上施加的外载荷，ξ_l为第l阶固有频率特征值，M为结构质量矩阵，q_l为第l阶频率的振型向量。

故采用屈曲特征值及频率特征值约束代替临界屈曲载荷及固有频率约束：

λ _j为第j阶临界屈曲载荷特征值约束下限，ξ _l为第l阶固有频率特征值约束下限。

第三步，确定优化方程的近似数学模型及求解方法；

首先引入单元性能过滤函数对单元物理属性进行识别。其中采用体积过滤函数f_v(t_i)对单元i的体积v_i进行识别，采用质量矩阵过滤函数f_m(t_i)对单元i的质量矩阵m_i进行识别，采用刚度矩阵过滤函数f_k(t_i)对单元i的刚度矩阵k_i进行识别，采用几何刚度矩阵过滤函数f_g(t_i)对单元i的几何刚度矩阵g_i进行识别，如下式：

为单元i的初始体积，/>为单元i的初始质量矩阵，/>为单元i的初始刚度矩阵，/>为单元的初始几何刚度矩阵。

在这里采用的过滤函数形式均为复合指数型函数，其具体表达式如下：

其中，λ_v为体积过滤函数的常数项，取值大于0，λ_m为质量矩阵过滤函数的常数项，取值大于0，λ_k为刚度矩阵过滤函数的常数项，取值大于0，λ_k为刚度矩阵过滤函数常系数，λ_g为几何刚度矩阵过滤函数的常数项，取值大于0。

为了方便求解，引入刚度过滤函数的倒变量x_i＝1/f_k(t_i)为第i个中间设计变量。

采用二阶泰勒展式对目标函数体积进行显式化处理，获得标准的二次多项显式格式：

其中，为第υ次迭代时第i个中间设计变量，/>为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的二阶导数，/>为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的一阶导数，为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的值。

目标中的常数项对优化结果没有影响，忽略常数项，简化后的目标函数为：

其中，a_i为显式优化目标函数中第i个二次项中间设计变量的常系数项，b_i为显式优化目标函数第i个一次项中间设计变量的常系数项。

基于敏度分析方法，对屈曲特征值和频率特征值进行灵敏度分析，并借助于一阶泰勒展式对屈曲特征值及频率特征值进行显式化。其中x^(υ)表示第υ次迭代时的中间设计变量向量，/>表示第j阶临界屈曲载荷特征值λ_j在/>处的一阶偏导数，/>表示第l阶固有频率特征值ξ_l在/>处的一阶偏导数，λ_j(x^(υ))表示中间设计变量向量为x^(υ)时的第j阶临界屈曲载荷特征值，ξ_l(x^(υ))表示中间设计变量向量为x^(υ)时第l阶固有频率特征值。

最后将约束方程中的常数项，都移项到约束方程的右侧，获得临界屈曲载荷和固有频率约束的线性显式方程(9)和(10)：

其中，c_ij表示第j阶线性屈曲显式约束方程中第i个中间设计变量的常系数项，d_j表示第j阶线性屈曲显式约束方程中的常数项，e_il表示第l阶线性频率显式约束方程中第i个中间设计变量的常系数项，q_l表示第l阶线性频率显式约束方程中的常数项，表示在第υ次迭代时，单元i的第j阶屈曲应变能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第j阶屈曲几何应变能，/>表示在第υ次迭代时，结构的第j阶屈曲几何应变能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第l阶频率模态动能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第l阶频率模态应变能，/>表示在第υ次迭代时，结构的第l阶频率模态动能，/>表示第υ次迭代时第i个拓扑设计变量的值，/>均为屈曲及频率约束显式化进程中的过程量。

至此，得到综合考虑临界屈曲载荷和固有频率的结构轻量化拓扑优化模型的近似显式化方程：

x＝(x₁,...,x_i,...,x_N)^T为中间设计变量向量，为中间设计变量的上限，。

第四步，确定拓扑优化模型的求解方法；

考虑到本发明中的拓扑优化设计问题为凸规划问题，并且，约束的数目远小于设计变量数，因此，采用对偶理论，对优化模型进行对偶处理，获得其对偶二次规划模型：

z＝(z₁,...,z_o,...,z_J+L)^T为对偶模型中的设计变量向量，Φ(z)为对偶模型中的目标函数，为L(x,z)为优化模型中的Lagrange增广函数，具体形式为/>

采用序列二次规划算法，对优化模型进行求解。如果满足第一步中给定的收敛条件Eq.(2)，则输出对应的拓扑变量；如果不满足第一步中给定的收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代。

第五步，确定拓扑优化设计的输出参数。

首先，基于优化模型输出的拓扑变量值，获得最优拓扑变量分布图及离散度。然后，对拓扑优化变量进行离散化处理，获得最优离散拓扑构型、优化目标值、最优结构临界屈曲载荷值、固有频率值，以及优化目标、临界屈曲载荷及固有频率的迭代历史。其中，为了综合评价优化算法的离散效果，引入离散度M_nd作为结构离散效果的评价指标，如下式：

其中M_nd值介于0到1之间。当所有单元拓扑变量值均为0或1时，M_nd值为0，离散效果最好；当所有单元的拓扑变量值为0.5时，M_nd值为1，离散效果最差。

实施算例：

下面结合一个综合考虑屈曲与频率约束的板算例对本发明具体实施步骤进行详细说明。

第一步，设计域基本尺寸为20×40×1mm³的板，尺寸及载荷工况如图2所示，其中载荷作用点处作用一个集中质量M＝0.022kg。材料的弹性模量为E＝68890Mpa，泊松比μ＝0.3，密度ρ＝1000kg/m³。给定结构一阶临界屈曲约束值大于130N，二阶固有频率约束值大于1200Hz，给定收敛条件ε＝0.001。其优化问题描述为：

第二步，欲设定结构的最小设计单元尺寸为0.33mm×0.33mm×1mm。因此，将结构划分成60×120个单元，采用BUCKLING分析模块对结构进行线性屈曲分析，采用NORMALMODES分析模块对结构进行模态分析，获取其屈曲承载性能及固有振动频率特性。

第三步，首先引入单元体积过滤函数对单元的体积进行识别，单元刚度过滤函数对单元的刚度矩阵进行识别，单元几何刚度过滤函数对单元的几何刚度矩阵进行识别，单元质量过滤函数对单元的质量矩阵进行识别，取λ_v＝3,λ_m＝3,λ_k＝0.15,λ_g＝0.15；然后采用二阶泰勒展式对结构体积进行显式化处理，并忽略常数项，获得标准的二次多项式格式；基于敏度分析方法，对屈曲特征值方程和频率特征方程进行灵敏度分析，并借助于泰勒展式，获得临界屈曲载荷和固有频率的一阶泰勒展式。

第四步，考虑到本发明中的拓扑优化设计问题为凸规划问题，并且，约束的数目远小于设计变量数，因此，采用对偶理论，对优化模型进行对偶处理，获得其对偶二次规划模型，并采用序列二次规划算法，对优化模型进行求解。如果满足收敛条件，则输出对应的拓扑变量；如果不满足收敛条件，则修改拓扑变量，更新拓扑优化模型，进行下一轮的迭代。

第五步，首先，基于优化模型输出的拓扑变量值，获得最优拓扑变量分布图及离散度。然后，对拓扑优化变量进行离散化处理，获得最优离散拓扑构型及其体积、临界屈曲载荷及固有频率。

综合考虑屈曲与频率约束的板结构反演前后的最优拓扑图如图3所示，最优拓扑结果的具体值如表1所式。图3表明反演前，结构只在传力路径的边界上有少量的灰色单元，经过反演后能获得具有清晰传力路径的最优拓扑图。表1表明结构的一阶临界屈曲载荷及二阶固有频率值均满足性能约束，并且离散度值较小，离散效果较好。因此，本设计提出的拓扑优化设计方法能实现综合考虑屈曲与频率约束的板/壳结构拓扑优化设计。

表1综合考虑屈曲与频率约束的最优拓扑结果

Claims (3)

1.综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，优化问题的定义：包括给定设计域尺寸、优化目标、屈曲及频率约束及收敛条件；

第二步，结构分析方法的确定：采用线性屈曲特征值分析方法计算板/壳结构的屈曲承载特性，采用模态分析方法获得板/壳结构的固有振动特性；

第三步，优化问题的转化：建立单元拓扑变量同结构屈曲载荷及固有频率之间的关系，并将优化方程进行显式化及标准化处理；

第四步，优化方程的求解：采用对偶序列二次规划算法对优化列式进行求解，并基于迭代循环体系及收敛条件，对优化列式进行更新及最优解的输出；

第五步，优化结果的输出：输出最优拓扑变量分布图及离散度，及离散后最优板/壳结构的拓扑构型、优化目标、临界屈曲载荷性能及固有振动特性参数；第三步具体为：

首先引入单元性能过滤函数对单元物理属性进行识别；其中采用体积过滤函数f_v(t_i)对单元i的体积v_i进行识别，采用质量矩阵过滤函数f_m(t_i)对单元i的质量矩阵m_i进行识别，采用刚度矩阵过滤函数f_k(t_i)对单元i的刚度矩阵k_i进行识别，采用几何刚度矩阵过滤函数f_g(t_i)对单元i的几何刚度矩阵g_i进行识别，如下式：

为单元i的初始体积，/>为单元i的初始质量矩阵，/>为单元i的初始刚度矩阵，/>为单元的初始几何刚度矩阵；

在这里采用的过滤函数形式均为复合指数型函数，其具体表达式如下：

其中，λ_v为体积过滤函数的常系数，取值大于0，λ_m为质量矩阵过滤函数的常数项，取值大于0，λ_k为刚度矩阵过滤函数的常数项，取值大于0，λ_k为刚度矩阵过滤函数的常数项，λ_g为几何刚度矩阵过滤函数的常数项，取值大于0；

引入刚度过滤函数的倒变量x_i＝1/f_k(t_i)为第i个中间设计变量；

采用二阶泰勒展式对目标函数体积进行显式化处理，获得标准的二次多项显式格式：

其中，为第υ次迭代时第i个中间设计变量，/>为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的二阶导数，/>为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的一阶导数，为第i个单元体积过滤函数f_v(x_i)在/>处的值；

目标中的常数项对优化结果没有影响，忽略常数项，简化后的目标函数为：

其中，a_i为显式优化目标函数中第i个二次项中间设计变量的常系数项，b_i为显式优化目标函数第i个一次项中间设计变量的常系数项；

基于敏度分析方法，对屈曲特征值和频率特征值进行灵敏度分析，并借助于一阶泰勒展式对屈曲特征值及频率特征值进行显式化；其中x^(υ)表示第υ次迭代时的中间设计变量向量，/>表示第j阶临界屈曲载荷特征值λ_j在/>处的一阶偏导数，/>表示第l阶固有频率特征值ξ_l在/>处的一阶偏导数，λ_j(x^(υ))表示中间设计变量向量为x^(υ)时的第j阶临界屈曲载荷特征值，ξ_l(x^(υ))表示中间设计变量向量为x^(υ)时第l阶固有频率特征值；

最后将约束方程中的常数项，都移项到约束方程的右侧，获得临界屈曲载荷和固有频率约束的线性显式方程(9)和(10)：

其中，c_ij表示第j阶线性屈曲显式约束方程中第i个中间设计变量的常系数项，d_j表示第j阶线性屈曲显式约束方程中的常数项，e_il表示第l阶线性频率显式约束方程中第i个中间设计变量的常系数项，q_l表示第l阶线性频率显式约束方程中的常数项，表示在第υ次迭代时，单元i的第j阶屈曲应变能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第j阶屈曲几何应变能，/>表示在第υ次迭代时，结构的第j阶屈曲几何应变能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第l阶频率模态动能，/>表示在第υ次迭代时，单元i的第l阶频率模态应变能，表示在第υ次迭代时，结构的第l阶频率模态动能，/>表示第υ次迭代时第i个拓扑设计变量的值，/>均为屈曲及频率约束显式化进程中的过程量；

至此，得到综合考虑临界屈曲载荷和固有频率的结构轻量化拓扑优化模型的近似显式化方程：

x＝(x₁,...,x_i,...,x_N)^T为中间设计变量向量，为中间设计变量的上限。

2.根据权利要求1所述的综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计法，其特征在于，第一步具体为：

首先要给定性能约束条件，包括屈曲约束阶数、临界屈曲载荷约束限值、固有频率约束阶数、固有频率约束限值、基结构几何尺寸、单元号、材料属性、工况及收敛条件；其中，优化模型为：

t＝(t₁,...,t_i,...,t_N)^T为拓扑变量向量，t_i为单元i的拓扑变量，N为单元总个数，V为结构总体积，v_i为单元i的体积，P_crj为结构第j阶临界屈曲载荷值，P _crj为结构第j阶屈曲载荷约束下限，J为结构临界屈曲载荷总阶数，ω_l为结构第l阶固有频率，ω _l为结构第l阶固有频率约束下限，L为固有频率约束总阶数，t_min＝0.01为拓扑变量下限；

综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化采用迭代逼近的方式进行求解，因此给定如下收敛条件：

|(V^(υ+1)-V^(υ))/V^(υ)|≤ε. (2)其中，上标υ表示迭代次数，V^(υ+1)为第υ+1次迭代时的结构体积，V^(υ)为第υ次迭代时的结构体积，ε为优化目标所要满足的收敛精度，取值小于0.01。

3.根据权利要求2所述的综合考虑稳定性与振动特性的板/壳结构轻量化拓扑优化设计法，其特征在于，第二步具体为：

以有限元网格表征结构设计的最小单元；此外，在结构有限元建模方面，包括材料参数的定义及单元属性的赋予，以及边界条件的施加；在结构性能分析方面，采用线性屈曲特征值分析，获取结构的稳定性能，采用模态分析，获得结构的固有振动特性；其对应的屈曲和频率特征方程分别为：

(K+λ_jG)u_j＝0,P_crj＝λ_jP；(K－ξ_lM)q_l＝0,ξ_l＝(2πω_l)². (3)

K为结构刚度矩阵，G为结构几何刚度矩阵，λ_j为第j阶临界屈曲载荷特征值，u_j为第j阶屈曲模态向量，P为结构上施加的外载荷，ξ_l为第l阶固有频率特征值，M为结构质量矩阵，q_l为第l阶频率的振型向量；

故采用屈曲特征值及频率特征值约束代替临界屈曲载荷及固有频率约束：

λ _j为第j阶临界屈曲载荷特征值约束下限，ξ _l为第l阶固有频率特征值约束下限。